Non-associative Frobenius algebras for simply laced Chevalley groups
我们提供了一个明确的建设一类交换，非结合代数的每一个简单的Chevalley群的简单花边型。此外，我们还赋予这些代数一个相伴的双线性型，使它们成为Frobenius代数。这个类包括一个3876维的代数，其上的Chevalley群的E8型行为的自同构。我们还证明了这些代数允许（轴）分解代数的结构。
2020-05-06 math.GR math.RA math.RT
Assessing security of some group based cryptosystems
将离散对数问题推广到任意群的一种可能是所谓的共轭搜索问题（有时被错误地称为共轭问题）：给定群G的两个元素a，b，并且对于某个x \in G，a^x=b，找到至少一个这样的特定元素x。这里a^x代表xax^{-1}。这个问题在某些特定群中的计算难度已经被用于几个基于群的密码系统中。最近，一些预印本已经在流通，提出了各种“邻域搜索”类型的启发式攻击的共轭搜索问题。本调查的目的是强调一个（可能是众所周知的）事实，这些启发式攻击本身是不是一个威胁到密码系统的安全性，更重要的是，建议一个更可信的方法来评估基于组的密码系统的安全性。这种方法必须基于算法的平均情况复杂度（或预期运行时间）的概念。这些论点支持以下结论：虽然它通常是可行的基础上的共轭搜索问题的困难的密码系统的安全性，G本身（“平台”）必须非常小心地选择。特别是，迄今为止收集的实验和理论证据表明，辫群似乎不是平台的好选择。我们也考虑了可能的替代品。
2003-11-04 cs.CC cs.CR math.GR
Pell hyperbolas in DLP-based cryptosystems
研究了Pell双曲线在基于离散对数问题的密码系统中的应用。具体来说，在介绍了广义佩尔二次曲线的结构（也给出了显式同构与经典佩尔双曲线），我们提供了一个参数化的代数和几何方法。从密码学的角度来看，我们提出的特定参数化似乎是有用的，因为在参数集上产生的乘积与Rédei有理函数相连，可以快速计算。因此，我们利用这些结构定义三个不同的公钥密码系统的基础上的ElGamal计划。我们表明，使用我们的参数化允许获得更有效的计划比经典的有限域的基础上。
2022-05-18 cs.CR math.AG math.GR
Normalizer of the Chevalley group of type $E_7$
我们考虑56维表示中$E_7$型的单连通Chevalley群$G(E_7,R)$.本文的主要目的是证明以下四个群是一致的：初等Chevalley群$E(E_7,R)$的正规化子，Chevalley群$G(E_7,R)$自身的正规化子，$E(E_7,R)$到$G(\mathrm E_7,R)$的转运子，以及扩展Chevalley群$\overline G(E_7,R)$ .这在任意交换环$R$上成立，所有的正规化子和转运子都在$GL(56,R)$中计算。此外，我们刻画了$\overline G(E_7,R)$作为一个系统的二次稳定器。最后一个结果在代数闭域上是经典已知的，这里我们证明了相应的群概型在$\mathbb Z$上是光滑的，这意味着它在任意交换环上成立。这些结果是我们随后的论文中的关键步骤之一，致力于极小表示中例外群的扩群。
2016-05-14 math.AG math.GR
Bounded generation by root elements for Chevalley groups defined over rings of integers of function fields with an application in strong boundedness
根元有界生成是定义在代数数域上的整数环上的各种类型的线性代数群的一个广泛研究的性质。然而，当考虑全局函数场时，由于Nica和Queen，除了特殊情况的处理之外，没有太多的结果。本文利用模型论的方法，证明了定义在整体函数域上的整数环上的单连通可裂Chevalley群的根元有界生成.我们进一步应用这个有界生成结果与作者以前的一篇论文中的结果一起推导出上述Chevalley群满足Kedra，Libman和Martin引入的强有界性。
2021-08-27 math.GR math.NT
