How many cliques can a clique cover cover?
本文研究了利用图的团覆盖进行团计数的问题。应用包含/排除原理来确定$m$团的集合$\mathcal{C} = \{c_1, \ldots, c_m\}$的图并集中大小为$r$的团的数目。这导致了更深入的检查所涉及的集和轨道分区，$Γ$，幂集$\mathcal{P}(\mathcal{N}_{m})$的$\mathcal{N}_{m} = \{1, \ldots, m\}$。应用于集团，这种划分使洞察集团枚举和集团内的集团覆盖，包括集团的大小$r$的数量表达式，以及这些图上的集团的生成函数产生新的结果。商图模这个划分提供了一个简洁的表示，以确定集团和最大集团在图联合。分区还提供了一个自然和强大的框架，相关的问题，如枚举诱导连接组件，通过借鉴连接到极值集合论通过相交集。
2022-06-29 math.CO
An exact upper bound on the size of minimal clique covers
不定字符串在最近的过去受到了相当大的关注;例如，参见Christodoulakis et al 2015和Helling et al 2017。这种关注是由于它们在生物信息学中的适用性，以及与无向图的自然对应。这种对应的一个方面是这样一个事实，即表示任何给定的无向图的不定数的最小字母表大小对应于该图的最小团覆盖的大小。本文解决了Helling等人在2017年提出的一个相关问题：计算$Θ_n(m)$，它是最大可能的最小团覆盖的大小（即，精确的上限），以及相应的不确定性的字母表大小，任何图的$n$顶点和$m$边。
2017-05-17 cs.DM math.CO
Eternal Domination and Clique Covering
利用大规模计算和解析方法研究了图的永恒控制数与团覆盖数之间的关系。在此过程中，我们回答了克洛斯特迈耶和明哈特的两个开放性问题。我们证明了永远控制数小于团覆盖数的最小图有$10$顶点。确定了永远控制数小于其团覆盖数的$10$ -顶点图和$11$ -顶点图的完全集.我们证明了具有此性质的最小无三角形图的阶为$13$，最小循环图也是如此。我们描述了一种生成无限族无三角形图和无限族永恒控制数小于其团覆盖数的循环图的方法。我们还考虑了可平面图和三次图。最后，我们证明了对任意整数$k \geq 2$，存在无穷多个图的控制数和永恒控制数等于$k$，且含有不是永恒控制集的控制集.
2022-02-21 cs.DM math.CO
Local Clique Covering of Graphs
一个单图G的k-团覆盖是指G的一个边被它的团覆盖，使得每个顶点至多包含在k个团中。G允许k-团覆盖的最小k称为G的局部团覆盖数，记为$lcc(G)$。局部团覆盖数可以看作是团覆盖数的局部对应，其等于覆盖所有边的团的最小总数。在本文中，这个问题的几个方面进行了研究，并讨论了它与其他知名问题的关系。此外，我们还研究了无爪图及其子类的局部团覆盖数。特别地，证明了每个无爪图的局部团覆盖数至多为$cΔ/ \logΔ$，其中$Δ$是图的最大度，$c$是泛常数.它还表明，该界是紧的，直到一个常数因子。进一步证明了线性区间图的局部团数是由$\logΔ+ 1/2 \log \logΔ+ O(1)$限定的.最后，作为副产品，得到了一个新的集合系统相交对的Bollobas型不等式。
2012-10-25 math.CO
Compressed Cliques Graphs, Clique Coverings and Positive Zero Forcing
与图相关的迫零参数已经被研究了十多年，并且随着相关应用数量的增长而越来越受欢迎。特别是，众所周知，这些参数与某些顶点覆盖有关。继续沿着这些路线，我们调查的背景下，某些集团覆盖的正零强迫。这里考虑的一个关键对象是压缩团图。我们研究了一些与压缩团图相关的性质，包括：唯一性，禁止子图，连接到约翰逊图，和正迫零。
2015-08-28 math.CO
Maximizing the number of vertices of an N-clique cover of the edges of a graph on N vertices
到目前为止，关于按团覆盖图的边的所有工作都集中在寻找覆盖图的最小团数上。在本文中，我们确定了覆盖一个图的团的数目与图的顶点数相同，并给出了在这种覆盖是可能的情况下，这些团的顶点数之和的上界。
2017-03-08 math.CO
On Clique Coverings of Complete Multipartite Graphs
图$G$的团覆盖是指图$G$的一组团，使得$G$的任何边都包含在这些团中，团覆盖的权是其中团的大小之和.图$G$的sigma团覆盖数$scc(G)$定义为$G$的团覆盖的最小可能权.令$ K_t(d) $表示完全$ t $ -部图，其中每个部分的大小为$d$。本文证明了对任何固定的PDMATHAMR，都有$$\lim_{t \rightarrow \infty} scc(K_t(d))= \frac{d}{2} t\log t.$$.这证明了Davoodi，Javadi和Omoomi的一个猜想是错误的.
