令$1\leq p < \infty$和$1\leq r \leq p^\ast$，其中$p^\ast$是$p$的共轭指数。我们证明了一个综合定理，它提供了许多等价的序列$(x_n)$在巴拿赫空间$X$是一个$(p,r)$ -空序列。其中之一是$(x_n)$是$(p,r)$ -null当且仅当$(x_n)$是null并且是相对$(p,r)$ -紧凑的。这种等价性在$r=p^\ast$的“极限”情形、$p$ -空序列和$p$ -紧性的情形中是已知的。我们的方法是更直接和更容易比那些适用于后一个结果的证明。我们也应用它来刻画无条件和弱版本的$(p,r)$ -空序列。
英文摘要：
Let $1\leq p < \infty$ and $1\leq r \leq p^\ast$, where $p^\ast$ is the conjugate index of $p$. We prove an omnibus theorem, which provides numerous equivalences for a sequence $(x_n)$ in a Banach space $X$ to be a $(p,r)$-null sequence. One of them is that $(x_n)$ is $(p,r)$-null if and only if $(x_n)$ is null and relatively $(p,r)$-compact. This equivalence is known in the "limit" case when $r=p^\ast$, the case of the $p$-null sequence and $p$-compactness. Our approach is more direct and easier than those applied for the proof of the latter result. We apply it also to characterize the unconditional and weak versions of $(p,r)$-null sequences.
我们引入了一个度量弱空序列复杂性的序指数，并证明了J. Schreier的一个构造可以迭代生成一个复杂度为alpha的弱空序列（x^{alpha}_n in C（omega^{omega^{alpha}}））。如在Schreier示例中，这些中的每一个是指示函数的序列，其是抑制-1无条件基本序列。这些序列被用来构造大指数的类Tsirelson空间。我们还证明了这个新的有序指数与Baire-1函数的Lavrentiev指数有关，并使用该指数锐化了Alspach和Odell关于平均弱空序列的一些结果。
本文证明了实或复巴拿赫空间的每一个有限维子空间序列（F_n）都可以“加细”得到一个有限维D.（G_n），仍然具有增加的维数，使得每个有界序列（x_n），其中x_n在G_n中，n在N中，是弱空的，或者每个归一化序列（x_n），其中x_n在G_n中，n在N中，等价于l_1的单位向量基。证明的关键是有限维赋范空间上Lipschitz函数的两个稳定性结果。这些结果也导致其他应用。例如，我们证明了每个无限维巴拿赫空间X都包含一个FD D。（F_n），其中lim_{n to infty} dim（F_n）=infty，使得所有归一化序列（x_n），其中x_n在F_n中，n在N中，在X上具有相同的扩展模型.这个扩散模型必然是X上的1-无条件的。
Structure properties of Banach spaces of I-null sequences
Escuela de Matemáticas, Universidad Industrial de Santander（桑坦德工业大学生命科学学院）；Department of Biotechnology and Bioprocess, São Paulo State University（圣保罗州立大学生物技术与生物工艺系）；Universidad Industrial de Santander（桑坦德工业大学）
