Heterogeneous Multiscale Method for elliptic problem without scale separation
该研究验证了异质多尺度方法可用于无尺度分离的椭圆问题，并指出局部正交方法是其特例，拓展了该多尺度方法的适用范围。
2024-11-01 cs.NA math.NA
An Online Efficient Two-Scale Reduced Basis Approach for the Localized Orthogonal Decomposition
本文提出 TSRBLOD 方法，将降阶基方法应用于 LOD 的双尺度形式，同时约化细尺度和粗尺度系统，使降阶模型独立于粗网格尺寸，并给出严格的后验误差估计，实现参数化多尺度问题的高效求解。
2021-11-16 cs.NA math.NA
Multiscale Modeling for Time-harmonic Maxwell equations with impedance boundary conditions in highly heterogeneous media
The Chinese University of Hong Kong（香港中文大学）
本文提出一种高效的多尺度框架，用于处理具有阻抗边界条件的时谐Maxwell方程在高对比度介质中的建模问题，通过引入辅助空间和新的双线性形式，克服了传统方法的数值不稳定性问题，实现了O(H)收敛性。
2026-08-05 cs.NA math.NA
A Relaxed Localized Trust-Region Reduced Basis Approach for Optimization of Multiscale Problems
本文提出一种松弛局部化信赖域降阶基方法，结合Petrov-Galerkin局部正交分解与两尺度降阶基近似，用于高效求解多尺度偏微分方程约束的参数优化问题，并通过并行化数值实验验证其在大规模问题上的有效性。
2023-04-12 cs.NA math.NA math.OC
A new Heterogeneous Multiscale Method for time-harmonic Maxwell's equations based on divergence-regularization
Institut für Numerische und Angewandte Mathematik, Westfälische Wilhelms-Universität Münster（明斯特西法利希·威廉大学应用数学与数值计算研究所）
本文提出一种新型异质多尺度方法，用于求解时谐Maxwell方程在局部周期介质中的问题，通过在单元问题中引入散度正则化，简化了细尺度修正器的实现，并推导了新的均质化结果及误差估计。
2015-09-14 cs.NA math.NA
Hybrid Localized Spectral Decomposition for multiscale problems
本文提出一种基于原始混合公式的有限元方法，通过空间分解和局部特征值问题处理高对比度系数的椭圆方程，获得了准最优和最优的先验误差估计。
2024-04-25 cs.NA math.NA
Spectral ACMS: A robust localized Approximated Component Mode Synthesis Method
针对含非均匀系数的二维对称椭圆偏微分方程，提出两种多尺度Galerkin有限元方法，第二种通过添加边模态实现与网格、对比度无关的最优误差估计，且对低正则性解仍最优收敛。
2025-05-19 cs.NA math.NA
Linearized Localized Orthogonal Decomposition for Quasilinear Nonmonotone Elliptic PDE
本文提出一种受 LOD 启发的线性化多尺度方法，用于含空间多尺度系数的非单调拟线性椭圆 PDE，并通过两种线性化技术的适定性、收敛分析与数值实验验证其有效性。
2025-07-25 cs.NA math.NA
A multiscale method for semi-linear elliptic equations with localized uncertainties and non-linearities
Centrale Nantes（南特中央理工学院）；Université Paris-Est（巴黎东大学）
本文提出了一种多尺度数值方法，用于求解具有局部不确定性和非线性的半线性椭圆随机偏微分方程，通过域分解方法将不同不确定性和非线性源包含在感兴趣的子域（称为补丁）中，并通过迭代算法求解一系列线性全局问题和非线性局部问题，利用自适应采样基于最小二乘法构建稀疏多项式近似来解决非线性局部问题，证明了算法的一致性、收敛性和鲁棒性，并通过数值实验展示了方法的性能。