2018-09-05 math.CO
Sigma clique covering of graphs
sigma团覆盖数（分别为sigma团划分数），记为sc（G）（分别为scp（G）），定义为存在G的团的集合的最小整数k，覆盖（分别为划分）G的所有边，使得团的大小之和至多为k。在本文中，在一些结果中，我们提供了一些紧界的SCC和SCP。
2015-03-09 math.CO
When do graph covers preserve the clique dynamics of infinite graphs?
本文研究无限图在三角覆盖映射下团动力学（收敛/发散）的保持性，给出反例并证明两类局部条件足以保证覆盖稳定性。
2025-03-28 math.CO
Clique covers of H-free graphs
一个完全二部图$K_{n/2,n/2}$需要$n^2/4$团来覆盖它的所有边，但是如果$G$没有$K_{t,t}$诱导子图，需要多少团来覆盖它的所有边呢？我们证明了$O(|G|^{2-1/(2t)})$团足够的，也证明了，即使没有独立集的大小为4的图，我们可能需要超过线性许多团。这解决了最近在里昂举行的一次会议上讨论的两个问题。
2022-11-22 math.CO
Some results and problems on clique coverings of hypergraphs
对于$k$ -一致超图$F$，我们考虑参数$Θ(F)$，它是$F$的团覆盖的最小尺寸.我们推导出$F$属于不同类别的超图的$Θ(F)$的界。
2022-12-12 math.CO
Clique Coverings and Claw-free Graphs
令$\cal C$是$E(G)$的团覆盖，令$v$是$G$的顶点。顶点$v$（相对于$\cal C$）的化合价，用$val_{\cal C}(v)$表示，是包含$v$的$\cal C$中的团的数目。定义$G$的局部团覆盖数$lcc(G)$为最小整数$k$，对于该最小整数，对每个顶点$v\in V(G)$，存在$E(G)$的团覆盖使得$val_{\cal C}(v)$至多为$k$.在本文中，除了其他结果，我们证明了，如果$G$是一个无爪图，那么$lcc(G)+χ(G)\leq n+1$。
2016-08-27 math.CO
Cohen-Macaulay $r$-partite graphs with minimal clique cover
本文给出了$r$ -部图的边环是Cohen-Macaulay的必要条件。证明了如果$G$是一个$r$ -部Cohen-Macaulay图，且该图被一些大小为$r$的不相交团覆盖，则团覆盖是唯一的.
2012-10-04 math.AC math.CO
Unit Incomparability Dimension and Clique Cover Width in Graphs
对于无向图$G$中的团覆盖$C$，$C$的{ \it团覆盖图}是通过将$C$中的每个团的顶点收缩为单个顶点而获得的图。$G$的{ \it团覆盖宽度}，用$CCW(G)$表示，是$G$中所有团覆盖图的带宽的最小值。已知任何具有$CCW(G)=1$的$G$是不可比较图，因此称为{ \it单位不可比较图}。我们引入{ \it单位不可比维数$G$ }，记为$Udim(G)$，使其为最小整数$d$，使得存在具有$V(H_i)=V(G), i=1,2,...,d$的单位不可比图$H_i$，使得$E(G)=\cap_{i=1}^d E(G_i)$ .我们证明了一个建立不等式$Udim(G)\le CCW(G)$的分解定理。具体地说，给定任何$G$，都有单位不可比图$H_1,H_2,...,H_{CC(W)}$与$V(H_i)=V(G)$，使得和$E(G)=\cap_{i=1}^{CCW} E(H_i)$。此外，$H_i$是共二分的，对于$i=1,2,...,CCW(G)-1$。此外，我们观察到，$CCW(G)\ge s(G)/2-1$，其中$s(G)$是在一个最大的诱导星的$G$的叶数，并使用拉姆齐理论给出一个上界$s(G)$，当$G$表示为一个交叉图使用我们的分解定理。最后，当$G$是不可比较图时，证明了$CCW (G)\le s(G)-1$ .
