Magic rectangles, signed magic arrays and integer $λ$-fold relative Heffter arrays
令$m,n,s,k$为整数，使得$4\leq s\leq n$、$4\leq k \leq m$和$ms=nk$。令$λ$是$2ms$的除数，令$t$是$\frac{2ms}λ$的除数。本文构造了幻矩形$MR(m,n;s,k)$、符号幻数组$SMA(m,n;s,k)$和整数$λ$ -倍相对Heffter数组${}^λH_t(m,n;s,k)$，其中$s,k$为偶数.特别是，我们证明了存在一个$SMA(m,n;s,k)$的所有$m,n,s,k$满足前面的假设。进一步证明了在下列情况下都存在一个$MR(m,n;s,k)$和一个整数${}^λH_t(m,n;s,k)$：$(i)$ $s,k \equiv 0 \pmod 4$ ; $(ii)$ $s\equiv 2\pmod 4$和$k\equiv 0 \pmod 4$ ; $(iii)$ $s\equiv 0\pmod 4$和$k\equiv 2 \pmod 4$ ; $(iv)$ $s,k\equiv 2 \pmod 4$和$m,n$都是偶数.
2020-10-22 math.CO
Shiftable Heffter spaces
本文将可移Heffter数组推广为可移Heffter空间，提出了生成无穷多同次数空间的递归构造法，并利用泛对角幻方给出直接构造法，结合两者获得了特定参数下的可移Heffter空间。
2024-12-20 math.CO
Tight globally simple non-zero sum Heffter arrays and biembeddings
平方相对非零和Heffter阵列，记为$\mathrm{N}\mathrm{H}_t(n;k)$，已被引入作为Heffter阵列的经典概念的变体。一个$\mathrm{N}\mathrm{H}_t(n; k)$是一个$n\times n$部分填充的数组，其中元素为$\mathbb{Z}_v$，其中$v=2nk+t$，其行和列包含$k$填充的单元格，使得每行和每列中元素的总和不同于$0$（模$v$），并且对于不属于$t$阶子群的每个$x\in \mathbb{Z}_v$，$x$或$-x$出现在数组中。本文给出了当$t$是$n$的除数且当$t\in\{2,2n,n^2,2n^2\}$是$n$的除数时，对$n$为奇数的无空单元的平方非零和Heffter阵列$\mathrm{N}\mathrm{H}_t(n;n)$的直接构造.构造的数组也有非常严格的属性是“全球简单”，这使我们能够得到新的正交路径分解和新的双嵌入的完全多部图。
2022-05-20 math.CO
Rectangular Heffter arrays: a reduction theorem
令$m,n,s,k$为四个整数，使得$3\leq s \leq n$、$3\leq k\leq m$和$ms=nk$。设置$d=\gcd(s,k)$。在本文中，我们展示了如何可以构建一个Heffter阵列$H(m,n;s,k)$从正方形Heffter阵列$H(nk/d;d)$的元素属于$d$连续对角线。作为应用该方法的一个例子，我们证明了在下列每一种情况下都存在整数$H(m,n;s,k)$：$(i)$ $d\equiv 0 \pmod 4$ ; $(ii)$ $5\leq d\equiv 1 \pmod 4$ and $n k\equiv 3\pmod 4$ ; $(iii)$ $d\equiv 2 \pmod 4$ and $nk\equiv 0 \pmod 4$ ; $(iv)$ $d\equiv 3 \pmod 4$ and $n k\equiv 0,3\pmod 4$ .同样的方法也可以应用于带符号的魔术阵列$SMA(m,n;s,k)$和魔术矩形$MR(m,n;s,k)$。事实上，我们证明了当$d\geq 2$时存在$SMA(m,n;s,k)$，当$d\geq 2$是偶数或$d\geq 3$和$nk$是奇数时存在$MR(m,n;s,k)$。给出了$k$为奇数和$s\equiv 0 \pmod 4$为奇数时整数Heffter数组和带符号幻数数组的构造方法.