2019-01-20 cs.NA math.NA
A localized orthogonal decomposition method for semi-linear elliptic problems
Uppsala University（乌普萨拉大学）；Humboldt-Universität zu Berlin（柏林洪堡大学）
针对系数高度振荡的半线性椭圆问题，提出一种基于局部正交分解的多尺度方法，通过构造低维多尺度空间并证明H1误差关于粗网格尺寸线性收敛。
2013-07-04 cs.NA math.NA
A model reduction method for multiscale elliptic PDEs with random coefficients using an optimization approach
California Institute of Technology（加州理工学院）；The University of Hong Kong（香港大学）
本文提出了一种基于优化方法的多尺度椭圆PDEs模型降阶方法，通过构造局部多尺度数据驱动随机基函数，实现高效求解具有随机系数的多尺度问题，具有较高的计算效率和收敛性分析。
2018-07-06 cs.NA math.NA
Multiscale Sub-grid Correction Method for Time-Harmonic High-Frequency Elastodynamics with Wavenumber Explicit Bounds
弹性动力学方程在高频下的模拟受到众所周知的污染效应的影响。我们提出了一个彼得罗夫-Galerkin多尺度子网格校正方法，保持无污染的自然分辨率和过采样制度。这是通过生成对粗网格空间的校正来实现的，粗网格空间具有由与$\log(k)$相关的过采样长度确定的支持，$k$是波数。这种方法的关键是多项式在$k$边界的稳定常数和相关的inf-sup常数。为此，我们建立多项式的$k$边界的弹性动力学稳定常数在一般Lipschitz域辐射边界条件在$\mathbb{R}^3$。以前的方法依赖于变分技术，Rellich身份，和几何约束。在弹性动力学的背景下，这些遭受需要假设一个科恩的边界上的不平等。在这项工作中的方法是基于边界积分算子和格林函数的导数依赖于$k$的估计，不需要这个额外的假设。我们还实现了二维和三维的数值例子，以显示该方法消除了污染的自然分辨率和过采样制度，以及执行良好的标准拉格朗日有限元相比。
2022-03-14 cs.NA math.NA
Adaptive Reduced Basis Methods for Multiscale Problems and Large-scale PDE-constrained Optimization
本文介绍了模型降阶方法的最新进展，主要目的是为参数化多尺度现象构造在线有效的简化代理模型，并加速大规模PDE约束参数最优化方法。特别是，我们提出了几种不同的自适应RB方法，可用于在一个错误感知的信任区域框架，逐步建设的代理模型在认证的外部优化循环。此外，我们阐述了几个不同的增强信赖域缩减基（TR-RB）算法，并将其推广到参数约束。由于降阶模型的后验误差估计，所得到的算法可以被认为是相对于高保真模型认证。此外，我们使用先优化再离散的方法，以便最大限度地利用问题的底层最优性系统。在本论文的第一部分，理论是基于全球RB技术，使用一个精确的有限元离散作为高保真模型。在第二部分中，我们重点研究了局部模型降阶方法，并针对局部正交分解（LOD）多尺度方法，提出了一种新的在线高效降阶模型。该降阶模型内部基于LOD的双尺度公式，特别是独立于LOD的粗和细离散化。本文的最后一部分致力于结合TR-RB方法和局部RB方法的LOD结果。为此，我们提出了一种算法，使用自适应局部化的减少基础的信赖域局部化的基础（TR-LRB）算法的框架中的方法。TR-RB的基本思想被遵循，但所涉及的系统的有限元评估是完全避免的。
2022-11-17 cs.NA math.NA
Fast mass lumped multiscale wave propagation modelling
在本文中，我们调查使用的质量集总完全显式时间步进计划的离散化的波动方程与底层材料参数，在任意精细尺度变化。我们结合了蛙跳计划的时间离散与多尺度技术称为局部正交分解的空间离散。为了加快该方法，并使其完全明确，一个特殊的质量集中的方法，依赖于一个适当的插值算子。该算子也用于局部正交分解的构造，并且是该方法的一个关键特征。我们证明了该方法收敛于二阶的能量范数，与领先的常数，不依赖于材料参数变化的尺度。我们还说明了一组数值实验中的质量集总方法的性能。
2021-09-07 cs.NA math.NA
Numerical upscaling for wave equations with time-dependent multiscale coefficients