2017-05-11 cs.DS math.CO
On the Complexity of Maximum Clique Algorithms: usage of coloring heuristics leads to the 2^(n\5) algorithm running time lower bound
最大团问题（Maximum Clique Problem，MCP）是Karp在1972年提出的21个NP完全问题之一。近年来出现了大量求解MCP的精确方法（Babel，Wood，Kumlander，Fahle，Li，Tomita等）。其中大部分是分支定界算法，它们利用Balas和Yu提出的分支规则，基于着色算法来建立团数的上界。它们之间的区别主要在于顶点预排序和顶点着色方法。目前的分支定界算法的最坏情况下的运行时间分析方法不允许提供严格的上限。这激发了对此类算法的下界的研究。利用着色算法证明了一类MCP算法的2^（n\5）下界.
2013-03-11 cs.DM cs.DS math.CO
Covering the edges of a random graph by cliques
图G的团覆盖数是指覆盖图G的边所需的最小团数。本文考虑随机图G（n，p），其中p是常数.证明了在概率为1-o（1）的情况下，G（n，p）的团数为Theta（n^2/ \log^2 n）.
2011-03-24 math.CO
Domination, Eternal Domination, and Clique Covering
永恒和m-永恒控制涉及到使用移动卫士来保护图免受无穷序列在顶点的攻击。永恒支配允许一个守卫每次攻击移动，而在m-永恒支配模型中，每次攻击可以移动多个守卫。本文研究了由图的控制数、永恒控制数、m-永恒控制数、独立性和团覆盖数组成的不等式链。在其他结果中，我们刻画了控制和永恒控制数等于2的二部图和无三角图，具有相等m-永恒控制和团覆盖数的树，以及两类具有相等控制、永恒控制和团覆盖数的图。
2014-07-20 math.CO
Hereditary Graph Classes: When the Complexities of Colouring and Clique Cover Coincide
如果一个图不包含同构于$H_1$或$H_2$的导出子图，则对于一对图$H_1,H_2$，该图是$(H_1,H_2)$ -free的.在2001年，Král '，Kratochv' ıl，Tuza和Woeginger开始了一项关于无$(H_1,H_2)$图着色复杂性的研究。从那时起，其他人试图完成他们的研究，但许多案件仍然悬而未决。我们主要研究$H_2$是$H_1$的补$\overline{H_1}$的无$(H_1,H_2)$图.由于这些类在互补下是封闭的，因此着色和团覆盖的计算复杂性一致。通过结合新的和已知的结果，我们能够分类的复杂性着色和团覆盖的$(H,\overline{H})$ -自由图的所有情况下，除了当$H=sP_1+ P_3$的$s\geq 3$或$H=sP_1+P_4$的$s\geq 2$。我们还分类的复杂性着色的图形类，其特征在于禁止有限数量的自互补诱导子图，我们发起了一项研究的$k$ -着色的$(P_r,\overline{P_r})$ -自由图。
2017-06-07 cs.CC cs.DM cs.DS
Exact upper bounds for the minimum sizes of strong and weak separating path systems of cliques
University of Chile（智利大学）；Center for Mathematical Modeling (CNRS IRL2807)（数学建模中心）
研究确定了完全图强分离数和弱分离数的上界，改进了之前的结果。
2026-03-24 math.CO
Edge Clique Covers in Graphs with Independence Number Two: a Special Case
图$G$的边团覆盖数$ecc(G)$是其并集覆盖$G$的所有边的完全子图的最小集合的大小。证明了所有独立数为2的单图都满足$ecc(G)\leq n$ .首先，我们提出了一类图包含难以覆盖的边缘，但满足猜想。其次，我们描述了一个大类的图$G$，使$ecc(G)\leq \frac{3}{2}n$。这个类很容易描述。
2021-12-07 math.CO
On minimal free resolutions of the cover ideals of clique-whiskered graphs
本文研究了 clique-whiskered 图的覆盖理想最小自由 resolutions，介绍了 multi-clique-whiskered 图，并给出了其边理想的相关代数性质。
2025-12-01 math.AC math.CO
Improving Upper Bounds for the Maximum Clique Problem using Reduction Rules
Faculty of mathematics and physics, University of Ljubljana（卢布尔雅那大学数学物理学院）；Rudolfovo, Science and Technology Centre Novo mesto（鲁多尔福沃新梅斯托科学技术中心）
研究最大团问题中约简规则与上界函数的相互作用，提出用上限测试强化约简的方法，引出新的桁架等概念并证明相关性质，给出改进上界值的框架及实例，实验表明能显著改进上界函数并提升计算效率。
2026-07-14 cs.DS math.CO
Product irregularity strength of graphs with small clique cover number
对于一个没有孤立点和孤立边的图$X$，一个乘积-不规则标号$ω:E(X)\rightarrow \{1,2,\ldots,s\}$，首先由Anholcer在2009年定义，是$X$的边的标号，使得对于$X$的任何两个不同的顶点$u$和$v$，与$u$关联的边的标号的乘积不同于与$v$关联的边的标号的乘积。存在产品不规则标记的最小$s$被称为$X$的产品不规则强度，并由$ps(X)$表示。图的团覆盖数是划分其顶点集的最小团数。本文证明了具有团覆盖数$2$或$3$的连通图的乘积无规强度与$3$相等，但有一些小的例外.
