LR-Drawings of Ordered Rooted Binary Trees and Near-Linear Area Drawings of Outerplanar Graphs
在本文中，我们研究了一个家庭的算法，介绍了陈[SODA 1999]和所谓的LR算法，绘制有序有根二叉树。特别是，我们有兴趣在建设LR图纸（即通过LR算法获得的图纸）与小宽度。Chan展示了三种不同的LR算法，对于具有$n$节点的有序有根二叉树，它们实现了宽度$O(n^{0.695})$、宽度$O(n^{0.5})$和宽度$O(n^{0.48})$。证明了对于每一个$n$ -结点有序根二叉树，都能在$O(n^{1.48})$时间内构造出一个最小宽度的LR-图。此外，我们显示了一个无限家庭的$n$ -节点有序根二叉树需要$Ω(n^{0.418})$宽度在任何LR-绘图，没有下限比$Ω(\log n)$是以前已知的。最后，我们提出了实验评估的结果，使我们能够确定最小宽度的所有有序有根二叉树与$451$节点。我们对LR-图的兴趣主要是由Di Battista和Frati [Jumica 2009]的一个结果激发的，他们通过一个类似于LR-算法的作图算法证明了$n$ -顶点外平面图在$O(n^{1.48})$区域中具有外平面直线图。证明了若$n$ -结点有序根二叉树有宽度为$f(n)$的LR-图，则$n$ -顶点外平面图在$O(f(n))$区域有外平面直线图，从而深化了LR-图与外平面直线图之间的联系.最后，利用Chan提出的有序根二叉树的结构分解，证明了每个$n$ -顶点外平面图在$O(n…
2016-10-22 cs.CG cs.DS math.CO
Level-Planar Drawings with Few Slopes
介绍并研究了具有固定数量$λ$斜率的水平平面直线图。对于适当的水平图，我们给出了一个$O(n \log^2 n / \log \log n)$的时间算法，找到这样的图纸或确定没有这样的图纸存在。此外，我们考虑部分绘图扩展问题，我们试图将一个不可变的子图的绘图扩展到整个图的绘图，以及同时绘图问题，它要求存在两个图的绘图，它们的限制，他们的共享子图一致。我们提出$O(n^{4/3} \log n)$ -时间和$O(λ n^{10/3} \log n)$ -时间的算法，这些相应的问题适当的水平平面图。我们补充这些积极的结果表明，测试是否非适当的水平图承认水平平面图纸与$λ$斜率是$\textsf{NP}$ -硬，即使在有限的情况下。
2019-07-31 cs.CG cs.DS
On the Area Requirements of Planar Greedy Drawings of Triconnected Planar Graphs
本文研究了三连通平面图的平面贪婪图的面积要求。Cao，Strelzoff和Sun展示了三连通平面图的细分族$\cal H$，并声称在$\mathcal H$中的每一个平面图的贪婪绘制都需要指数面积。然而，我们发现，每一个$n$ -顶点图中的$\cal H$实际上有一个平面贪婪图纸尊重规定的平面嵌入在$O(n)\times O(n)$网格。这重新打开的问题是否三连通平面图承认平面贪婪图纸上的多项式大小的网格。此外，我们提供了一个肯定的答案，证明了每个$n$ -顶点Halin图承认一个平面的贪婪绘制上的$O(n)\times O(n)$网格上的上述问题的证据。这两个结果都是通过实际构造凸的和角单调的图来获得的。最后，我们考虑$α$ -施奈德图纸，这是角度单调，因此贪婪，如果$α\leq 30^\circ$，并表明存在平面三角形，每个$α$ -施奈德图纸与固定的$α<60^\circ$需要指数面积的任何决议规则。
2020-03-03 cs.CG cs.DM cs.DS
Drawing Graphs in the Plane with a Prescribed Outer Face and Polynomial Area
研究了经典的平面图的作图问题，即用直线边画一个平面图，其外表面是一个给定的凸多边形。与之前解决该问题的算法不同，这些算法可能会产生具有指数面积的图形，而我们的方法会产生具有多项式面积的图形。此外，我们允许边界上的共线点，只要这些顶点不产生重叠的边。因此，我们解决了邓肯等人的一个公开问题，当与他们的工作相结合时，这意味着我们可以产生组合嵌入的genus-g图的平面直线图，该图的规范多边形模式被绘制为凸多边形外表面。
2010-09-01 cs.CG
Internally-Convex Drawings of Outerplanar Graphs in Small Area
University of Ioannina（约阿尼纳大学）；Roma Tre University（罗马第三大学）；University of Perugia（佩鲁贾大学）；National Technical University of Athens（雅典国立技术大学）
研究外平面图在小面积内的内凸绘制问题，提出算法在O(n^1.5)面积内计算相关绘制，还给出内面为严格凸多边形时不同类型外平面图的面积界，如弱对偶为路径且最大面大小为k的为Θ(nk²)，直径受d限制的为Θ(nd²)。
2026-07-21 cs.CG cs.DM cs.DS
Simultaneous Drawing of Planar Graphs with Right-Angle Crossings and Few Bends
给定两个定义在同一组顶点上的平面图，RAC同时绘图是其中每个图都是平面绘制的，没有边重叠，并且两个图之间的交叉形成直角。几何版本将问题限制在直线图上。然而，已知存在不允许几何RAC同时绘图的轮和匹配。为了扩大允许RAC同时绘图的图的类别，我们允许在所得到的绘图中弯曲。我们证明了两个平面图总是允许RAC同时绘制，每个边有六个弯曲，在二次区域。对于更受限制的平面图类（即，匹配、路径、圈、外平面图和次哈密尔顿图），我们设法显著减少每条边所需的弯曲数，同时保持面积平方。
2016-11-22 cs.CG cs.DS
How many vertex locations can be arbitrarily chosen when drawing planar graphs?
