AI 中文总结
本文解决了整数相对 Heffter 数组存在性问题中最后一个未解决的情况，通过为所有 $n\equiv 0 \pmod{4}$ 且 $n\geq 12$ 构造 $\mathrm{H}_5(n;5)$，从而完全解决了该问题。
AI 中文摘要
Heffter 数组由 Archdeacon 于 2015 年引入，是具有循环圈系和曲面图双嵌入应用的组合结构。Costa、Morini、Pasotti 和 Pellegrini 于 2020 年提出了相对 Heffter 数组的概念，作为经典 Heffter 数组的推广，其灵感来源于相对差族的概念。在他们的工作中，整数相对 Heffter 数组 $\mathrm{H}_k(n;k)$ 的存在性问题对所有 $k\neq 5$ 的情况已解决，而 $k=5$ 且 $n \equiv 0 \pmod{4}$ 的情况除 $n=8,16$ 的两个零星例子外仍未解决。在本文中，我们考虑这个开放问题，并为每个 $n\equiv 0 \pmod{4}$，$n\geq 12$ 构造了一个 $\mathrm{H}_5(n;5)$。因此，整数相对 $\mathrm{H}_k(n;k)$ 的存在性问题被完全解决。
英文摘要
Heffter arrays, introduced by Archdeacon in 2015, are combinatorial structures with applications to cyclic cycle systems and biembeddings of graphs on surfaces. Costa, Morini, Pasotti and Pellegrini proposed in 2020 the notion of relative Heffter arrays as a generalization of classical Heffter arrays, inspired by the concept of relative difference families. In their work, the existence problem of integer relative Heffter arrays $\mathrm{H}_k(n;k)$ was solved for all $k\neq 5$, while the case $k=5$ and $n \equiv 0 \pmod{4}$ remained open, apart from two sporadic examples with $n=8,16$. In this article, we consider this open problem and we construct an $\mathrm{H}_5(n;5)$ for every $n\equiv 0 \pmod{4}$, $n\geq 12$. As a consequence, the existence problem of integer relative $\mathrm{H}_k(n;k)$ is completely settled.
