A structure preserving shift-invert infinite Arnoldi algorithm for a class of delay eigenvalue problems with Hamiltonian symmetry
在这项工作中，我们考虑一类延迟本征值问题，承认频谱类似的哈密顿矩阵，在这个意义上说，频谱是对称的实轴和虚轴。更确切地说，我们提出了一种方法来迭代近似的特征值，这样的延迟本征值问题最接近一个给定的纯实或虚的移位，同时保持对称性的频谱。为此，所提出的方法利用考虑延迟本征值问题和本征值问题与线性，但无限维运营商之间的等价性。为了计算最接近给定移位的本征值，我们对该线性算子应用专门选择的移位-反转变换，并使用（无限）Arnoldi过程计算具有新移位和反转算子的最大模的本征值。所选择的移位-反转变换的优点在于变换后的算子的谱具有“实斜哈密顿”类结构。进一步证明了利用该算子构造的Krylov空间满足关于特定双线性型的正交性。通过在正交化过程中考虑该性质，确保了即使在存在舍入误差的情况下，简单的、纯虚的本征值是简单的和纯虚的。因此，所提出的工作可以被看作是[V. Mehrmann和D. Watkins，“Structure-Preserving Methods for Computing Eigenpairs of Large Sparse Skew-Hamiltonian/Hamiltonian Pencils”，SIAM J. Sci. Comput.（22.6），2001]，应用于所考虑的时滞本征值问题。虽然所提出的方法最初是在函数空间上定义的，但它可以使用有限维线性代数运算来实现。
2022-07-14 cs.NA math.NA
Restarting for the Tensor Infinite Arnoldi method
KTH Royal Institute of Technology（皇家理工学院）
本文提出两种新的TIAR重启策略，通过张量结构化因子化近似提升效率与鲁棒性，应用于大规模非线性特征值问题。
2016-06-28 cs.NA math.NA
Extrapolating the Arnoldi Algorithm To Improve Eigenvector Convergence
我们考虑外推的Arnoldi算法，以加快计算的主导特征值/特征向量对。基本算法使用序列的Krylov向量，形成一个小的特征值问题，这是完全解决。从连续的Arnoldi步骤输出的两个主导特征向量，然后重新组合，以形成一个外推的ESTA，这个加速ESTA用于重新启动下一个Arnoldi过程。我们目前的数值结果测试的算法在各种情况下，并发现在大多数情况下，它大大提高了重新启动Arnoldi的性能。外推是一个简单的后处理步骤，具有最小的计算成本。
2021-03-15 cs.NA math.NA
Harmonic and Refined Harmonic Shift-Invert Residual Arnoldi and Jacobi--Davidson Methods for Interior Eigenvalue Problems
Tsinghua University（清华大学）
针对内部特征值问题，提出调和位移-逆残差Arnoldi (HSIRA)和Jacobi-Davidson (HJD)方法及其精炼变体RHSIRA和RHJD，证明非精确版本在低精度求解内线性系统时能良好模仿精确版本，并设计内迭代停止准则，数值实验表明重启算法比标准SIRA和JD更高效，且精炼调和算法显著优于调和算法。
2015-03-16 cs.NA math.NA
Tensor-Krylov method for computing eigenvalues of parameter-dependent matrices
本文将残差Arnoldi法推广到求极值特征值（如最大实部，优势，.）对于矩阵依赖于参数的情况。该方法与经典Arnoldi算法的不同之处在于，在Arnoldi算法中，残差被添加到子空间中。我们开发了一个张量Krylov方法，适用于剩余Arnoldi方法（RA）的参数点的网格在同一时间。子空间包含所有这些点的近似Krylov空间。我们不是将所有参数值的残差添加到子空间，而是创建由这些残差组成的矩阵的低秩近似，并且仅将列空间添加到子空间。为了保持计算效率，需要限制子空间的维数，并且一旦子空间达到规定的最大维数就重新开始。这种方法的新颖性是双重的。首先，我们观察到在低秩近似中允许大的误差而不会减慢收敛速度，这意味着我们可以在重新开始之前进行更多的迭代。其次，我们特别注意子空间的重新启动方式，因为经典的重新启动技术在我们的情况下给出了一个太大的子空间。我们激励为什么它是足够好的，只是保持搜索的特征向量的近似。最后，我们将该算法推广到移位-反演残差Arnoldi方法，以计算接近移位$σ$的特征值。我们提供理论结果和报告数值实验。Matlab代码是公开的。
2020-12-16 cs.NA math.NA