证明了平面上具有基数$\lceil \frac{\sqrt{\log_2 n}-1}{4} \rceil$的不同点的集合$S$可以是任意具有$n$顶点的平面图的无交直线图的顶点的子集。证明了当$S$被限制为单侧凸点集时，它的基数增加到$\lceil \sqrt[3]{n} \rceil$ .证明是建设性的，并产生O（n）-时间绘图算法。作为证明的一部分，我们证明了每个极大平面图都包含一个大诱导双连通外平面图和一个大诱导外路（弱对偶是路的外平面图）。
2012-12-04 cs.CG cs.DS
Straight-line Orthogonal Drawing of Complete Ternary Tree Requires $O(n^{1.032})$ Area
该研究证明满足子树分离性质的完全三叉树最小面积直线正交绘制具有 $Ω(n^{1.031})$ 下界，并将上界改进为 $O(n^{1.032})$，解决了相关猜想。
2025-06-10 cs.CG
Convex Grid Drawings of Planar Graphs with Constant Edge-Vertex Resolution
我们继续研究了3连通平面图的凸直线网格图的面积要求，这在过去的几十年里已经得到了深入的研究。出于应用程序，如图形编辑器，我们还需要获得的图纸有界边顶点分辨率，也就是说，顶点和任何非入射边之间的最近距离是下界的常数，不依赖于图形的大小。本文提出了一个以n个顶点和f个内面的3连通平面图为输入，在大小为（n-2+a）x（n-2 +a）的整数网格上计算边顶点分辨率至少为1/2的凸直线图的作图算法，其中a=min{n-3，f}.我们的结果改进了Chrobak，Goodrich和Tamassia以前最著名的面积界（3 n-7）x（3 n-7）/2。
2022-05-09 cs.CG cs.DS
Tree Drawings Revisited
我们取得了进展，一些开放的问题，有关的区域要求绘制树木的网格。我们证明了1。每棵树的大小为$n$（任意大的度）有一个直线图面积为$n2^{O(\sqrt{\log\log n\log\log\log n})}$，改善了长期以来的$O(n\log n)$界; 2.每棵树的大小$n$（具有任意大的度）具有面积为$n\sqrt{\log n}(\log\log n)^{O(1)}$的直线向上图，改进了长期存在的$O(n\log n)$界; 3.每个大小为$n$的二叉树都有一个面积为$n2^{O(\log^*n)}$的直线正交图，改进了Shin，Kim和Chwa（1996）以及Chan，Goodrich，Kassaju和Tamassia（1996）所定义的以前的$O(n\log\log n)$; 4.每个大小为$n$的二叉树都有一个面积为$n2^{O(\log^*n)}$的直线保序图，改进了Garg和Rusu（2003）所定义的先前的$O(n\log\log n)$; 5.每个大小为$n$的二叉树都有一个面积为$n2^{O(\sqrt{\log n})}$的直线正交保序图，改进了Frati（2007）之前的$O(n^{3/2})$。
2018-03-19 cs.CG
Small-Area Orthogonal Drawings of 3-Connected Graphs
众所周知，每个最大度为4的图都有一个面积至多为$\frac{49}{64} n^2+O(n) \approx 0.76n^2$的正交图。在本文中，我们表明，如果图是3-连通的，那么面积甚至可以进一步减少到$\frac{9}{16}n^2+O(n) \approx 0.56n^2$。图中使用了3-连通图（不一定是平面图）的3-标准序，这是一个特殊的蒙兹海因序列，因此可以在线性时间内计算。据我们所知，这是第一个应用程序中的一个蒙德辛序列的图形绘制。
2015-10-12 cs.CG math.CO
Fixed-Parameter Algorithms for Computing RAC Drawings of Graphs
该研究从参数化复杂度角度探究图的RAC画法计算问题，证明该问题在以反馈边数或弯折数加顶点覆盖数为参数时是固定参数可处理的，填补了相关可处理性边界研究的空白。
2023-08-23 cs.CG cs.DS
Drawing outer-1-planar graphs revisited
在最近的一篇文章中（Auer et al，Apumica 2016），声称每个外1平面图都有一个面积为$O(n\log n)$的平面可见性表示。在本文中，我们表明，这是错误的：有外1-平面图，需要$Ω(n^2)$面积在任何平面图。然后我们给出了一个构造（使用交叉，但保持给定的外1-平面嵌入），该构造的结果是具有O（nlog n）面积和每条边至多两个弯曲的正交盒图。
