The many faces of modern combinatorics
Cristian Lenart
这是一份关于组合学最新发展的综述。目标是给出它与其他数学领域的许多相互作用的大图，如：群论，表示论，交换代数，几何（包括代数几何），拓扑学，概率论和理论计算机科学。
This is a survey of recent developments in combinatorics. The goal is to give a big picture of its many interactions with other areas of mathematics, such as: group theory, representation theory, commutative algebra, geometry (including algebraic geometry), topology, probability theory, and theoretical computer science.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
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Bell numbers in Matsunaga's and Arima's Genjikō combinatorics: Modern perspectives and local limit theorems
我们研究和澄清详细的贡献松永义介（1694？--）1744年）到十八世纪（江户时代）贝尔数的计算，为贝尔数历史上最早的一些未知材料提供了现代视角。后来有马赖之（Yoriyuki Arima，1714- 1783）作了澄清和发展，并给出了几个新的结果，如几个密切相关序列的渐近分布（特别是相应的局部极限定理）。
Bubble Lattices II: Combinatorics
该研究引入非交叉匹配复形与非交叉二部复形，证明其可剥性并给出加细面数显式公式，还猜想其与洗牌格M-三角形存在关联，丰富了泡格相关的组合几何研究。
Moving faces to other places: Facet derangements
乱序是组合学课程中的一个热门话题。研究了n维超立方体的面错位的一个推广。这些乱序可以被分类为奇数或偶数，这取决于基本的等距是直接的还是间接的，提供了抽象代数的链接。我们强调了这些序列的几何，代数和组合之间的相互作用，有很多漂亮的图片。
Schroder combinatorics and $ν$-associahedra
我们研究了$ν$ -Schröder路径，这是Schröder路径弱地停留在给定的格路径$ν$之上。一些经典的双射和枚举结果被推广到$ν$ -设置，包括小和大的Schröder路径之间的关系。引入了$ν$ -Schröder对象的两个偏序集，即$ν$ -Schröder路和树，并证明了它们与Ceballos，Padrol和Sarmiento引入的$ν$ -协面体$A_ν$的面偏序集同构.我们的结果的一个结果是，$A_ν$的$i$维面是由$ν$ -Schröder路径与$i$对角步骤索引，我们得到了这些Schröder数在特殊情况下，当$ν$是一个“理性”lattice path.使用我们的新的描述的面偏序集$A_ν$，我们应用离散莫尔斯理论证明，$A_ν$是可收缩的。这产生了两个证明之一的事实，即欧拉示性数的$A_ν$是一个。第二个证明是通过$ν$ -Narayana多项式的公式得到的，这个公式是根据$ν$ -Schröder数。
Rectangular Matrix Models and Combinatorics of Colored Graphs
本文介绍了矩形矩阵模型在各种组合问题中的应用，其中包括具有指定顶点度的面双色图的计数和顶点三色三角剖分。我们还提到了可能的应用程序，以相互作用，圆一面和硬粒子的统计模型定义的随机晶格。
The geometry and combinatorics of cographic toric face rings
在本文中，我们定义和研究一个环，我们称之为上图复曲面环，或简单的上图环。上图环是由图的以下等价组合结构定义的复曲面环：超平面的上图排列，Voronoi多面体和全循环定向的偏序集。我们描述的上图环的性质，特别是，与环的不变量对应的图形的不变量。我们的研究cographic环适合到一个身体的工作描述环从图。在可以由图构造的环中，上图环特别有趣，因为它们出现在节点曲线的紧化雅可比矩阵的研究中。
Combinatorics of antiprism triangulations
