循环矩阵代数中的幂法和Arnoldi方法
The power and Arnoldi methods in an algebra of circulants
AI总结：
本文在循环矩阵代数中推广了幂法和Arnoldi方法，定义了内积、范数等概念，并揭示了循环矩阵具有多项式数量的特征值及其与快速傅里叶变换解耦技术的关系。
摘要：
循环矩阵在最近提出的三维数据计算形式中起着核心作用。在此设置中，三维表格对应于一个矩阵，其中每个“标量”是定义循环的参数向量。这种解释提供了矩阵或向量空间代数中许多结果的推广。我们在这个代数中推导了幂法和Arnoldi方法。在推导过程中，我们定义了内积、范数和其他概念。这些扩展在代数意义上是直接的，但其含义与标准矩阵情况截然不同。例如，循环矩阵在其维度上具有多项式数量的特征值；尽管这些特征值都可以通过精心选择的规范特征值和特征向量集来表示。这些结果和算法与使用快速傅里叶变换对块循环矩阵的标准解耦技术密切相关。
英文摘要：
Circulant matrices play a central role in a recently proposed formulation of three-way data computations. In this setting, a three-way table corresponds to a matrix where each "scalar" is a vector of parameters defining a circulant. This interpretation provides many generalizations of results from matrix or vector-space algebra. We derive the power and Arnoldi methods in this algebra. In the course of our derivation, we define inner products, norms, and other notions. These extensions are straightforward in an algebraic sense, but the implications are dramatically different from the standard matrix case. For example, a matrix of circulants has a polynomial number of eigenvalues in its dimension; although, these can all be represented by a carefully chosen canonical set of eigenvalues and vectors. These results and algorithms are closely related to standard decoupling techniques on block-circulant matrices using the fast Fourier transform.
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