Convergence Abscissas for Dirichlet Series with Multiplicative Coefficients
Ole Fredrik Brevig, Winston Heap
本文讨论了当系数$a_n$是乘法或完全乘法时，狄利克雷级数$f(s) = \sum_{n=1}^\infty a_n n^{-s}$的简单收敛性、一致收敛性和绝对收敛性之间的关系。
This note deals with the relationship between the abscissas of simple, uniform and absolute convergence for the Dirichlet series $f(s) = \sum_{n=1}^\infty a_n n^{-s}$, when the coefficients $a_n$ are either multiplicative or completely multiplicative.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
Some remarks on the convergence of the Dirichlet series of L-functions and related questions
首先证明了在Selberg类$\mathcal{S}$中的$L$ -函数的情况下，狄利克雷级数的一致收敛和绝对收敛的横坐标重合.我们还研究了后者的横坐标内的扩展Selberg类，表明在两个类的不同行为。接下来，我们解决两个问题，在$\mathcal{S}$中的功能，示出的链接与零的分布和独立的结果。
On the abscissas of a Dirichlet series and its subseries supported on prime factorization
研究狄利克雷级数\(f(s)\)的绝对收敛横坐标\(\sigma_a(f)\)与其特定子级数相关横坐标\(\delta_a(f)\)，证明\(\sigma_a(f)- \delta_a(f)\)可任意大，借此在一些情形下确定乘子代数，另一些情形中洞察其结构。
Construction of an Ordinary Dirichlet Series with Convergence beyond the Bohr Strip
一个普通的狄利克雷级数有三个横坐标，分别描述了狄利克雷级数收敛、一致收敛和绝对收敛的最大区域。1931年，Hille和Bohnenblust关于狄利克雷级数可以一致收敛但不是绝对收敛的区域的论文，促使人们对这个区域进行了大量的研究，即"玻尔带"。然而，一个相关的自然问题显然没有得到回答：对于一个具有非平凡玻尔带的狄利克雷级数，级数在玻尔带之外多远收敛？我们研究这个问题的明确建设，创造狄利克雷级数收敛超出他们的玻尔带。
Dirichlet series of integers with missing digits
对于某些正整数序列$A$，若$g$ -adic数缺失，则狄利克雷级数$F_A(s) = \sum_{a\in A} a^{-s}$具有收敛横坐标$σ_c < 1$ .计算数字$σ_c$。这推广和加强了经典定理肯普纳的收敛性的总和倒数的整数序列与失踪的十进制数字。
Orbits for products of maps
研究了映射乘积的动态zeta函数和轨道狄利克雷级数的性质。讨论了Zeta函数的收敛半径收敛半径与轨道狄利克雷级数的收敛横坐标乘积下的性质。本文证明了每种长度都有一条轨道的映射的立方的轨道狄利克雷级数有自然边界。
On the absolute convergence of automorphic Dirichlet series
设$F(s)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{a_n}{n^s}$是公理定义类${\mathfrak A}^{\#}$中的狄利克雷级数.已知类${\mathfrak A}^{\#}$包含扩展的Selberg类${\mathcal S}^{\#}$，以及$GL_n/K$上自守形式的所有$L$ -函数，其中$K$是数域。令$d$为$F(s)$的次数。我们证明了$\sum_{n<X}|a_n|=Ω(X^{\frac{1}{2}+\frac{1}{2d}})$，因此，$F(s)$的$σ_a$绝对收敛的横坐标必须满足$σ_a\ge 1/2+1/2d$。
Dirichlet Series with Periodic Coefficients and their Value-Distribution Near the Critical Line
与周期数论函数$f$相关的狄利克雷级数类包括黎曼ζ函数以及狄利克雷$L$ -函数到剩余类特征标。我们分别研究了这些狄利克雷级数$L(s;f)$的值分布.它们在临界线附近的解析延拓（临界线是相关的黎曼型函数方程的对称性的横坐标）。特别是，对于一个固定的复数$a\neq 0$，我们证明了一个偶数或奇数周期$f$的$a$ -点的$Δ$ -因子的功能方程，证明了存在的平均值的值的$L(s;f)$在这些点，显示这些$a$ -点的纵坐标均匀分布模1，并应用这显示一个离散的普遍性定理。
Multiplicative Functions and a Taxonomy of Dirichlet Characters
