On the Complexity of Clustered-Level Planarity and T-Level Planarity
Patrizio Angelini, Giordano Da Lozzo, Giuseppe Di Battista, Fabrizio Frati, Vincenzo Roselli
本文研究了与水平图的绘制有关的两个问题，即T-水平平面性和簇水平平面性。我们表明，这两个问题是NP-完全的一般情况下，他们成为多项式时间可解时，限制到适当的情况。
In this paper we study two problems related to the drawing of level graphs, that is, T-LEVEL PLANARITY and CLUSTERED-LEVEL PLANARITY. We show that both problems are NP-complete in the general case and that they become polynomial-time solvable when restricted to proper instances.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
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Subexponential-Time and FPT Algorithms for Embedded Flat Clustered Planarity
C平面性问题要求绘制$\textit{clustered graph}$，即，一种图，其顶点属于适当嵌套的簇，其中每个簇由一个简单的封闭区域表示，没有边-边交叉，没有区域-区域交叉，也没有不必要的边-区域交叉。我们研究了$\textit{embedded flat clustered graphs}$的C-平面性，图具有固定的组合嵌入，其簇划分顶点集。我们的主要结果是一个次指数时间算法来测试这些图的C-平面性时，他们的脸大小是有界的。此外，我们考虑的$\textit{embedded tree decomposition}$的概念的变化，其中，对于每个面，包括外面，有一个袋子，包含每个顶点的脸。我们发现，C-平面性是固定参数听话的嵌入宽度的基础图和不连通的集群的数量作为参数。
Advances on Testing C-Planarity of Embedded Flat Clustered Graphs
我们提出了一个多项式时间算法，用于测试嵌入式平面聚类图的c-平面性，每个聚类图的每个面上最多有两个顶点。
Clustered Planarity Variants for Level Graphs
本文研究层级平面绘图中聚类形状要求放宽后的两种聚类平面性变体，给出uCLP在双连通单源图上的多项式算法，并证明y-CLP在同样限制下仍为NP难。
Monotone Clustered Level Planarity
研究层次平面性与聚类平面性组合的单调聚类层次平面性问题，证明其NP完全，通过分析不同参数化情况，表明除顶点覆盖结合聚类数外，多数图结构参数下无固定参数可处理性，同时证明以顶点覆盖数和聚类数参数化时具有固定参数可处理性。
C-Planarity Testing of Embedded Clustered Graphs with Bounded Dual Carving-Width
对于一个聚类图，即一个图的顶点集被递归地划分成簇，C-平面性测试问题问是否有可能找到一个平面嵌入的图和表示的每个簇作为一个区域同胚到一个封闭的磁盘，使1。由每个簇诱导的子图被绘制在相应盘的内部，2.每个边缘与任何盘相交最多一次，以及3.簇之间的嵌套由表示来反映，即，子集群被正确地包含在它们的父集群中。该问题的计算复杂性自1995年引入以来一直是图形可视化理论的核心[Qing-Wen Feng，Robert F.科恩和彼得·伊德斯。聚类图的平面性。ESA '95]，最近才解决[Radoslav Fulek和Csaba D.托特原子嵌入性、嵌入平面性和增厚性。出现在SODA '20]。在这一突破之前，即使图具有指定的平面嵌入，即嵌入聚类图，复杂性问题仍然没有得到解决。我们表明，C-平面性测试问题承认一个单指数单参数FPT算法嵌入聚类图，当参数化的雕刻宽度的对偶图的输入。这是第一个FPT算法，这个长期存在的开放问题，相对于一个显着的图形宽度参数。此外，在一般情况下，我们的FPT算法的多项式依赖小于Fulek和Tóth的算法。为了进一步加强这一结果的相关性，我们表明，C-平面性测试问题保留其计算复杂性时，由其他几个图形宽度参数，这可能会导致更快的算法参数化。