2021-09-09 math.CO
A generalization of Heffter arrays
在本文中，我们定义了一类新的部分填充数组，称为相对Heffter数组，它是Archdeacon在2015年引入的Heffter数组的推广。令$v=2nk+t$为正整数，其中$t$整除$2nk$，且令$J$为阶为$t$的$\mathbb{Z}_v$的子群。相对于$J$的$\mathbb{Z}_v$上的$H_t(m,n; s,k)$ Heffter阵列是具有$\mathbb{Z}_v$中的元素的$m\times n$部分填充阵列，使得：（a）每行包含$s$填充的单元，并且每列包含$k$填充的单元;（b）对于每个$x\in \mathbb{Z}_v\setminus J$，$x$或$-x$出现在阵列中;（c）每行和列中的元素总和为$0$。本文研究了$t=k$（记为$H_k(n;k)$）的平方整数（即在$\pm\left\{1,\dots,\left\lfloor \frac{2nk+t}{2}\right\rfloor \right\}$中选择元素，且在$\mathbb{Z}$中元素和为零）相对Heffter阵列的存在性.特别是，我们证明了，对于$3\leq k\leq n$，与$k\neq 5$，存在一个整数$H_k(n;k)$当且仅当以下之一成立：（a）$k$是奇数和$n\equiv 0,3\pmod 4$ ;（b）$k\equiv 2\pmod 4$和$n$是偶数;（c）$k\eq…
2019-10-16 math.CO
Biembeddings of cycle systems using integer Heffter arrays
本文证明了完全图在可定向曲面上的面$2$ -列双嵌入的存在性，其中每个面是一个定长$k$的圈，对于无穷多个$k$值。特别地，在一定条件下，我们证明了至少存在$(n-2)[(p-2)!]^2/(e^2 kn)$非同构面$2$ -$K_{2nk+1}$的列双嵌入，其中所有面都是长度为$k=4p+3$的圈。这些条件是：$n\equiv 1\mod 4$、$k\equiv 3\mod 4$和$n$是素数或$n\gg k$和$n\equiv 0\mod 3$意味着$p\equiv 1\mod 3$。为了实现这一结果，我们首先验证存在的$(n-2)[(p-2)!/e]^2$非等价Heffter阵列，$H(n;k)$，它满足以下条件：（1）对于每一行和每一列的顺序部分和确定的自然顺序必须是不同的模$2nk+1$ ;（2）组成的自然顺序的行和列是等价于一个单一的循环排列的项目在阵列中。满足条件（1）的Heffter阵列$H(n;k)$的存在性是在\cite{BCDY}中建立的，在本文中，我们改变了这种结构，并表明至少有$(n-2)[(p-2)!/e]^2$这样的非等价$H(n;k)$满足条件（1），然后表明这些Heffter阵列中的每一个在一定条件下也满足条件（2）。
2019-08-09 math.CO
Non-zero sum Heffter arrays and their applications
在本文中，我们引入了一类新的部分填充数组，Heffter阵列，涉及到不同的家庭，图分解和双嵌入。非零和Heffter阵列$\mathrm{N}\mathrm{H}(m,n; h,k)$是$m \times n$ p.f.在$\mathbb{Z}_{2nk+1}$中具有条目的数组，使得：每行包含$h$填充的单元格，每列包含$k$填充的单元格;对于每个$x\in \mathbb{Z}_{2nk+1}\setminus\{0\}$，$x$或$-x$出现在数组中;每行和列中的元素之和不同于$0$（在$\mathbb{Z}_{2nk+1}$中）。在这里，我们首先解释与相对差族和完全多部图的路分解的联系。然后，我们提出了一个完整的解决方案的存在性问题和建设性的完整解决方的情况下，矩形的情况下，没有空的细胞时，额外的，非常严格的，“全球简单”的属性是必需的。最后，我们展示了如何使用这些数组来构造完全图的双嵌入。
2022-03-04 math.CO
On the existence of integer relative Heffter arrays
