Expansion in Cayley graphs, Cayley sum graphs and their twists
已知有限群的凯莱图提供了扩张子族的几个例子，其中一些是Ramanujan图。Babai研究了二面体群的等谱非同构Cayley图。Lubotzky，Samuels和Vishne证明了对每一个$d\geq 5$（$d \neq 6$）和素幂$q> 2$，存在$\mathrm{PSL}_d(\mathbb F_q)$的等谱非同构Cayley图.在这篇文章中，我们关注Cayley图的三个变体，即，Cayley和图、扭曲Cayley图和扭曲Cayley和图。证明了有界度的非同构扩张族的存在性，其谱与某些特征标的值有关。我们还提供了几个新的例子，扩展家庭，和非扩展和拉马努金图形成的这三个变种的例子。
2021-03-10 math.CO
New tools for sparse graph embeddings: Hybrid expanders and application to nested cycles
Bocconi University（博科尼大学）；University of Oxford（牛津大学）；EPF Lausanne（洛桑联邦理工学院）
该研究引入兼具次线性扩张与强常数因子扩张特性的混合扩张器，证明平均度达2^ω(log^*n)的图含此类子图，将树嵌入等工具引入稀疏图，还解决了Erdős相关工作中Thomassen提出的嵌套环问题。
2026-10-14 math.CO
Expansion in Supercritical Random Subgraphs of Expanders and its Consequences
在2004年，Frieze，Krivelevich和Martin [17]建立了伪随机图的随机子图中巨分支的出现。我们研究了巨分支的几个典型性质，特别是它的膨胀特性。我们建立了连通集的一个渐近顶点展开式，其因子为$\tilde{O}\left(ε^2\right)$。从这些展开性质，我们得到的巨人的直径是典型的$O_ε\left(\log n\right)$，并在巨人的懒惰随机游动的混合时间是渐近的$O_ε\left(\log^2 n\right)$。我们还显示了类似的渐近展开性质（不一定连接）的线性大小的子集在巨人，和一个大的扩展器作为一个子图的典型存在。
2022-05-10 math.CO math.PR
Trivalent expanders and hyperbolic surfaces
我们引入了一个家庭的三价扩张，tessellate紧凑的双曲曲面与大等距群。我们比较了这类图与柏拉图图及其变形，证明了这类图的拓扑性质和谱性质。
2012-02-10 math.CO
Explicit Expanding Expanders
扩张图的确定性构造一直是计算机科学和数学中的一个重要研究课题，其中有许多关于无限扩张图族的研究。然而，在某些应用中，一个无限族是不够的：我们需要彼此“接近”的展开子。本文研究了如下问题：构造一个无限扩展子序列$G_0,G_1,\dots$，使得对于每两个连续的图$G_i$和$G_{i+1}$，通过添加一个顶点和插入/删除少量的边，可以从$G_i$得到$G_{i+1}$，我们称之为从$G_i$到$G_{i+1}$的转换的扩展代价.这个问题很自然，例如，在数据中心网络的上下文中，其中顶点表示服务器的机架，并且扩展成本捕获在向网络添加另一个机架时所需的重新布线的量。我们提出了一个显式的构造$d$-定期扩展的扩展成本最多$5d/2$，任何$d\geq 6$。我们的构造利用了图的"2-提升"的概念。这个运算首先由Bilu和Linial分析，他们反复应用2-lifts来构造一个无限的扩张器族，从一个扩张器到下一个扩张器，它的大小增加了一倍。我们的构造可以被看作是一种在双线性扩张器之间"插值"的方法，具有低扩张成本，同时保持良好的边缘扩张。虽然我们的主要动机是集中式（数据中心网络），但我们也在“自我修复”模型中获得了最知名的分布式扩展器结构。
2015-07-05 cs.DS math.CO
Unique-neighbor Expanders with Better Expansion for Polynomial-sized Sets