A comparison of eigenvalue-based algorithms and the generalized Lanczos trust-region algorithm for Solving the trust-region subproblem
求解置信域子问题（TRS）在数值优化和许多其他应用中起着关键作用。基于一个基本的结果，解决TRS的大小$n$是数学上等价于找到一个特定的矩阵对大小$2n$的最右边的特征对，基于特征值的方法是有前途的，由于它们的简单性。对于$n$大的，隐式重新启动Arnoldi（IRA）和改进Arnoldi（IRRA）算法非常适合这个特征值问题。为了合理地比较直接求解TRS的算法和基于特征值的算法的整体效率，一个重要的前提是这两种算法必须以（几乎）相同的精度计算TRS的近似解，但文献中忽略了这个前提。为此，我们建立了两类残差范数之间的密切关系，从而在给定IRA和IRRA的停止容限的情况下，我们能够确定GLTR应该使用的可靠的停止容限，以确保GLTR和IRA，IRRA以相似的精度提供收敛的近似解。我们还对直接求解TRS的广义Lanczos置信域（GLTR）算法、等价特征值问题的Arnoldi方法和精化Arnoldi方法在剩余范数上的收敛性进行了分析。数值实验表明，IRA和IRRA与GLTR相比是有竞争力的，而IRRA优于IRA。
2021-02-19 cs.NA math.NA
The shift-and-invert Arnoldi method for singular matrix pencils
KU Leuven（荷语鲁汶大学）；Dalian Polytechnic University（大连工业大学）
本文提出利用移位-反向 Arnoldi 方法解决大规模稀疏奇异矩阵 pencil 的问题，通过稀疏 LU 分解得到的消元序列生成稀疏正则化矩阵，并提出修正方法以提高计算精度。
2026-05-18 cs.NA math.NA
iSIRA: Integrated Shift-Invert Residual Arnoldi Method for Graph Laplacian Matrices from Big Data
National Chiao Tung University（国立交通大学）；Harvard University（哈佛大学）
针对大数据图拉普拉斯矩阵特征值问题，提出一种结合非精确残差Arnoldi方法、隐式奇异性处理和有效特征值收缩的集成求解器，在无法进行LU分解时优于经典Arnoldi/Lanczos方法。
2017-10-23 cs.NA math.NA
Sampling Pfaffian point processes and the symplectic Arnoldi method
Massachusetts Institute of Technology（麻省理工学院）；Cornell University（康奈尔大学）；Karlsruhe Institute of Technology（卡尔斯鲁厄理工学院）
本文提出基于斜对称Cholesky分解的Pfaffian点过程精确采样算法，用于高效生成随机矩阵理论和组合学中的统计量，并引入辛Arnoldi方法计算斜正交多项式，用于构造β=1,4多项式点过程的2×2矩阵值斜对称核。
2026-05-02 cs.NA math.NA
Polynomial Preconditioned Arnoldi
Virginia Tech（弗吉尼亚理工大学）；Baylor University（贝勒大学）
本文研究了多项式预条件Arnoldi方法在求解特征值问题中的应用，提出双多项式预条件策略以提高收敛速度和稳定性。
2018-06-21 cs.NA math.NA math.SP
Low-Synch Gram-Schmidt with Delayed Reorthogonalization for Krylov Solvers
Krylov迭代法的并行强标度在很大程度上取决于每次迭代所需的全局约简的数量。GMRES和Krylov-Schur算法采用Arnoldi算法来处理非对称矩阵。底层的正交化方案是左视的，一次处理一列。因此，每次迭代至少需要一次全局约简。用于生成Krylov-Schur算法的正交Krylov基向量的传统算法是经典的Gram Schmidt应用两次再正交化（CGS 2），每步需要三次全局约简。CGS 2的一个新的变种，只需要一个减少每次迭代应用到Arnoldi-QR迭代。给出了求非对称矩阵特征值对的强标度结果。Hernandez等人提出了一个初步的尝试，以获得一个类似的算法（一个减少每个Arnoldi迭代与一个强大的正交化计划）。（2007年）。与我们的方法不同，他们的方法对特征值不是前向稳定的。
2021-05-15 cs.NA math.NA
Optimal Polynomial Approximation to Rational Matrix Functions Using the Arnoldi Algorithm
本文提出利用 Arnoldi 算法生成的基向量，在 Krylov 空间中寻找有理矩阵函数 $R(A)b$ 的最优多项式逼近，并分析了其收敛行为与误差界。