证明了一种估计与狄利克雷字符编织的乘性函数的总和的方法，导致这样的总和是大的字符的分类。
Dirichlet series for finite combinatorial rank dynamics
我们引入一类群自同态-那些有限的组合秩-表现出缓慢的轨道增长。利用相应的狄利克雷级数得到了一个精确的轨道计数公式，并证明了在连通情形下该级数具有闭的有理形式.狄利克雷级数的分析性质与轨道增长渐近性有关：根据收敛横坐标的位置和极点的程度，可以找到各种轨道增长渐近性，所有这些都是多项式有界的。
Survey of Dirichlet Series of Multiplicative Arithmetic Functions
本文综述了重要乘法算术函数的狄利克雷级数。目的是将这些表示为黎曼ζ函数的乘积和比值，或者，如果找不到这种简明的格式，则提供ζ函数上的无穷乘积的主导因子。如果根在狄利克雷级数的权力，为因数和和欧拉的totient，通过狄利克雷卷积或普通乘法的算术函数对乘法的继承产生的结果。
Dirichlet series associated to sum-of-digits functions
研究了狄利克雷级数$F_b(s)=\sum_{n=1}^\infty d_b(n)n^{-s}$和$G_b(s)=\sum_{n=1}^\infty S_b(n)n^{-s}$，其中$d_b(n)$是整数$n$的基- $b$数之和，$S_b(n)=\sum_{m=1}^{n-1}d_b(m)$是$d_b(n)$的求和函数.我们证明了$F_b(s)$和$G_b(s)$作为至少2阶的亚纯函数在平面$\mathbb{C}$上有延拓，确定了所有极点的位置，并给出了极点处留数的显式公式.利用Delange公式给出了数字和函数$d_b$和$S_b$在非整数基上的连续插值，并证明了相应的狄利克雷级数在其绝对收敛横坐标左至少一个单位处有亚纯延拓.
Supremum of Random Dirichlet Polynomials with Sub-multiplicative Coefficients
研究了随机Dirichlet多项式$D_N(t)=\sum_{n=1}^N\varepsilon_n d(n) n^{- s}$的上确界，其中$(\varepsilon_n)$是独立Rademacher随机变量序列，$ d $是次乘性函数.该方法是高斯的，完全基于高斯过程的比较特性，没有使用度量熵方法。
Extremal bounds for Dirichlet polynomials with random multiplicative coefficients
对于Steinhaus随机乘性函数$X(n)$，研究了随机Dirichlet多项式$$ D_N(t) = \frac1{\sqrt{N}} \sum_{n \leq N} X(n) n^{it}, $$的最大尺寸，其中$t$在不同的范围内.特别是，对于固定的$C>0$和任何小的$\varepsilon>0$，我们表明，以高概率，$$ \exp( (\log N)^{1/2-\varepsilon} ) \ll \sup_{|t| \leq N^C} |D_N(t)| \ll \exp( (\log N)^{1/2+\varepsilon}). $$
Extreme values of Dirichlet polynomials with multiplicative coefficients
本文研究了具有乘法系数的Dirichlet多项式的极值，即\[D_N(t) : = D_{f,\, N}(t)= \frac{1}{\sqrt{N}} \sum_{n\leqslant N} f(n) n^{it}, \]，其中$f$是一个完全乘性函数，对所有$n\in\mathbb{N}$都有$|f(n)|=1$.我们使用Soundararajan的共振方法来产生大值的$\left|D_N(t)\right|$均匀的所有这样的$f$。特别是，我们改进了最近的结果Benatar和Nishry，他们建立较弱的下界，只有几乎所有这样的$f$。
Large values of Dirichlet polynomials with multiplicative coefficients
本文研究了具有乘性系数的 Dirichlet 多项式的大值问题，在特定区域证明了改进的 Omega 结果，并在 $\log N$ 位于 $\sqrt{\log T\log_2T}$ 附近时给出了 Omega 结果。
On a problem of Ramachandra and approximation of functions by Dirichlet polynomials with bounded coefficients
我们证明了有效的结果时，一个函数可以近似的Dirichlet多项式有界系数。假设Φ（n）是增函数，我们证明了多项式集{ \sum_{n=2}^N a_n n^{it-1}：N \geq 2，|a_n| \leq Φ（n）}在L^2（0，H）中稠密的充要条件是\sum_{n=2}^\ infty \frac{\log Φ(n)} {n \log^2 n} = \infty .我们还证明了这一结果的广义狄利克雷多项式的变种。主要的工具是定理佩利和维纳有关的拟解析性和Pechersky重排定理。我们使用这个结果给精确的条件时，一个猜想的拉玛钱德拉是真的，当它是假的。证明了：当Φ（n）为正增函数时，\lim_{N \to \infty} \min_{|a_n| \leq Φ(n)} \int_0^H \abs{1+\sum_{n=2}^N a_n n^{it-1}}^2 dt =0，当且仅当上述和发散.这有应用程序的下限时刻的黎曼zeta函数在短时间内接近Re（s）=1，和问题的普遍性zeta函数和接近其横坐标的收敛。