反棱柱三角剖分为单纯复形$Δ$的剖分提供了一种自然的方法，类似于组合代数拓扑学和计算机科学中独立出现的重心重分。从组合的观点来看，它可以被定义为$Δ$的多点面链的单纯复形;从几何的观点来看，它可以通过在$Δ$的面上连续地应用反棱柱结构或平衡的恒星细分来定义。本文研究了与这种三角剖分有关的枚举不变量，如反棱柱三角剖分下$Δ$的$h$ -向量的变换，以及它的Stanley-Reisner环的代数性质。在其他结果中，它表明，$h$ -多项式的反棱镜三角剖分的单形是实根和$Δ$的反棱镜三角剖分有几乎强Lefschetz性质超过${\mathbb R}$的每一个可壳复形$Δ$。几个相关的开放问题进行了讨论。
Gamma-positivity in combinatorics and geometry
伽玛正性是具有对称系数的多项式可能具有的基本性质，这直接意味着它们的单峰性。它背后的想法源于Foata，Schützenberger和Strehl对欧拉多项式的工作;它由Brändén和Gal分别在偏序集欧拉多项式和旗单纯球面的面计数的研究过程中独立地恢复，并从那时起找到了许多应用。本文调查了一些主要的结果和开放的问题，伽玛阳性，出现在各种组合或几何背景下，以及一些不同的方法，已被用来证明它。
Combinatorics of $F$-polynomials
我们使用稳定函子来研究任何有限维基本代数的表示的$F$ -多项式的组合方面。我们刻画了它们的牛顿多面体的顶点。本文给出了限制于牛顿多面体任意面的$F$ -多项式的一个显式公式。对于非循环箭图，我们给出了一个完整的描述的所有方面的牛顿多面体时，表示是一般的。我们还证明了支持的$F$ -多项式是饱和的任何刚性表示。我们提供了许多例子和反例，并提出了几个建议。
The Combinatorics of Quiver Representations
我们给出了一个描述的所有余维的面的重量锥的半不变量的箭图环。对于三重旗面和余维1的面，这简化为Klyachko锥的面上的Knutson-Tao-Woodward的结果。我们给新的应用Littlewood-Richardson系数，包括LR系数的产品公式对应的三重分区躺在墙上的Klyachko锥。我们系统地回顾和发展必要的方法（例外和Schur序列，正交范畴，半稳定分解，GIT代数）。在附录中，我们包括一个版本的贝尔凯尔的几何证明富尔顿的猜想，工程任意颤抖。
Discrete mathematics: methods and challenges
组合数学是一门基础数学学科，也是许多数学领域的重要组成部分，近年来其研究取得了令人印象深刻的发展。这种增长的主要原因之一是离散数学和理论计算机科学之间的紧密联系，以及后者的快速发展。虽然在过去，许多基本的组合结果主要是通过独创性和详细的推理获得的，但现代理论已经走出了这个早期阶段，并且经常依赖于深入的，发展良好的工具。这是一个调查的两个主要的一般技术，发挥了至关重要的作用，在发展现代组合;代数方法和概率方法。两者都将通过例子来说明，重点是基本思想和与其他领域的联系。
Combinatorics and Genus of Tropical Intersections and Ehrhart Theory
令$g_1, ..., g_k$是具有牛顿多面体$P_1, ..., P_k$的$n$变量的热带多项式。研究了由$g_1, ..., g_k$定义的热带超曲面的交的组合问题，如$f$ -向量、无界面的个数和（曲线的情况下）亏格.我们的出发点是维格兰的工作谁认为特殊情况下$k=n-1$和所有牛顿多面体是标准的单纯形。我们将这些结果推广到任意$k$和任意Newton多面体$P_1, ..., P_k$。这提供了新的公式的面数和混合体积方面的亏格。通过建立一些方面的混合版本的Ehrhart理论，我们表明，属的热带相交曲线等于属的复曲面相交曲线对应于相同的牛顿多面体。
Torus actions and combinatorics of polytopes
一个n维多面体P ^n被称为单多面体，如果恰好n个余维1的面在每个顶点相交。具有m余维1面的简单多面体P ^n的面的晶格定义了R ^{2m}中偶数维平面的排列。我们构造了群R ^{m-n}在这种排列的补上的自由作用。相应的商是一个光滑流形Z_P，它被紧环面T ^m与轨道空间P ^n的正则作用所覆盖。对于由具有给定面格的单多面体P ^n定义的每个光滑投射复曲面簇M ^{2n}，存在自由作用在Z_P上的子群T ^{m-n} \subset T ^m，使得Z_P/T ^{m-n}= M ^{2n}。计算了Z_P的上同调环，证明了它与P ^n的面环的上同调环同构，并将P ^n看作是多项式环上的模.这样，Z_P的上同调就获得了一个双分次代数结构，而额外的分次则可以捕捉到多面体的组合不变量。同时，这给出了一个例子，明确计算的上同调的补充安排的飞机，这是独立的利益。