2018-06-27 math.CO
On the clique covering numbers of Johnson graphs
研究 Johnson 图的顶点团覆盖数，给出小参数情形的恒等式、小图计算值与一般界，并利用恒重 lexicode 构造特定 $J(2k,k)$ 的最优覆盖。
2025-02-20 math.CO
The Lovász Theta Function for Recovering Planted Clique Covers and Graph Colorings
University of Southern California（南加州大学）；National University of Singapore（新加坡国立大学）；Singapore University of Technology and Design（新加坡科技设计大学）；Archimedes/Athena RC, Greece（希腊阿基米德/雅典研究中心）；Centre for Quantum Technologies, National University of Singapore（新加坡国立大学量子技术中心）
本文研究了洛瓦兹θ函数在随机图中恢复嵌入clique覆盖结构的能力，证明了其在特定模型下的有效性。
2026-02-04 cs.DS cs.IT math.CO
Graphs vertex-partitionable into strong cliques
如果一个图的所有极大独立集的大小相同，则称该图是良好覆盖的。在1999年，Yamashita和Kameda引入了一个良好覆盖图的子类，称为局部化图，并定义为具有顶点集划分为强团的图，其中图中的团是强的，如果它与所有极大独立集相交。Yamashita和Kameda观察到所有覆盖良好的树都是可局部化的，指出逆包含一般都失败了，并要求对可局部化图进行表征。本文得到了几个关于可局部化图的结构和算法结果。我们的研究结果包括一个事实证明，每一个非常好的覆盖图是本地化的和本地化的图形内的线图，三角形的自由图，$C_4$ -免费的图形，和三次图类的特征，每个导致一个多项式时间识别算法。在消极的一面，我们证明了NP-困难的识别局部化图类的弱弦图，补充线图，图的独立数为3。此外，使用局部化图，我们反驳了一个猜想，由于Zaare-Nahandi约$k$ -particular良好覆盖图的所有最大团的大小$k$。我们的结果统一和推广了文献中的几个结果。
2017-01-06 cs.DM math.CO
Maximal Clique and Edge-Ranking Bounds of Biclique Cover Number
图$G$的双团覆盖数$(\text{bc})$表示覆盖图的所有边的完全二部（双团）子图的最小数目。本文证明了对于任意图$G$，有$\text{bc}(G) \geq \lceil \log_2(\text{mc}(G^c)) \rceil \geq \lceil \log_2(χ(G)) \rceil$，其中$χ(G)$是$G$的色数，$\text{mc}(G^c)$是补图$G^c$的最大团数，即，$G$的最大独立集的个数。我们还表明，$\lceil \log_2(\text{mc}(G^c)) \rceil$可能是一个严格的biclique覆盖数比其他现有的下界更严格的下界。我们还可以提供$\text{bc}(G)$相对于$G$的双团分区数（$\text{bp}$）的界限：如果$G$是共弦的，则为$\text{bc}(G) \geq \lceil \log_2(\text{bp}(G) + 1) \rceil$或$\text{bp}(G) \leq 2^{\text{bc}(G)} - 1$。此外，我们证明了$\text{bc}(G) \leq χ_r'(T_{{K}^c})$，其中$G$是一个共弦图，使得每个顶点是在最多两个最大独立集和$χ_r'({T}_{{K}^c})$是最佳边排名数的$G^c$的团树。
2023-03-09 cs.DM math.CO
The Inductive Graph Dimension from The Minimum Edge Clique Cover
本文证明了两个图的联的递归（Knill）维数有一个简单的公式：$\mathrm{dim\,} (G_1+G_2) = 1 +\mathrm{dim\,} G_1+ \mathrm{dim\,} G_2$ .利用这个公式，我们导出了一个图的最小团覆盖的Knill维数的表达式。该公式的一个推论是，由相同阶$N$的完全图$K_N$的任意并集构成的图将具有维数$N-1$。最后，我们找到了一个图的Knill维数的下限和上界。
2020-12-22 math.CO
