Interaction of 3 solitons for the GKdV-4 equation
Georgy Omel'yanov
我们描述了一种构造不可积方程多孤子渐近解的方法。一般的想法实现的情况下，三波和KdV型方程的非线性$u^4$。简要回顾了渐近方法以及数值模拟的结果。
We describe an approach to construct multi-soliton asymptotic solutions for non-integrable equations. The general idea is realized in the case of three waves and for the KdV-type equation with nonlinearity $u^4$. A brief review of asymptotic methods as well as results of numerical simulation are included.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
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Multi-soliton solutions for the supercritical gKdV equations
对于L^2次临界和临界（gKdV）方程，Martel证明了多孤子的存在性和唯一性。回想一下，对于任何N个给定的孤子，我们称多孤子为（gKdV）的解，它的行为是这N个孤子之和随着时间的推移渐近无穷大。最近，对于L^2超临界情形，科特、马特尔和梅尔证明了至少存在一个多孤子。在本文中，建议由以前的工作有关的一个孤立子的情况下，我们首先构建了一个N-参数族的多孤子的超临界（gKdV）方程，任意给定的N个孤立子，然后证明任何多孤子属于这个家庭。换句话说，我们得到了（gKdV）的多孤子的完整分类。
Construction of multi-soliton solutions for the L2-supercritical gKdV and NLS equations
多孤子解，即表现为N个给定孤子之和的解$t\to +\infty$，在以前的工作中被构造为L2临界和亚临界（NLS）和（gKdV）方程。在本文中，我们扩展到L2超临界情况下（gKdV）和（NLS）方程的多孤子解的建设，使用拓扑参数来控制不稳定的方向。
Stability of two soliton collision for nonintegrable gKdV equations
我们继续研究了亚临界广义KdV方程中两个孤子的碰撞。在以前的论文中，主要致力于四次gKdV方程的情况下，我们已经引入了一个新的框架来理解碰撞的两个孤子的情况下，其中一个孤子相对于其他小。在本文中，我们考虑的情况下，一般的非线性$f(u)$的两个孤子是非线性稳定的。我们证明了在这种情况下，两个孤子的生存，我们描述的碰撞的主要订单。
Inelastic interaction of nearly equal solitons for the quartic gKdV equation
本文给出了四次（gKdV）方程中两个速度几乎相等的孤子相互作用的完整描述。通过构建一个近似解的问题，我们证明，在主阶，两个孤子被保存的相互作用，并为所有的时间，他们分开了一个大的距离，在这种情况下的可积KdV方程在这个政权。然而，与可积的情况不同，我们证明了碰撞不是完全弹性的。
Description of two soliton collision for the quartic gKdV equation
本文研究了四次广义Korteweg-de Vries方程中两个孤子的碰撞问题。我们引入了一个新的框架来描述碰撞的特殊情况下，其中一个孤子是小的相对于其他。我们证明了两个孤子在碰撞后仍然存在，我们描述了碰撞现象（计算了孤子的一阶位移）。此外，我们证明了在这种情况下，不存在纯的两孤子解。
Codimension one threshold manifold for the critical gKdV equation
我们构造了质量临界gKdV方程孤子附近的“阈值流形”，完成了arXiv：1204.4625和arXiv：1204.4624中的结果。在孤立子的邻域中，余维为1的C1流形将有限时间内爆破的解和“出口区”中的解分开。在流形上，解在时间上是全局的，并且局部收敛到孤子。特别是，孤子行为是强烈不稳定的爆破。
Stability and asymptotic stability in the energy space of the sum of N solitons for subcritical gKdV equations
本文证明了次临界广义KdV方程$u_t+(u_{xx}+u^p)_x=0$（1<p<5）的N个解耦合和在H^1中的稳定性和渐近稳定性.稳定性结果的证明是基于能量变元和局部L^2范数的单调性。注意，即使p=2（KdV方程），结果也是新的。渐近稳定性的结果则直接从[15]中的刚性定理得出。
Construction and characterization of solutions converging to solitons for supercritical gKdV equations
我们考虑超临界情形下的广义Korteweg-de Vries方程，我们感兴趣的是在H^1中大时间收敛到孤子的解。在亚临界情况下，变分刻画强迫这种解是精确孤子，但在超临界情况下不存在这样的结果。在本文中，我们首先构造了一个“特殊的解决方案”在这种情况下的紧性参数，即一个解决方案，收敛到一个孤立子，而不是孤立子。其次，利用Pego和Weinstein关于孤立子周围线性化算子谱的描述，构造了一个单参数的特解族，它刻画了所有这些特解.