2020-09-20 cs.CG
Strictly-Convex Drawings of $3$-Connected Planar Graphs
小面积$3$ -连通平面图的凸直线图是图论中的一个经典研究课题。目前，最著名的区域是$O(n^2) \times O(n^2)$，如Bárány和Rote通过基于扰动（非严格）凸图的复杂技术所示。不幸的是，在这样的区域边界中的隐藏常数是以$10^4$顺序的。我们提出了一个新的和易于实现的技术，产生严格凸的直线平面图纸$3$连接平面图的大小为$2(n-1) \times (5n^3-4n^2)$的整数网格。
2022-08-29 cs.CG
Graph Stories in Small Area
我们研究绘制动态图的问题，其中每个顶点在某个时间出现在图中，并在图中保持固定的时间，称为窗口大小。这定义了一个图形故事，即，一个子图序列，每个子图都由图中同时存在的顶点导出。图故事的绘制是这样的子图的绘制序列。为了支持可读性，我们要求每个图形都是直线和平面的，并且每个顶点在所有图形中保持其位置。理想情况下，每个子图的绘制区域应该是窗口大小的函数，而不是整个图的大小的函数，这可能太大了。我们表明，路径和树的图形故事可以绘制在一个$2W \times 2W$和一个$(8W + 1) \times (8W + 1)$网格，分别，其中$W$是窗口大小。这些结果是建设性的，并产生线性时间算法。此外，我们还证明了存在平面图的图形故事，其子图不能在一个区域内绘制，该区域仅是$W$的函数。
2019-08-27 cs.CG cs.DM cs.DS
Drawing planar graphs with few segments on a polynomial grid
图形绘制的视觉复杂性可以通过用于表示其元素的几何对象的数量来衡量。本文研究了平面图中边由少数线段表示的情形。在这样的图中，一条线段可以表示形成路径的多条边，很少线段的平面图的绘制在过去的几年中得到了广泛的研究。然而，面积要求只考虑有限的平面图的子类。在本文中，我们表明，树有图纸与$3n/4-1$段和$n^2$地区，改善以前的结果$O(n^{3.58})$。我们还证明了3-连通平面图和双连通外平面图分别具有$8n/3-O(1)$和$3n/2-O(1)$段和$O(n^3)$区域的图。
2019-08-05 cs.CG
A Survey on Graph Drawing Beyond Planarity
平面之外的图形绘制是一个快速发展的研究领域，它根据禁止交叉配置对非平面图的几何表示进行分类和研究。本调查的目的是描述该领域的主要研究方向，最突出的已知结果，以及一些最具挑战性的开放问题。
2018-04-19 cs.CG cs.DM
Drawing Arrangement Graphs In Small Grids, Or How To Play Planarity
我们描述了一个线性时间算法，找到一个平面图的每一个图形的一个简单的线或伪线安排内的网格面积为O（n^{7/6}）。没有已知的输入会导致我们的算法对任何ε>0使用面积Ω（n^{1+ε}）;找到这样的输入将代表离散几何中著名的k集问题的重大进展。绘制直线排列图是平面拼图的主要任务。
2013-07-31 cs.CG
Recognizing and Drawing IC-planar Graphs
IC-平面图是指没有两条交叉边共享一个端点且每条边最多交叉一次的图。它们是1-平面图的一个真子群。给定一个嵌入IC平面图$G$，给出了一个计算$G$在二次区域内的直线图的$O(n)$ -时间算法和一个计算$G$在指数区域内有直角交叉的直线图的$O(n^3)$ -时间算法.这两个面积要求都是最差情况下的最佳值。我们还表明，它是NP-完全的测试IC-平面性在一般情况下，并在旋转系统是固定的输入图的情况下。此外，我们描述了一个多项式时间的算法来测试是否可以添加一组匹配的边缘三角化的平面图，这样得到的图是IC-平面。
2016-07-18 cs.CG
On Upward Drawings of Trees on a Given Grid
计算一个图的最小面积平面直线图是已知的，是NP-困难的平面图，即使限制到outerplanar图。然而，复杂性问题对树是开放的。在各种约束条件下，如边长或坡度约束，只有少数硬度结果是已知的树的直线图。另一方面，存在用于计算最小宽度的多项式时间算法（分别，树的最小高度）向上的绘图，其中高度（分别，宽度）是无界的。在本文中，我们采取了重大的一步，了解严格向上的树木，这是最常见的风格绘制有根树的面积最小化问题的复杂性。我们证明，给定一个有根树$T$和一个$W\times H$网格，这是NP-难决定是否$T$承认严格向上（无序）的绘图在给定的网格。