令$v=2ms+t$为正整数，其中$t$整除$2ms$，且令$J$为循环群$\mathbb{Z}_v$的阶$t$的子群。$\mathbb{Z}_v$上相对于$J$的整数Heffter阵列$H_t(m,n;s,k)$是$\mathbb{Z}_v$中具有元素的$m\times n$部分填充阵列，使得：（a）每行包含$s$填充的单元，并且每列包含$k$填充的单元;（b）对于每个$x\in \mathbb{Z}_v \setminus J$，$x$或$-x$出现在阵列中;（c）每行和每列中的元素，在$\pm\left\{ 1, \ldots, \left\lfloor \frac{v}{2}\right\rfloor \right\}$中被视为整数，在$\mathbb{Z}$中求和为$0$。本文研究了当$s$和$k$都是偶数时，整数$H_t(m,n;s,k)$的存在性，证明了以下结果。假设$4\leq s\leq n$和$4\leq k \leq m$使得$ms=nk$。设$t$是$2ms$的除数。(a)如果为$s,k \equiv 0 \pmod 4$，则存在整数$H_t(m,n;s,k)$。(b)如果$s\equiv 2\pmod 4$和$k\equiv 0 \pmod 4$，则存在整数$H_t(m,n;s,k)$当且仅当$m$是偶数。(c)如果$s\equiv 0\pmod 4$和$…
2020-03-19 math.CO
An update on the existence of integer Heffter arrays
本文针对整数 Heffter 阵列的存在性猜想，提出新构造方法，证明了除少数例外情形外，Archdeacon 猜想在允许条件下均成立。
2025-10-09 math.CO
Globally Simple Heffter Arrays $H(n;k)$ with $k \equiv 1 \pmod{4}$
Koç University（科奇大学）
本文研究了当k≡1 mod4且n≡0,3 mod4时，构造全局简单整数Heffter数组H(n;k)的方法，并证明了其存在性，从而保证了完全图K_{2nk+1}的正交循环k-圈分解的存在。
2026-08-26 math.CO
Relative Heffter arrays and biembeddings
相对Heffter阵列，记作$\mathrm{H}_t(m,n; s,k)$，是经典Heffter阵列概念的推广. $\mathrm{H}_t(m,n; s,k)$是具有$\mathbb{Z}_v$中的元素的$m\times n$部分填充阵列，其中$v=2nk+t$，其行包含$s$填充的单元并且其列包含$k$填充的单元，使得每行和列中的元素总和为零，并且对于不属于顺序$t$的子组的每个$x\in \mathbb{Z}_v$，$x$或$-x$出现在阵列中。在本文中，我们展示了如何相对Heffter阵列可以用来构建双嵌入的循环循环分解的完全多部图$K_{\frac{2nk+t}{t}\times t}$到一个可定向的表面。特别是，我们构建这样的双嵌入提供整数全局简单的平方相对Heffter阵列的$t=k=3,5,7,9$和$n\equiv 3 \pmod 4$和$k=3$与$t=n,2n$，任何奇数$n$。
2020-03-03 math.CO
Existence of $λ$-Fold Non-zero sum Heffter arrays through local considerations