On linear representations of Chevalley groups over commutative rings
设$G$是对应于秩为$\geq 2$的既约不可约根系的泛Chevalley-Demazure群概型，$R$是交换环.本文分析了初等子群$G(R)^+ \subset G(R).$的代数闭域$K$上的线性表示$ρ\colon G(R)^+ \to GL_n (K)$，主要结果是在一定条件下，任何这样的表示都有一个标准的描述，即存在一个交换的有限维$K$ -代数$B$，一个具有Zerkiki-稠密象的环同态$f \colon R \to B$，以及代数群$σ\colon G(B) \to GL_n (K)$的态射，使得$ρ$与$σ\circ F$在合适的有限指数子群$Γ\subset G(R)^+,$上重合，其中$F \colon G(R)^+ \to G(B)^+$是由$f.$诱导的群同态特别地，这证实了Borel和Tits关于特征为零的域上Chevalley群的猜想。
2010-08-08 math.GR
Normalizer of Twisted Chevalley Groups over Commutative Rings
Indian Institute of Technology Bombay（印度理工学院孟买分校）
本文研究了交换环上扭曲Chevalley群的正规化子，证明在特定条件下，这些正规化子与群本身相等。
2025-03-21 math.GR
Triangular and Unitriangular Factorization of Twisted Chevalley Groups
本文针对扭曲Chevalley群中未解决的${}^2A_{2n}$型情形，引入特殊稳定秩一条件和$\theta$-完备环两类新环类，证明了在该类环上三角与单位三角分解的存在性，涵盖所有域、局部环等。
2025-05-26 math.GR math.KT
Unitriangular factorisations of Chevalley groups
最近，以下问题在各种情况下引起了很多关注：根据标准Borel子群$B=B(Φ,R)$的幂单根$U=U(Φ,R)$和相反Borel子群$B^-=B^-(Φ,R)$的幂单根$U^-=U^-(Φ,R)$，找到Chevalley群$G=G(Φ,R)$的最短分解$G=UU^-UU^-...U^{\pm}$。到目前为止，有限域上的记录是在2010年由Babai，Nikolov和Pyber的论文中建立的，他们证明了一个Lie型群允许长度为5的单三角分解$G=UU^-UU^-U$。他们的证明需要深入的分析和组合工具。在本文件中，我们注意到，从工作的低音和塔夫根之一，立即得到一个更普遍的结果，声称在任何环的稳定秩1有untriangular分解$G=UU^-UU^-$的长度为4。此外，我们给出了一个详细的调查三角因子分解，证明了一些相关的结果，讨论的前景推广到其他类别的环，并说明几个未解决的问题。本文的另一个主要结果是，在广义黎曼猜想的假设下，环$\Int\Big[\displaystyle{1\over p}\Big]$上的Chevalley群允许长度为6的单三角分解$G=UU^-UU^-UU^-$。否则，根据Cooke和Weinberger的工作，具有无限乘法群的Hasse域的最佳长度估计给出了9个因子。
2011-07-27 math.GR
The Diophantine problem in Chevalley groups
本文证明任意含1交换环上Chevalley群中的丢番图问题与环本身的丢番图问题Karp等价，并由此得到若干模型论推论。
2023-04-13 math.GR math.LO math.NT
Diameters of Chevalley groups over local rings
设G是秩为1的Chevalley群概型.我们证明了对于某个绝对常数d> 0和两个函数p_0 = p_0（l）和C = C（l，p），下列定理成立。设p> p_0是素数，G_n：= G（\Z/p ^n \Z）是n> 0的有限群族.则对于任何n> 0和生成G_n的任何子集S，我们有diam（G_n，S）<Cn ^d，即，G_n的任一元素都是来自S \cup S ^{-1}的Cn ^d个元素的乘积。特别地，对于某些C '= C'（1，p）和对于任何n> 0，我们有diam（G_n，S）<C 'log ^d（|G_n|）。我们的证明是初等的和有效的，因为常数d和函数p_0（l）和C（l，p）是显式计算的。此外，还存在一个计算群G_n中任意Cayley图中任意两点间最短路的有效算法。
