狄利克雷级数的Fejér–Riesz不等式
A Fejér--Riesz inequality for Dirichlet series
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中文总结 AI 辅助
本文证明了狄利克雷多项式的Fejér–Riesz不等式，推导得出狄利克雷级数哈代空间\\(\mathscr{H}^1\\)中对应级数的不等式，解答了文献问题并证明乘法希尔伯特矩阵有界符号。
中文摘要 AI 辅助
我们证明了狄利克雷多项式的如下不等式：\\(\int_0^1 |f(1/2+\sigma)|\\,d\sigma\lesssim \lim_{T\to\infty} \frac{1}{2T} \int_{-T}^T |f(it)| \\, dt\\)。特别地，对于属于狄利克雷级数哈代空间\\(\mathscr{H}^1\\)的狄利克雷级数\\(f(s) = \sum_{n\geq 1} a_n n^{-s}\\)，有\\(\left|a_1+\sum_{n=2}^\infty \frac{a_n}{\sqrt n\log n}\right| \lesssim \\|f\\|_{\mathscr{H}^1}\\)。这解答了文献中此前提出的一个问题，且证明了乘法希尔伯特矩阵具有有界符号。
英文摘要
We prove the following inequality for Dirichlet polynomials: \[ \int_0^1 |f(1/2+σ)|\,dσ\lesssim \lim_{T\to\infty} \frac{1}{2T} \int_{-T}^T |f(it)| \, dt. \] In particular, for a Dirichlet series $f(s) = \sum_{n\geq 1} a_n n^{-s}$ belonging to the Hardy space $\mathscr{H}^1$ of Dirichlet series, \[ \left|a_1+\sum_{n=2}^\infty \frac{a_n}{\sqrt n\log n}\right| \lesssim \|f\|_{\mathscr{H}^1}. \] This answers a question raised previously in the literature and it proves that the multiplicative Hilbert matrix has a bounded symbol.