2017-08-31 cs.CG
On the $\mathcal{NP}$-hardness of GRacSim Drawing and k-SEFE Problems
我们研究了两个同时绘图问题的复杂性。第一个问题，GracSim绘图，要求找到两个图的同时几何嵌入，使得只允许直角交叉。第二个问题，k-SEFE，是一个限制版本的拓扑同时嵌入与固定边（SEFE）的问题，对于两个平面图，其中每一个私人边可以接收最多$k$交叉，其中$k$是一个规定的正整数。我们证明了GracSim Drawing是$\mathcal{NP}$ -hard的，而k-SEFE是$\mathcal{NP}$ -complete的.这两个问题的$\mathcal{NP}$ -硬度证明使用两个类似的约化3-划分。
2016-11-13 cs.CC cs.CG
How Many Slopes Does Polynomial Area Cost?
University of Ioannina（约阿尼纳大学）；National Technical University of Athens（雅典国立技术大学）；Trier University（特里尔大学）
研究有界度图平面绘图中斜率数量、每边弯曲数与面积需求之间的权衡，提出新构造以多项式面积实现少量弯曲，同时略微增加斜率数量。
2026-05-29 cs.CG
Crossing-Optimal Extension of Simple Drawings
在部分图绘图的扩展问题中，给出了输入图$G$的不完整绘图，并要求在保持某些属性的情况下完成绘图。出现这种问题的一个突出领域是交叉最小化。对于平面图和各种放宽这些，有一些易处理性以及下限的结果，探索交叉敏感的绘图扩展问题的计算复杂性。相比之下，相对较少的结果是已知的基本和广泛的一类简单的图纸，即图纸中的每对边缘相交在最多一个点的扩展问题。事实上，直到最近，它已被证明，简单的图纸延伸问题是NP-难的，即使任务是插入一个单一的边缘。在本文中，我们提出了简单的图纸交叉敏感的延伸问题的易处理的结果。特别是，我们表明，插入到一个简单的绘图的边缘的问题是固定参数的参数化时，易于处理的边缘插入和上界新创建的交叉点的数量。使用相同的证明技术，我们也能够回答这个问题的几个密切相关的变种，其中包括$k$ -平面图纸的扩展问题。此外，使用不同的方法，我们提供了一个单指数固定参数算法的情况下，我们只是试图插入一个单一的边缘到绘图。
2020-12-14 cs.CG cs.DS
Smooth Orthogonal Drawings of Planar Graphs
在平面图的\emph{smooth orthogonal layouts}中，每条边都是轴对齐的线段和具有公共轴对齐切线的圆弧的交替序列。在本文中，我们研究的问题，找到光滑的正交布局低\emph{edge complexity}，也就是说，每边的几段。我们说一个图有\emph{smooth complexity} k--简称SC_k-布局--如果它允许一个光滑的正交图，其边复杂度至多为$k$。我们的主要结果是：每个4-平面图都有一个SC_2-布局。虽然我们的图纸可能有超多项式面积，我们表明，对于3平面图，立方面积就足够了。进一步，我们证明了每个双连通4-外平面图都有一个SC_1-布局。在消极的一面，我们证明了一个无限家庭的双连通4-平面图，需要指数面积的SC_1布局。最后，我们给出了一类不允许SC_1-布局的双连通4-平面图。
2013-12-12 cs.CG
L-Visibility Drawings of IC-planar Graphs
IC-平面图是一种拓扑图，其中每条边最多交叉一次，并且没有两条交叉的边共享一个顶点。我们证明了每个IC平面图都有一个可见性图，其中每个顶点都是L形，每个边都是水平或垂直段。作为一个副产品，我们的绘图技术，我们证明了IC平面图有一个RAC绘图在平方面积最多两个弯曲的每边。
2015-11-18 cs.CG
Drawing Reeb Graphs
本文研究Reeb图的绘制复杂度，证明其交叉数最小化是NP难问题，同时给出路径型、毛虫型Reeb图的无交叉绘制方案及环型Reeb图的最小交叉最优绘制算法，为Reeb图可视化研究奠定基础。
2025-05-19 cs.CG
Straight-line Drawability of a Planar Graph Plus an Edge
本文研究由一个平面图加一条边组成的拓扑图的直线图，也称为准平面图。我们提出了这样的图形，承认一个直线图的特征。该特征使得线性时间测试算法能够确定几乎平面图是否允许直线绘图，以及构造这样的绘图的线性时间绘图算法，如果它存在的话。我们还表明，一些几乎平面图需要指数面积的直线绘图。