本文考虑了具有不定常、空间多尺度系数的经典波动方程。我们提出了一个完全离散的计算多尺度方法的精神，在空间中的本地化正交分解与向后欧拉计划的时间。我们显示出最佳的收敛速度在空间和时间上超出了空间周期性或尺度分离的系数的假设。此外，我们提出了一个自适应更新策略的不定常多尺度基础。数值实验验证了理论结果，并展示了自适应更新策略的实用性。
2021-07-29 cs.NA math.NA
Computational multiscale methods for nondivergence-form elliptic partial differential equations
本文提出基于局部正交分解的非散度型椭圆方程计算多尺度方法，通过细尺度局部单元问题构造算子自适应粗空间，并证明LOD方法在非散度型问题中仍保持超越尺度分离与周期性的适用性和精度。
2023-06-24 cs.NA math.NA
A numerical multiscale method for fiber networks
纤维网络模型可用于研究纸张的力学性能。单个纤维和之间的结合构成了材料的详细表现。然而，详细的微尺度纤维网络模型必须解决有效的数值方法。在这项工作中，提出了一种基于局部正交分解方法的离散网络模型的数值多尺度方法[arXiv：1810.05059]。该方法对于这些网络问题是理想的，因为它减少了问题的最大规模，它适合于并行化，并且它可以有效地解决裂缝扩展。本文所分析的问题是在给定载荷作用下纤维网的节点位移。这个问题被公式化为一个线性系，通过使用上述多尺度方法来解决。为了求解线性系，多尺度方法构造了一个具有良好逼近性质的低维解空间。该方法被观察到工作良好的非结构化的纤维网络，可获得高度本地化的配置的方法的最佳收敛速度。
2020-04-28 cs.NA math.NA
Multiscale estimates for the condition number of non-harmonic Fourier matrices
本文针对非谐波傅里叶矩阵，在m≥6s且对节点集合无限制的条件下，利用节点间距离的多尺度结构给出了最小奇异值的显式下界，显著改进了经典条件数估计。
2024-09-30 cs.NA math.NA
Multiscale Scattering in Nonlinear Kerr-Type Media
我们提出了一个多尺度方法的非线性Helmholtz问题的克尔系数，折射率和扩散系数可能的振荡。该方法不依赖于对系数的结构假设，并结合了多尺度技术，称为局部正交分解与自适应迭代逼近的非线性。我们严格分析的方法在适定性和收敛性能的基础上适当的假设的初始数据和离散化参数。数值例子说明了理论误差估计和强调的实用性的方法。
2021-12-09 cs.NA math.NA
Heterogeneous Multiscale Method for the Maxwell equations with high contrast
Westfälische Wilhelms-Universität Münster（明斯特大学）
本文提出一种新的异质多尺度方法用于高对比度下的时谐Maxwell散射问题，通过新的均质化结果和稳定性分析，建立了显式波数依赖的分辨率条件，验证了理论收敛性。
2017-10-26 cs.NA math.NA
A reduced basis localized orthogonal decomposition
本文将缩减基方法与局部正交分解结合，解决参数化椭圆多尺度问题。通过预处理计算代表性参数的LOD，实现在线求解时的高效稀疏系统。
2015-05-12 cs.NA math.NA
A Spectral LOD Method for Multiscale Problems with High Contrast
本文提出一种基于局部正交分解和局部特征值问题的多尺度有限元方法，用于高对比度扩散问题，并证明其性能可达到标准有限元在光滑凸区域泊松问题上的水平，同时给出可验证的显式误差估计。
2025-11-08 cs.NA math.NA
A discontinuous Galerkin multiscale method for convection-diffusion problems
本文提出一种不连续伽辽金局部正交分解多尺度方法，用于处理粗糙、非均匀且高变系数的对流-扩散问题，通过局部化基底捕捉多尺度特征和内部/边界层。
2015-09-11 cs.NA math.NA
Optimal higher-order convergence rates for parabolic multiscale problems
Umeå University（于默奥大学）；Karlsruhe Institute of Technology（卡尔斯鲁厄理工学院）；Saarland University（萨尔兰大学）
本文提出一种高阶多尺度方法，用于处理具有高振荡系数的时间依赖问题，通过构建富集修正算子提高收敛速率，无需额外系数假设，并通过数值实验验证理论结果。