On the nonexistence of pure multi-solitons for the quartic gKdV equation
我们考虑四次（不可积）（gKdV）方程。设u（t）是方程的一个输出2-孤子，即对于大的正时间，解的行为正好是两个速度为c1和c2的孤子之和。在arXiv：0910.3204中，对于几乎相等的孤子，解u（t）在时间和空间中的任何地方都被计算到一定数量级的ε =1-c2/c1。特别地，我们推导出了u（t）在大负时间下不是多孤子，证明了在这种情况下纯多孤子的不存在性.在本文中，我们证明了相同的结果为一个显式的速度范围：3/4 c1< c2< c1，通过不同的方法，这不再需要精确的描述的解决方案。事实上，对于任意N>1的N-孤子，在速度的明确假设下，不存在性结果成立，这是N=2条件的自然推广。
Construction of three-solitons with logarithmic distance for the mass-critical gKdV equations
本文证明质量临界广义KdV方程存在具有对数相对距离和符号$(+,-,-)$的三孤子解，其存在性依赖于非线性相互作用生成的ODE系统的可解性，且动力学受强相互作用主导。
Dynamics of soliton-like solutions for slowly varying, generalized gKdV equations: refraction vs. reflection
在这项工作中，我们继续描述一些缓慢变化的，亚临界gKdV方程的类孤子解。在这个机会中，我们几乎完全描述了允许的行为：要么孤子被折射，要么它被反射的潜力，这取决于它的初始能量。这最后一个结果描述了一种新的类型的类孤子解的gKdV方程，也存在于NLS的情况下。此外，我们证明了解决方案是不纯的无穷远，不同于标准的gKdV孤子。
Blow up for the critical gKdV equation I: dynamics near the soliton
我们充分重温近孤子动力学的质量临界（gKdV）方程。在第一部分中，对于一类接近孤立子的初始数据，我们证明了只会发生三种情况：（吹）解在有限时间$T$中以速度$1/(T-t)$的普适状态爆破;（SOLITON）解是全局的，并且在大时间内收敛到孤立子;（退出）解将调制孤立子族的任何小邻域保留在尺度不变的$L^2$范数中。证明了（BLOW UP）和（EXIT）两种机制是稳定的。我们还表明，在这一类中，任何非正能量的初始数据（孤子除外）产生有限时间爆破，从而获得分类的孤波在零能量。在第二部分中，我们通过证明最小质量爆破解$S(t)$的存在性和唯一性（直到方程的不变性）来对最小质量爆破进行分类。我们还完整地描述了$S(t)$的爆破行为。其次，我们证明了$S(t)$是在（EXIT）情况下的通用吸引子，即在（EXIT）情况下的任何上述解在退出时刻接近于$L^2$中的$S$（直到不变性）。特别地，假设$S(t)$在大的正时间内发生散射，我们得到了（EXIT）情形下的任何解也发生散射，从而实现了近孤子动力学的描述。
Strongly interacting multi-solitons with logarithmic relative distance for gKdV equation
我们考虑一类具有质量亚临界（$2< p<5$）和质量超临界（$p> 5$）非线性的（gKdV）型$$\partial_t u + \partial_x (\partial_x^2 u + |u|^{p-1}u) = 0, \quad p\mbox{ integer},\quad t,x \in \mathbb{R}$$方程.证明了具有对数相对距离的2-孤波解的存在性，即解$u(t)$满足\[\left\|u(t)- \bigg( Q (\cdot - t - \log (ct)) + σQ (\cdot - t + \log (ct))\bigg)\right\|_{H^1}\to 0 \ \ \mbox{as} \ \ t\to +\infty,\]，其中$c=c(p)> 0$是一个固定常数，在亚临界情况下满足$σ= -1$，在超临界情况下满足$σ= 1$.对于可积情形（$p=3$），这种解是由可积性理论已知的。这种机制对应于强吸引力的相互作用。对于亚临界$p$，已知相反符号的行波是有吸引力的。对于超临界$p$，我们从计算中得出相同符号的行波是有吸引力的。