在[12]中，对于循环群，引入了非零和Heffter阵列的部分填充阵列类，它们与Heffter阵列一样，与差族、图分解和双嵌入有关。在这里，我们将这个定义推广到任何有限群。给定群$G$的一个阶为$t$的子群$J$，$G$上相对于$J$的$λ$重非零和Heffter阵列$^λ\mathrm{N}\mathrm{H}_t(m,n; h,k)$是一个$m \times n$ p. f.在$G$中具有条目的数组，使得：每行包含$h$填充的单元格，每列包含$k$填充的单元格;对于每个$x\in G\setminus J$，$x$和$-x$的出现之和是$λ$ ;每行和每列中的元素之和，遵循从左到右的自然顺序，对于行从上到下，不同于$0$（在$G$中）。在[12]中，给出了$λ=1$和$G=\mathbb{Z}_v$情况下存在性问题的完整概率解，这是本研究的起点。本文考虑$λ$的一般值和一般有限群$G$的存在性问题，并给出了这个问题的几乎完全解。特别地，我们将证明，通过局部考虑（灵感来自Lovász局部引理），存在一个$λ$ -倍非零和Heffter阵列在$G$相对于$J$只要满足平凡的必要条件和$|G|=v\geq 41$。如果数组不包含空单元格，则可以将此值降低为$29$。最后，我们将表明，这些数组产生双嵌入的多重图到定向表面，我们提供了新的无限家庭这样的嵌入。
2022-09-06 math.CO
Globally simple Heffter arrays $H(n;k)$ when $k\equiv 0,3\mod 4$
正方形Heffter阵列是$n\times n$阵列，每行和每列包含$k$填充的单元格，每行和列的和可被$2nk+1$整除，并且对于每个整数$1\leq x\leq nk$，$x$或$-x$出现在阵列中。Archdeacon指出，Heffter阵列，满足两个额外的条件，产生一个面$2$ -colonial嵌入的完全图$K_{2nk+1}$上的定向表面，其中对于每一种颜色，面给出一个$k$ -循环系统。此外，顶点上的循环置换充当嵌入的自同构。这些必要条件与Heffter阵列的每行和每列中的条目的循环排序有关，并且是：（1）对于每行和每列，由循环排序确定的顺序部分和必须是不同的模$2nk+1$ ;（2）行和列的循环排序的组合等效于阵列中的条目上的单个循环置换。我们构造满足条件（1）的Heffter阵列，无论何时（a）$k\equiv 0\mod 4$ ;或（b）$n\equiv 1\mod 4$和$k\equiv 3\mod 4$ ;或（c）$n\equiv 0\mod 4$、$k\equiv3\mod 4$和$n\gg k$。作为推论，我们得到了$K_{2nk+1}$的正交$k$ -循环分解对.
2019-07-26 math.CO
A tour problem on a toroidal board
在本文中，我们研究了我们在研究双嵌入和Heffter阵列时遇到的一个旅游问题，见[D. S.张文，张文，等. 22（2015）#P1.74]。令$A$是由填充单元和空单元组成的$n\times m$环形阵列。假设$A$的每行的方向$R=(r_1,\dots,r_n)$和每列的方向$C=(c_1,\dots,c_m)$是固定的。给定初始填充单元格$(i_1,j_1)$，考虑列表$ L_{R,C}=((i_1,j_1),(i_2,j_2),\ldots,(i_k,j_k),$ $(i_{k+1},j_{k+1}),\ldots)$，其中$j_{k+1}$是在方向$r_{i_k}$上紧挨着$(i_k,j_k)$的行$R_{i_k}$的填充单元格$(i_k,j_{k+1})$的列索引，并且其中$i_{k+1}$是在方向$c_{j_{k+1}}$上紧挨着$(i_k,j_{k+1})$的列$C_{j_{k+1}}$的填充单元格的行索引。我们提出了如下的“疯狂骑士之旅问题”：是否存在$R$和$C$，使得列表$L_{R,C}$覆盖$A$的所有填充单元格？在这里，我们提供了一个完整的解决方案的情况下，没有空的细胞，我们得到部分结果的正方形阵列中填充的细胞遵循一些特定的规则模式。
2019-08-29 math.CO
Constructing generalized Heffter arrays via near alternating sign matrices
该研究利用近交替符号矩阵构造循环群上具备简单性的零和与非零和广义Heffter阵列，推广了已有构造结果，并阐述了其在凯莱图正交分解与曲面双嵌入中的应用。
2024-01-30 math.CO
A Study on Semi-arithmetic Integer Additive Set-Indexers of Graphs
