Upper Bounds on Turán Densities via Extremal Set Theory
Shanghai Center for Mathematical Sciences, Fudan University（复旦大学上海数学中心）；School of Mathematical Sciences, University of Science and Technology of China（中国科学技术大学数学科学学院）
本文系统展示了超图 Turán 问题与极值集合论之间的联系，通过构造一致超图族，将其 Turán 密度的上界归结为极值集合论中的经典问题。
2026-06-01 math.CO
New Turán densities for 3-graphs
如果$\mathcal{F}$是一个图族，则$\mathcal{F}$的Turán密度由$\mathcal{F}$中成员的最小色数决定. 3-图的Turán密度的情况要复杂得多，而且仍然非常不清楚。本文的目的是给出3-图的个体族和有限族的新的精确Turán密度，在许多情况下，我们也能够给出相应的稳定性结果。除了给出Turán密度分别为2/9，4/9，5/9和3/4的个别3-图的新例子外，我们还给出了3-图的有限族的无理Turán密度的例子，从而反驳了Chung和Graham的一个猜想.（皮库尔科用一种完全不同的方法独立地证明了这个猜想是错误的。）在这一领域的一个中心问题，被称为图兰问题，是确定$K_4^{(3)}=\{123,124, 134, 234\}$的图兰密度。图兰表示，这应该是5/9。Razborov [On 3-hypergraphs with forbidden 4-vertex configurations，in SIAM J. Disc. Math.24（2010），946-963]表明，如果我们考虑禁止$K_4^{(3)}$和$E_1$（具有4个顶点和一条边的3-图）的诱导图兰问题，则图兰密度确实是5/9。我们给出了一些新的类似性质的非诱导结果，特别是我们证明了$π(K_4^{(3)},H)=5/9$的3-图$H$满足$π(H)=3/4$。最后，我们提出了一些开…
2012-05-18 math.CO
Intervals of uniform Turán densities
School of Mathematics, Shandong University（山东大学数学学院）；Extremal Combinatorics and Probability Group, Institute for Basic Science（基础科学研究所极值组合与概率组）；School of Mathematical Sciences, University of Science and Technology of China（中国科学技术大学数学科学学院）；Mathematics Institute and DIMAP, University of Warwick（华威大学数学研究所和DIMAP）
该研究证明可能无限的3-图族的均匀Turán密度集合Π₃,∞包含终端区间[1−δ,1]，进而得出其具有正勒贝格测度和豪斯多夫维数1的结论。
2026-08-06 math.CO
Intervals of hypergraph Turán densities
University of Science and Technology of China（中国科学技术大学）；University of Warwick（华威大学）
本文证明了对每个整数r≥3，r-图族的Turán密度集合包含非退化区间，从而回答了Frankl等人2007年的问题，并证明了Hausdorff维数为1。
2026-05-25 math.CO
Generalized Turán densities in the hypercube
一个经典的极值问题，或Turán型问题要求确定${\rm ex}(G, H)$，即不包含与$H$同构的子图的图$G$的子图中的最大边数。Alon和Shikhelman引入了所谓的广义极值数${\rm ex}(G,T,H)$，定义为$G$中不含与$H$同构的子图的与$T$同构的子图的最大个数。在本文中，我们研究的情况下，当$G = Q_n$，超立方体的尺寸$n$，和$T$和$H$是更小的超立方体或循环。
2022-01-23 math.CO
Lagrangians are attained as uniform Turán densities
该研究针对3-图的一致Turán密度展开，证明了所有3-图族的一致Turán密度构成的集合非良序，且任意3-图拉格朗日量的t/6倍（1≤t≤6）都属于该集合，拓展了Turán密度领域的相关结论。
2024-12-10 math.CO
Turán densities for matroid basis hypergraphs