Self-similar solutions to super-critical gKdV
构造了超临界广义KdV方程的自相似有限能量解。这些自相似的解决方案分叉作为一个功能的指数$p$从孤子在$L^2$临界指数。
Blow up for the critical gKdV equation II: minimal mass dynamics
我们充分重温近孤子动力学的质量临界（gKdV）方程。在第一部分中，我们证明了只有三种情况可能发生：（爆破）的解决方案在有限时间$T$在一个普遍的制度与速度$1/(T-t)$爆破;（孤子）的解决方案是全球性的，并在大的时间收敛到一个孤子;（退出）的解决方案离开任何小的调制家庭的孤子的比例不变$L^2$规范。证明了（BLOW UP）和（EXIT）两种机制是稳定的。我们还表明，在这一类中，任何非正能量的初始数据（孤子除外）产生有限时间爆破，从而获得分类的孤波在零能量。在第二部分中，我们通过证明最小质量爆破解$S(t)$的存在性和唯一性（直到方程的不变性）来对最小质量爆破进行分类。我们还完整地描述了$S(t)$的爆破行为。其次，我们证明了$S(t)$是在（EXIT）情况下的通用吸引子，即在（EXIT）情况下的任何上述解在退出时刻接近于$L^2$中的$S$（直到不变性）。特别地，假设$S(t)$在大的正时间内发生散射，我们得到了（EXIT）情形下的任何解也发生散射，从而实现了近孤子动力学的描述。
Inelastic character of solitons of slowly varying gKdV equations
本文讨论了一类慢变gKdV方程孤子的非弹性性质。我们给出了精确的下界，在能量空间中，缺陷引起的潜在的解决方案，随着时间走向无穷大。对于证明，我们认为合适的李雅普诺夫泛函传播的缺陷沿动态在一个非平凡的方式，在精神上的Martel和Merle最近取得的突破的情况下，两个孤子碰撞不可积的gKdV方程。此外，我们还考虑了一个特殊的，退化的情况下，缺陷是正式的二阶。
Asymptotic stability of solitons of the gKdV equations with general nonlinearity
考虑广义Korteweg-de Vries方程\partial_t u + \partial_x（\partial_x^2 u + f（u））=0，\quad（t，x）\in [0，T）\times \mathbb{R}，（1）具有一般的$C^3$非线性$f$ .在$f$和$c>0$的显式条件下，在能量空间$H^1$中存在$u(t,x)=Q_c(x-x_0-ct)$型的解，称为孤子。本文在对$f$和$Q_c$的一般假设下，证明了$Q_c$周围的孤子解族在$H^1$中在某种局部意义下是渐近稳定的，即如果$u(t)$接近于$Q_{c}$（对所有的$t\geq 0$），则$u(t)$在能量空间中局部收敛于某个$Q_{c_+}$，成为$t\to +\infty$ .特别要注意的是，我们并没有假设$Q_{c}$的稳定性。该结果基于能量空间中方程（1）围绕$Q_{c}$的刚性性质，其证明依赖于对偶问题的引入。这些结果推广了以往研究纯幂情形的主要结果。
On the inelastic 2-soliton collision for gKdV equations with general nonlinearity
本文研究了广义Korteweg-de Vries方程的2-孤子碰撞问题，完成了Y. Martel和F.莫尔我们分类的非线性碰撞是弹性的或非弹性的。我们的主要结果表明，在小孤子的情况下，与一个孤子小于另一个，唯一的非线性允许一个完美的弹性碰撞正是可积的情况下，即二次（KdV），三次（mKdV）和加德纳非线性。
Refined asymptotics around solitons for gKdV equations