整数加性集合索引器被定义为内射函数$f:V(G)\rightarrow 2^{\mathbb{N}_0}$，使得由$g_f (uv) = f(u)+ f(v)$定义的诱导函数$g_f:E(G) \rightarrow 2^{\mathbb{N}_0}$也是内射的。一个整数加性集合索引器$f$被称为算术整数加性集合索引器，如果$G$的每个元素都被非负整数的非空集合标记，这些集合在等差数列中。一个整数加性集合索引器$f$被称为半算术整数加性集合索引器，如果$G$的顶点由非负整数的非空集合标记，这些非空集合在等差数列中，但是边不由非负整数的非空集合标记，这些非空集合在等差数列中。本文讨论了半算术整数加性集指标，建立了这类整数加性集指标的一些结果。
2014-03-25 math.CO
Biembeddings of Archdeacon type: their full automorphism group and their number
本文研究了阿奇德森型双嵌入的完整自同构群及其数量，证明了其自同构群几乎总是Z_v，并给出了非同构双嵌入的数量下界。
2025-11-25 math.CO
Completely empty pyramids on integer lattices and two-dimensional faces of multidimensional continued fractions
在本文中，我们发展了一个整数仿射分类的三维多层完全空凸标记金字塔。我们应用它来获得的多维连分数位于平面上的整数距离原点等于2，3，4.这些面被认为是整数线性变换组的作用。最后，我们制定了一些实际的未解决的问题与推广的n维面和更复杂的面配置。
2006-12-12 math.CO math.NT
Almost Empty Monochromatic Triangles in Planar Point Sets
对于正整数$c, s \geq 1$，令$M_3(c, s)$是最小整数，使得平面中至少有$M_3(c, s)$点的任何集合，在一条直线上没有三个点，并且用$c$颜色着色，包含最多$s$内部点的单色三角形。$s=0$对应于空的单色三角形，在过去几年中得到了广泛的研究。特别地，已知$M_3(1, 0)=3$、$M_3(2, 0)=9$和$M_3(c, 0)=\infty$用于$c\geq 3$。本文推广了当$c \geq 2$和$s \geq 1$ .证明了使$M_3(c, λ_3(c))< \infty$满足的最小整数$λ_3(c)$：$$\left\lfloor\frac{c-1}{2}\right\rfloor \leqλ_3(c)\leq c-2,$$其中$c \geq 2$ .此外，对于小的$c$和$s$值，确定了$M_3(c, s)$的精确值。我们还猜想$λ_3(4)=1$，并验证它足够大的霍顿集。
2015-06-18 math.CO
Magic partially filled arrays on abelian groups
本文介绍了一类特殊的部分填充数组。阿贝尔群$(Γ,+)$的子集$Ω$上的幻部分填充阵列$\mathrm{MPF}_Ω(m,n; s,k)$是大小为$m\times n$的部分填充阵列，其中条目在$Ω$中，使得$(i)$每$ω\in Ω$在阵列中出现一次; $(ii)$每行包含$s$填充单元并且每列包含$k$填充单元;存在（不一定是不同的）元素$x,y\in Γ$，使得每行中的元素的和是$x$，并且每列中的元素的和是$y$。特别是，如果$x=y=0_Γ$，我们有一个零和魔术部分填充数组${}^0\mathrm{MPF}_Ω(m,n; s,k)$。这些对象的例子是魔术矩形，$Γ$ -魔术矩形，有符号魔术数组，（整数或非整数）Heffter数组。在这里，我们给出了空单元幻矩形存在的充分必要条件，即，其中$\mathrm{MPF}_Ω(m,n;s,k)$.当$Ω$是交换群$Γ$或其非零元素的集合时，我们还构造了零和幻部分填充数组。
2022-09-21 math.CO
Signed degree sets in signed graphs
一个符号图G中顶点的不同符号度的集合D称为它的符号度集。本文证明了正（负）整数的每一个非空集都是某个连通符号图的符号度集，并确定了这类符号图的最小可能阶。我们还证明了每一个整数的非空集都是某个连通符号图的符号度集。