2026-05-14 cs.NA math.NA
Adaptive multiscale model reduction for linear elasticity equation in perforated domains
Xiangtan University（湘潭大学）；The Chinese University of Hong Kong（香港中文大学）
提出约束能量最小化广义多尺度有限元法求解穿孔域线弹性问题，通过离线构造局部能量最小化基函数捕捉穿孔引起的细尺度几何信息，在线阶段采用残差驱动基函数自适应提高精度，并证明收敛性。
2026-06-09 cs.NA math.NA
Super-localization of elliptic multiscale problems
数值均匀化的目的是在$d$维域上有效而精确地逼近具有任意粗糙系数的椭圆型偏微分算子的解空间。逆算子应用于某些标准有限元空间定义了一个近似空间，该近似空间相对于网格步长参数$H$具有一致的代数逼近率。这甚至适用于欠解析的粗糙系数。然而，数值均匀化的真正挑战是这样一个运营商相关的近似解空间的本地化基础的本地化计算。本文提出了一种新的本地化技术，强制执行超指数衰减的基础相对于$H$。这表明支持宽度为$\mathcal O(H|\log H|^{(d-1)/d})$的基函数足以保持$H$中的最佳代数收敛速度，而没有预渐近效应。一系列的数值实验说明了新的本地化技术的意义相比，到目前为止最好的本地化支持宽度$\mathcal O(H|\log H|)$。
2022-11-23 cs.NA math.NA
Wavelet-based Edge Multiscale Finite Element Methods for Singularly Perturbed Convection-Diffusion Equations
提出一种基于小波的边缘多尺度有限元方法（WEMsFEM），通过局部泡函数与调和延拓分裂及单位分解，在网格限制小的条件下高效求解奇异摄动对流扩散方程，并给出经二维和三维数值试验验证的收敛率分析。
2024-11-09 cs.NA math.NA
Contrast independent localization of multiscale problems
Uppsala University（乌普萨拉大学）；Chalmers University of Technology and University of Gothenburg（查尔姆斯理工大学和哥德堡大学）
本文研究了一种基于变分多尺度方法的多尺度方法，提出了一种新的插值算子，证明在合理假设下，该方法具有对比独立的定位误差特性。
2017-03-23 cs.NA math.NA
The candy wrapper problem -- a temporal multiscale approach for pde/pde systems
我们描述了一个时间多尺度的方法来模拟长期过程的短期影响，涉及偏微分方程。所考虑的具体问题是血管中的生长过程。\emph{Candy Wrapper Process}描述了先前通过插入支架而加宽的血管中的再狭窄。新狭窄的发展发生在很长的时间范围内（数月），而作用力主要由脉动血流提供。我们描述了一个耦合的偏微分方程模型和一个有限元模拟，作为我们的多尺度方法的基础，这是基于平均的长尺度方程和近似的快速规模的影响，本地化的时间延迟问题。原型三维配置的数值测试案例证明了该方法的强大功能。
2020-02-22 cs.NA math.NA
Convergence analysis of an operator-compressed multiscale finite element method for Schrödinger equations with multiscale potentials
本文分析了半经典区域中具有一般多尺度势的薛定谔方程的算子压缩多尺度有限元法（OC MsFEM）的收敛性.在OC MsFEM中，通过求解约束能量最小化来构造多尺度基函数。在对网格步长$H$的一个温和的假设下，我们证明了多尺度基函数的指数衰减性，从而可以构造局部化的多尺度基函数，如果过采样尺寸为$m = O(\log(1/H))$，则可以达到与全局基函数相同的精度.我们证明了OC MsFEM在能量范数下的一阶收敛性和在$L^2$范数下的二阶收敛性，并且当解具有足够高的正则性时，可以获得超收敛速度.通过分析解的正则性，我们还得到了误差估计对薛定谔方程小参数的依赖性。我们发现，OC MsFEM优于有限元法（FEM），由于超收敛行为的高正则性的解决方案和弱依赖于小参数的低正则性解决方案的存在下的多尺度潜力。最后，我们提出的数值结果证明的OC MsFEM的准确性和鲁棒性。
2021-09-20 cs.NA math.NA