本文研究了具有广义$C^2$非线性项$f$的广义Korteweg-de Vries方程$$ \partial_t u + \partial_x (\partial_x^2 u + f(u))=0, \quad (t,x)\in [0,T)\times \mathbb{R}$$.在$f$和$c>0$的显式条件下，能量空间$H^1$中存在$u(t,x)=Q_c(x-x_0-ct)$型解，称为孤子。$Q_c$的稳定性理论是众所周知的。在以前的工作中，我们已经证明了，对于$f(u)=u^p$，$p=2,3,4$，孤子族在$H^1$中在某种局部意义上是渐近稳定的，即如果$u(t)$接近于$Q_{c}$（对于所有$t\geq 0$），那么对于某些$c^+\sim c$，$u(t,.+ρ(t))$在能量空间中局部收敛到某些$Q_{c_+}$作为$t\to +\infty$。然后，渐近稳定性的结果可以推广到$f$和$Q_c$的一般假设的情况。本文件的目的有两个。主要目的是证明在附加假设$x_+ u\in L^2$下，$f(u)=u^p$、$p=2,3,4$、$ρ(t)-c_+ t$具有与$t\to +\infty$相同的极限的情况下。本文的第二个目的是提供两个孤子解的大时间稳定性和渐近稳定性的结果的情况下，一般的非线性$f(u)$，当孤子的速度之比是小的。的动机是陪同即将到来的作品致力于碰撞的两个…
Local well-posedness and blow up in the energy space for a class of L2 critical dispersion generalized Benjamin-Ono equations
我们考虑一族色散广义Benjamin-Ono方程（dgBO），它在临界修正方程（BO）和临界广义Korteweg-de Vries方程（gKdV）之间具有临界L2范数和插值性.首先，我们证明了这些方程在能量空间中的局部适定性，推广了Kenig，Ponce和Vega关于（gKdV）方程的结果。其次，我们解决的精神，工作的Martel和Merle的临界（gKdV）方程的爆破问题，通过研究的刚性性质的（dgBO）流在附近的孤子。我们证明了当模型接近临界（gKdV）时，接近孤子的负能量解在能量空间中的有限或无限时间内爆破。爆破证明需要特别的扩展（dgBO）的单调性结果的本地化版本的L2范数的伪微分算子工具。
Blow up for the critical gKdV equation III: exotic regimes
我们考虑在能量空间中的临界（gKdV）方程在第一部分和第二部分的延续爆破问题。从第一部分我们知道，在右边强衰变孤子附近的解的唯一稳定的爆破速率是$1/t$。在本文中，我们构造非通用的爆破制度的能量空间考虑的初始数据与空间中的权利明确缓慢衰减。我们得到了有限时间爆破解的速度$t^{-ν}$，其中$ ν>11/13,$以及全球的时间增长的解决方案与指数增长性或权力的增长。这些解可以用任意接近基态孤波的初始数据来获得。
Symmetry reduction and soliton-like solutions for the generalized Korteweg-de Vries equation
我们分析的gKdV方程，广义版本的Korteweg-de Vries与任意函数$f(u)$。一般来说，对于一个函数$f(u)$，gKdV的对称李代数是平面$xt$平移的$2$维李代数.这意味着平面波解的存在。实际上，对于$f(u)$的某些特定值，方程gKdV允许维数大于$2$的对称性的李代数。我们计算对应于这些例外对称的相似性约简。我们证明了gKdV方程在某些一般假设下存在类孤子解，并得到了双曲正割型平面波解的封闭公式。
On the asymptotic dynamics for the $L^2$-supercritical gKDV equation
本文研究了 $L^2$-超临界gKdV方程的渐进行为，通过统一描述非孤子区域，揭示了渐进行为由梯度 $L^2$ 范数增长决定，并建立了远场衰减和归一化局部消失的精确结果。
Instability of solitons in the 2d cubic Zakharov-Kuznetsov equation
