Polynomial preconditioning can improve the convergence of the Arnoldi method for computing eigenvalues. Such preconditioning significantly reduces the cost of orthogonalization; for difficult problems, it can also reduce the number of matrix-vector products. Parallel computations can particularly benefit from the reduction of communication-intensive operations. The GMRES algorithm provides a simple and effective way of generating the preconditioning polynomial. For some problems high degree polynomials are especially effective, but they can lead to stability problems that must be mitigated. A two-level "double polynomial preconditioning" strategy provides an effective way to generate high-degree preconditioners.
Stable High-Order Interpolation on the Grassmann Manifold by Maximum-Volume Coordinates and Arnoldi Orthogonalization
School of Mathematics and Physics, Xi’an Jiaotong-Liverpool University（西交利物浦大学数理学院）；Department of Mathematical Sciences, University of Liverpool（利物浦大学数学科学系）
Arnoldi-Enhanced Multivariate Hermite Interpolation of Manifold-Valued Data
School of Mathematics and Physics, Xi’an Jiaotong-Liverpool University（西交利物浦大学数理学院）；Department of Mathematical Sciences, University of Liverpool（利物浦大学数学科学系）
Sparse approximation of data-driven Polynomial Chaos expansions: an induced sampling approach
在前向不确定性量化（UQ）领域中的一个开放问题是形成仅具有关于随机输入的分布的不完全信息的不确定性的准确评估的能力。另一个挑战是有效地利用有限的训练数据进行复杂工程问题的UQ预测，特别是高维随机参数。我们解决这些挑战相结合的数据驱动的多项式混沌扩展与最近开发的预处理稀疏近似方法的UQ问题。在这个两步过程中的第一个任务是使用（Ahlfeld et al. 2016）中开发的程序，使用随机输入的有限数量的统计矩来构建“任意”多项式混沌扩展基。第二步是一个新的程序，通过$\ell^1$最小化，以量化的前向不确定性的影响稀疏近似。为了提高预处理的$\ell^1$最小化问题的性能，我们从所谓的诱导分布中采样，而不是从原始的未知概率测度中使用Monte Carlo（MC）采样。我们证明了测试问题，诱导抽样是一个有竞争力的，往往更好的选择相比，从渐近最优的措施（如平衡测度），当我们有不完整的信息分布的抽样。我们证明了能力的诱导抽样算法通过稀疏表示有限的数据上的检验函数，和随机杨氏模量的Kirchoff板弯曲问题。
Well-conditioned frames for high order finite element methods
本文的目的是讨论高阶$C^0$有限元空间在任意维单纯网格上的表示。当用高阶分段多项式计算时，基的条件可能是重要的。本文的主要结果是一个建设的框架表示，使相关的$L^2$条件数有界的多项式次数独立。据我们所知，以前没有提出过这样的陈述。我们将用于构造的主要工具是气泡变换，之前在[Falk and Winther，Found Comput Math（2016）16：297]中介绍过，以及高维单形上的雅可比多项式的性质。我们还包括一个简短的讨论预处理迭代法的有限元系统的设置表示的框架。
A generalized sampling and preconditioning scheme for sparse approximation of polynomial chaos expansions
Computer Science Research Institute, Sandia National Laboratories（桑迪亚国家实验室计算机科学研究所）；Scientific Computing and Imaging (SCI) Institute and Mathematics Department, University of Utah（犹他大学科学计算与成像研究所及数学系）；Institute of Computational Mathematics and the Chinese Academy of Sciences（中国科学院计算数学研究所）
Nonlinear Preconditioning: How to use a Nonlinear Schwarz Method to Precondition Newton's Method
University of Strathclyde（斯特拉斯克莱德大学）；Université de Genève（日内瓦大学）；Université Nice Sophia Antipolis（尼斯索菲亚安蒂波利斯大学）；Inria（法国国家数字科学研究所）；Hong Kong Baptist University（香港浸会大学）