A Higher-Order Multiscale Method for the Wave Equation
本文提出一种针对高振荡介质中声波方程的高阶多尺度方法，结合高阶局部正交分解与时间步进，给出误差估计，并通过数值实验验证了提高多项式次数可有效减小误差。
2024-07-22 cs.NA math.NA
Multiscale modeling for problems with high contrast heterogeneous coefficients by the CEM-GMsFEM
The Chinese University of Hong Kong（香港中文大学）；Texas A & M University（德克萨斯农工大学）；City University of Hong Kong（香港城市大学）
综述约束能量最小化广义多尺度有限元法(CEM-GMsFEM)，通过谱辅助空间和过采样构造多尺度基函数，实现局部计算和指数误差衰减，用于求解高对比异质系数椭圆PDE。
2026-06-09 cs.NA math.NA
Multiscale methods for solving wave equations on spatial networks
本文针对空间网络上的波动方程，提出基于局部正交分解的多尺度方法，结合能量守恒时间格式，推导出最优阶先验误差界，并通过数值实验验证了理论结果。
2023-03-15 cs.NA math.NA
A multiscale method for linear elasticity reducing Poisson locking
KTH Royal Institute of Technology（瑞典皇家理工学院）；Chalmers University of Technology and University of Gothenburg（查尔姆斯理工大学和哥德堡大学）
本文提出了一种广义有限元方法，用于解决具有高变性和振荡系数的线弹性方程，证明了在H¹范数下的线性收敛性，并通过数值实验验证了理论误差估计。
2016-03-31 cs.NA math.NA
The WaveHoltz Heterogeneous Multiscale Method
Virginia Tech（弗吉尼亚理工大学）；KTH Royal Institute of Technology（皇家理工学院）
研究具有快速变化系数材料中波动方程及时谐源的数值解，核心方法是结合有限差分非均匀多尺度方法与波霍尔兹方法，优势是波霍尔兹方法优势适用于多尺度问题且时域求解无微观尺度边界误差。
2026-07-08 cs.NA math.NA
Iterative Oversampling Technique for Constraint Energy Minimizing Generalized Multiscale Finite Element Method in the Mixed Formulation
在本文中，我们开发了一个迭代计划，以构建多尺度基函数的框架内的约束能量最小化广义多尺度有限元法（CEM-GMsFEM）的混合配方。迭代过程开始于能量最小化快照空间的构造，该快照空间可用于近似模型问题的解。然后在快照空间上执行谱分解以形成全局多尺度空间。在这种设置下，每个全局多尺度基函数可以被分成非衰减部分和衰减部分。全局基的非衰减部分是局部的，并且在迭代过程中是固定的。然后，可以通过修改的Richardson计划与适当定义的预处理器来近似衰减部分。利用这组基于迭代的多尺度基函数，如果在适当的正则化参数范围内进行足够多次的迭代，则可以显示相对于粗网格步长的一阶收敛。数值结果表明，所提出的计算多尺度方法的有效性和效率。
2020-12-03 cs.NA math.NA
Model Reduction for Multiscale Lithium-Ion Battery Simulation
University of Münster（明斯特大学）
本文提出了一种用于多尺度锂离子电池模拟的高效降维方法，通过减少基底方法处理非线性Butler-Volmer动力学，并结合经验算子插值和局部降维多尺度方法来解决热模型中的问题。
2016-02-29 cs.NA math.NA
An offline-online strategy for multiscale problems with random defects
本文提出了一种基于局部正交分解（LOD）方法的离线-在线策略来求解具有随机扰动扩散系数的椭圆多尺度问题。我们考虑一个周期性的确定性系数与局部缺陷发生的概率$p$。离线阶段预先计算单个参考元素上的全局LOD刚度矩阵的条目（利用周期性），以选择缺陷配置。给定扰动扩散的样本，然后在在线阶段通过采取预先计算的条目的线性组合来计算对应的LOD刚度矩阵。我们的可计算的误差估计表明，这产生了一个很好的粗尺度近似的解决方案，小$p$，这是由大量的数值实验所示。这使得所提出的技术已经在蒙特卡罗模拟中等样本量的吸引力。