Factorisation of the product of Dirichlet series of completely multiplicative functions
在第一章中，我们将给出与Dirichlet特征标相关的L函数模的平方值的计算。这个计算建议询问是否存在算术乘法函数的某个环，以及它是否唯一。这种探索导致了第二章中那个环的构建。最后，在第三章中，我们将给出与此环相关的一些命题。下面的结果是本工作的主要结果之一：对于F和G两个完全乘性函数，$ s $一个复数如狄利克雷级数$ D(F,s) $和$ D(G,s) $收敛：$ \forall F,G \in \mathbb{M}_{c} : D(F,s) \times D(G,s) = D(F \times G,2s) \times D(F \square G,s) $其中运算$ \square $在第二章中定义为前面提到的环的和。以下是一些类似的版本，带有$ s = x+iy $：$ \forall F, G \in \mathbb{M}_{c} : ~ D(F,s) \times D(G,\overline{s}) = D(F \times G,2x) \times D(\frac{F}{\text{Id}_{e}^{iy}} \square \frac{G}{\text{Id}_{e}^{-iy}}, x) $ $ \forall F, G \in \mathbb{M}_{c} : ~ |D(F,s)|^{2} = D(|F|^{2},2x) \times D(\frac{F}{\t…
Mean Values of Certain Multiplicative Functions and Artin's Conjecture on Primitive Roots
讨论了如何利用Delange定理，通过某些乘性函数及其狄利克雷级数的均值，研究分圆量的渐近性.我们展示了如何这可能提供一个新的方法阿廷猜想的原根。我们专注于是否一个固定的素数有一定的顺序模无穷多个其他素数。我们也给出了一个这样的狄利克雷级数的平均值的估计。
Zeros of Dirichlet polynomials
考虑一类乘性函数$f: \mathbb N \rightarrow \mathbb C$，研究了与之对应的Dirichlet多项式$F_N(s)= \sum_{n\le N} f(n)n^{-s}$零点的分布.我们证明了与这类乘性函数相关的Dirichlet多项式的已知非平凡无零半平面是最优的。我们还介绍了一个新的参数依赖于狄利克雷级数$F(s) = \sum_{n=1}^\infty f(n) n^{-s}$的基础上，在这个类中的元素的表征。在这种情况下，我们得到的非平凡区域中，相关的狄利克雷多项式有零。
On the asymptotic density of the support of a Dirichlet convolution
设v是具有正渐近密度支撑的乘法算术函数。证明了对任意非恒零算术函数f，使得\sum_{f(n) \neq 0} 1 / n < \infty，Dirichlet卷积f * v的支集具有正的渐近密度.当f是一个乘性函数时，我们也给出了这个要求的定量版本。这推广了以前的结果P.波拉克和作者，关于支持莫比乌斯和狄利克雷变换的算术函数。
On a convolution series attached to a Siegel Hecke cusp form of degree 2
证明了2次Siegel Hecke尖点形式F上的“朴素”卷积狄利克雷级数D_2（s）在s=1处有极点.作为应用，我们给出了带有显式误差项的$F$的特征值平方部分和的渐近公式。此外，作为一个推论，我们能够证明，（归一化）旋量zeta函数的绝对收敛的横坐标为s = 1。
Large quadratic character sums with multiplicative coefficients
本文在广义黎曼假设下，研究了具有乘法系数的二次狄利克雷特征和的条件大值，并证明了若干Omega结果。
Contractive inequalities for Bergman spaces and multiplicative Hankel forms
考虑单位圆盘上Bergman空间的sharp不等式，建立了类似于Carleman证明的等周不等式和Weissler证明的扩张不等式.利用压缩性和标准张量化方法，得到了狄利克雷级数的Bergman空间的单位圆盘不等式.利用这些结果研究了与狄利克雷级数的Bergman空间相关的加权乘性Hankel型，再现了与狄利克雷级数的Hardy空间相关的乘性Hankel型的大部分已知结果.此外，我们发现这两种类型的形式之间的直接关系，不存在于较低的维度。最后，我们给出了无限多圆盘上Carleson测度的反例。