Clustered Planarity with Pipes
我们研究的C-平面性问题的版本，其中连接相同对集群的边缘必须分组到管道，这概括了带平面性问题。我们给出了算法来决定几个家庭的实例的两个变种，其中每个集群周围的管道的顺序是作为输入的一部分，或可以选择的算法。
Exact Algorithms for Clustered Planarity with Linear Saturators
本文研究带线性饱和器的聚类平面性问题，给出可变与固定嵌入情形下的精确算法和亚指数算法，建立基于顶点覆盖数的核化结果，并证明即使簇数至多为3该问题仍为NP困难。
A New Perspective on Clustered Planarity as a Combinatorial Embedding Problem
聚类平面性问题（c-planarity）询问层次聚类图是否允许平面绘图，使得聚类可以很好地由区域表示。我们引入了cd树数据结构，并给出了c平面性的一个新的刻画。它导致在以下情况下的c-平面性测试的有效算法。(i)每个簇和每个协簇（簇的补簇）最多有两个连通的分量。(ii)每个簇最多有五条向外的边。此外，cd树揭示了c-平面性和平面性之间的有趣联系，并限制了顶点周围边的顺序。一方面，这引起了一堆新的开放问题的c-平面性，另一方面，它提供了一个新的角度对以前的结果。
Ordered Level Planarity, Geodesic Planarity and Bi-Monotonicity
我们介绍和研究的问题有序水平平面图，要求一个平面图的顶点被放置在规定的位置在平面上，使每一个边缘实现为一个y-单调曲线。这可以解释为“层级平面性”的变体，其中每个层级上的顶点以规定的总顺序出现。我们建立了一个复杂性二分法的最大程度和水平宽度，即，共享一个级别的顶点的最大数量。我们的研究有序水平平面性的动机是连接到其他几个图形绘制问题。测地线平面性要求一个图形的平面图，使得顶点被放置在平面中的规定位置，并且使得每个边缘被实现为由具有两个相邻方向的线段组成的多边形路径，所述两个相邻方向来自关于原点对称的给定方向集$S$。我们的有序水平平面性的结果意味着$NP$ -硬度的任何$S$与$|S|\ge 4$，即使给定的图是一个匹配。Katz、Krug、Rutter和Wolff声称，对于匹配曼哈顿测地线平面性，$S$精确包含水平和垂直方向的情况可以在多项式时间内求解[GD'09]。我们的研究结果表明，这是不正确的，除非$P=NP$。我们的约化扩展到解决由Fulek，Pelsmajer，Schaefer和Štefanković提出的双单调性问题的复杂性。有序水平平面性是T水平平面性、有序水平平面性和约束水平平面性的一种特殊情况。因此，我们的结果加强了以前的硬度结果。特别是，我们的简化为简化水平平面生成的实例只有两个非平凡的集群。这回答了Angelini，Da Lozzo，Di Battista，…
Computing NodeTrix Representations of Clustered Graphs
NodeTrix表示是可视化聚类图的一种流行方式;它们将聚类表示为邻接矩阵，将聚类间边缘表示为连接矩阵边界的曲线。我们研究了构建NodeTrix表示的复杂性，重点是平面性测试问题，我们展示了几个NP完全性结果和一些多项式时间算法。建立在这样的算法，我们开发了一个JavaScript库NodeTrix表示，旨在减少事件到同一矩阵的边缘之间的交叉。
Synchronized Planarity with Applications to Constrained Planarity Problems
我们介绍了同步平面性问题。粗略地说，它的输入是一个无环多重图以及同步约束，例如，通过在顶点的边之间提供双射来匹配度数相等的顶点对。同步平面性然后询问图是否允许无交叉嵌入到平面中，使得同步顶点周围的边的顺序是一致的。我们表明，一方面，同步平面性可以在二次时间内解决，另一方面，它作为一个强大的建模语言，让我们很容易制定几个约束平面性问题的同步平面性的实例。特别是，这使我们能够在二次时间内求解离散平面性，其中最有效的先前已知算法的上限为$O(n^{8})$。