2021-12-07 cs.NA math.NA
A High-Order Localized Orthogonal Decomposition Method for Heterogeneous Stokes Problems
Institute for Applied and Numerical Mathematics, Karlsruhe Institute of Technology（应用与数值数学研究所，卡尔斯鲁厄理工学院）；Université Marie et Louis Pasteur（玛丽·路易·巴斯德大学）
本文提出了一种高阶局部正交分解方法，用于解决异质斯托克斯问题，通过改进的局部化策略和压力重构，实现了速度和压力的高阶收敛性。
2025-11-27 cs.NA math.NA
Vortex-capturing multiscale spaces for the Ginzburg-Landau equation
本文研究基于有限元和局部化正交分解构造的多尺度空间，解析解释了其能更准确捕获Ginzburg-Landau能量极小化涡旋结构的原因，量化了网格分辨率与参数κ和β的关系，并证明β=0通常精度最高。
2025-01-24 cs.NA math.NA
Multiscale differential Riccati equations for linear quadratic regulator problems
Chalmers University of Technology（查尔姆斯理工大学）；University of Gothenburg（哥德堡大学）
本文研究多尺度操作符下线性二次调节问题的微分里茨方程近似解，提出局部正交分解法在粗网格上实现高精度计算，证明了二阶收敛性及低秩处理方法。
2018-06-18 cs.NA math.NA
Locally Subspace-Informed Neural Operators for Efficient Multiscale PDE Solving
AXXX；Institute of Numerical Mathematics（计算数学研究所）；North-Eastern Federal University（东北联邦大学）
本文提出一种局部子空间感知神经算子，通过学习子空间而非基函数，有效降低多尺度PDE求解的误差和计算成本。
2026-02-27 cs.NA math.NA
A post-processed higher-order multiscale method for nondivergence-form elliptic equations
Karlsruhe Institute of Technology（卡尔斯鲁厄理工学院）；Texas A&M University（德克萨斯农工大学）
本文提出一种后处理的高阶多尺度方法，用于求解非散度形式的线性二阶椭圆偏微分方程，通过稳定对称公式和粗基函数构造多尺度方法，实现更高阶收敛性。
2026-04-16 cs.NA math.NA
Randomized Radial Basis Function Neural Network for Solving Multiscale Elliptic Equations
本文提出随机径向基函数神经网络（RRNN），通过子域分解和随机配点耦合求解多尺度椭圆方程，仅训练输出层权重，数值实验验证其精度和效率提升。
2024-07-20 cs.NA math.NA
An Adaptive Angular Domain Compression Scheme For Solving Multiscale Radiative Transfer Equation
本文针对非均质介质中的多尺度 RTE，提出依据局部光学性质选择缩减基函数的自适应 TFPS，以压缩角空间，并通过后验误差分析和数值实验验证其精度与效率。
2024-09-07 cs.NA math.NA
Multiphysics embedding localized orthogonal decomposition for thermomechanical coupling problems
Tongji University（同济大学）；The Chinese University of Hong Kong（香港中文大学）
针对高度非均匀介质中多尺度热机械问题，提出ME-LOD方法，通过耦合静态算子生成位移和温度校正器，定位到粗网格块求解。证明相关稳定性等，数值实验显示该方法在精度和成本平衡上表现良好。
2026-07-10 cs.NA math.NA
A combined finite element and multiscale finite element method for the multiscale elliptic problems
Nanjing University（南京大学）
