消失阶、悬挂与零度 Turán 密度
Vanishing orders, suspensions and zero degree Turán densities
AI总结：
研究ℓ-度 Turán 密度为零的k-一致超图的结构特征，证明2-度 Turán 密度为零蕴含存在2-消失阶，并建立悬挂原理连接不同度参数，证明除经典 Turán 密度外所有度 Turán 密度在零点累积。
摘要：
对于整数 $1\le \ell<k$，$\ell$-度 Turán 密度 $\pi_\ell(F)$ 衡量迫使固定 $k$-一致超图 $F$ 出现的最小 $\ell$-度阈值，推广了经典 Turán 密度 $\pi_1$ 和共度 Turán 密度 $\pi_{k-1}$。受 Erdős 关于零 Turán 密度的 $k$-图特征刻画的启发，我们研究消失 $\ell$-度 Turán 密度的结构含义。我们的主要结果涉及 $\ell=2$ 的情形。我们证明，对于每个 $k\ge3$，如果 $k$-图 $F$ 满足 $\pi_2(F)=0$，则 $F$ 允许一个 $2$-消失阶，即一个全局顶点序，在该序下所有边相对于其顶点对按规范方式对齐。这将之前已知的 $3$-图的结构现象推广到所有一致性，并给出了经典事实（$\pi_1(F)=0$ 迫使 $F$ 是 $k$-部图）的高阶类比。特别地，$2$-消失阶的缺失是 $2$-度 Turán 密度消失的结构障碍。我们还建立了一个连接连续度参数的悬挂原理。给定一个 $(k-1)$-图 $F$，令 $\mathcal{S}_F$ 是通过添加一个顶点 $v$ 并将每条边 $e\in E(F)$ 替换为 $v\cup e$ 得到的 $k$-图。我们证明，对于 $2\le \ell<k$，$\pi_{\ell}(\mathcal{S}_F)=0$ 当且仅当 $\pi_{\ell-1}(F)=0$。这为不同度 Turán 密度之间提供了桥梁，并允许将消失结果提升到不同一致性和度参数。作为应用，我们证明除了经典 Turán 密度外，所有其他度 Turán 密度在零点累积。我们主要结果的证明结合了随机几何构造块、设计理论的粘合方案以及随机稀疏化，以协调正 $2$-度与局部消失结构。
英文摘要：
For integers $1\le \ell<k$, the $\ell$-degree Turán density $π_\ell(F)$ measures the minimum $\ell$-degree threshold that forces a copy of a fixed $k$-uniform hypergraph $F$, generalizing both the classical Turán density $π_1$ and the codegree Turán density $π_{k-1}$. Motivated by Erdős' characterization of $k$-graphs with zero Turán density, we study the structural implications of vanishing $\ell$-degree Turán density. Our main result concerns the case $\ell=2$. We prove that, for every $k\ge3$, if a $k$-graph $F$ satisfies $π_2(F)=0$, then $F$ admits a $2$-vanishing order, that is, a global vertex ordering under which all edges align canonically with respect to their pairs. This extends to all uniformities a structural phenomenon previously known for $3$-graphs, and gives a higher-degree analogue of the classical fact that $π_1(F)=0$ forces $F$ to be $k$-partite. In particular, the absence of a $2$-vanishing order is a structural obstruction to vanishing $2$-degree Turán density. We also establish a suspension principle connecting consecutive degree parameters. Given a $(k-1)$-graph $F$, let $\mathcal{S}_F$ be the $k$-graph obtained by adding an apex vertex $v$ and replacing each edge $e\in E(F)$ with $v\cup e$. We show that, for $2\le \ell<k$, $π_{\ell}(\mathcal{S}_F)=0$ if and only if $π_{\ell-1}(F)=0$. This provides a bridge between different degree Turán densities and allows vanishing results to be lifted across uniformities and degree parameters. As an application, we prove that except the classical Turán density, all other degree Turán densities accumulate at zero. The proof of our main result combines random geometric building blocks, a design-theoretic gluing scheme, and random sparsification to reconcile positive $2$-degree with local vanishing structure.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