Limit theorems for random Dirichlet series with summation over primes, with an application to Rademacher random multiplicative functions
证明随机狄利克雷级数在s→0+时的泛函中心极限定理和重对数律，并应用于Rademacher随机乘性函数的对数。
Truncated convolution of Möbius function and multiplicative energy of an integer $n$
本文建立了默比乌斯函数（记为$M(n,z)$）的截断狄利克雷卷积的矩的一个有趣的上界.我们的结果意味着，$M(n,j)$通常是相当小的$j \in \{1,\dots,n\}$。此外，我们还建立了整数$n$的约数集的乘法能量的估计。
A note on multiplicative automatic sequences, II
我们证明了任何$q$ -自动乘性函数$f:\mathbb{N}\to\mathbb{C}$要么本质上符合狄利克雷字符，或消失的所有足够大的素数。这证实了J. Bell，N. Bruin和M.浣熊侠
Multiplicative chaos from random multiplicative functions
本研究从扭曲斯坦豪斯乘性函数的狄利克雷级数构造乘性混沌测度，通过新颖部分求和技巧证明其普适性，还证明其与GMC测度几乎必然相互绝对连续，统一扩展了Gorodetsky与Wong的相关结果。
Non vanishing of theta functions and sets of small multiplicative energy
令$χ$在$(p-1)/2$上的偶数Dirichlet特征标模一个素数$p$上的范围，并用$θ(x,χ)$表示相关的θ级数。Louboutin和作者证明的二阶和四阶矩的渐近性态意味着至少存在$ \gg p/ \log p$特征，使得相关的θ函数在不动点不为零.构造一个合适的软化子，我们改进了这个结果，证明了至少存在$ \gg p/ \sqrt{\log p}$特征，使得对于任何$x>0$，都存在$θ(x,χ) \neq 0$.对于奇数Dirichlet特征标mod $p$，我们给出了类似的结果.
On multiplicative automatic sequences
我们发现，任何自动乘性序列要么符合狄利克雷字符或同为零时，仅限于整数不可整除的小素数。这回答了Bell，Bruin and Coons的一个问题。Klurman和Kurlberg独立地得到了类似的结果。
Random multiplicative functions: The Selberg-Delange class
设$1/2\leqβ<1$，$p$是一个泛素数，$f_β$是一个支持无平方整数的随机乘法函数，使得$(f_β(p))_{p}$是独立同分布的.分布为$\mathbb{P}(f(p)=-1)=β=1-\mathbb{P}(f(p)=+1)$的随机变量序列。令$F_β$是$f_β$的狄利克雷级数。我们证明了一个公式，涉及保测变换，涉及黎曼$ζ$功能与狄利克雷级数的$F_β$，一定值的$β$，并给出了一个应用。进一步证明了Riemann假设与$f_β$的某个加权部分和的平均行为有关。
A note on multiplicative automatic sequences
我们证明了任何$q$ -自动完全乘性函数$f:\mathbb{N}\to\mathbb{C}$本质上与一个Dirichlet特征标一致。这回答了J. P. Allouche和L. Goldmakher的一个猜想，证实了J. Bell，N. Bruin和M.完全乘性函数的Coons。此外，假设在数论中有两个标准假设，这些方法允许去除完备性的假设。
Large values of character sums with multiplicative coefficients
本文研究了带乘性系数的Dirichlet字符和的大值，并在特定区域证明了一个Omega结果。
Dirichlet $L$-functions on the critical line and multiplicative chaos
本文证明随机 Dirichlet 特征对应的 L 函数在临界线上收敛到与高斯乘性混沌相关的随机分布，与 zeta 函数随机平移的极限一致。
Multiplicative mimicry and improvements of the Polya-Vinogradov inequality
研究了系数完全乘法且属于复单位圆盘的指数和。我们的主要结果表明，这样的总和有实质性的取消，除非系数函数本质上是一个狄利克雷字符。作为应用，我们改进了目前奇阶特征和的界。在广义黎曼假设的条件下，得到了奇阶特征和的最佳可能界。
Multiplicative Arithmetic Functions of Several Variables: A Survey
本文综述了多元乘法算术函数及相关卷积的一般性质，包括狄利克雷卷积和酉卷积。我们引入并研究了一种新的卷积，称为gcd卷积。根据卷积的不同类型，定义并研究了多元算术函数的卷积。讨论了多重狄利克雷级数和Bell级数，给出了由数论、群论和组合学中的一些特殊乘性函数的算术和渐近结果.给出了一个新的证明，得到了具有两两互素分量的正整数有序$r$ -元组集合的渐近密度，并考虑了一个与酉因子有关的类似问题.