本文研究不含给定均匀拟阵作为子式的拟阵的最大基数目，将其与雏菊超图的Turán数问题联系起来，并对若干特定均匀拟阵给出答案。
2025-03-10 math.CO
Infinitely many accumulation points of codegree Turán densities
Shandong University（山东大学）；Institute for Basic Science（基础科学研究所）
本文证明对于k≥3，(r-1)/r是k图代码度Turán密度集的极限点，推进了Mubayi和Zhao提出的问题。
2026-02-03 math.CO
On possible uniform Turán densities
本文证明有限 3-图族的均匀 Turán 密度集合包含所有优化调色板构造的均匀密度，从而包含 3-图的 Lagrangian 集合及无理数，补充了 Lamaison 关于调色板构造可逼近所有可能值的结果。
2025-05-11 math.CO
Exact Turán densities in triple systems
本文证明了三个3-一致超图的精确Turán密度，证实了Shi的猜想并解答了Mubayi和Rödl提出的非主族问题。
2025-07-10 math.CO
Separating hypergraph Turán densities
本文证明了完全超图的 Turán 密度随顶点数严格递增，并给出区分两个超图 Turán 密度的一般判据，从而解决了组合学中一个长期未决的问题。
2025-02-09 math.CO
The Hypergraph Turán Densities of Tight Cycles Minus an Edge
本文研究紧ℓ-循环删去一条边Cₗ⁻的超图Turán密度，证明ℓ≥5且不被3整除时极值数为1/24 n³+O(n ln n)，并确定了边编辑次数不超过O(n)的极值图。
2024-11-26 math.CO
Turán Densities for Daisies and Hypercubes
本文推翻了 $r$-daisy 的 Turán 密度随 $r$ 趋于无穷而趋于零的猜想，并调整构造进一步推翻了关于超立方体 Turán 密度的民间猜想，证明了其渐近密度的更紧上界。
2024-08-08 math.CO
Improved Sidorenko bound for hypergraph Turan densities
University of Manchester（曼彻斯特大学）；University of Science and Technology of China（中国科学技术大学）
该研究针对r≥3的r-均匀超图，改进了Turán密度的西多连科界，将差距量级从m^(-1)缩小至m^(-(r-1)/r)，并通过完全r-均匀超图验证了指数的最优性，证明采用了部分嵌入的势论证与Lovász局部引理。
2026-10-15 math.CO
Lower bounds for the Turán densities of daisies
对于整数$r \geq 3$和$t \geq 2$，$r$ -uniform $t$ -daisy $\mathcal{D}^t_r$是一个$\binom{2t}{t}$ $r$ -元素集合族，其形式为$$\{S \cup T \ : T\subset U, \ |T|=t \}$$，对于某些集合$S,U$，$|S|=r-t$，$|U|=2t$和$S \cap U = \emptyset$ . Bollobás、Leader和Malvenuto（以及独立的Bukh）推测，$t$ -雏菊的Turán密度满足所有$t \geq 2$的$\lim\limits_{r \to \infty} π(\mathcal{D}_r^t) = 0$;这已成为一个众所周知的问题，并且它仍然对$t$的所有值开放。本文给出了$r$ -一致$t$ -雏菊图的Turán密度的下界.为此，我们引入（并取得一些进展）以下自然问题的加法组合：整数$m \geq 2t \geq 4$，什么是最大基数$g(m,t)$的子集$R$的$\mathbb{Z}/m\mathbb{Z}$，使任何$x \in \mathbb{Z}/m\mathbb{Z}$和任何$2t$ -元素子集$X$的$\mathbb{Z}/m\mathbb{Z}$，有$t$不同的元素$X$的总和是不是在翻译$x+R$？这是一个切片模拟极值希尔伯特立方体问题考…
2023-03-24 math.CO
Turán densities of hypercubes