2006-09-05 math.CO
The maximum sum of sizes of non-empty cross $t$-intersecting families
本文确定了非空交叉 $t$-相交族大小之和的最大值并刻画极值族，同时给出了有限向量空间的类似结果。
2024-02-07 math.CO
Existence of regular unimodular triangulations of dilated empty simplices
给定整数$k$和$m$以及$k \geq 2$和$m \geq 2$，令$P$是维数为$(2k-1)$的空单形，其$δ$ -多项式的形式为$1+(m-1)t^k$。本文给出了$P$的$k$次膨胀$kP$具有正则幺模三角剖分的充要条件。
2017-11-26 math.AC math.CO
Holes or Empty Pseudo-Triangles in Planar Point Sets
令$E(k, \ell)$表示最小整数，使得平面中至少有$E(k, \ell)$点的任何集合（直线上没有三个点）包含具有$k$顶点的空凸多边形或具有$\ell$顶点的空伪三角形。正整数$k, \ell\geq 3$的$E(k, \ell)$的存在性是Valtr [Discrete and Computational Geometry，Vol.37，565- 576，2007]证明的结果的结果。本文根据三角凸包点集上空伪三角形存在性的一系列新结果，确定了$E(k, 5)$和$E(5, \ell)$的精确值，证明了$k, \ell\geq 3$的$E(k, 6)$和$E(6, \ell)$的界.通过放弃空条件，我们定义了另一个相关量$F(k, \ell)$，它是最小的整数，使得平面中至少有$F(k, \ell)$点的任何集合，在一条直线上没有三个，包含一个具有$k$顶点的凸多边形或一个具有$\ell$顶点的伪三角形。推广了Bisztriczky和Tóth [Discrete Geometry，Marcel Dekker，49- 58，2003]的结果，得到了$F(k, 5)$和$F(k, 6)$的精确值，并得到了$F(k, 7)$的非平凡界.
2012-10-17 cs.DM math.CO
Enumeration and Unimodular Equivalence of Empty Delta-Modular Simplices
考虑一类由具有$Δ$ -模矩阵的线性不等式组$A x \leq b$定义的单形.一个矩阵称为$Δ$ -模的，如果它的所有秩序子行列式在一个绝对值上都被$Δ$包围。在我们的工作中，我们称一个单纯形$Δ$ -模，如果它可以定义一个系统$A x \leq b$与一个$Δ$ -模矩阵$A$。我们称一个单纯形为空，如果它不包含整数坐标的点。在文献中，一个单形被称为格单形，如果它的所有顶点都有整数坐标。一个格单形称为空的，如果它不包含除顶点之外的整数坐标的点。最近，假设$Δ$是固定的，它被证明的$Δ$ -模空单形模么模等价关系的数量是有界的一个多项式的维数。我们证明了类似的事实适用于$Δ$ -模空格单形类。作为主要的结果，再次假设参数$Δ$的值是固定的，我们表明，所有的单模等价类的两种类型的单形可以列举的多项式时间算法。作为次要的结果，我们证明了存在一个多项式时间算法的问题，以检查一对给定的$Δ$ -模块化，不一定是空的，单纯形的么模等价关系。
2023-03-02 cs.CC cs.CG math.CO
Every Large Point Set contains Many Collinear Points or an Empty Pentagon
我们证明了如下的广义空五边形定理：对于每一个整数$\ell \geq 2$，平面上的每一个足够大的点集包含$\ell$共线点或一个空五边形。作为应用，我们解决了Kára，Pór，and Wood的“大线或大团”猜想[ \emph{Discrete Comput. Geom.} 34（3）：497--506，2005]的下一个公开情形.