2023-06-29 cs.NA math.NA
The infinite Arnoldi exponential integrator for linear inhomogeneous ODEs
KTH Royal Institute of Technology（皇家理工学院）；SeRC Swedish e-Science Research Center（瑞典电子科学研究中心）
本文提出一种基于阿诺德i方法的指数积分器，用于求解线性非齐次常微分方程，通过将非齐次项表示为基函数的线性组合，将问题转化为无限维线性齐次方程，从而扩展有限维Krylov方法。
2015-02-24 cs.NA math.NA
Stability and Bifurcation Analysis of Nonlinear PDEs via Random Projection-based PINNs: A Krylov-Arnoldi Approach
Hopkins Extreme Materials Institute, Johns Hopkins University（霍普金斯极端材料研究所，约翰霍普金斯大学）；Dept. of Chemical and Biomolecular Engineering, Johns Hopkins University（化学与生物分子工程系，约翰霍普金斯大学）；School of Chemical Engineering, National Technical University of Athens（希腊技术大学化学工程学院）；Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli”, Università degli Studi di Napoli Federico II（那不勒斯费德里科二世大学Renato Caccioppoli数学与应用系）；Dept. of Applied Mathematics and Statistics, Johns Hopkins University（应用数学与统计学系，约翰霍普金斯大学）
本文提出一种基于随机投影PINNs的数值框架，用于非线性PDE的稳定性分析，通过Krylov-Arnoldi方法解决特征值问题，避免了传统方法的秩缺陷问题。
2026-09-22 cs.LG cs.NA math.DS
Recursive Integral Method with Cayley Transformation
Michigan Technological University（密歇根理工大学）；Lawrence Berkeley National Laboratory（劳伦斯伯克利国家实验室）
本文提出改进的递归积分法用于非厄米特特征值问题，通过凯莱变换和阿诺迪方法降低计算成本，并通过数值实验验证其有效性。
2017-05-03 cs.NA math.NA
Sylvester-based preconditioning for the waveguide eigenvalue problem
KTH Royal Institute of Technology（皇家理工学院）
本文提出基于残差反迭代与预处理迭代求解的非线性本征值问题求解方法，利用低秩修正的Sylvester方程作为预处理子程序，有效解决波导本征值问题中的大规模计算挑战。
2016-10-21 cs.NA math.NA
Multilevel Fast Multipole Algorithm for Characteristic Mode Analysis
Wuhan University（武汉大学）；the University of Hong Kong（香港大学）
本文提出将多级快速多重算法与隐式重启Arnoldi方法结合，用于高效求解特征模问题，降低计算复杂度并提升大规模三维对象分析能力。
2014-12-08 cs.NA math.NA
PDE eigenvalue iterations with applications in two-dimensional photonic crystals
我们考虑PDE本征值问题，因为它们发生在二维光子晶体建模。如果材料的介电常数与频率有关，则本征值问题变为非线性。在无损的情况下，线性化技术允许等效的重新制定为一个扩展的，但线性和厄米特本征值问题，它满足戈尔丁不等式。为此，已知的迭代计划的矩阵的情况下，如逆功率或Arnoldi方法扩展到无限维的情况下。我们证明了算子级的反幂法的收敛性，并考虑将其与自适应网格细化相结合，从而大大提高了计算速度。对于更一般的光子晶体，这是描述的Drude-Lorentz模型，我们提出了一个牛顿型迭代的直接应用。在假设一些先验知识的特征对的兴趣，我们证明了局部平方收敛的方法。最后，数值实验证实了本文的理论研究结果。
2019-11-30 cs.NA math.NA
Automatic rational approximation and linearization of nonlinear eigenvalue problems
KU Leuven（荷语鲁汶大学）；University of Montana（蒙大拿大学）；University of Geneva（日内瓦大学）