在本文中，我们描述了一些扩展Razborov的半定旗代数方法。我们将首先展示如何应用该方法显着提高超立方体的边和顶点Turán密度类型结果的上界。然后，我们将介绍一个改进的方法，可以应用在一个更一般的设置，特别是3一致超图，得到一个新的上界为0.5615的$π(K_4^3)$。对于超立方体，我们改进了Kazason和Wagner关于4圈自由子立方体的边Turán密度的上界的结果，使之达到0.60318，改进了Chung关于禁止6圈的结果，使之达到0.36577.我们还证明了$\mc{Q}_3$的顶点Turán密度的上界可以提高到0.76900，并且去掉一个顶点后，$\mc{Q}_3$的顶点Turán密度正好是2/3。
2012-11-13 math.CO
The $\ell$-degree Turán densities of hypergraphs: infinite families and their finite subfamilies
University of Science and Technology of China（中国科学技术大学）；Shandong University（山东大学）
针对超图的$\ell$-度Turán密度，本文证明存在无限族超图满足特定密度性质，其有限子族则不满足，证实了Mubayi和Zhao的相关猜想，还回答了Lo与Markström的问题。
2026-10-14 math.CO
An extension of Motzkin-Straus Theorem to non-uniform hypergraphs and its applications
1965年，Motzkin和Straus在图的最大团的阶和拉格朗日量之间建立了一个显着的联系，并利用这个联系对图兰定理提供了一个新的证明。拉格朗日量和图兰密度的联系也可以用来证明Erdös-Stone-Simonovits关于图的图兰密度的基本定理。最近，非一致超图的Turán密度的研究受到极偏序集问题的启发。本文试图探讨拉格朗日方法在确定非一致超图的Turán密度中的应用。本文首先给出了非一致超图的拉格朗日量的定义，然后将Motzkin-Straus定理推广到边含1或2个顶点的非一致超图。应用它，我们将Erdös-Stone-Simonovits定理推广到边含1或2个顶点的非一致超图.
2013-12-15 math.CO
Turán's problem for trees $T_n$ with maximal degree $n-4$
对于$n\ge 6$，设$V=\{v_0,v_1,\ldots,v_{n-1}\}$，$E_1=\{v_0v_1,\ldots,v_0v_{n-4},v_1v_{n-3},v_1v_{n-2}$，$v_1v_{n-1}\}$，$E_2=\{v_0v_1,\ldots,v_0v_{n-4},v_1v_{n-3},v_1v_{n-2},v_2v_{n-1}\}$，$E_3=\{v_0v_1,\ldots,v_0v_{n-4}$，$v_1v_{n-3},v_2v_{n-2},v_3v_{n-1}\}$，$T_n^3=(V,E_1),\ T_n^{''}=(V,E_2)$和$T_n^{'''} =(V,E_3).$本文给出了$p\ge n\ge 15$的$ex(p;T_n^3)$，$ex(p;T_n^{''})$和$ex(p;T_n^{'''})$的显式公式，其中$ex(p;L)$表示不含$L$作为子图的$p$阶图的最大边数。
2014-10-27 math.CO
Lagrangian densities of short 3-uniform linear paths and Turán numbers of their extensions
对于一个固定正整数$n$和一个$r$ -一致超图$H$，图兰数$ex(n,H)$是无$H$的$r$ -一致超图中$n$顶点上的最大边数，$H$的拉格朗日密度定义为$π_λ(H)=\sup \{r! λ(G) : G \;\text{is an}\; H\text{-free} \;r\text{-uniform hypergraph}\}$，其中$λ(G)$是$G$的拉格朗日.对于一个$r$ -一致超图$H$在$t$的顶点上，显然$π_λ(H)\ge r!λ{(K_{t-1}^r)}$ .我们称$r$ -一致超图$H$是完美的，如果$π_λ(H)= r!λ{(K_{t-1}^r)}$ .令$P_t=\{e_1, e_2, \dots, e_t\}$为长度为$t$的线性$3$ -均匀路径，即，如果$|i-j|\ge 2$，则为$|e_i|=3$、$|e_i \cap e_{i+1}|=1$和$e_i \cap e_j=\emptyset$。我们证明了$P_3$和$P_4$是完美的，这支持了\cite{yanpeng}中的一个猜想，即所有的$3$ -一致线性超图都是完美的.应用拉格朗日密度的结果，我们确定了它们的扩张的图兰数。
2019-02-25 math.CO
A Jump in the Codegree Turán Densities of Long Tight Cycles