Conformal Hypergraphs: Duality and Implications for the Upper Clique Transversal Problem
本文研究对偶超图的共形性识别问题，证明其属于 co-NP，并给出有界维数下的多项式时间算法及维数3到2-SAT的归约，还推出识别极大团极小横截规模有界图的多项式算法。
2024-05-10 cs.CC cs.DM cs.DS
Clique covers and decompositions of cliques of graphs
本文研究图的边与t顶点团的团覆盖和分解问题，证明了Erdős猜想及Dau等人猜想的分数松弛和渐近最优版本，方法结合Zykov对称化、Frankl-Rödl nibble与Szemerédi正则引理。
2026-09-16 math.CO
Upper Tails for Cliques
与$ξ_{k}=ξ_{k}^{n,p}$的$K_k$的副本数在通常的（Erdens-Rényi）随机图$G(n,p)$，$p\geq n^{-2/(k-1)}$和$η>0$，我们表明当$k>1$ $$\Pr(ξ_k> (1+η)\E ξ_k) < \exp [-\gO_{η,k} \min\{n^2p^{k-1}\log(1/p), n^kp^{\binom{k}{2}}\}].$$这是紧的指数常数的值。
2012-11-09 math.CO math.PR
On the $4$-clique cover number of graphs
本研究针对t≥4时t-团覆盖数由Turán图T_{n,t}最大化的猜想，结合归纳框架、贪心划分等新技术，证实了t=4时的猜想，推进了团覆盖数极值问题的研究。
2025-06-12 math.CO
Edge-clique graphs of cocktail parties have unbounded rankwidth
为了寻找一个求解上图边团覆盖问题的多项式时间算法，我们证明了上图的边团图具有有界的秩宽。然而，事实并非如此。本文证明了鸡尾酒会图的边团图具有无界的秩宽。
2012-05-11 cs.DM math.CO
Minimum-excess coverings of complete graphs by 3-, 4-, and 5-cliques
VSB–Technical University of Ostrava（俄斯特拉发理工大学）；University of Ostrava（俄斯特拉发大学）；Charles University（查理大学）
研究用3、4、5阶团完全覆盖K_v的两层优化：第一层最小化边重复次数（过剩），第二层在最小过剩中最小化团数，确定所有v的最小过剩并给出部分精确值。
2026-10-01 math.CO
Clique decompositions and covers for large graphs
Yau Mathematical Sciences Center, Tsinghua University（丘成桐数学科学中心，清华大学）
本文针对大图的团分解与覆盖问题，解决了Erdős等人提出的两个团相关猜想，确定了等号成立的情况，采用线性规划对偶性、图删除引理等方法完成证明。
2026-08-27 math.CO
Cliquewidth and dimension
本文证明有界团宽且维数足够大的偏序集必含标准例子或Kelly例子，并据此完整刻画了覆盖图在子图封闭图类中时偏序集维数有界的条件，同时证明有界团宽蕴含布尔维数有界。
2025-10-18 cs.DM math.CO
Domination polynomial of clique cover product of graphs
设$G$是阶为$n$的简单图。$G$的控制多项式是多项式$D(G, x)=\sum_{i=1}^n d(G,i) x^i$，其中$d(G,i)$是大小为$i$的$G$的控制集的数目。对于两个图$G$和$H$，设$\mathcal{C} = \{C_1,C_2, \cdots, C_k\}$是$G$和$U\subseteq V(H)$的团覆盖。我们考虑由$G$得到的团覆盖积，记为$G^\mathcal{C} \star H^U$：对于每个团$C_i \in \mathcal{C}$，添加图$H$的一个副本，并将$C_i$的每个顶点连接到$U$的每个顶点.证明了团覆盖积$G^\mathcal{C} \star H^{V(H)}$或简称$G^\mathcal{C} \star H$的控制多项式为\[ D(G^\mathcal{C} \star H,x)=\prod_{i=1}^k\Big [\big((1+x)^{n_i}-1\big)(1+x)^{|V(H)|}+D(H,x)\Big], \]，其中每个团$C_i \in \mathcal{C}$都有$n_i$个顶点.作为结果，我们研究了某些图族的$\mathcal{D}$ -等价类。此外，我们还完整地描述了友谊图的$\mathcal{D}$ -等价类的聚合$n$副本的长度为3的循环图与一个共同的顶点。