Beyond Level Planarity
在本文中，我们解决了计算复杂性的两个公开问题有关的水平平面性的概念扩展到不同的表面的平面。也就是说，我们表明，测试的存在性的水平嵌入的水平图的表面上的滚动圆柱或表面上的环面，分别称为$\textit{Cyclic Level Planarity}$和$\textit{Torus Level Planarity}$，是多项式时间可解的问题。此外，我们证明了一个复杂性二分法测试的$\textit{Simultaneous Level Planarity}$的一组水平图，相对于水平图的数量和水平的数量。
Deepening the Relationship between SEFE and C-Planarity
在本文中，我们加深了理解之间的联系，两个长期的绘图开放问题，即同时嵌入与固定边（SEFE）和交叉平面性（C-PLANARITY）。Marcus Schaefer在GD'12的论文中给出了两个平面图从C-PLANARITY到SEFE的约化（SEFE-2）。我们证明，减少也存在相反的方向，如果我们考虑的SEFE-2的实例，其中的交叉图连接。我们提出一个开放的问题，这两个问题是否是多项式时间等价的。
On the Parameterized Complexity of Bend-Minimum Orthogonal Planarity
本文改进了最小弯曲正交平面性问题的参数化复杂性结果，证明其仅以度数至多2的顶点数和弯曲数为参数时仍为FPT，并由此得出直线平面性测试的FPT结论。
Constrained Planarity in Practice -- Engineering the Synchronized Planarity Algorithm
本文工程化实现并优化 Bläsius 等人的二次时间 Synchronized Planarity 算法，统一处理多种约束平面性问题，基线即快一个数量级，可在分钟级处理10万顶点实例。
Parameterized Complexity of 1-Planarity
我们考虑的问题，找到一个1-平面图的一般图，其中1-平面图是一个绘图中，每个边缘参与最多一个交叉。由于这个问题是已知的NP-困难，我们调查的顶点覆盖数，树的深度，圈数的问题的参数化的复杂性。对于这些参数，我们构造固定参数易处理的算法。然而，这个问题仍然是NP-完全的有界带宽，路径宽度，或树宽度的图形。
Graph Planarity Testing with Hierarchical Embedding Constraints
层次嵌入约束定义了一组允许的循环顺序的边缘事件的顶点图。这些约束表示在FPQ树。FPQ-树是PQ-树的变体，除了P-和Q-节点之外还包括F-节点。F节点表示固定的置换，即，它无法逆转。设$G$是一个图，使得$G$的每个顶点都配备有一组FPQ树，该FPQ树编码其关联边的层次嵌入约束。我们研究的问题，测试是否$G$承认一个平面嵌入，这样，对于每个顶点$v$的$G$，循环顺序的事件到$v$的边缘描述的至少一个FPQ树与~ $v$。我们证明了这个问题是固定参数易处理的双连通图，其中的参数是$G$的树宽和与$G$的每个顶点相关联的FPQ-树的数量。我们还证明了，如果仅用FPQ-树的数目来参数化，则该问题是NP-完全的，如果仅用树宽来参数化，则该问题是W[1]-困难的。除了其本身的有趣性之外，层次嵌入约束的平面性测试研究还可以用于解决其他平面性测试问题。特别是，我们将我们的技术应用于研究的NodeTrix平面性测试的聚类图。我们发现，NodeTrix平面性测试与固定的双方是固定参数的参数化时，参数化的集群的大小和树宽的多图通过折叠集群到单顶点，只要这个图是bconnected。
Turning Cliques into Paths to Achieve Planarity
出于混合图表示的动机，我们引入并研究了以下超平面性问题，我们称之为$h$ -C2 P 2路径平面性：给定一个图$G$，其顶点被划分为大小至多为$h$的子集，每个子集诱导一个团，从每个团中删除边，使得由每个子集诱导的子图是路径，以这种方式，得到的子图$G$是平面的。当$G$是简单拓扑图时，我们研究了这个问题，并建立了它的复杂性与$k$ -平面性的关系.本文证明了当$h=4$和$G$是简单的$3$ -平面图时，$h$ -C_2路径平面性是NP-完全的，而当$G$是$1$ -平面图时，对任何$h$，它都能在线性时间内求解.