University of Illinois Urbana-Champaign（伊利诺伊大学厄巴纳-香槟分校）；Institute for Basic Science (IBS)（韩国基础科学研究所）；University of Illinois Chicago（伊利诺伊大学芝加哥分校）；Institute for Advanced Study（普林斯顿高等研究院）
研究了超图紧密循环的代码度Turán密度，发现当$r/\gcd(r,\ell)$为奇数时，密度上限为1/3。
2026-02-20 math.CO
Colored Turán densities and finite directed templates
School of Mathematics, Shandong University（山东大学数学学院）；Universidad Pública de Navarra（纳瓦拉公立大学）；Extremal Combinatorics and Probability Group (ECOPRO), Institute for Basic Science (IBS)（基础科学研究院极端组合学与概率组）
该研究将经典图兰理论扩展至着色图场景，通过有限有向归约建立着色图兰密度与同态图兰密度的关联，确定其为有限无环有向图的拉格朗日量，提出保留度分布的低分辨率采样方法。
2026-10-14 math.CO
Turán Densities for Small Hypercubes
本文研究n维超立方体中与每个d维子立方体相交的顶点集的最小渐近密度，证明当d=6和d=7时该密度严格小于1/(d+1)。
2025-07-10 math.CO
Turán H-densities for 3-graphs
给定$r$ -图$H$在$h$顶点上，以及一族$\mathcal{F}$禁止子图，我们定义$\ex_{H}(n, \mathcal{F})$为$r$ -图在$n$顶点上的无$\mathcal{F}$的$r$ -图中$H$的最大诱导拷贝数.则$\mathcal{F}$的\emph{Turán $H$-density}是极限\[π_{H}(\mathcal{F})= \lim_{n\rightarrow \infty}\ex_{H}(n, \mathcal{F})/\binom{n}{h}. \]。这概括了\emph{Turán density}（当$H$是$r$ -边时）和\emph{inducibility}（当$\mathcal{F}$为空时）的概念。虽然这类问题已经受到一些关注，但已知的结果很少。本文利用Razborov半定方法研究了3-图的Turán $H$ -密度。特别是，我们表明，\[π_{K_4^-}(K_4) = 16/27,\]与图兰的建设是最佳的。证明了$K_5$的一个类似性质的结果，并对$π_{K_t^-}(K_t)$的值作了一般性的猜想.我们还建立了\[π_{4.2}(\emptyset)=3/4,\]，其中4.2表示4点3-图，恰好有2条边。在这种情况下，下界来自一个随机的几何结构显着不同，从以前已知的极端的例子在3-图论。我们给出了3-图的一些其它结果和图…
2012-01-20 math.CO
Non-jumping Turán densities of hypergraphs
一个实数$α\in [0, 1)$是一个整数$r\ge 2$的跳跃，如果存在$c>0$使得$(α, α+ c)$中没有一个数可以是$r$ -一致图族的Turán密度. Erd \H os和Stone \cite{ES}的一个经典结果是：$[0, 1)$中的每一个数都是$r=2$的一个跳跃。Erd \H os \cite{E64}还表明，$[0, r!/r^r)$中的每个数字都是$r\ge 3$的跳转，并询问$[0, 1)$中的每个数字是否都是$r\ge 3$的跳转。Frankl和Rödl \cite{FR84}给出了否定的答案，他们为每个$r\ge 3$展示了一个非跳跃序列。在此之后，Erd \H os修改了问题是$\frac{r!}{r^r}$是否是$r\ge 3$的跳转？最小的非跳跃是多少？Frankl，Peng，Rödl和Talbot \cite{FPRT}证明了${5r!\over 2r^r}$是$r\ge 3$的非跳跃。Baber和Talbot \cite{BT0}表明，每一个$α\in[0.2299, 0.2316)\cup [0.2871, \frac{8}{27})$都是$r=3$的一个跳跃。Pikhurko \cite{Pikhurko2}证明了$r$ -均匀图的所有可能Turán密度的集合具有$r\ge 3$连续统的基数.然而，$\frac{r!}{r^r}$是…
2021-12-30 math.CO
Hypergraphs accumulate