Random Tensor models: Combinatorics, Geometry, Quantum Gravity and Integrability
在这篇论文中，我们探讨了随机张量模型的不同方面。这些模型已经被引入来模仿随机矩阵模型在物理学、数学和组合学中令人难以置信的成功。在对随机矩阵模型的几个方面进行了简短的介绍并回顾了称为群场论的物理动机之后，我们开始探索随机张量模型的世界及其与几何，量子引力和组合学的关系。我们首先以自然的方式定义这些模型，并讨论它们的几何和组合。在这些初步探索之后，我们开始将随机矩阵方法推广到随机张量，以便至少在某些特定情况下描述随机张量模型的数学和物理性质。
The Many Faces of Magog Matrices
本文研究Magog矩阵的多种组合表示，揭示其与交替符号矩阵的结构相似性与差异，为TSSCPPs的组合学提供新见解。
Combinatorics and geometry of finite and infinite squaregraphs
正方形图最初被定义为有限平面图，其中所有内面都是四边形（即，4-循环）和所有内部顶点（即，不与外表面入射的顶点）具有大于三的度数。有限平方图的平面对偶由单位圆盘的无三角形弦图确定，它也可以看作是双曲平面上的无三角形线排列。这种表示推广到顶点度有限的无限平面图，其中球是有限的平方图。在代数上，有限平方图是中值图，其顶点是有限循环分裂系统。因此，平方图是两个对偶的交叉点，代数和几何的一个，从而借给自己几个组合的解释和结构特征。利用这些定理和圆图的5-可染性定理，我们证明了每一个正方形图都可以等距嵌入到5棵树的笛卡儿积中。这个嵌入的结果也可以扩展到无限的情况下，没有参考的平面中的嵌入，没有任何基数限制时，制定的中位数图的立方体和进一步的有限障碍。此外，我们展示了一类平方图，可以嵌入到产品的三棵树，我们的特点是嵌入到产品的两棵树的平方图。最后，有限平方图享有一些算法功能，不扩展到任意的中位数图。例如，我们证明了有限平方图的中位数生成集可以在多项式时间内计算，而不出意外的是，中位数图的相应问题是NP-难的。
Combinatorial theorems relative to sparse sets
本文聚焦极值组合学中相对于稀疏子集的经典组合定理，梳理该领域近期进展并提出紧迫开放问题。
Incidence combinatorics of resolutions
我们介绍的概念组合爆破，建筑集，和套任意满足半格。这给出了一个共同的抽象框架发生在德Concini-Procesi模型的子空间安排和决议的环面品种的奇异性的背景下的发病率组合。我们的主要定理指出，一个序列的组合爆破，规定的建设集在线性扩张兼容的顺序，给出了面偏序集的相应单纯复形套。作为应用程序，我们跟踪的发病率组合通过每一步的德Concini-Procesi模型建设，我们引入的概念，建设集和嵌套集的上下文的环面品种。还有其他几个例子，如模型的分层流形和某些分次代数与有限格，我们的组合框架已投入工作，我们在本文的最后提出了一个大纲。
Cyclopermutohedron: geometry and topology
置换面体的面偏序集实现了集合$[n]=\{1,...,n\}$的线性有序划分的组合学。类似地，圆置换面体是实现集合$[n+1]$的循环有序分区的组合学的虚拟多面体。第三作者从多边形连杆机构的位形空间出发，引入了圆多面体。本文证明了两个事实：（1）圆置换面体的体积为零;（2）圆置换面体的面偏序集的$k=0,...,n-2$的同调群$H_k$是非零自由阿尔贝群。我们还提出了一个简短的公式为他们的行列。
Enumeration of non-orientable 3-manifolds using face pairing graphs and union-find
结合组合数学和计算机科学的技术，我们改进了用于枚举闭极小P^2-不可约3-流形三角剖分的普查算法。特别是，新的约束条件被证明为面对配对图，和修剪技术的改进，使用修改的联合查找算法。利用这些结果，我们将所有136个封闭的不可定向的P^2-不可约3-流形分类，这些流形最多可以由10个四面体构成。
Combinatorial solutions to integrable hierarchies
本文综述了数学物理可积族形式解的现代构造方法，可积族的系数是各种计数问题的答案。解释了这些方法与对称群及其表示的组合学之间的关系。给出了这些结果在构造与量子场论模型有关的问题的有效计算中的应用。