2-Level Quasi-Planarity or How Caterpillars Climb (SPQR-)Trees
给定一个二分图$G=(V_b,V_r,E)$，$2$ -级拟平面性问题要求存在一个平面中的$G$的绘图，使得$V_b$和$V_r$中的顶点分别位于两条平行线$\ell_b$和$\ell_r$上，$E$中的每条边都画在由$\ell_b$和$\ell_r$限定的平面的无界带中，并且$E$中没有三条边两两相交。证明了$2$ -级拟平面问题是NP-完全的。这回答了杜伊莫维奇、波尔和伍德的一个悬而未决的问题。此外，我们表明，问题成为线性时间可解的，如果在$V_b$沿$\ell_b$的顶点的顺序是规定的。我们的贡献提供了第一个结果的计算复杂性识别准平面图，这是一个长期存在的开放问题。我们的线性时间算法利用了几个成分，包括一个组合表征的积极的情况下的问题，在存在的一个平面嵌入与毛虫状结构，和SPQR树为基础的算法，用于测试存在这样的平面嵌入。我们的算法建立在一个分类的类型的嵌入相对于它们包含的毛毛虫的一部分的结构，并执行一个计算的可实现的嵌入类型的基础上，通过恒定大小的小工具，其功能的简洁描述。
Constrained Level Planarity is FPT with Respect to the Vertex Cover Number
本文解决了受限层级平面性问题的参数化复杂性，证明该问题在以点覆盖数为参数时可在FPT时间内求解，且在先前不可处理性结论的背景下该结果在多个方面是最佳的。
Extending Upward Planar Graph Drawings
在本文中，我们研究的计算复杂性的向上平面扩展问题，这需要在输入一个向上的平面图$Γ_H$的一个子图$H$的有向图$G$，并询问是否$Γ_H$可以扩展到一个向上的平面图$G$。我们的研究符合部分表示可扩展性的研究路线，该研究最近已成为图形绘制中的主流。我们显示以下结果。首先，证明了平面向上扩张问题是NP完全的，即使$G$有一个指定的向上嵌入，$H$的顶点集也与$G$的顶点集重合，并且$H$不含边.其次，证明了如果$G$是一个$n$ -顶点向上平面$st$ -图，则向上平面扩张问题可以在$O(n \log n)$时间内求解.这一结果改进了一个已知的$O(n^2)$时间算法，但适用于所有的$n$ -顶点单源向上平面图。最后，我们将展示如何在多项式时间内解决一个令人惊讶的困难版本的向上平面性扩展问题，其中$G$是一个有向的路径或循环与规定的向上嵌入，$H$不包含任何边缘，没有两个顶点共享相同的$y$坐标在$Γ_H$。
Rectilinear Planarity of Partial 2-Trees
本文提出O(n^2)时间算法测试部分2-树的直线平面性，改进现有O(n^3 log n)界限，并在特定条件下达到最优O(n)时间，基于对正交螺旋性的深入研究。
Planarity Testing Revisited
平面性测试是确定给定图是否是平面图的问题，而平面嵌入是相应的构造问题。Allender和Mahajan借助于Reingold的结果，确定了这类问题的有界空间复杂度恰好为Logspace。不幸的是，该算法是相当令人生畏的，概括起来说，有界亏格的情况似乎是一个很高的要求。在这项工作中，我们提出了一个简单的平面嵌入算法运行在对数空间。我们希望这个算法将更易于推广。该算法是基于3-连通平面图具有唯一嵌入、Tutte关于圈冲突图的判别准则的一个变体以及圈基的显式变化这一事实。对于平面图。我们还提出了一个对数空间算法来找到平面性的障碍，即一个Kuratowski未成年人，如果图是非平面的。据我们所知，这是这个问题的第一个对数空间算法。
Maintaining Triconnected Components under Node Expansion