Large character sums with multiplicative coefficients
本文研究带乘法系数的狄利克雷特征和的大值，在特定区间内证明了新的 Omega 结果。
Friable averages of oscillating multiplicative functions
本文研究了狄利克雷级数接近黎曼ζ函数负幂的算术函数的脆弱平均值，获得了类似Selberg-Delange方法的渐近展开，并应用于截断求和。
Dirichlet series for complex powers of the Riemann zeta function
为了得到黎曼ζ函数的复幂的狄利克雷级数，我们定义并研究了多项式序列的基本性质，该多项式序列用作半平面$x > 1$中的黎曼ζ函数的狄利克雷级数的相应项的系数，产生所需的指数函数。与[4]中描述的方法不同，p.~ 278），这需要更先进的知识之间的关系狄利克雷级数和乘法算术函数，我们的方法只需要数学归纳法的总素除子因子的$n$，狄利克雷产品和使用的分析性质特性的指数函数在复平面。
Modified Dirichlet character sums over the $k$-free integers
本文研究 $k$-自由整数上 $\pm 1$ 乘法函数部分和的抵消量，在二次狄利克雷 $L$-函数黎曼假设下，对修正二次狄利克雷特征证明了 $x^{1/(k+1)}$ 的抵消，改进了已有条件结果。
On Dirichlet series and functional equations
狄利克雷级数有许多显式的估计。它们大多数都是通过相同的方法构造的：通过取狄利克雷级数与已知欧拉乘积表示的乘积或幂。本文给出了函数方程$L(s-wf)=\exp(f)$的解$f=f(s,w)$的狄利克雷级数表示，其中$L(s)$是对应于一个完全乘性函数的L-函数.我们的结果似乎是众所周知的幂级数拉格朗日-布尔曼公式的狄利克雷级数模拟。证明是概率的性质，是基于肯德尔的身份，这是在波动理论的莱维过程。
On the regularized products of some Dirichlet series
本文证明了某些Dirichlet级数的正则化行列式具有乘性，并以此为应用推广了Lerch公式和Euler关于平方倒数和的公式，同时恢复了Kurokawa与Wakayama的结果。
Shifted Character Sums with Multiplicative Coefficients, II
设$f(n)$是一个乘法函数，其中$|f(n)|\leq 1, q$是一个素数，$a$是一个整数，其中$(a, q)=1, χ$是一个模$q$的非主Dirichlet特征标.设$\varepsilon$是一个足够小的正常数，$A$是一个大常数，$q^{\frac12+\varepsilon}\ll N\ll q^A$。本文证明了$$ \sum_{n\leq N}f(n)χ(n+a)\ll N\frac{\log\log q}{\log q} $$和$$ \sum_{n\leq N}f(n)χ(n+a_1)\cdotsχ(n+a_t)\ll N\frac{\log\log q}{\log q}, $$，其中$t\geq 2, a_1, \ldots, a_t$是模$q$的不同整数.