2012-01-23 math.CO math.GR
Calculating conjugacy classes in Sylow p-subgroups of finite Chevalley groups of rank six and seven
设G（q）是有限Chevalley群，其中q是好素数p的幂，U（q）是G（q）的Sylow p-子群.然后Higman猜想的一个推广版本断言，U（q）中共轭类的个数k（U（q））由q中的一个整数系数多项式给出。在早期的论文中，第一和第三作者开发了一种算法来计算k（U（q））的值。通过使用GAP将其实现到计算机程序中，他们能够计算秩至多为5的G的k（U（q）），从而证明对于这些情况，k（U（q））由q中的多项式给出。本文对该算法作了一些改进和改进，使我们可以计算除E_7以外的秩为6和7的有限Chevalley群的k（U（q））值。我们观察到k（U（q））是一个多项式，因此广义Higman猜想对这些群成立。此外，如果我们将k（U（q））写为q-1中的多项式，则系数是非负的。在假定k（U（q））是q-1中的多项式的条件下，给出了k（U（q））的0、1、2次系数的显式表达式.
2013-02-27 math.GR
Some Properties of Twisted Chevalley Groups
本论文研究交换环上扭Chevalley群的结构性质，探讨了相对初等子群的正规性、被初等子群正规化的子群分类，以及在环扩张中正规化子的重合性，证明了伴随型群的正规化子恰好等于原群。
2025-05-30 math.GR
Parametrized braid groups of Chevalley groups
基于染色辫的几何思想，引入了由环参数化的辫群的概念，该环由生成元和关系定义。证明了参数化辫群同构于Steinberg群与经典辫群的半直积.证明的技术核心是纯辫引理，它断言参数化辫群的某些元素与纯辫群可交换。更一般地，我们定义，任何晶体学的根系，一个辫群和参数化辫群参数的交换环。期望参数化辫群同构于相应Steinberg群与辫群的半直积。本文的第一部分（如上所述）处理根系$A_n$的情况;在第二部分中，我们处理根系{ $D_n$ }。其他病例将在后续治疗。
2002-12-16 math.GR math.QA
The geometry of blueprints. Part II: Tits-Weyl models of algebraic groups
本文致力于解决Jacquet Tits在1956年提出的一个问题：Chevalley群的Weyl群应该作为一个群在现在称为$\mathbb{F}_1$，\emph{the field with one element}上找到一个解释.在蓝图几何的第一部分的基础上，我们引入了蓝图之间的\emph{Tits morphisms}类。由此产生的\emph{Tits category} $\textup{Sch}_\mathcal{T}$与（半环）方案的基本扩展和所谓的集合的\emph{Weyl extension}一起。我们证明$\mathcal{G}$在广泛的一类Chevalley群-其中包括特殊和一般线性群，辛和特殊正交群，和所有类型的伴随群-$\mathcal{G}$的线性表示定义了一个模型$G$在$\textup{Sch}_\mathcal{T}$的Weyl扩展是Weyl群$W$的$\mathcal{G}$。我们称这种模型为\emph{Tits-Weyl models}。Tits-Weyl模型的潜力在于\textit{(a)}，它们的内在定义是由线性表示给出的; \textit{(b)}是（尚未制定的）对厚几何和薄几何的统一方法; \textit{(c)}是Chevalley群到蓝图上的函子的扩展，这使得它特别有可能考虑半环上的Chevalley群。这打开了幂等分析和热带几何的应…
2012-01-05 math.AG math.GR
Arithmetic subgroups of Chevalley group schemes over function fields I: quotients of the Bruhat-Tits building by $\{P\}$-arithmetic subgroups
