关于同调极小面积紧致奇异子流形切锥的实现

切丛的横截全测地子流形

Transverse totally geodesic submanifolds of the tangent bundle

众所周知，如果$ξ$是一个给定黎曼流形$M^n$上的光滑向量场，那么$ξ$自然定义了一个横截于切丛$TM^n$的纤维的子流形$ξ(M^n)$，且该子流形具有Sasaki度量.本文研究了切丛的横截全测地子流形。证明了$TM^n$（$1 \leq l \leq n$）的横子流形$N^l$可以局部地实现为$M^n$的子流形$F^l$在沿$F^l$定义的某个向量场$ξ$下的像.对于这样的图像$ξ(F^l)$，条件是完全测地线。我们证明了这些条件并不像$l=n$那样严格，并且我们处理了几种特殊情况（$ξ$的常长，$ξ$垂直于$F^l$，$M^n$的常曲率，$M^n$李群和$ξ$左不变向量场）

具有柱形切锥的非积极小子流形

Nonproduct Minimal Submanifolds with Cylindrical Tangent Cones

本文通过扰动方法构造无穷维族具有柱形切锥奇异集的非积极小子流形，解答了Leon Simon的问题，推广了Caffarelli-Hardt-Simon的工作，需用tame Fréchet空间范畴与Nash-Moser隐函数定理完成研究。

切Dirac结构与子流形

Tangent Dirac structures and submanifolds

我们写下的局部方程的特点的子流形N的狄拉克流形M具有一个正常的丛，要么是一个共迷向或迷向子流形TM赋予切狄拉克结构。在Poisson情形下，这些公式再次证明了徐的一个结果：子流形N有一个法丛，它是TM的具有切Poisson结构的共迷向子流形当且仅当N是Dirac子流形。在前辛情形中，法丛的各向同性刻画了狄拉克子流形的相应概念。在此过程中，我们给出了切狄拉克结构的简单定义，对它进行了新的评论，并为狄拉克流形的各种有趣的子流形类建立了特征局部公式。

子流形与Sasaki度量

Submanifolds and the Sasaki Metric

这是作者在2009年利哈伊大学几何/拓扑会议上的演讲内容。利用Dieudonné给出的联络定义，给出了黎曼流形切丛上的Sasaki度量的自然表示.此外，还建立了以下属性。等距嵌入子流形的切丛上的诱导度量是Sasaki度量当且仅当子流形是全测地的。

关于切丛中一类具有g -自然度量-法向提升的子流形

On a class of submanifolds in tangent bundle with g - natural metric - normal lift

黎曼流形$M$到黎曼流形$N$的等距浸入以一种自然的方式产生到具有非退化$g-$自然度量$G$的切丛$TN$的各种浸入。本文引入并研究了由浸入$f:M\longrightarrow N$自身和法丛定义的浸入$TN$。

黎曼子流形上切空间变分的初等方法

An elementary approach to tangent space variation on Riemannian submanifolds

给出了欧氏空间中黎曼子流形的切空间变差关于子流形的局部特征尺寸的渐近紧估计。我们表明，直接从结构性质的局部特征尺寸的黎曼子流形和一些基本的欧几里德几何的结果。我们还表明，使用切线变分的结果，可以证明一个新的局部特征尺寸函数的结构性质。该结构性质是Giesen和Wagner [GW 04，Lem. 7]。

拉格朗日子流形的中曲率流的奇性

Singularity of Mean Curvature Flow of Lagrangian Submanifolds

本文研究了拉格朗日中曲率流的切锥第一次奇异性。若初始紧致子流形是Lagrange子流形，且几乎由Calabi-Yau n-fold（M，Ω）中的ReΩ标定，且T>0是中曲率流的第一次爆破时刻，则中曲率流在奇点（X，T）处的切锥是R \sup 2 n中的定常Lagrange整数重流，且X处的体积密度大于1.当n=2时，切锥由R \sup 4中的多个2-平面的有限并组成，这些2-平面在R \sup 4上的复结构中是复的。