本文考虑二维Korteweg-de Vries方程的推广，即广义Zakharov-Kuznetsov（ZK）方程，$u_t + \partial_{x_1}(Δu + u^p) = 0, (x_1,x_2) \in \mathbb{R}^2$ .已知孤子对于非线性项$p < 3$是稳定的，而对于$p > 3$是不稳定的。$L^2$ -临界情况下的$p=3$已经公开，本文证明了孤子是不稳定的立方ZK方程。这与Martel和Merle在2001年[22]中证明的临界gKdV方程相匹配。虽然一般策略遵循[22]，但二维情况下会产生一些困难，为了解决这些困难，我们设计了一个新的维里型量，重新审视单调性性质，最重要的是，开发了新的逐点衰减估计，这在其他情况下也很有用。
On the soliton dynamics under a slowly varying medium for generalized KdV equations
研究了一类广义Korteweg-de Vries方程（gKdV）在慢变介质中的孤子传输问题。研究了非均匀性对标准孤子动力学的影响。我们证明了慢变介质在大时间内对孤子解产生大的色散效应。此外，与gKdV方程，我们证明了没有纯孤子解决方案，在这个政权。
Non dispersive solutions of the generalized KdV equations are typically multi-solitons
我们考虑广义Korteweg-de Vries方程（gKdV）的解，它在某种意义上（在[18]的精神中）是非色散的，并且仍然接近于多孤子。我们证明了这些解必然是纯多孤子。特别是对于Korteweg-de Vries方程（KdV）和修正的Korteweg-de Vries方程（mKdV），我们得到了多孤子和多呼吸子的非色散特性。
Error bounds for Physics Informed Neural Networks in Generalized KdV Equations placed on unbounded domains
本文通过物理信息神经网络和Kenig-Ponce-Vega范数，研究了在无限域上求解广义Korteweg-de Vries方程的误差界及近似方法。
Construction of two-bubble blow-up solutions for the mass-critical gKdV equations
研究质量临界gKdV方程的全局解在无限时间破裂，并趋近于两个相位相反的泡的和，采用改进的近似解和对溶iton与非局域型的相互作用的深入理解。
Inelastic interaction of nearly equal solitons for the BBM equation
本文研究了（BBM）方程中两个速度近似相等的孤子的相互作用。这项工作是arXiv：0910.3204中由相同作者获得的结果的扩展，解决了四次（gKdV）方程的相同问题。首先，我们证明了这两个孤子的相互作用，并为所有的时间，他们分开了一个大的距离，在这种情况下的可积（KdV）方程在这个政权。其次，我们证明了碰撞不是完全弹性的，除了在可积的情况下（即在（KdV）方程的极限情况下）。
On the proximal dynamics between integrable and non-integrable members of a generalized Korteweg-de Vries family of equations
研究通过估计可积与非可积广义KdV方程组解的距离，发现通过旋转效应可减少动力学偏差，揭示了长时间尺度下的持续性。
On asymptotic dynamics for $L^2$ critical generalized KdV equations with a saturated perturbation
本文考虑了具有饱和扰动的$L^2$临界gKdV方程：$\partial_t u+(u_{xx}+u^5-γu|u|^{q-1})_x=0$，其中$q>5$和$0<γ\ll1$ .对于任何初始数据$u_0\in H^1$，相应的解在$H^1$中总是全局有界的.该方程中存在一族孤子，我们的目标是对孤子附近的动力学进行分类。在适当的衰减假设下，只有三种可能性：（i）解渐近收敛到一个孤立波，其$H^1$模的大小为$γ^{-2/(q-1)}$，如$γ\rightarrow0$ ;（ii）解总是在调制孤立波族的一个小邻域内，但在$+\infty$处向下吹;（iii）该解留下了孤立波调制族的任何小邻域。这扩展了Martel、Merle和Raphaël对未扰动$L^2$临界gKdV（对应于$γ=0$）的基态附近刚性动力学的分类。然而，吹落行为（ii）是全新的，饱和方程的动力学不能被视为扰动的$L^2$临界动力学的未扰动方程。这是第一个例子分类的动态近基态饱和方程在这种情况下。预期分类结果相似的$L^2$临界NLS和$L^2$超临界gKdV病例完全开放。