本文通过三部乘积、广义存在性论证及新归约技术，构造了三类强显式唯一邻居扩张图，在保留线性大小集合扩张性的同时，显著提升了对多项式大小集合的唯一邻居扩张性能。
2024-10-09 cs.DM math.CO
Sampling from the antiferromagnetic Ising model on bipartite, regular expander graphs
Institute of Discrete Mathematics, Graz University of Technology（格拉茨工业大学离散数学研究所）
本文研究了在双部正则扩张图上反铁磁伊辛模型的采样问题，发现Glauber动力学混合缓慢，但提出高效算法和配分函数近似方法。
2026-03-02 math.CO
High Order Random Walks: Beyond Spectral Gap
我们研究高阶随机游动在高维扩展，即在复杂的地方谱扩展。最近的工作研究了高阶游动的谱，并推导出快速混合。然而，高阶游走的谱隙本质上是小的，这是由于扩展图上的游走不会发生的自然障碍。在这项工作中，我们超越了谱隙，并联系到一个$k$ -上链的收缩的步行运营商，其结构的假设下，当地的频谱扩展。一个单纯复形，如果它的链路有大的谱隙，则称为单边局部谱扩展器，如果它的链路有大的双边谱隙，则称为双边局部谱扩展器。我们展示了两个分解定理（一个单侧/双侧局部谱假设）：对于每个定义在$n$维局部谱扩展器上的$k$ -上链$ϕ$，存在$ϕ$分解为“正交”部分，粗略地说，是$0 \leq j \leq k$的$j$维上链上的“投影”。随机游动通过$\frac{k+1-j}{k+2}$加上取决于频谱展开的误差项的因子来缩小这些部分中的每一个。我们的两个分解定理的不同之处在于它们对局部谱隙的假设--我们对单侧局部谱隙和双侧局部谱隙的情况导出了不同的分解定理。
2021-08-11 math.CO
Good Distance Lattices from High Dimensional Expanders
我们展示了一个新的框架，从高维扩展构建良好的距离格。对于具有与格类似风格的纠错码，存在从扩展器产生良好代码的已知框架。然而，在我们的工作之前，一直没有框架，直接从扩展器产生良好的距离格。有趣的是，我们需要高维扩展（而不仅仅是一维扩展）的概念来获得密集的大距离格。我们的结构是通过证明在任何环上，特别是在$\mathbb{Z}$上存在有界度的高维余收缩扩张而得到的。以前的有界度共收缩扩张器仅在$\mathbb{F}_2$上已知。证明的costostolic膨胀在任何环是由两个主要步骤，每个独立的利益：我们表明，coboundary膨胀在任何环的链接的有界度复杂意味着复杂的是costolic膨胀在任何环。然后，我们证明了所有的链接的Ramanujan复合物（这是所谓的球形建筑物）的共边界扩张在任何环。我们遵循[LMM 16]的策略来证明球面建筑是任何环上的共边界扩张器。除了将他们的证明从$\mathbb{F}_2$推广到任何环之外，我们还详细地介绍了它，这可能会为希望进入该领域的背景较少的读者提供服务。
2018-03-07 cs.CC math.CO
Lp expander Complexes
我们讨论了两个组合的方式推广的定义扩展图和Ramanujan图，到更高的维度的建筑物的继承人。这两种可能的定义对于仿射建筑物是等价的，给出了Lp-扩张复形的概念。我们计算显式的谱间隙上的许多组合算子，任何Lp-扩展复杂。我们与任何复杂的自然“zeta函数”，推广Ihara-Hashimoto zeta函数的有限图。我们推广了桥本的一个著名定理，证明了一个复杂的是Ramanujan当且仅当zeta函数满足黎曼假设。
2016-12-31 math.CO
New Cosystolic Expanders from Tensors Imply Explicit Quantum LDPC Codes with $Ω(\sqrt{n}\log^kn)$ Distance