2016-05-08 math.CO
On the difference between clique partition and clique covering numbers
College of Computer Science, Nankai University（南开大学计算机学院）
本文证明了图论中团划分数与团覆盖数之差的最大值相关量 \\(d_n\\) 的阶为 \\(\Theta(n^{4/3})\\)，否定了 Erdős 等人关于 \\(d_n=O(n)\\) 的猜想。
2026-09-18 math.CO
Largest reduced neighborhood clique cover number revisited
设$G$是一个图，而$t\ge 0$ .由${\hatβ}_t(G)$表示的$G$的最大缩减邻域团覆盖数是可以覆盖$H$中顶点的任何闭合邻域的最小数目的团中的最大的、$G$的总体$t$ -浅子$H$。已知${\hatβ}_t(G)\le s_t$，其中$G$是一个不可比图，$s_t$是同构于$s_t$叶上诱导星的最大$t-$浅子图中的叶数.在本文中，我们给出了一个概述的性质${\hatβ}_t(G)$，包括连接到最大约化平均密度的$G$，或$\bigtriangledown_t(G)$，介绍了一类图的有界邻域团覆盖数，并推导出一个简单的下限和上界这个重要的图参数。我们宣布两个apturtures，一个值的${\hatβ}_t(G)$，另一个分离定理（相对于一定的措施）的一类有趣的图，即类的不可比图，我们怀疑有一个多项式有界的邻域集团覆盖数，当最大的诱导星的大小是有界的。
2017-05-07 math.CO
The number of cliques in graphs covered by long cycles
设$G$是一个2-连通$n$ -顶点图，$N_s(G)$是$G$中$s$ -团的总数.令$k\ge 4$和$s\ge 2$为整数。在本文中，我们证明了，如果$G$有一个边$e$，这是不是在任何周期的长度至少$k$，那么$N_s(G)\le r{k-1\choose s}+{t+2\choose s}$，其中$n-2=r(k-3)+t$和$0\le t\le k-4$。这一结果解决了Ma和Yuan的一个猜想，并提供了Fan，Wang和Lv的一个定理的一个集团版本。作为直接推论，如果$N_s(G)> r{k-1\choose s}+{t+2\choose s}$，则$G$的每条边都被长度至少为$k$的圈覆盖。
2021-11-30 math.CO
Clique Numbers of Graphs and Irreducible Exact m-Covers of Z
对任意m>=1和k>=2，我们构造了一个图G=（V，E），其中ω（G）=m，使得对于任意划分V= \cup. \cup V_k，其中ω（G）是G的团数，G[V_i]是G的以V_i为顶点集的诱导子图.利用这一结果，我们证明了对任意m>=2，存在Z的一个精确m-覆盖，它不是两个1-覆盖的并.
2008-04-26 math.CO math.NT
The Inductive Graph Dimension from The Minimum Edge Clique Cover
本文证明了归纳定义的图维数在连接运算下具有简单的可加性。两个单图的连接的维数是1加上组成图的维数之和：$\mathrm{dim}\, (G_1+ G_2) = 1 +\mathrm{dim}\, G_1+ \mathrm{dim}\, G_2$。利用这个公式，我们导出了任意有限单图的最小边团覆盖的归纳维数的表达式。这个公式的一个推论是：任何最大团都是$N$阶的有限单图都有维数$N-1$ .最后，我们找到了一个单图的诱导维数的上界，根据它的团数。
2020-12-21 math.CO
Random subcube intersection graphs I: cliques and covering
本文研究了随机子立方体交图，即通过选择一个固定超立方体$Q_d$的子立方体的随机集合作为图的顶点，并在一对子立方体的交不为空时在它们之间设置一条边而得到的图.我们考虑这种图的动机是在一个大的网络中的顶点之间的模型“随机兼容性”。对于本文所考虑的两种模型，我们确定了覆盖底层超立方体$Q_d$和s-团出现的阈值。此外，我们提出了一些开放的问题。
2015-06-03 math.CO math.PR