2009-04-24 cs.CG math.CO
One Empty Locker and Two Inspections: An Exact Optimal Team Strategy
该研究针对含N个储物柜的合作搜索游戏，证明所有玩家找到分配物品的最大概率为I_N/N!，提出基于虚拟符号N和指针的最优策略，通过混合整数验证了N=2至5的情况。
2026-08-18 math.CO
The Weighted Davenport Constant of a group and a related extremal problem
对于一个有限阿贝尔群$G$和一个非空子集$A\subset [1,\exp(G)-1]$，$G$相对于集合$A$的加权达文波特常数，记为$D_A(G)$，是最小正整数$k$，满足以下条件：给定一个任意的$G$序列$(x_1,\ldots,x_k)$，存在一个非空子序列$(x_{i_1},\ldots,x_{i_t})$和$a_{j}\in A$，使得$\sum_{j=1}^t a_jx_{i_j}=0$。在本文中，我们提出并研究了一个自然的新极值问题，产生于$D_A(G)$的研究：对于一个整数$k\ge 2$，确定$\fD_G(k):=\min\{|A|: D_A(G)\le k\}$（如果提出的问题是有意义的）。事实证明，对于$k$“不太小”，这是一个适定性问题，最有趣的情况之一发生在$G=\Z_p$，循环群的素数阶，我们获得附近的最佳界限为所有$k$（足够大的素数$p$），和渐近紧（常数）界为$k=2,4$。
2018-07-11 math.CO
Perfect partitions of a random set of integers
令$X_1,\dots, X_n$是均匀分布在$\{1,\dots, M\}$上的独立整数，无论$M=M(n)\to\infty$有多慢。如果所有$ν$值$\sum_{j\in S_{\a}}X_j$相等，则将$[n]$的$S$划分为$ν$非空子集$S_1,\dots, S_ν$称为完美。要使完美分区存在，$\sum_j X_j$必须能被$ν$整除。对于$ν=2$，Borgs等人证明了，在其他结果中，在$\sum_j X_j$是偶数的条件下，如果$κ:=\lim \tfrac{n}{\log M}>\tfrac{1}{\log 2}$，则很有可能存在完美划分，并且如果$κ<\tfrac{1}{\log 2}$，则w.h.p.不存在完美划分。本文证明了当$ν\ge 3$和$κ<\tfrac{2}{\log ν}$是完全分拆时，不存在完全分拆.我们确定$κ$的范围，其中完美分区的预期数量是指数高。我们表明，对于$κ> \tfrac{2(ν-1)}{\log[(1-2ν^{-2})^{-1}]}$的完美分区的总数是指数高的概率$\gtrsim (1+ν^2)^{-1}$。
2022-10-03 math.CO
On generalized Howell designs with block size three
本文研究了一类双可分解组合对象。令$t, k, λ, s$和$v$是非负整数，并且令$X$是$v$符号的集合。广义Howell设计，表示为$t$ - $GHD_{k}(s,v;λ)$，是一个$s\times s$阵列，其每个单元格要么为空，要么包含$k$ -来自$X$的符号集，称为块，使得：（i）每个符号在每行和每列中恰好出现一次（即\每一行和列是$X$的分辨率）;（ii）没有$t$ -来自$X$的元素的子集出现在多于$λ$单元中。参数的特殊实例对应于豪厄尔设计，双可分解平衡不完全区组设计（包括柯克曼平方），双可分解近柯克曼三元系，简单正交多阵列（本身推广相互正交拉丁方）。广义豪厄尔设计也与置换阵列和多重等重码有关。在本文中，我们集中在$t=2$，$k=3$和$λ=1$的情况下，并编写了$GHD(s,v)$。在这种情况下，每行和每列中的空单元格数介于0和$(s-1)/3$之间。以前的工作已经考虑了存在的GHD上的任一端的频谱，最多1或至少$(s-2)/3$空细胞在每一行或列。在一个空胞的情形下，我们修正了Wang和Du的一些结果，证明了存在$GHD(n+1,3n)$当且仅当$n \geq 6$，除了可能的$n=6$ .在两个空单元格的情况下，我们证明了存在一个$GHD(n+2,3n)$当且仅当$n \geq 6$。注意到，在一个给定的行或列的$GHD(s,v)$是空的单元格的比例落…
2015-11-03 math.CO