On multiplicative functions which are small on average and zero free regions for the Riemann zeta function
在这个简短的说明中，我们证明了以下结果：如果一个完全乘法函数$f:\mathbb{N}\to[-1,1]$是小的意义下，$\sum_{n\leq x}f(n)\ll x^{1-δ}$，对于一些$δ>0$，如果Dirichlet级数$f$，说$F(s)$，是这样的$F(1)=0$，那么我们得到，对于任何$ε>0$，$\sum_{p\leq x}(1+f(p))\log p\ll x^{1-δ+ε}$。而且，这种$f$存在的必要条件是黎曼ζ函数$ζ(s)$在半平面$Re(s)>1-δ$中没有零点。
A Fejér--Riesz inequality for Dirichlet series
本文证明了狄利克雷多项式的Fejér–Riesz不等式，推导得出狄利克雷级数哈代空间\\(\mathscr{H}^1\\)中对应级数的不等式，解答了文献问题并证明乘法希尔伯特矩阵有界符号。
Correlations of multiplicative functions with automorphic L-functions
设$λ_ϕ(n)$是${\rm SL}_2(\mathbb Z)$上的Hecke全纯或Hecke-Maass尖点形式的Fourier系数，$f$是满足两个温和假设的乘法函数.在$0<|h|\ll X$中，我们建立了相关性$\sum_{n \leq X}f(n)λ_ϕ(n+h)$一致的非平凡上界。作为应用，我们考虑了一些特殊情况，包括$λ_π(n), \,μ(n)λ_π(n)$和任何除数有界的乘法函数。这里，$λ_π(n)$表示对于自守不可约尖点表示$π$的自守$L$ -函数$L(s,π)$的$\text{GL}_m$的$n$ -th狄利克雷系数，并且$μ(n)$表示莫比乌斯函数。特别是，第一次在${\rm GL}_m\times {\rm GL}_2\, (m\geq 4)$和假设C上实现了移位卷积问题的一些节省。
Shifted Character Sums with Multiplicative Coefficients
设$f(n)$是一个满足$|f(n)|\leq 1$的乘法函数，$q$ $(\leq N^2)$是一个素数，$a$是一个具有$(a,\,q)=1$的整数，$χ$是一个模$q$的非主Dirichlet特征标.本文将证明$$ \sum_{n\leq N}f(n)χ(n+a)\ll {N\over q^{1\over 4}}\log\log(6N)+q^{1\over 4}N^{1\over 2}\log(6N)+{N\over \sqrt{\log\log(6N)}}. $$我们还将证明\begin{align*} &\sum_{n\leq N}f(n)χ(n+a_1)\cdotsχ(n+a_t)\ll {N\over q^{1\over 4}}\log\log(6N)\\ &\quad+q^{1\over 4}N^{1\over 2}\log(6N)+{N\over \sqrt{\log\log(6N)}}, \end{align*}其中$t\geq 2$，$a_1,\,\cdots,\,a_t$是模$q$的两两不同的整数.
On the analytic continuation of Dirichlet series with missing digits
本文研究了缺失特定数字的狄利克雷级数的解析延拓，证明其与坎托集的矩生成函数存在关系，并将残差视为广义伯努利数。
Additive divisor problem for multiplicative functions
令$τ$表示除数函数，$f$是满足一些温和假设的任何乘法函数。建立了移位卷积和$\sum_{n \leq X}f(n)τ(n-1)$的渐近公式或非平凡上界。我们还得到了几个应用程序的乘性函数的自守上下文中，包括功能$λ_π(n), \,μ(n)λ_π(n)$和$λ_ϕ(n)^l$。这里$λ_π(n)$表示$\text{GL}_m$自守$L$ -函数$L(s,π)$的$n$次狄利克雷系数对于自守不可约尖点表示$π$，$λ_ϕ(n)$表示全纯或马斯尖点形式$ϕ$在${\rm SL}_2(\mathbb Z)$上的$n$次傅立叶系数，$μ(n)$表示莫比乌斯函数。我们提出两个不同的论点。第一个主要依赖于二元加法除数问题的一致估计，而第二个是基于最近的估计Bettin-Chandee三线性形式的Kloosterman分数。此外，Bourgain-Kátai-Sarnak-Ziegler准则和Linnik的色散方法都被用于这两个参数。
Expanding translates of curves and Dirichlet-Minkowski theorem on linear forms