Covering minimal separators and potential maximal cliques in $P_t$-free graphs
一个图称为$P_t$ -free}，如果它不包含一个$t$ -顶点路作为导出子图。虽然$P_4$ -free图是严格的余图，但对于$t \geq 5$的$P_t$ -free图的结构仍然知之甚少.一方面，经典的计算问题，如最大权独立集（MWIS）和$3$ -着色是不知道是NP-困难的$P_t$ -自由图的任何固定的$t$。另一方面，尽管付出了巨大的努力，但直到最近才发现$P_6$ -free graphs~[SODA 2019]中MWIS的多项式时间算法和$P_7$ -free graphs~[Combinatorica 2018]中的$3$ -Coloring。在这两种情况下，算法都依赖于对所考虑的图类的深入结构洞察。在$P_5$自由图~[SODA 2014]和$P_6$自由图~[SODA 2019]中的MWIS算法中的主要工具之一是所谓的分离器覆盖引理，该引理断言图中的每个最小分离器都可以被恒定数量顶点的邻域的并集覆盖。本文证明了这样一个命题推广到$P_7$ -free图，而在$P_8$ -free图中是假的.我们还讨论了类似的这样一个声明覆盖潜在的最大集团工会的邻域。
2020-03-27 cs.DM math.CO
Minimal normal graph covers
一个图是正规的，如果它允许一个团覆盖$\mathcal C$和一个稳定集覆盖$\mathcal S$，使得$\mathcal C$中的每个团和$\mathcal S$中的每个稳定集有一个公共顶点。对$(\mathcal{C,S})$是图的正规覆盖。我们给出了正规覆盖的极值性质。对于正整数$c,s$，如果一个顶点数为$n$的图的正规覆盖的团的大小至多为$c$，稳定集的大小至多为$s$，则$c+s\geq\log_2(n)$ .对于无穷多个$n$，我们也给出了一个图的结构与$n$顶点，允许一个正常的覆盖团和稳定集的大小小于$0.87\log_2(n)$。进一步证明了对所有的$n$，存在一个正规图，它的顶点数为$n$，团数为$Θ(\log_2(n))$，独立数为$Θ(\log_2(n))$ .当$c$或$s$非常小时，我们可以描述所有具有尽可能多的顶点数的正规图，这些顶点数允许正规覆盖的团的大小最多为$c$，稳定集的大小最多为$s$。然而，即使对于$c$和$s$的适度小的值，这样的极值图仍然难以捉摸。
2016-01-06 math.CO
On the complete width and edge clique cover problems
一个完全图是其中每两个顶点相邻的图。对于图$G=(V,E)$，$G$的完全宽度是最小$k$，使得存在$k$独立集$\mathtt{N}_i\subseteq V$，$1\le i\le k$，使得由$G$通过在集$\mathtt{N}_i$，$1\le i\le k$内的某些顶点之间添加一些新边而得到的图$G'$是完全图。图的完全宽度问题是决定给定图的完全宽度是否至多为$k$。本文研究完全宽度问题。我们证明了完全宽度问题在$3K_2$ -free二部图上是NP-完全的，在$2K_2$ -free二部图和$(2K_2,C_4)$ -free图上是多项式可解的。作为一个副产品，我们得到了以下新的结果：边团覆盖问题是NP-完全的$\overline{3K_2}$ -free的共二部图和多项式可解的$C_4$ -free的共二部图和$(2K_2, C_4)$ -free的图。我们还给出了$k$ -探针完全图的一个特征，这意味着完全宽度问题允许一个至多$2^k$顶点的核。这为边团覆盖问题允许至多$2^k$顶点的核这一已知事实提供了另一个证明。最后我们确定了所有具有小完全宽度$k\le 3$的图。
2016-12-23 cs.DM math.CO
Detecting strong cliques
图中的强团是与每个极大独立集相交的团。本文研究了图中与强团有关的六个算法判定问题的计算复杂性，几乎完全确定了它们在弦图、弱弦图、线图及其补图和最大度不超过3的图类中的复杂性.我们的研究结果依赖于连接匹配，并涉及到几个图形的性质在文献中研究，包括覆盖图，局部化图，和一般的分区图。
2018-08-24 cs.CC cs.DM cs.DS
Independent sets in edge-clique graphs
我们证明了鸡尾酒会图的边团图具有无界的秩宽。这一点和其他观察使我们猜想，边团覆盖问题是NP-完全的cographs。证明了边团图和距离遗传图的边团图的独立集问题可以在O（n^4）时间内得到解决。证明了无奇轮图的边团图的独立集问题是NP-完全的。
2012-06-10 cs.DM math.CO