本文研究函数域上 Chevalley 群概形的 A-点算术子群在 Bruhat-Tits 建筑上的作用，证明其轨道空间可描述为闭连通 CW-复形与由 Picard 群和群秩参数化的扇形腔室的粘合，并刻画了可嵌入轨道空间的子扇形面。
2023-07-05 math.GR
Using decision problems in public key cryptography
目前已知的基于组合（半）群论的所谓难题的公开密钥建立协议以及完备的公开密钥密码系统。这些问题中的大多数是搜索问题，即，它们的性质如下：给定属性P和存在具有属性P的对象的信息，找到至少一个具有属性P的特定对象。到目前为止，基于非交换（半）群中的搜索问题的密码协议还没有被认为足够安全以成为已建立协议的可行替代方案（如RSA）基于交换（半）群，虽然这些协议中的大多数比RSA更有效。在本文中，我们建议使用组合群论中的判定问题作为公开密钥建立协议或公开密钥密码系统的核心。利用一个流行的判定问题--字问题，我们设计了一个具有以下特点的密码系统：（1）Bob向Alice发送一个加密的二进制序列，Alice以“非常接近”1的概率正确解密;（2）对手，夏娃，谁被授予任意高（但固定）计算速度，不能肯定地识别（至少在理论上），通过使用“蛮力攻击”，“1”或“0”位鲍勃的二进制序列。换句话说就是：无论我们在一开始赋予Eve多快的计算速度，都不能保证她的“蛮力攻击”程序将给出关于Bob序列中任何比特的结论性答案（或以压倒性的概率正确的答案）。
2007-03-22 cs.CR math.GR
The thickness of Schubert cells as incidence structures
本文探讨了可能使用的舒伯特细胞和舒伯特品种在有限几何，特别是在关于这些对象是否可能是一个来源的理解卵形或提供新的例子的问题。主要结果提供了这些舒伯特细胞的有限Chevalley群的第一个属性（薄）的卵形体的一个特征。更重要的是，也许这篇简短的论文可以帮助弥合有限几何和表示论之间的现代语言障碍。为此目的，本文包括非常简短的调查强大的格理论的观点，从有限几何和强大的方法的索引点的标志品种的Chevalley发电机从表示论。
2018-05-10 math.CO math.GR math.RT
Coboundary expansion inside Chevalley coset complex HDXs
该研究将Kaufman--Oppenheim的$A_3$型陪集复形HDXs的$1$-上边界扩张结果推广到$B_3$型，通过计算机辅助证明和新的提升技术，在$\mathbb{F}_{5^k}[x]$上建立了所需的定量$1$-上同调结果，从而获得二维拓扑扩展器。
2024-11-08 cs.DM math.GR
Pseudofinite groups as fixed points in simple groups of finite Morley rank
证明了若有限Morley秩单群的通有自同构的不动点群是伪有限的，则此群是伪有限域上（扭曲）Chevalley群的扩张.在得到这一结果的过程中，我们对有限中心化子维数的非交换可定义单伪有限群进行了分类（利用John S. Wilson）。
2012-01-30 math.GR math.LO
Presentation of Borel subgroups of Kac-Moody groups over local rings
UCLouvain（法语鲁汶大学）；Institut de Recherche en Mathématique et Physique, UCLouvain（数学与物理研究所，法语鲁汶大学）
本文给出了单连通型 Chevalley 群和 Kac-Moody 群的 Borel 子群作为其秩 2 子群融合积的表示，推广了 Tits 的域上结果，并刻画了局部 Bézout 整环上 3-球面型 Kac-Moody 群的充要条件。
2026-10-06 math.GR
Overgroups of subsystem subgroups in exceptional groups: nonideal levels
本文通过引入比理想网更复杂的层级对象，完整描述了单链根系 Chevalley 群中子系子群的超群结构，证明每个超群都对应唯一的层级并给出其上下界刻画。
2022-06-03 math.GR