超曲面中余维2子流形的等仿射Darboux框架

Equiaffine Darboux Frames for Codimension 2 Submanifolds contained in Hypersurfaces

考虑余维$1$子流形$N^n\subset M^{n+1}$，其中$M^{n+1}\subset\mathbb{R}^{n+2}$是超曲面。$M$的切空间沿$N$的包络推广了曲面沿曲线的切可展曲面的概念。在本文中，我们研究这些包络的奇异性。有一些重要的子流形的例子，允许一个向量场切于$M$和横截于$N$，其在$N$的任何方向上的导数包含在$N$中。在这种情况下，我们可以在$N$上构造横截平面丛和仿射度量，使其具有等仿射和非极性的理想性质。此外，这个横截丛与经典的Transon平面概念相一致。但我们也给出了一个明确的例子，一个子流形，不允许一个向量场具有上述性质。

关于有界对称域的子空间的紧分裂复子流形

On compact splitting complex submanifolds of quotients of bounded symmetric domains

本文的主要研究对象是由无挠的离散自同构格构成的不可约有界对称域的商流形的紧致复子流形。我们感兴趣的是在紧分裂复子流形中全测地子流形的刻画，即假设切序列在子流形上全纯分裂。

秩一子流形的几何 Cauchy 问题

The geometric Cauchy problem for rank-one submanifolds

本文研究秩一子流形的几何 Cauchy 问题，给出沿曲线给定切平面分布时局部解存在适定的充分条件及参数化描述。

黎曼子流形上不连续鞅的随机雅可比场

Stochastic Jacobi fields along discontinuous martingales on Riemannian submanifolds

本文针对欧几里得空间子流形切丛上的不连续鞅，建立切丛上不连续半鞅的伊藤微积分，推导调和映射的导数相关性质及均值、导数公式，拓展了随机分析与几何的相关理论。

关于Wasserstein空间中的切锥

On tangent cones in Wasserstein space

设M是光滑紧致黎曼流形，P（M）表示M上的概率测度的Wasserstein空间.若S是M的嵌入子流形，且$μ$是S上的绝对连续测度，则计算P（M）在$μ$上的切锥.

具有圆柱锥的极小子流形上的调和函数

Harmonic functions on minimal submanifold with cylindrical cone

本文利用已有方法研究了欧氏空间极小子流形及其无穷圆柱切锥上多项式增长调和函数空间的维数关系，证明了在特定增长次数不重合时两者维数相等。

分层群中子流形的一个内在测度

An intrinsic measure for submanifolds in stratified groups

对于分层群的每个子流形，我们只依赖于它的切丛、分次和固定的黎曼度量，找到了一个数和一个测度。在两步分层群中，我们证明了这样的数和测度分别与子流形的豪斯多夫维数和关于Carnot-Caratheodory距离的球面Hausdorff测度一致.我们的主要技术工具是在最大程度上的内在爆破。我们还表明，在这些点的子流形的内在切锥总是一个子群。最后，通过在恩格尔群中的直接计算，我们展示了我们的结果如何可以扩展到更高阶的分层群，只要子流形是充分正则的。

关于Finsler流形中子流形的焦点轨迹

On the Focal Locus of Submanifolds of a Finsler Manifold

本文研究正向完备Finsler流形中闭子流形的焦点轨迹，证明法指数映射在F.W. Warner意义下是正则的，并利用正则焦点轨迹的连通分量识别出开稠密集，使得焦点时间映射光滑，最后将切共轭轨迹表示为分离切共轭点的闭包。

余维面积最小电流在浸没$C^{1,α}$切向边界点的部分边界正则性

Partial boundary regularity for co-dimension one area-minimizing currents at immersed $C^{1,α}$ tangential boundary points