2015-06-30 cs.CG
Min-$k$-planar Drawings of Graphs
本文引入min-k-平面绘制概念，推广k-平面绘制，证明边数上界并研究其与k-平面图的关系。
2024-02-08 cs.CG
On the Complexity of Clustered-Level Planarity and T-Level Planarity
本文研究了与水平图的绘制有关的两个问题，即T-水平平面性和簇水平平面性。我们表明，这两个问题是NP-完全的一般情况下，他们成为多项式时间可解时，限制到适当的情况。
2014-06-25 cs.CG cs.DS
Snapping Graph Drawings to the Grid Optimally
在地理信息系统中以及在为具有有限计算资源的小型设备生成数字地图时，人们常常想要将坐标舍入为更粗糙的网格。这将删除不必要的细节，并减少空间消耗以及计算时间。这个过程被称为捕捉到网格，并已从计算几何的角度进行了彻底的研究。本文在平面图的组合嵌入必须保持和边画成直线的限制下，对给定的平面图的图，研究了同样的问题。我们表明，这个问题是NP-难的几个目标，并提供了一个整数线性规划制定。给定一个平面图G和一个正整数w，如果可能的话，我们的ILP也可以用来在宽度为w且高度最小的网格上画G的直线。
2016-08-31 cs.CG
INKA: An Ink-based Model of Graph Visualization
常用的图形绘制质量度量标准是关于可读性的标准，如小的边交叉数、小的绘制区域和小的总边长度。粗体图形绘制考虑更真实的图形，由具有一定半径的圆盘和具有一定宽度的矩形的边缘组成。然而，链接这些可读性标准与节点链接图中的渲染标准的关系仍然没有得到很好的建立。本文介绍了一个模型，所谓的INKA（油墨活性），数学封装所有常见的绘图因素之间的关系。因此，我们研究了我们的INKA模型在几个常见的绘图算法和现实世界的图形。
2018-01-22 cs.CG
Manipulating Weights to Improve Stress-Graph Drawings of 3-Connected Planar Graphs
本文研究通过操纵应力图嵌入中的权重来改进3连通平面图的凸直线绘制，提出均匀分布、xy变形及基于树深度的权重选择方法，以克服Tutte嵌入的指数面积问题。
2023-08-30 cs.CG cs.DS
Sync-and-Burst: Force-Directed Graph Drawing with Uniform Force Magnitudes
我们引入了一个力导向算法，称为同步和突发，这属于经典的力导向图绘制算法的范畴。同步和爆发的一个显著特点是使用简化的吸引力和排斥力，其大小不依赖于顶点之间的距离。相反，幅度在每次迭代时在整个图中是均匀的，并且随着迭代次数的增加而单调增加。同步和拆分布局的形状始终是圆形的，顶点在整个绘图区域中的分布相对均匀。我们证明了美观的布局在O（n）迭代中实现。
2015-09-17 cs.CG
Using ILP/SAT to determine pathwidth, visibility representations, and other grid-based graph drawings
我们提出了一个简单而通用的配方基于网格的图形表示问题的整数线性规划（ILP）和相应的SAT实例。在基于网格的表示中，顶点和边对应于底层整数网格上的轴平行框;框可以通过附加的特定于问题的约束进一步约束它们的形状和交互。我们描述了一个一般的d维模型的网格表示问题。该模型可用于解决各种NP-难图问题，包括路径宽度、带宽、最优st-方向、面积最小（bar-k）可见性表示、盒度-k图等。我们实现了SAT模型的所有上述问题，并评估他们的罗马图收集。实验表明，我们的模型成功地解决了NP-困难的问题在几分钟内对中小型罗马图。
2015-02-16 cs.CG cs.DS
Drawn Tree Decomposition: New Approach for Graph Drawing Problems
针对图绘制领域标准参数常导致难解、缺乏通用参数化算法设计方法的问题，本研究提出新型绘制树分解及对应参数，可推导XP时间算法，应用于多个核心图绘制问题，还可得到次指数算法并明确了与其他宽度度量的关系。
2023-10-09 cs.CG cs.DS
Morphing Graph Drawings in the Presence of Point Obstacles