该研究在组合数学领域证明了k-均匀超图的Turán密度集合在[0,1)内存在聚点，且明确1/2是3-均匀超图Turán密度集合的聚点，推进了超图Turán理论相关研究。
2024-05-13 math.CO
Chromatic Ramsey numbers and two-color Turán densities
Karlsruhe Institute of Technology（卡尔斯鲁厄理工学院）
研究图的双色图兰密度，证明对任意k色图G，色数拉姆齐数R_χ(G)可取Ω(k)个不同值，揭示了双色图兰密度的可能取值。
2026-10-26 math.CO
Degenerate Turán densities of sparse hypergraphs II: a solution to the Brown-Erdős-Sós problem for every uniformity
对于固定整数$r\ge 3, e\ge 3$和$v\ge r+1$，设$f_r(n,v,e)$表示$n$ -顶点$r$ -一致超图中的最大边数，其中任意$e$不同边的并至少包含$v+1$顶点. 1973年，Brown，Erdés和Sós证明了$f_r(n,er-(e-1)k,e)=Θ(n^k)$，并证明了极限$\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{f_3(n,e+2,e)}{n^2}$总是存在于所有固定整数$e\ge 3$。在2020年，上官和塔莫证明了极限$\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{f_r(n,er-(e-1)k,e)}{n^k}$总是存在于所有固定整数$r>k\ge 2$和$e\ge 3$，其中包含BES猜想作为$r=3, k=2$的特殊情况。最近，基于Glock，Joos，Kim，Kühn，Lichev和Pikhurko的结果，Delcourt和Postle证明了BES猜想。推广了他们的结果，证明了极限$\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{f_r(n,er-2(e-1),e)}{n^2}$总是存在的，从而证明了BES猜想对任何一致性。
2022-10-20 math.CO
Vanishing orders, suspensions and zero degree Turán densities
Nankai University（南开大学）；Central China Normal University（华中师范大学）；Institute for Basic Science (IBS)（基础科学研究院）；California Institute of Technology（加州理工学院）
研究ℓ-度 Turán 密度为零的k-一致超图的结构特征，证明2-度 Turán 密度为零蕴含存在2-消失阶，并建立悬挂原理连接不同度参数，证明除经典 Turán 密度外所有度 Turán 密度在零点累积。
2026-07-01 math.CO
Rational values and non-principality for $\ell$-degree Turán densities of hypergraphs
School of Mathematics and Statistics, Xi’an Jiaotong University（西安交通大学数学与统计学院）；School of Mathematics, Shandong University（山东大学数学学院）
本文证明超图 $\ell$-度 Turán 密度可实现所有有理数（当 $k>\ell>k/2$），构造单图实现 $1-q^{\ell-k}$ 的序列，并建立加强的非主性不等式。
2026-09-17 math.CO
Turán's Problem for Trees
对于禁止图$L$，设$ex(p;L)$表示不含$L$的序$p$简单图中的最大边数.令$T_n$表示$n$顶点上具有最大度$n-2$的唯一树，并且令$T_n^*=(V,E)$表示$n$顶点上具有$V=\{v_0,v_1,\ldots,v_{n-1}\}$和$E=\{v_0v_1,\ldots,v_0v_{n-3},v_{n-3}v_{n-2},v_{n-2}v_{n-1}\}$的树。本文给出了$ex(p;T_n)$和$ex(p;T_n^*)$的精确值。
2014-10-27 math.CO
Degenerate Turán densities of sparse hypergraphs
