超图 $\ell$-度 Turán 密度的有理数值与非主性
Rational values and non-principality for $\ell$-degree Turán densities of hypergraphs
浏览论文内容
中文总结 AI 辅助
本文证明超图 $\ell$-度 Turán 密度可实现所有有理数（当 $k>\ell>k/2$），构造单图实现 $1-q^{\ell-k}$ 的序列，并建立加强的非主性不等式。
中文摘要 AI 辅助
设 $k>\ell\ge 1$ 为整数。对于 $k$-一致超图（$k$-图）族 $\mathcal{F}$，其 $\ell$-度 Turán 密度 $\gamma^{(k)}_\ell(\mathcal{F})$ 定义为所有无 $\mathcal{F}$ 的 $k$-图上归一化最小 $\ell$-度的渐近最大值。本文证明：对所有 $k>\ell>k/2$，每个有理数 $\alpha\in[0,1)$ 都可实现为某个有限 $k$-图族 $\mathcal{F}$ 的 $\ell$-度 Turán 密度 $\gamma^{(k)}_\ell(\mathcal{F})$。进一步，对任意 $k>\ell\ge 1$，我们构造了由单个禁止 $k$-图实现的值的一个显式无穷序列：对每个整数 $q\ge2$，存在一个 $k$-图 $F$ 使得 $\gamma^{(k)}_\ell(F)=1-q^{\ell-k}$。我们还建立了 $\ell$-度 Turán 密度的加强非主性性质：对所有 $k>\ell>1$，存在两个 $k$-图 $F_1$ 和 $F_2$ 满足 $0< \gamma^{(k)}_{\ell}(\{F_1,F_2\})<\min\{ \gamma^{(k)}_\ell(F_1),\gamma^{(k)}_\ell(F_2)\}$。
英文摘要
Let $k>\ell\ge 1$ be integers. For a family $\mathcal{F}$ of $k$-uniform hypergraphs ($k$-graphs), the $\ell$-degree Turán density $γ^{(k)}_\ell(\mathcal{F})$ of $\mathcal{F}$ is defined as the asymptotic maximum of the normalized minimum $\ell$-degree over all $\mathcal{F}$-free $k$-graphs. In this paper, we prove that for all $k>\ell>k/2$, every rational number $α\in[0,1)$ can be realized as the $\ell$-degree Turán density $γ^{(k)}_\ell(\mathcal{F})$ for some finite family $\mathcal{F}$ of $k$-graphs. Furthermore, for any $k>\ell\ge 1$, we construct an explicit infinite sequence of values realized by single forbidden $k$-graphs: for each integer $q\ge2$, there exists a $k$-graph $F$ such that $γ^{(k)}_\ell(F)=1-q^{\ell-k}$. We also establish a strengthened non-principality property for $\ell$-degree Turán densities: for all $k>\ell>1$, there exist two $k$-graphs $F_1$ and $F_2$ satisfying $0< γ^{(k)}_{\ell}(\{F_1,F_2\})<\min\{ γ^{(k)}_\ell(F_1),γ^{(k)}_\ell(F_2)\}$.
发表机构
- School of Mathematics and Statistics, Xi’an Jiaotong University（西安交通大学数学与统计学院）
- School of Mathematics, Shandong University（山东大学数学学院）
机构由 AI 辅助整理，请以论文原文为准。