Inelasticity of soliton collisions for the 5D energy critical wave equation
对于5D中的聚焦能量临界波动方程，我们构造了一个解，它显示了除标度相同、符号相反的两个孤子的特殊情况外，任何两个孤子碰撞的非弹性性质。除了它自己的兴趣作为一个不可积模型的孤子碰撞的第一个严格的研究，四次gKdV方程的情况下被部分处理的作者在以前的作品，这一结果可以被看作是一个更广泛的计划的一部分，旨在建立孤子分辨率猜想的临界波动方程。Duyckaerts、Kenig和Merle已经在3D径向情形和3D、4D和5D的一般情形中沿着时间序列建立了这个猜想。研究碰撞的性质需要两孤子问题的精细近似解和精确确定其空间渐近性。为了证明非弹性，将这些渐近性与能量通道法相结合。
On the stability of the solitary waves to the (generalized) kawahara equation
本文研究了五阶色散方程（广义）Kawahara方程（gKW）的孤波轨道稳定性。对于某些非线性项的幂次值，利用Benjamin [3]提出的著名的谱方法和连续性论证，证明了gKW的两支偶孤波在能量空间H2（R）中的轨道稳定性.在Dey等人[8]所发现的gKW的显孤子的邻域内，应用隐函数定理，构造了第一类偶孤子.第二族由低速的均匀行波组成。它们是线上约束最小化问题的解和速度为1的gKdV孤子扰动的重新标度。
Construction of multi-bubble solutions for the critical gKdV equation
证明了质量临界广义Korteweg-de Vries方程$\partial_t u + \partial_x(\partial_{xx} u + u^5) = 0$的解的存在性，对于任意的符号和标度参数：对于任意的$\ell_1>\ell_2>\cdots>\ell_K>0$和$ε_1,\ldots,ε_K\in\{\pm1\}$，存在方程的$H^1$解$u$，使得\[ u(t) - \sum_{k=1}^K \frac {ε_k}{λ_k^\frac12(t)} Q\left( \frac {\cdot - x_k(t)}{λ_k(t)} \right) \longrightarrow 0 \quad\mbox{ in }\ H^1 \mbox{ as }\ t\downarrow 0, \]与$λ_k(t)\sim \ell_k t$和$x_k(t)\sim -\ell_k^{-2}t^{-1}$为$t\downarrow 0$ .建筑使用并扩展了主要由Martel，Merle和Raphaël开发的技术。由于气泡之间的强烈相互作用，它还决定性地依赖于作者在arXiv：1602.03519中证明的最小质量爆破解（单个气泡情况）的尖锐性质。
Asymptotic stability of smooth solitons and multi-solitons for the Camassa--Holm equation
本文研究了 Camassa-Holm 方程中光滑单溶iton 和多溶iton 的渐进行为，通过谱解析和非线性刚性定理证明了其稳定性。
Multi-solitons for nonlinear Klein-Gordon equations
本文研究了R^{1+d}中非线性Klein-Gordon方程（NLKG）多孤子结构的存在性.我们证明了，与（NLKG）孤子的不稳定性无关，对于所有大的正时间，在能量空间H^1 \times L^2中构造一个维数为2N的N-孤子解族是可能的。证明的方法涉及到推广以前的工作超临界NLS和gKdV方程的马特尔，梅尔和第一作者的波的情况下，我们取代了不稳定的模式相关联的线性NLKG运营商的两个广义的方向，控制没有呼吁调制理论。作为一个副产品，我们推广了Grillakis-Shatah-Strauss和Duyckaerts-Merle中描述的线性理论的情况下，提升孤子，并提供了新的解决方案进行研究，使用最近的Nakanishi-Schlag理论。