Institut für Informatik, Universität Würzburg（维尔茨堡大学信息学研究所）
在存在点障碍物的情况下，研究图形绘制的变形问题，证明其存在性为NP难问题。
2026-01-12 cs.CG
On the Area-Universality of Triangulations
研究了具有给定面面积的平面图的直线图。一个平面图是“面积泛”的，如果对于每个内表面上的面积分配，都存在一个实现指定面积的直线图。对于具有特殊顶点序的三角剖分，我们提出了一个面积普适性的充分判据，该判据只需要对一个面积分配进行研究。此外，如果充分准则适用于一个平面三角剖分，那么底层平面图的所有嵌入也是面积泛的。面积普遍性是平面图还是平面图的一个性质，至今尚无定论。我们使用发达的机器，目前面积普遍家庭的三角剖分。其中，我们刻画了手风琴图的面积泛度，表明面积泛图和非面积泛图在结构上可能非常相似。
2018-09-04 cs.CG math.CO
Clustered Planarity = Flat Clustered Planarity
判定一个聚类图是否可作平面聚类图的复杂性一直是图形学研究领域的一个悬而未决的问题。一些研究工作集中在这个问题的限制版本上，其中集群的层次结构是“平坦的”，即，没有不同于根的簇包含其它簇。我们证明，这个限制性的问题，我们称之为平坦的平面，保留了相同的复杂性的一般的平面问题，集群被允许形成任意层次结构。我们加强这一结果表明，平坦的平面性是多项式时间等价于独立平坦的平面性，其中每个集群诱导一个独立集。我们讨论这些结果的后果。
2018-08-31 cs.CG cs.DM
New Results in Sona Drawing: Hardness and TSP Separation
本文证明最小长度 sona 绘制是 NP 困难的，且其长度可比 TSP 巡游长 1.5487875 倍以上，并证明网格限制下判定 sona 巡游是否存在也是 NP 困难的，回答了 CCCG 2006 的开放问题。
2020-07-31 cs.CG
Partitioning Graph Drawings and Triangulated Simple Polygons into Greedily Routable Regions
GRR是$\mathbb R^2$的一个闭子集，通过选择路径上每个点到目的地距离最小的方向，可以从每个起点到达目的地。他们证明了对于有洞的多边形，最小分解是NP困难的。本文研究图的平面直线图的最小GRR分解。在这里，GRR与树的自接近绘图相吻合，这种绘图风格已成为图形绘制中的热门研究课题。我们表明，最小分解仍然是NP-困难的图的周期，但可以解决最佳的树在多项式时间。此外，我们给出了一个2-近似简单的多边形，如果一个给定的三角剖分必须尊重。
2017-02-28 cs.CG
Algorithms and Bounds for Drawing Non-planar Graphs with Crossing-free Subgraphs
我们首先研究了如下问题：给定一个非平面图G和G的一个平面子图S，是否存在G在平面上的一个直线图Γ，使得G的任何边都不与S的边相交？对G的不同类型的连通生成子图S给出了肯定和否定的结果。此外，为了扩大的子集的情况下，承认一个解决方案，我们考虑的可能性弯曲的边缘G不在S中，在这种情况下，我们讨论不同的权衡弯曲的数量和所需的绘图面积。
2014-08-07 cs.CG
Drawing a Rooted Tree as a Rooted $y-$Monotone Minimum Spanning Tree
给定一个有根点集$P$，$P$的有根$y-$单调最小生成树（rooted $y-$ MMST）是$P$的生成几何图，其中所有顶点通过某条$y-$单调路连接到根，且其边的欧氏长度之和最小.我们证明了一个有根的$y-$ MMST的最大程度是没有界的常数。我们给出了一个线性时间算法，绘制任何有根树作为一个有根$y-$ MMST，也表明存在有根树，可以绘制为有根$y-$ MMST只有在一个网格的指数区域。
2018-06-12 cs.CG
Pinning Balloons with Perfect Angles and Optimal Area
我们研究的问题，安排一组$n$磁盘上的$n$射线从原点发出的规定半径，使两个相邻的射线被分开的角度$2π/n$。圆盘的中心必须位于射线上，不允许有两个圆盘中心位于同一条射线上。我们要求圆盘具有不相交的内部，并且对于每一条射线，原点和其关联圆盘的边界之间的线段都避开圆盘的内部。令$\r$为圆盘半径之和。我们引入了一个贪婪的策略，构建这样一个磁盘的安排，可以覆盖一个磁盘中心的原点，其半径最多为$2\r$，这是最好的可能。算法复杂度为O（n）。作为我们的结果的应用，我们提出了一个算法嵌入无序树与直线和完美的角分辨率，使它可以覆盖半径$n^{3.0367}$的磁盘，而没有边的长度小于1。树绘制算法是Duncan等人[Symp.的GraphDrawing，2010]，其利用重边树分解技术来构造可以用半径为$2 n^4$的圆盘覆盖的树的绘图。