对于固定整数$r>k\ge 2,e\ge 3$，设$f_r(n,er-(e-1)k,e)$是$r$ -一致超图中的最大边数，其中任何$e$不同边的并集至少包含$er-(e-1)k+1$顶点. Brown，Erdés和Sós在1973年的一个经典结果证明了$f_r(n,er-(e-1)k,e)=Θ(n^k).$退化的Turán密度被定义为$$π(r,k,e):=\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{f_r(n,er-(e-1)k,e)}{n^k}.$$的极限（如果它存在的话）推广了Glock最近的一个结果对于$r=3,k=2,e=3$的特殊情况，我们证明了对于任意固定的$r\ge 4$，$$π(r,2,3):=\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{f_r(n,3r-4,3)}{n^2}=\frac{1}{r^2-r-1}$$.对于更一般的情况下$r>k\ge 3$，我们表明，$$\frac{1}{r^k-r}\le\liminf_{n\rightarrow\infty}\frac{f_r(n,3r-2k,3)}{n^k}\le\limsup_{n\rightarrow\infty}\frac{f_r(n,3r-2k,3)}{n^k}\le \frac{1}{k!\binom{r}{k}-\frac{k!}{2}}.$$在证明这些结果的主…
2020-02-02 math.CO
Partite Turán-densities for complete $r-$uniform hypergraphs on $r+1$ vertices
本文研究了在$(r+1)$-部$r$-一致超图$G$中，关于$r+1$顶点的完全$r$-一致超图$K_{r+1}^{(r)}$的密度条件.首先证明了$G$的$(r+1)$诱导$r$-部子图的密度的最优条件.其次，我们证明了这个结果的一个版本，我们假设$r$-元组的顶点在$G$有他们的邻居均匀分布在$G$。第三，我们还证明了当$G$满足我们的密度界时，$K_{r+1}^{(r)}$的最小拷贝数的一个计数结果，并提出了一些公开的问题。图$r=2$和超图$ r \geq 3 $之间的显著区别在于，在第一种情况下，存在阈值和计数函数在所涉及的密度中都是非线性的，而对于超图，它们由线性函数给出。同时，对于$r=2$，保证存在一个具有$(r+1)$顶点的完全$r$-图所需的$r$-部的最小密度等于黄金分割率$τ=0.618\ldots$，而对于$r\geq3$，则等于黄金分割率$\frac{r}{r+1}$.
2020-05-12 cs.DM math.CO
Uniform Turán densities of $k$-uniform hypergraphs
Naval University of Engineering（海军工程大学）；Shandong University（山东大学）
本文提出palette框架，研究k-均匀超图的(k-2)均匀Turán密度，通过palette色度约束工具，将密度计算转化为palette同态框架，推导出多个单个k-超图的Turán密度值，并展示非主族家族的例子。
2026-05-14 math.CO
On densities of lattice arrangements intersecting every i-dimensional affine subspace
1978年，小马凯建立了凸体的体积积与凸体的最大晶格堆积密度和凸体的极体与每个仿射超平面相交的晶格排列的最小密度之间的显着联系。因此，他提出了一个猜想，可以被看作是闵可夫斯基基本定理的对偶类比，并且与著名的马勒猜想密切相关。基于Kannan & Lovász的覆盖极小和Fejes Tóth提出的一个问题，我们安排了Makai Jr.的猜想推广到更广泛的背景下，并研究了与每个i维仿射子空间相交的凸体的格排列的密度。然后，它也成为自然制定和研究对偶类似闵可夫斯基的第二个基本定理。作为我们的主要结果，我们得到有意义的渐近下界的密度，这样的安排，而且，我们解决的问题，正是特殊的，但重要的，类的无条件凸体。
2016-05-02 math.CO math.MG
Maximal ball packings of symplectic-toric manifolds
设M是至少四维的辛复曲面流形。本文研究了环面等变情形下的辛球填充问题。我们证明了M的复曲面辛球填充集具有凸多胞体的结构。第一作者以前的工作表明，在等价条件下，当n=2时，只有CP ^1 x CP ^1和CP ^2允许密度为1的填充，当n>2时，只有CP^n允许密度为1的填充。相反，我们证明了对于固定的n>=2和（0，1）中的每个r，存在不可数的不等价的2n维辛复曲面流形，其最大复曲面填充密度为r。这一结果如下从一般的分析，如何密度的最大填装的变化，而不同的一个给定的辛复曲面流形通过一个家庭的辛复曲面流形是equivalently symplectomorphic，但不是equivalently symplectomorphic。
2007-04-26 math.CO math.SG