本文提出利用有理逼近方法求解非线性本征值问题，结合AAA方法与状态空间表示，实现高效计算，并展示其在大规模问题中的竞争力。
2018-02-02 cs.NA math.NA
Computing critical velocities in waveguides via multiparameter eigenvalue problems
Otto von Guericke University Magdeburg（奥托·冯·格里克马格德堡大学）；Central South University（中南大学）
研究波导动力学等场景中临界速度的计算方法，从多项式参数依赖特征值问题出发，结合等相速和群速条件得到奇异多项式多参数特征值问题，用既定算法求解，能同时计算所有临界点，经基准问题验证性能良好。
2026-07-14 cs.NA math.NA
Linearizing a nonlinear eigenvalue problem with quadratic rational eigenvector nonlinearities
针对具有二次有理特征向量非线性项的NEPv，受离散Gross-Pitaevskii方程启发提出线性化方法，将其转化为等价于算子行列式形式广义特征值方程组的线性多参数特征值问题，并用结构Arnoldi算法滤除伪解、加速收敛。
2025-10-03 cs.NA math.NA
Nonlinear eigenvalue problems for coupled Helmholtz equations modeling gradient-index graphene waveguides
我们讨论了一个四次本征值问题的背景下，涉及原子厚的二维材料的光波导问题。我们考虑的波导配置由梯度折射率（空间相关）的电介质配备有导电的内部接口。这将导致一个四次特征值问题的混合横向电和横向磁模式，以及强耦合的电场和磁场。我们推导出一个弱制定的四次特征值问题，并介绍了一个数值求解器的基础上quadratification的方法，其中四次特征值问题转化为一个谱等价的同伴问题。我们验证我们的数值框架对原型几何的解析解。作为一个实际的例子，我们演示了如何改进的品质因数（定义的计算特征值的实部和虚部的比率）可以获得一个家庭的梯度折射率主机材料与内部导电接口。我们概述了如何解决相关的形状优化问题奠定了基础。
2020-09-22 cs.NA math.NA physics.comp-ph
Generation of orthogonal rational functions by procedures for structured matrices
计算关于离散内积正交的有理函数序列的递推系数的问题被表述为Hessenberg矩阵束的逆本征值问题。提出了两个程序来解决这个逆本征值问题，通过合理的Arnoldi迭代和通过更新程序，使用酉相似变换。后者被证明是数值稳定的。这个问题和这两个程序一般考虑双正交有理函数的双线性型。这导致一束三对角矩阵的逆本征值问题。对于双正交有理函数，三对角束意味着短的递归关系，这比正交的情况更有效。然而，解决这个问题的程序必须依赖于非幺正运算，并且可能不是数值稳定的。
2021-05-21 cs.NA math.NA
Randomized block Gram-Schmidt process for solution of linear systems and eigenvalue problems
本研究提出用于QR分解的随机分块Gram-Schmidt过程（RBGS），兼具高效性与稳定性，基于其开发了线性系统和特征值问题求解方法的随机版本并通过数值算例验证。
2023-05-27 cs.NA math.NA
A walk outside spheres for the fractional Laplacian: fields and first eigenvalue
University of Bath（巴斯大学）
本文提出了一种基于分数拉普拉斯算子的高效算法，通过多级蒙特卡洛方法在L_2(D)空间中近似整个场，并结合变精度Arnoldi迭代计算分数拉普拉斯算子的最小特征值。
2018-11-27 cs.NA math.NA
Wave Propagation in a 3-D Optical Waveguide
本文针对三维圆柱对称开放光波导中的时谐波传播问题，推广二维变换方法至三维，处理特征值问题的奇异性，构建完整求解方案，为后续特例研究奠定基础。
2003-04-16 cs.NA math.NA
A Sylvester equation approach for the computation of zero-group-velocity points in waveguides
本文通过利用与 Sylvester 方程的联系，提升了计算波导中零群速度点（ZGV）的多参数特征值问题数值方法的效率，使其能够处理多层板和复杂三维结构等大矩阵问题。
2024-11-14 cs.NA math.NA physics.comp-ph