The maximum sum of sizes of non-empty cross $L$-intersecting families
Department of Mathematical Sciences, Tsinghua University（清华大学数学科学系）
本文研究非空交叉 $L$-交族的总大小上界，确定两族情形的最大值并刻画极值结构，且在充分大 $n$ 等条件下推广到同时满足两类交叉交条件的 $r$ 个族。
2025-09-27 math.CO
Measurable events indexed by trees
一棵树$T$被称为齐次树，如果它是唯一根的，并且存在一个整数$b\geq 2$，称为$T$的分支数，使得每个$t\in T$都有$b$直接后继。研究了由齐次树索引的概率空间中可测事件的行为。精确地说，我们证明了对于每一个整数$b\geq 2$和每一个整数$n\geq 1$，存在一个整数$q(b,n)$，它具有以下性质。如果$T$是一个具有分支数$b$的齐次树，$\{A_t:t\in T\}$是概率空间$(Ω,Σ,μ)$中满足$μ(A_t)\geqε>0$的可测事件族，则对于每个$0<θ<ε$，存在$T$的无限高的强子树$S$，使得对于基数$n$的$S$的每个非空有限子集$F$，我们有\[ μ\Big(\bigcap_{t\in F} A_t\Big) \meg θ^{q(b,n)}. \]事实上，我们可以取$q(b,n)= \big((2^b-1)^{2n-1}-1\big)\cdot(2^b-2)^{-1}$。这个结果的一个有限的版本也得到。
2012-09-22 math.CO
Generalization of some weighted zero-sum theorems and related Extremal sequence
设$G$是指数为$n$的有限阿贝尔群，$A$是$[1,n-1]$的非空子集.具有权重$A$的$G$的达文波特常数（由$D_A(G)$表示）被定义为最小正整数$\ell$，使得长度为$\ell$的$G$上的任何序列具有非空的$A$加权零和子序列。类似地，组合不变量$E_{A}(G)$被定义为最小正整数$\ell$，使得长度为$\ell$的$G$上的任何序列具有长度为$|G|$的$A$加权零和子序列。在本文中，我们确定了$D_A(\mathbb{Z}_n)$的精确值，对于$n$的某些特定值，其中$A$是$\mathbb{Z}_n^*$中所有立方体的集合。我们还确定了在这种情况下，相关的极值序列的结构。
2022-02-01 math.CO math.NT
Finding the dimension of a non-empty orthogonal array polytope
利用表示论，对定义整数线性规划的正交表（OA）的所有可行点多面体的凸包维数的可能值集进行了缩减。我们的结果解决了Appa等人提出的猜想，即如果这个多面体是非空的，那么它在仿射空间中是全维的，其中ILP的线性规划（LP）松弛的所有可行点都位于该空间中，[On多索引分配多面体，线性代数及其应用416（2-3）（2006），224- 241]。特别地，当LP松弛仿射空间非空时，我们的理论结果提供了该多面体是满维的充分条件。这个充分条件包含了$(k,s)$赋值多面体的维数的所有已知的非平凡值。然而，我们的研究结果表明，上述猜想可能是不正确的。更一般地，我们提供了以前未知的限制的可行值的凸包的所有可行点多面体的OA定义ILP的尺寸。我们还确定了所有可能的对应组的等式约束等价，可以暗示的完整性约束的ILP。此外，我们发现额外的限制可行点的凸包的尺寸和相应的等式约束的$n=2$，甚至$s$的情况下，更大的集合。这些情况是在$3\leq n$或奇数$s$情况中不一定存在的对称性。
2023-01-04 math.CO math.RT
Almost Empty Monochromatic Triangles With Many Colors
University of Pennsylvania（宾夕法尼亚大学）；National University of Singapore（新加坡国立大学）；Indian Statistical Institute, Kolkata（印度统计学院，加尔各答）
本文研究平面点集着色中单色三角形内部点数的极值问题，将上界改进为 $c-\sqrt{c\log c}+o(\sqrt{c\log c})$，并证明 Horton 集中下界紧，提出大颜色数渐近猜想。
2026-09-22 cs.CG math.CO