Dynamics of KdV solitons in the presence of a slowly varying potential
本文研究了扰动KdV（pKdV）方程$\partial_t u = -\partial_x (\partial_x^2 u + 3u^2-bu)$解的孤子动力学，其中$b(x,t) = b_0(hx,ht)$，$h\ll 1$是一个缓变但不小的势.我们选择了一个明确的描述的孤子参数的轨道的规模和位置上的动态相关的时间尺度$δh^{-1}\log h^{-1}$，连同尺寸误差的估计$h^{1/2}$。除了通常应用于这些问题的李雅普诺夫分析外，我们还使用了Martel-Merle（2005）的局部维里估计。结果得到了数值的支持。该证明不依赖于逆散射机制，并有望对$L^2$亚临界gKdV- $p$方程$1<p<5$进行。$p=3$的情况，即修正的Korteweg-de Vries（mKdV）方程，在结构上更简单，并且可以通过Holmer-Zworski（2007）的方法获得更精确的结果。
On the near soliton dynamics for the 2D cubic Zakharov-Kuznetsov equations
本文研究二维三次质量临界 Zakharov-Kuznetsov 方程在孤子附近解的渐近行为，证明解只有离开孤子管状邻域、有限时间爆破或全局存在并局部收敛到孤子三种可能，并借助调制估计和修正能量-virial 泛函给出证明。
Soliton interaction with small Toeplitz potentials for the Szego equation on the real line
我们考虑三次Szego方程扰动的小Toeplitz潜力（自然推广的乘法潜力）和作为初始条件的孤子的未扰动方程。我们证明了该解在很长一段时间内保持了孤子的形状，并确定了孤子的调制参数所满足的有效常微分方程。
Phase-driven interaction of widely separated nonlinear Schrödinger solitons
结果表明，对于一维立方NLS方程，宽间隔的等振幅同相孤子相互吸引，反相孤子相互排斥。我们的结果给出了一个精确的描述的演化的两个孤子有效，直到孤子已经移动了一个距离相当于初始分离的对数。我们的方法不使用逆散射理论，并且应该适用于具有局部非线性的不可积方程，这些方程支持具有指数衰减尾部的孤立子。结果是作为一个特殊的情况下，也解决了，例如，单孤子的动力学受到外力的一般框架。
Modeling soliton-potential interactions for the 1-D cubic NLS via an invariant-preserving finite-difference method
该研究针对带光滑快速衰减空间依赖势的一维三次NLS，采用保质量和能量不变量的有限差分法，对不同入射速度下的孤子-势相互作用进行建模。
Slow soliton interaction with delta impurities
研究了具有δ函数势$ q δ_0 $的Gross-Pitaevskii方程，其中$|q|$较小，并分析了初始条件为初速度为$v_0$的孤子时的解.我们表明，到时间$ (|q| + v_0^2)^{-\frac12} \log(1/|q|) $的大部分解决方案是一个孤立子的自然有效的哈密顿量，$ (ξ^2 + q \sech^2 (x))/2 $根据经典动力学演变。
Stationary Solitons in discrete NLS with non-nearest neighbour interactions
本文研究了扩展的一维离散NLS模型中非最近邻相互作用下的稳态离散孤子构造，通过动力系统方法在参数空间大区域内精确构建了稳定孤子。
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