我们给部分边界正则性的余维一个绝对面积最小化的电流在点的边界由一个总和的$C^{1,α}$子流形，可能与多重性，满足切向，鉴于目前有一个切锥支持在一个超平面与恒定的方向向量，这部分正则性是这样的，我们可以得出结论的切锥是唯一的。证明严格遵循Hardt和Simon在[9]中给出的边界正则性结果。

在浸没的$C^{1,α}$切向边界点上的余维面积最小化电流的部分边界正则性;全面说明

Partial boundary regularity for co-dimension one area-minimizing currents at immersed $C^{1,α}$ tangential boundary points; full exposition

我们给部分边界正则性的余维一个绝对面积最小化的电流在点的边界由一个总和的$C^{1,α}$子流形，可能与多重性，满足切向，鉴于目前有一个切锥支持在一个超平面与恒定的方向向量，这部分正则性是这样的，我们可以得出结论的切锥是唯一的。证明紧接着Hardt和Simon给出的边界正则性结果。

伪黎曼子流形接触数的因果不变性

Causal Invariance of the Contact Number of Pseudo-Riemannian Submanifolds

该研究证明伪黎曼子流形的普通、类空、类时接触数等价且重合，构造了接触数均为6的洛伦兹曲面，将无穷接触极限纳入半黎曼理论。

微分流形上投影的存在性、唯一性和正则性

Existence, Uniqueness and Regularity of the Projection onto Differentiable Manifolds

本文研究了极大开域$\mathscr{E}(M)$，在该极大开域上可以定义$p$到子集$M\subseteq \mathbb{R}^d$上的正交投影，并研究了$p$的基本性质.证明了如果$M$是$\mathbb{R}^d$的一个满足Lipschitz条件的$C^1$子流形，则$\mathscr{E}(M)$可以用一个下半连续的前沿函数来描述.我们表明，如果$M$是$C^2$，或者如果拓扑骨架的$M^c$是封闭的，我们提供了一个例子，表明该前沿函数不需要是连续的一般。证明了具有$k\ge 2$的$C^k$ -子流形$M$的投影映射是$\mathscr{E}(M)$上的$C^{k-1}$，并得到了投影映射的微分公式，该公式可用于讨论其高阶导数在管状邻域上的有界性.包含$M\subseteq\mathscr{E}(M)$的一个充分条件是$M$是一个切空间满足局部Lipschitz条件的$C^1$子流形.我们用一种新的方法证明了这个条件也是必要的。更精确地说，如果$M$是一个具有$M\subseteq\mathscr{E}(M)$的拓扑子流形，则$M$必须是$C^1$，并且它的切空间满足相同的局部Lipschitz条件。最后一节是专门强调$\mathscr{E}(M)$和$M^c$的拓扑骨架之间的一些关系。

具有圆柱形切锥的特殊Lagrangian子流形

Special Lagrangians with Cylindrical Tangent Cones

研究构造了具有孤立奇点的特殊Lagrangian子流形，其切锥为圆柱形，且子流形连通而切锥不连通。

具有$C^{1,α}$切向浸入边界的余维一面积最小流

Co-Dimension One Area-Minimizing Currents with $C^{1,α}$ Tangentially Immersed Boundary

引入并研究了具有切向浸入边界的余维面积最小局部可整流电流$T$：$\partial T$是局部可定向的余维两个子流形的有限和，其中两个子流形只以相等方向切向相交.我们证明了任何这样的$T$都支撑在光滑超曲面中，在$\partial T$的支撑上的任何点附近，其中$T$有切锥，切锥是一个具有常方向但非常重数的超平面。我们还引入并研究了具有同向中曲率边界的余维面积最小化局部可整流电流$T$：$\partial T$具有广义中曲率$H_{\partial T} = h ν_{T}$，$h$是实值函数，$ν_{T}$是$\partial T$关于$T.$的广义外指单位法线