Cell complexes, poset topology and the representation theory of algebras arising in algebraic combinatorics and discrete geometry
近年来，人们注意到许多组合结构，如实超平面和复超平面排列、区间拟阵、拟阵和定向拟阵都具有称为左正则带的有限幺半群的结构。幺半群模型上的随机游动有许多有趣的马尔可夫链，如Tsetlin库和riffle shuffle。左正则带的表示论开始发挥作用，并对与这种结构相关的组合学和概率论产生了重大影响。在最近的一篇论文中，作者建立了左正则带的代数和组合不变量之间的密切联系，证明了左正则带的代数的某些同调不变量与自然关联到左正则带的偏序集的序复形的上同调一致。本专著的目的是进一步发展和深化左正则带和偏序集拓扑之间的联系。这使我们能够计算有限投射分解的所有简单的模左正则带代数域和更多。在这个过程中，我们被引导到定义的CW左正则带类的左正则带类，其相关的偏序集是正则CW复形的面偏序集。文献中出现的大多数例子都属于这一类。一类新的和重要的例子是CAT（0）立方复形的面偏序集上的左正则带结构。此外，最近引入的COM（复合的定向拟阵或条件定向拟阵）的概念很好地适应我们的设置，包括CAT（0）立方体复合和某些更一般的CAT（0）zonotopal复合。一个相当完整的图片的表示论CW左正则带得到。
Billey's formula in combinatorics, geometry, and topology
在这篇简要的论文中，我们描述了一个强大的组合公式及其在几何，拓扑和代数中的含义。这个公式最早出现在安徒生、詹岑和索尔格尔的一本书的附录中。萨拉·比利在五年后独立发现了它，它在她评估与舒伯特多项式密切相关的某些多项式的工作中发挥了重要作用。比利公式涉及舒伯特微积分的许多部分：舒伯特簇的几何，环面对旗簇的作用，关于置换的组合数据，旗簇和舒伯特簇的上同调，以及根系的组合学（置换的广义反演）。在组合上，Billey公式描述了外尔群的元素对的不变量。从表面上看，这个公式是由一个固定词的子词构建的词根组合。正如我们将看到的，它还有更深层次的几何和拓扑意义：（1）它告诉我们每个舒伯特簇中每个置换标志处的切空间。(2)它告诉我们舒伯特簇中的奇点。(3)它告诉我们Kostant多项式的值。Billey公式也反映了GKM理论的一个方面，它是一种仅从关于簇中的环面不动点的信息来描述簇的环面等变上同调的方法。本文还将描述一些应用的比利公式，包括具体的组合描述比利公式在特殊情况下，以及如何引导比利公式来描述等变上同调的旗簇的子簇GKM理论不适用。
Schur--Weyl duality for diagonalizing a Markov chain on the hypercube
本文利用Schur-Weyl对偶等工具，为超立方体上特定马尔可夫链提供显式正交基，并确定其收敛到平稳分布的精确速率。
Flag matroids: algebra and geometry
拟阵在现代组合数学中无处不在。正如Gelfand、Goresky、MacPherson和Serganova所发现的那样，拟阵理论和格拉斯曼几何之间有一种美丽的联系：可实现拟阵对应于格拉斯曼的环面轨道。此外，正如芬克和斯派尔所观察到的，一般拟阵对应于格拉斯曼的$K$ -理论中的类。这产生特别是一个几何描述的Tutte多项式。在这篇评论中，我们详细描述了所有这些建设，而且我们概括了其中一些多拟阵。更确切地说，我们研究的类旗拟阵和它们的关系，旗品种。通过这种方式，我们得到了类似的Tutte多项式的旗拟阵。
Quaternionic Geometry of Matroids
最近的联合文件与Sturmfels的基础上，在这里，我们认为，组合拟阵是密切相关的几何和拓扑的复曲面hyperkaehler品种。我们表明，就像环面品种占据了中心作用，在斯坦利的证明的必要性McMullen的猜想（或g-不等式）的分类面向量的单纯多面体，拓扑的环面hyperkaehler品种导致新的限制面向量的拟阵复合体。也就是说，在本文中，我们给出了两个证明，内射性部分的硬Lefschetz定理生存的复曲面超kaehler簇。我们解释这意味着g-不等式的合理表示拟阵。我们展示了如何几何直观的第一个证明，再加上结果的查里，导致证明的g-不等式一般拟阵复合体，这是最近的结果Swartz。第二个证明中的几何思想将表明，一个纯O-序列应该满足g-不等式，从而表明我们的结果实际上是斯坦利的一个长期猜想的结果。
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