Subspace Methods for 3-Parameter Eigenvalue Problems
TU Eindhoven（埃因霍温理工大学）；KU Leuven（荷语鲁汶大学）；Koç University（科奇大学）；University of Ljubljana（卢布尔雅那大学）
本文提出了一种用于三参数特征值问题的子空间方法，通过子空间迭代方法和Jacobi-Davidson方法来解决此类问题，并介绍了基于左右特征向量角度的筛选标准以提高计算效率。
2019-03-18 cs.NA math.NA
EigenWave: An Optimal O(N) Method for Computing Eigenvalues and Eigenvectors by Time-Filtering the Wave Equation
本文提出 EigenWave，利用 WaveHoltz 时间滤波迭代与无矩阵 Arnoldi 结合求解椭圆算子特征对，并通过多重网格实现随网格点数线性扩展的最优 O(N) 计算。
2025-07-24 cs.NA math.NA
Randomized orthogonalization and Krylov subspace methods: principles and algorithms
Sorbonne University（索邦大学）；INRIA（法国国家数字科学研究所）；EPFL（洛桑联邦理工学院）；PSI Center for Scientific Computing, Theory and Data（瑞士保罗谢勒研究院科学计算、理论与数据中心）
本文提出了一种通过随机正交化技术减少计算成本的Krylov子空间方法，用于求解大规模线性代数问题。
2025-12-17 cs.NA math.NA
Efficient resonance computations for Helmholtz problems based on a Dirichlet-to-Neumann map
Umeå University（于默奥大学）；Royal Institute of Technology (KTH)（皇家理工学院（KTH））
本文提出一种高效计算亥姆霍兹问题共振和共振模的方法，利用狄利克雷-Neumann映射将问题转化为非线性本征值问题，并结合高阶有限元离散化与Tensor Infinite Arnoldi方法，通过极点消去技术提高收敛半径，验证了方法在多个变折射率共振器中的稳定性和精度。
2016-06-30 cs.NA math.NA
Multilevel Monte Carlo methods for stochastic convection-diffusion eigenvalue problems
本文提出多层蒙特卡洛方法高效估计随机对流扩散特征值问题的最小特征值期望，结合有限元离散、RQ/IRA求解器及网格层次加速，并通过流线迎风Petrov-Galerkin和同伦法增强稳定性，数值实验验证其复杂度优于普通蒙特卡洛。
2024-02-12 cs.NA math.NA
An algorithm for the complete solution of the quartic eigenvalue problem
四次本征值问题$(λ^4 A + λ^3 B + λ^2C + λD + E)x = \mathbf{0}$自然地出现，例如，当在分析{Poietille}流的稳定性中求解Orr-Sommerfeld方程时，在局部共振声子板的理论分析和试验设计中，在关节中具有电动机的机器人建模中，折反射视觉系统的校准中，或者例如平面波导的引导模式和泄漏模式的计算中。本文提出了一种新的求解完全解（全部特征值和全部左、右特征向量）的数值方法，该方法基于四次校正，即将四次问题化为一个谱等价的二次本征值问题，并在线性化四次校正前对零和无穷特征值进行识别和压缩。数值算例和向后误差分析证实了该算法优于现有方法。
2021-03-08 cs.NA math.NA
A method for computing waveguide scattering matrices in the presence of discrete spectrum
针对具有离散谱（束缚模）的波导，提出一种通过截断圆柱端并最小化二次泛函来逼近散射矩阵行的方法，该方法在连续谱区间上以指数速率收敛且无需预先检测束缚模。
2011-06-29 cs.NA math.AP math.NA
Eigenvalue Solvers for Modeling Nuclear Reactors on Leadership Class Machines
University of California, Berkeley（加州大学伯克利分校）；Oak Ridge National Laboratory（橡树岭国家实验室）
本文提出三种互补方法提升中性粒子输运计算效率，通过多组块Krylov求解器、Rayleigh商迭代法和多网格能级预处理器实现快速收敛与高效扩展，适用于大规模核反应堆模拟。
2017-12-12 cs.NA math.NA physics.comp-ph