切平面遗漏非空集合的完备自收缩子的刚性

Rigidity of complete self-shrinkers whose tangent planes omit a nonempty set

本文通过切仿射子流形并集遗漏非空集合这一几何条件，证明了球面、平面和直圆柱面是唯一满足该条件的完备自收缩子，并推广到自扩张子。

关于欧几里得空间子流形的仿射高斯映射

On the affine Gauss maps of submanifolds of Euclidean space

众所周知，欧几里得空间的定向线空间具有自然的辛结构。此外，给定一个浸入的定向超曲面S，与S正交的定向直线的集合是一个拉格朗日子流形。反之，如果n维定向直线族\bar{S}是拉格朗日的，则局部存在一个单参数浸入定向平行超曲面族S_t，其切空间与\bar{S}的直线正交.本文的目的是将这些事实推广到高维：对于维数为n且余维k=m-n的R^m的子流形S的任意点x，我们可以将在x处法向于S的仿射k-空间联系起来。相反，给定R^m的仿射k-空间的n维族\bar{S}，我们提供了某些条件，允许n维子流形S的族的局部存在性，这些子流形正交地穿过\bar{S}的仿射k-空间。我们还定义了R^m的一般仿射空间族的曲率张量，它推广了子流形的曲率，并且在R ^4中的2-平面族的情况下，证明了它满足广义高斯-邦纳公式。

从黎曼子流形的角度定义的类Gromov-Hausdorff距离函数

Gromov-Hausdorff-like distance function defined in the aspect of Riemannian submanifold theory

本文从Riemannan子流形理论的角度讨论了紧致$C^k$ -黎曼流形的等距类空间上的Gromov-Hausdorff-like距离函数的定义，其中$k\geq 1$ .这场讨论中最重要的事实如下。等距嵌入曲率双曲空间$c$的两个半径不同的球面之间的Hausdorff距离函数收敛为零，即$c\to-\infty$。本文给出的Gromov-Hausdorff-like距离函数的构造方法的关键是利用具有Sasaki度量的$k+1$阶切丛中的Hausdorff距离函数，定义了不同紧致$C^k$ -黎曼流形到高维黎曼流形的两个$C^{k+1}$ -等距嵌入的距离.此外，我们还证明了一列紧黎曼流形关于这个距离函数的收敛性与R意义下的收敛性一致。S.汉密尔顿

紧型秩一对称空间中子流形的第二特征值估计与谱刚性

Second Eigenvalue Estimates and Spectral Rigidity for Submanifolds of Compact Rank-One Symmetric Spaces

该研究针对紧射影空间及凯莱射影平面上的闭子流形，建立薛定谔算子第二特征值的上界，推导普适估计，证明等式对应全脐子流形，确定达界的全测地例子。

复空间形式中PTR子流形上的梯度Ricci孤子

Gradient Ricci Solitons on PTR-Submanifolds of Complex Space Forms

该论文研究了复空间形式中PTR子流形上的梯度Ricci孤子，通过Gauss-孤子方程重构切向Kähler算子，获得了曲率上界、平凡性准则和刚性结果，并用模型验证了公式。

关于非紧型局部对称空间中的子流形

On submanifolds in locally symmetric spaces of noncompact type

给定非紧型紧致局部对称空间X^n中的非紧型连通紧致全测地子流形Y^m，我们给出了保证[Y^m]在H_m（X^n; R）中非零的充分条件;在低维情况下，我们的条件也是必要的.本文给出了从有限覆盖（X-bar，Y-bar）到非负曲边（X_u，Y_u）的切映射存在的条件.