2011-09-08 cs.CG
Drawing Graphs on Few Lines and Few Planes
我们研究了在二维和三维中绘制图形的问题，使得它们的边（或仅它们的顶点）可以被少数线或平面覆盖。我们坚持直线边缘和交叉自由图纸。这个问题与其他具有挑战性的图形绘制问题有许多联系，例如小面积或小体积的绘图，分层或跟踪绘图，以及绘制具有低视觉复杂度的图形。虽然我们的问题的一些事实是隐含在以前的工作，这是第一次处理的问题，在其充分的一般性。我们的贡献如下。我们显示的下限和上限的线和平面的数量需要覆盖图在某些图形类。在某些情况下，我们的边界是渐近紧的;在某些情况下，我们能够确定精确的值。我们将我们的参数标准的组合特性的图形（如色数，树宽，最大程度，或荫度）和参数，已研究在图形绘制（如轨道数或出现在绘图中的段数）。我们特别注意平面图。例如，我们表明，有平面图，可以画在3-空间上的线比在平面上少得多。
2016-09-01 cs.CG math.CO
A Simple Pipeline for Orthogonal Graph Drawing
提出一种正交绘制多重图的新流水线，通过初始布局、去重叠、边路由与基于线性规划的边微调等步骤，实现少折弯、少交叉和小面积，并与现有方法进行了广泛实验对比。
2023-09-07 cs.CG
Disjoint faces in simple drawings of the complete graph and topological Heilbronn problems
给定一个完全简单拓扑图$G$，由$G$生成的$k$ -面是由$G$中的非自相交$k$ -圈的边围成的开有界区域.有趣的是，有一些完全简单拓扑图具有这样的性质，即它生成的每个奇面都包含原点。本文证明了每一个完全$n$ -顶点简单拓扑图至少生成$Ω(n^{1/3})$两两不相交的4-面.作为直接推论，在单位正方形中画出的$n$顶点上的每个完全简单拓扑图生成面积至多为$O(n^{-1/3})$的4-面。最后，我们研究了海尔布隆三角形问题的一个变形$\mathbb Z_2$。
2022-12-02 cs.CG math.CO
The Crossing Number of Semi-Pair-Shellable Drawings of Complete Graphs
Harary-Hill猜想指出，对于$n\geq 3$，$K_n$的每个绘图至少有\begin{align*} H(n) := \frac{1}{4}\Big\lfloor\frac{n}{2}\Big\rfloor\Big\lfloor\frac{n-1}{2}\Big\rfloor\Big\lfloor\frac{n-2}{2}\Big\rfloor\Big\lfloor\frac{n-3}{2}\Big\rfloor \end{align*}交叉。一般来说，这个问题仍然没有解决，但在证明限制类图纸的猜想已经取得了一些成功。这些类中最新和最通用的是seq-shellability。在这项工作中，我们改进了这些结果，并引入了一类新的半对壳图。我们证明了Harary-Hill猜想使用新的结果$k$ -边缘这一类。到目前为止，证明特定类的Harary-Hill猜想的方法依赖于固定的参考面。我们成功地应用新技术，以放松这一限制，这使我们能够选择不同的参考面时，考虑子图纸。此外，我们引入的概念$k$ -偏差之间的差异，最佳和实际数量的$k$ -边缘。使用$k$ -偏差，我们得到有趣的见解的本质$k$ -边缘，我们进一步放松的必要性，固定的参考面。
2018-07-11 cs.CG math.CO
Invariants of graph drawings in the plane
我们提出了一个简化的阐述的一些经典和现代的结果图的图纸在平面上。这些结果的选择，使他们说明了一些壮观的最近高维结果的边界拓扑和组合。我们定义了一个模2值自相交不变量（即van Kampen数）及其推广。我们目前的基本配方和参数访问数学家不专门在任何讨论的领域。因此，大部分这一调查可以研究教科书之前，代数拓扑，作为一个介绍开始的想法，代数拓扑动机的算法，组合和几何问题。
2020-12-22 cs.CG math.AT math.CO
Inapproximability of Orthogonal Compaction