我们证明了由Minkowski提出的关于同时丢番图逼近的Dirichlet定理的乘法形式，对于R^k上任何不包含在适当仿射子空间中的解析曲线上的几乎所有点都不能得到改进。达文波特和施密特在60年代末发起了这样的调查。通过证明R^{k+1}中幺模格的齐性空间上的曲线的展开平移序列在极限上是等分布的，从而解决了丢番图问题.我们使用Ratner定理的单幂流，线性化技术，和一个新的观察交织的线性动力学的各种SL（m，R）的SL（k+1，R）。
Bounded Exponential Sums with Multiplicative Coefficients
研究具有乘法系数的指数和有界条件，证明其仅在函数接近扭曲狄利克雷字符时成立，并对完全乘法函数和无理数α进行了完整分类。
Submanifold-genericity of $\mathbb{R}^d$-actions and uniform multiplicative Diophantine approximation
本文为$\mathbb{R}^d$-作用证明了涉及膨胀子流形平均的新遍历定理，给出有效混合假设下的误差项定量估计，并据此研究了实系数矩阵的乘性Dirichlet可改进性，证明了几乎所有矩阵的一致逼近性，提出了Littlewood猜想的强化问题。
A logarithmic structure theorem for multiplicative functions with small partial sums
本文研究了具有小部分和的乘法函数，证明了存在参数m和Q_j，使得在特定区间内关于f(p)的实部求和有界，并将参数与狄利克雷级数零点位置相关联。
$Ω$-bounds for the partial sums of some modified Dirichlet characters II
本文研究修正Dirichlet特征的部分和下界问题，通过结合解析数论、调和分析、Baker对数线性型理论与模1均匀分布序列偏差界工具，证明了本原特征下例外素数集合$S$对应部分和的$\Omega$型下界，推进了相关猜想的研究进展。
$L^1$ means of exponential sums with multiplicative coefficients. I
本研究改进了带Liouville函数和Möbius函数系数的指数和$L^1$范数的下界，通过利用系数与Dirichlet $L$-函数零点的联系统一两种情形的证明，并将在后续论文中推广至一般乘性函数。
An additive application of the resonance method
本文利用共振方法改进了Soundararajan关于正傅里叶系数三角多项式的Omega结果，在格点问题（如Dirichlet除数问题和Gauss圆问题）中得到了更优的极值结果，并展示了共振方法在加法问题中的应用。
The eñe product over a commutative ring
定义交换环上多项式与形式幂级数的eñe积，研究其代数性质及与对称函数、张量积、Hecke算子的关系，并应用于Riemann zeta函数零点统计和Riemann假设。
Partition-theoretic formulas for arithmetic densities, II
在早期的工作推广1977年定理的阿拉迪，作者证明了一个分区理论公式计算算术密度的某些子集的正整数$\mathbb N$作为极限值的$q$ -系列作为$q\to ζ$单位根（而不是使用通常的狄利克雷级数计算密度），取代乘法结构的$\mathbb N$类似结构的整数分区$\mathcal P$。在最近的工作中，王获得了广泛的推广阿拉迪的原始定理，其中素数子集的算术密度计算为由狄利克雷卷积产生的狄利克雷级数的值。在这里，作者证明了王的扩展有一个分区理论的类似物，以及产生新的$q$系列密度公式的任何子集的$\mathbb N$。要做到这一点，我们概述了理论的$q$ -系列密度计算的第一原则，基于一个统计，我们称之为“$q$ -密度”的一个给定的子集。这个理论反过来又产生了无穷多个算术密度的进一步公式。
Zeros of partial sums of $L$-functions
考虑一类乘法函数$f: \mathbb N \rightarrow \mathbb C$ .设$F(s)= \sum_{n=1}^\infty f(n)n^{-s}$为相应的Dirichlet级数，$F_N(s)= \sum_{n\le N} f(n)n^{-s}$为截断的Dirichlet级数。在这种情况下，我们得到新的Halász型结果的对数平均值的$f$。更确切地说，我们证明估计的总和$\sum_{n=1}^x f(n)/n$的大小$|F(1+1/\log x)|$，并表明这些估计是尖锐的。作为我们的平均值估计的结果，我们建立非平凡的零自由区域，这些部分和$F_N(s)$。特别地，我们研究了数域$K$的Dedekind zeta函数的部分和的零分布。更准确地说，我们给出了一些改进的结果，零的数量高达高度$T$以及新的零密度结果的零的数量高达高度$T$，躺在右边的$\Re(s) =σ$，其中$σ> 1/2$。
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