On the largest reduced neighborhood clique cover number of a graph
设$G$是一个图，而$t\ge 0$.引入了一个新的图参数--$G$的最大约化邻域团覆盖数，记作${\hatβ}_t(G)$.具体地，${\hatβ}_t(G)$是最大的，整体$t$-浅子$H$的$G$，最小数目的团，可以覆盖$H$中的顶点的任何封闭邻域。我们验证${\hatβ}_t(G)=1$时，$G$是弦，和，${\hatβ}_t(G)\le s$，其中$G$是一个不可比图，没有一个$t-$浅未成年人是同构的诱导星$s$叶。此外，${\hatβ}_t(G)$的一般性质，包括连接到最大约化平均密度的$G$，或$\bigtriangledown_t(G)$的研究和调查。例如，我们展示了${{\hatβ}_t(G)\over 2}\le \bigtriangledown_t(G)\le p.{\hatβ}_t(G),$，其中$p$是最大完全图的大小，该图是$G$的$t-minor$。此外，我们证明了任何最小团覆盖的最大比例的最大独立集采取的整体$t-$子式的$G$是一个下界的${\hatβ}_t(G)$。我们进一步引入一类有界邻域团覆盖数，其中${\hatβ}_t(G)$对每个$t\ge 0$具有有限值，并验证了肥胖对象的几何相交图（深度没有限制）对该类的成员资格。这些结果支持了关于邻域团覆盖数为多项式有界的类图在一定测度下可能存在分离器定理的猜想。
2016-12-11 math.CO
Local Clique Covers and Chromatic Number
本文证明了局部团覆盖数与色数之和不超过顶点数加一的猜想，并给出了达到等号时图的结构性质及诱导匹配的改进界。
2026-09-09 math.CO
A Note on the Parallel Cleaning of Cliques
我们反驳了在[Gaspers等人，Discrete应用数学，2010]，并为连续并行清洁团所需的最小数量的刷子提供新的上界。
2019-12-30 math.CO
Bounds for the Clique Cover Width of Factors of the Apex Graph of the Planar Grid
$G$的{ \it团覆盖宽度}，用$ccw(G)$表示，是通过将$G$的团覆盖中的团收缩为单个顶点而获得的所有图的带宽的最小值。对于$i=1,2,...,d,$，设$G_i$是一个具有$V(G_i)=V$的图，而$G$是一个具有$V(G)=V$和$E(G)=\cap_{i=1}^d(G_i)$的图，那么我们写$G=\cap_{i=1}^dG_i$，并称每个$G_i,i=1,2,...,d$为$G$的一个因子。我们感兴趣的情况下，$G_1$是弦，和$ccw(G_i),i=2,3...,d$的每个因素$G_i$是“小”。这里我们给出了一个否定的结果。具体地，令${\hat G}(k,n)$是通过将度为$n^2$的一组$k$顶点连接到$n\times n$网格的所有顶点，然后在这些$k$顶点中添加一些可能的边而获得的图。我们证明，如果${\hat G}(k,n)=\cap_{i=1}^dG_i$，与$G_1$弦，那么，$max_{2\le i\le d}\{ccw(G_i)\}\ge {n^{1\over d-1}\over 2.{(2c)}^{1\over {d-1}}}$，其中$c$是一个常数。此外，对于$d=2$，我们构造了一个弦图$G_1$和一个具有$ccw(G_2)\le {n\over 2}+k$的图$G_2$，使得${\hat G}(k,n)=G_1\cap G_2$。最后…
2016-02-17 cs.DM math.CO
Independent sets in edge-clique graphs II
我们证明了鸡尾酒会图的边团图具有无界的秩宽。这一点和其他观察使我们猜想，边团覆盖问题是NP-完全的cographs。证明了余图的边团图的独立集问题。证明了无奇轮图的边团图的独立集问题是NP-完全的。我们提出了一个可平面图的PTAS，并证明了对于不含三角形分隔符的可平面图，该问题是多项式的。
2013-05-06 cs.DM math.CO
Strength of the Upper Bounds for the Edge-Weighted Maximum Clique Problem
Sapienza University of Rome（罗马第一大学）；Universitas Mercatorum（Mercatorum大学）
本文比较了边权最大团问题三种主要上界理论和计算性能，通过实例证明其无界性，分析了上界间的相对强度，并通过实验验证上界在实际中的表现。
2026-08-27 math.CO math.OC