我们表明，压缩正交图图纸使用的最小行数，面积，最长边的长度或总边长的几个问题不能近似优于在一个多项式因子的最佳多项式时间，除非P = NP。我们还提供了一个固定参数的易处理的算法，用于测试是否可以将图形压缩到少量的行。
2012-02-27 cs.CG
Shortcut Hulls: Vertex-restricted Outer Simplifications of Polygons
设$P$是一个无交叉多边形，$\mathcal C$是一组捷径，其中每个捷径是连接$P$的两个顶点的有向直线段。$P$的快捷外壳是另一个包含$P$的无交叉多边形，其定向边界由来自$\mathcal C$的元素组成。船体发现他们的应用在地理相关的问题，如简化等高线。我们的目标是一个快捷的船体，线性平衡的封闭面积和周长。如果捷径外壳中不允许有洞，则该问题可以通过最短路径直接解决。对于更具有挑战性的情况下，捷径船体可能包含孔，我们提出了一个多项式时间算法，该算法是基于计算的约束，加权三角形的输入多边形的外部。我们使用这个问题作为研究进一步变体的起点，例如，限制了边缘或弯曲的数量。我们证明，快捷外壳可以用于绘制点集的粗糙程度，以及为多边形的图式化。
2021-06-25 cs.CG
A Walk on the Wild Side: a Shape-First Methodology for Orthogonal Drawings
本文提出一种形状优先的正交绘图方法，通过SAT求解和边细分最小化弯折，实现DOMUS并在多数指标上优于OGDF的TSM方法。
2025-08-26 cs.CG
Relaxing the Constraints of Clustered Planarity
在聚类图的绘制中，顶点和边分别被绘制为点和曲线，而聚类由简单的闭合区域表示。如果一个聚类图没有边与边、边与区域或区域与区域的交叉，则它是c-平面的。判定聚类图是否可作c-平面图的复杂性是图论研究领域中一个长期存在的问题。c-平面性的一个明显的必要条件是聚类图的平面性。然而，这样的条件是不够的，由于没有边缘区域和区域区域交叉的要求对问题的后果尚未完全理解。为了阐明c-平面性问题，我们考虑了它的一个宽松版本，其中允许某些类型的交叉（边-边，边-区域或区域-区域），即使底层图是平面的。我们调查的最小数量之间的关系边边，边区域，区域区域交叉的图纸相同的聚类图。此外，我们考虑图纸中，只有一种交叉被承认。在这种情况下，我们证明了只有边缘边缘或只有边缘区域交叉的图纸总是存在的，而只有区域区域交叉的图纸可能不存在。此外，我们提供了这样的交叉点的数量的上限和下限。最后，我们给出了一个多项式时间的算法来测试是否只有区域交叉的绘图存在的双连通图，从而确定了第一个非平凡的必要条件c-平面性，可以测试在多项式时间的一类值得注意的图。
2014-02-18 cs.CG cs.DM
Windrose Planarity: Embedding Graphs with Direction-Constrained Edges
给定平面图$G$和每个顶点$v$的邻居在四个集合$UR(v)$、$UL(v)$、$DL(v)$和$DR(v)$中的划分，问题Windrose Planarity要求决定$G$是否允许Windrose平面绘图，即，其中（i）每个邻居$u \in UR(v)$在$v$的右上方，（ii）每个邻居$u \in UL(v)$在$v$的左上方，（iii）每个邻居$u \in DL(v)$在$v$的左下方，（iv）每个邻居$u \in DR(v)$在$v$的右下方，以及（v）边缘由相对于每个轴单调的曲线表示。通过利用顶点之间的水平和垂直关系，windrose-planar绘图允许同时可视化由图的边缘定义的两个偏序。虽然在一般情况下，这个问题是NP-难的，我们给出了一个多项式时间算法来测试是否存在一个windrose-planar绘图，尊重给定的组合嵌入。该算法是基于一个特征的平面三角剖分承认一个windrose平面图。此外，对于任何具有$n$顶点的嵌入图，其具有一个windrose-planar绘图，我们可以构造一个每条边至多有一个弯曲并且总共至多有$2n-5$弯曲的图，其位于$3n \times 3n$网格上。后一结果与直线风玫瑰平面图可能需要指数面积的事实形成对比。
2018-09-06 cs.CG
On Layered Area-Proportional Rectangle Contact Representations
Universität Trier（特里尔大学）
本文研究了分层面积比例矩形接触表示问题，证明了其NP完全性，并提出三种算法解决该问题。
2026-02-04 cs.CG