针对多尺度椭圆问题，提出一种在计算域不同区域分别使用标准有限元和超采样多尺度有限元的混合方法，并通过罚函数处理界面条件，在周期系数假设下给出收敛性分析，数值实验验证了精度和效率。
2012-11-13 cs.NA math.NA
Multiscale mixed finite elements
Uppsala University（乌普萨拉大学）；KTH Royal Institute of Technology（皇家理工学院）；Chalmers University of Technology and University of Gothenburg（查尔姆斯理工大学和哥德堡大学）
本文提出基于局部正交分解的多尺度混合有限元方法，用于求解椭圆多尺度问题，通过在粗网格元素周围的小区域内求解局部问题，构建低维多尺度混合有限元空间，实现高效求解，并证明了方法的收敛性。
2016-06-20 cs.NA math.NA
On Edge Multiscale Space based Hybrid Schwarz Preconditioner for Helmholtz Problems with Large Wavenumbers
针对大波数亥姆霍兹问题，提出基于边多尺度空间的混合Schwarz预条件子EMs-HS，证明其一致收敛性并通过数值实验验证了理论结果与方法有效性。
2024-08-15 cs.NA math.NA
Offline-online approximation of multiscale eigenvalue problems with random defects
本文针对多尺度随机扰动系数的椭圆特征值问题，提出基于局部正交分解的离线-在线多尺度方法，并改进在线阶段以提升中高缺陷概率下的性能，同时给出特征函数与特征值的先验误差估计。
2025-07-07 cs.NA math.NA
Efficient multiscale methods for the semiclassical Schrödinger equation with time-dependent potentials
含时势的半经典薛定谔方程是研究平均场图像中电子动力学的重要模型。本文提出了两种多尺度有限元法来解决这一问题。在离线阶段，对于第一种方法，局部多尺度基函数的构造使用稀疏压缩的哈密顿算子在初始时间;对于后者，基函数进一步丰富使用贪心算法的稀疏压缩的哈密顿算子在以后的时间。在在线计算阶段，薛定谔方程在空间上由这些局域多尺度基近似，在时间上由Crank-Nicolson方法求解。这些多尺度基在空间上具有紧支撑，导致刚度矩阵的稀疏性，因此这两种方法在在线阶段的计算复杂性与标准有限元法相当。然而，多尺度有限元法中的空间网格尺寸是$ H=\mathcal{O}(ε) $，而标准有限元法中的空间网格尺寸是$H=\mathcal{O}(ε^{3/2})$，其中$ε$是半经典参数。通过一维和二维的数值算例，在基数基本相同的情况下，多尺度有限元法的逼近误差比标准有限元法的逼近误差至少小两个数量级，而富集又使误差减小了一个数量级.
2019-09-16 cs.CE cs.NA math.NA
An algebraic multiscale method for spatial network models
本研究提出一种基于局部正交分解（LOD）的全代数多尺度方法，可对空间网络模型进行可靠粗尺度近似，适用于复杂几何对象与椭圆偏微分方程离散，且经严格误差分析和数值算例验证。
2023-12-15 cs.NA math.NA
The Ginzburg-Landau equations: Vortex states and numerical multiscale approximations
University Bonn（波恩大学）；Ruhr University Bochum（鲁尔大学波鸿）
本文综述了吉恩斯堡-兰道方程中涡旋态的数值多尺度近似方法，探讨了κ参数与网格尺寸耦合对涡旋模式解析的影响，并通过理论分析和数值实验验证了相关结果。
2025-11-24 cs.NA math.NA
Constraint Energy Minimizing Generalized Multiscale Finite Element Method for dual continuum model
Texas A&M University（德克萨斯农工大学）；The Chinese University of Hong Kong（香港中文大学）；University of Texas at Austin（得克萨斯大学奥斯汀分校）；North-Eastern Federal University（东北联邦大学）
本文提出一种基于多尺度有限元方法的新型方法，用于求解双连续模型中的多尺度问题，通过局部谱问题和能量最小化原理，实现高对比度通道和裂隙下的局部化基函数计算，且收敛性仅依赖于粗网格尺寸。
2018-07-28 cs.NA math.NA