SPQR树是图形绘制的核心组件，在计算机科学的许多其他领域也很重要。从一开始，它们就与维护信息的动态算法有着密切的关系，例如，在平面性和三连通性，在边缘插入，后来，也删除。在本文中，我们专注于一种特殊的动态更新，扩展到任意的双连通图的顶点，同时保持SPQR树和进一步的信息。这也将使我们能够有效地合并两个SPQR-树，通过识别彼此关联到两个顶点的边。我们这样做的工作沿着一个公理化的定义提升SPQR树到一个独立的数据结构，可以独立于它可能已经派生的图修改。对这个结构进行修改，我们现在可以观察SPQR树表示的图是如何变化的，而不必在改变所表示的图之后推理SPQR树的哪些更新是必要的。使用有效的扩展和合并使我们能够将Bläsius等人[ESA 2021]的同步平面性算法的运行时间从$O(m^2)$提高到$O(m\cdot Δ)$，其中$Δ$是最大管道度。这也减少了解决几个受约束的平面性问题的时间，例如从$O((n+d)^2)$到$O(n+d\cdot Δ)$的交叉平面性，其中$d$是集群边界和边缘之间的交叉总数，而$Δ$是单个集群边界上的边缘交叉的最大数量。
Track Layouts, Layered Path Decompositions, and Leveled Planarity
我们研究了两种类型的图布局，轨道布局和分层路径分解，以及它们的相关参数轨道数和分层路径宽度之间的关系。我们使用这两种类型的布局来表征水平可平面图，这是没有虚拟顶点的平面水平图的图。它遵循从已知的NP-完全性的平整的轨道数和分层的路径宽度也是NP-完全的，即使是最小的常数参数值，使这些参数非平凡的。我们证明了有界分层路宽的图包括外平面图，Halin图和平方图，但（尽管有界的轨道数）串-平行图不具有有界分层路宽。最后，我们调查这些布局的参数化的复杂性，表明过去的方法用于书籍布局不工作的树宽或几乎树数的参数化的问题，但这个问题是（非均匀）固定参数易处理的树深度。
Weakly Leveled Planarity with Bounded Span
本文研究有界跨度的弱分层平面图绘制问题，证明其关于跨度参数 para-NP 难，并给出关于顶点覆盖数和树深的参数化复杂性结果，同时证明循环树等图类具有对数级或常数级跨度上界。
Parameterized Complexity of Simultaneous Planarity
本文探讨了SEFE问题的参数化复杂性，证明了其关于k及并图的点覆盖数或反馈边集数是FPT的，揭示了共享图多种参数的难解性，并彻底解决了所有参数对的易处理性。
Structural Parameterizations of $k$-Planarity
本研究将1-平面性的结构参数化复杂度研究拓展至k≥1的一般情形，给出紧的参数化上下界，证明常数树宽图子类上1-平面性测试仍为NP完全、局部交叉数近似难度更高。
Dynamic Planar Embedding is in DynFO
本文证明动态平面嵌入属于 DynFO：通过仅维护三连通分量嵌入及分离对二染色，支持边插入、删除并拒绝破坏平面性的插入。
A Dichotomy for 1-Planarity with Restricted Crossing Types Parameterized by Treewidth
本文针对受限交叉类型的1-可平面性识别问题，证明存在三类坏交叉类型构成二分边界，分别给出固定参数可解与NP难的复杂度结论，并将结果拓展到1-平面直线绘制场景。
Lower Bounds for Dynamic Programming on Planar Graphs of Bounded Cutwidth
对于特定于问题的常数$c$，许多组合问题可以在树宽$tw$的图上在时间$O^*(c^{tw})$中求解。在若干情况下，基于强指数时间假设（SETH），$c$上的匹配上界和下界是已知的。在本文中，我们探讨了解决问题的复杂性有界割宽，图参数，采取更大的价值比树宽的图。我们加强早期的树宽为基础的下限表明，假设SETH，独立集不能解决$O^*((2-\varepsilon)^{cutw})$时间，并支配集不能解决$O^*((3-\varepsilon)^{cutw})$时间。通过设计一个新的交叉小工具，我们扩展这些下界，甚至有界割宽或树宽的平面图。因此，平面性在求解有界宽度的图的独立集或支配集时没有帮助。这与事实形成鲜明对比，在许多设置中，平面性可以更有效地解决问题。
The Parameterized Complexity of Problems on Outer k-Planar Graphs
本文研究外k-平面图上图问题的参数化复杂性，证明Binary CSP等少数问题仍难解，多数问题固定参数可处理，还建立了外k-平面图的多项结构结果并明确其在图参数层次中的位置。
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