任意重数下面积最小化流在边界处切锥的唯一性

On the uniqueness of tangent cones to area minimizing currents at boundaries with arbitrary multiplicity

本文证明任意整数边界重数的面积最小化流在密度 $Q/2$ 边界点处切锥唯一且收敛具有幂次速率，并由此导出支撑高重数边界正则性理论的分解定理。

$C^{1,α}$切向浸入边界具有Lipschitz共向中曲率的共维一面积最小电流

Co-dimension one area-minimizing currents with $C^{1,α}$ tangentially immersed boundary having Lipschitz co-oriented mean curvature

研究了具有边界$\partial T$的$\mathbb{R}^{n+1},$中的$n$维面积最小流$T$：对于某些$α\in (0,1]$，$\partial T$是局部$(n-1)$维$C^{1,α}$定向子流形的有限和，这些子流形只相切且定向相同; $\partial T$具有中曲率$=h ν_{T}$，其中$h$是Lipschitz标量-值函数，$ν_{T}$是$\partial T$关于$T.$的广义外指向法线。我们给出了这种流$T.$的部分边界正则性结果。我们证明了在$\partial T,$的支持下，在任何点$x$附近，$T$的支撑具有非常不受控的结构，或者$T$在$x$附近的支撑是具有不相交内部和仅沿着$\partial T.$的支撑的公共边界点的可定向的带边界的$C^{1,α}$超曲面的有限并

锥结构的刚性定理

Rigidity theorems for cone structures

该研究针对从常微分方程经典范构造得到的锥结构，证明以n维射影空间一般曲线或3维射影空间直纹曲面为模型的平凡锥结构是平坦的，并探讨了其在相关领域的应用。

Twisted submanifolds of R^n

We propose a general procedure to construct noncommutative deformations of an embedded submanifold $M$ of $\mathbb{R}^n$ determined by a set of smooth equations $f^a(x)=0$. We use the framework of Drinfel'd twist deformation of differential geometry of [Aschieri et al., Class. Quantum Gravity 23 (2006), 1883]; the commutative pointwise product is replaced by a (generally noncommutative) $\star$-product determined by a Drinfel'd twist. The twists we employ are based on the Lie algebra $Ξ_t$ of vector fields that are tangent to all the submanifolds that are level sets of the $f^a$; the twisted C…

在 Picard 数为一的有理齐性空间中分裂子流形

Splitting submanifolds in rational homogeneous spaces of Picard number one

在 Picard 数为一的有理齐性空间中，研究分裂子流形的分类及其性质，利用全局全纯向量场建立新的分类方法。

Poincaré-Einstein 流形中极小子流形重整化面积的高斯-博内公式

A Gauss-Bonnet formula for the renormalized area of minimal submanifolds of Poincaré-Einstein manifolds

本文证明偶维极小子流形在 Poincaré-Einstein 流形中的重整化面积可由欧拉示性数与共形不变量积分线性表示，并在二维和四维验证了外在 Q-曲率的分解猜想。

Deformations of Singular Minimal Hypersurfaces I, Isolated Singularities

Locally stable minimal hypersurface could have singularities in dimension $\geq 7$ in general, locally modeled on stable and area-minimizing cones in the Euclidean spaces. In this paper, we present different aspects of how these singularities may affect the local behavior of minimal hypersurfaces. First, given a non-degenerate minimal hypersurface with strictly stable and strictly minimizing tangent cone at each singular point, under any small perturbation of the metric, we show the existence of a nearby minimal hypersurface under new metric. For a generic choice of perturbation direction, we …

斜膜的存在性与不存在性

Existence and non-existence of skew branes

继Ghomi，Solomon和Tabachnikov最近的工作之后，我们研究了斜膜的几何和拓扑。斜膜是仿射空间中的余维为2的子流形，使得在任何一对不同点处的切空间都不平行。我们证明了，如果一个定向闭流形有一个非零的欧拉示性数$ξ$，那么它不是一个斜膜;一般地，平行切空间的反向对的数量不小于$(ξ^2)/4$。我们还构造了斜奇维球面和斜二维环面的例子。

具有多个孤立奇点的特殊拉格朗日量

Special Lagrangians with multiple isolated singularities

该研究将Caffarelli-Hardt-Simon扰动论证推广到特殊拉格朗日量领域，证明正则特殊拉格朗日锥的桥接原理，进而得到具有多个给定孤立锥形奇点的特殊拉格朗日子流形的存在性。