在这项工作中，我们引入了一个新的概念，在更高的维度，这是强于研究costostolic膨胀的概念，并被称为{ \em集体costolic膨胀}。我们表明，张紧两个cosystolic扩张器产生一个新的cosystolic扩张器，假设产品中的复合物之一，不仅是cosystolic扩张器，而是一个集体cosystolic扩张器。然后，我们表明，众所周知的有界度cosystolic扩张，Ramanujan复合物，事实上，集体cosystolic扩张。这使我们能够构建新的有界度cosystolic扩张，拉马努金复杂的张量。利用我们新构造的有界度同收缩展开子，我们构造了{ \em显式}量子LDPC码的距离$\sqrt{n} \log^k n$的任何$k$，改善了最近的结果埃夫拉等。等人的\cite{EKZ}，并且为显式量子LDPC码的距离设置了新的记录。\cite{EKZ}的工作利用了发生在Ramanujan复合物中的高维膨胀概念，称为共收缩膨胀。我们的改进是通过考虑拉马努金复形的张量积，并利用其新导出的属性，集体costostolic扩展。
2020-11-16 cs.IT math.CO math.IT
Constructing expander graphs by 2-lifts and discrepancy vs. spectral gap
我们提出了一个新的显式构造的扩展图的近最佳谱隙。建筑是基于一系列的2电梯操作。设$G$是以$n$为顶点的图。$G$的2-提升是$2n$顶点上的图$H$，具有覆盖映射$π:H \to G$。不难看出，$G$的所有特征值也是$H$的特征值。此外，$H$具有$n$ "新“特征值。我们猜想每个$d$ -正则图都有一个2-提升，使得所有新的特征值都在$[-2\sqrt{d-1},2\sqrt{d-1}]$的范围内（如果是真的，这是紧的，例如Alon-Boppana界）。在这里，我们表明，每个图的最大程度$d$有一个2-提升，使所有的“新”的特征值是在范围$[-c \sqrt{d \log^3d}, c \sqrt{d \log^3d}]$为一些常数$c$。这导致了构造任意大的$d$ -正则图的多项式时间算法，具有第二特征值$O(\sqrt{d \log^3 d})$。证明使用以下引理：设$A$是实对称矩阵，使得$A$中每行的$l_1$范数至多为$d$。让$α= \max_{x,y \in \{0,1\}^n, supp(x)\cap supp(y)=\emptyset} \frac {|xAy|} {||x||||y||}$。则对于某个普适常数$c$，$A$的谱半径至多为$c α\log(d/α)$。这个引理的一个有趣的推论是扩展混合引理的逆。
2004-04-08 math.CO
Expanders and the Affine Building of ${\rm Sp}_n$
对于$n \geq 2$和局部域$K$，令$Δ_n$表示自然地与辛群${\rm Sp}_n(K)$相关联的仿射建筑物。计算了$Δ_n$中特殊顶点诱导的$Δ_n$的子图$Y_n$的谱半径，由此得出$Y_n$是扩张子族的一个模拟，并且是不可修改的.
2008-03-04 math.CO
The role of expanders in the spectral geometry of metric graphs
FernUniversität in Hagen（哈根 Fern 大学）
研究扩展图在度量图谱几何中的作用，通过回顾其组合和谱定义，利用拉马努金图下界，探究度量图拉普拉斯算子特征值在多方面的上界及缺失情况。
2026-08-18 math.CO math.FA math.SP
High Dimensional Expanders and Property Testing
我们证明了由Gromov，Linial和Meshulam定义的单纯复形的高维展开性质是可测性的一种形式。也就是说，单纯复形是一个高维扩张，当且仅当一个适当的性质是可检验的。使用这种连接，我们得到几个可测性的结果。
2013-12-09 cs.CC math.CO
Double Balanced Sets in High Dimensional Expanders
最近的工作表明，伪随机集的扩展是非常重要的。然而，目前所有的伪随机集的工作仅限于产品（或近似产品）的空间，傅立叶分析方法可以应用。在这项工作中，我们提出了一个自然的问题，即伪随机集是否与傅立叶分析方法无法应用的域相关，例如，单边局部谱扩展器。我们在回答这个问题的道路上迈出了第一步。本文提出了伪随机集的一个新定义，称之为“双平衡集”。我们证明了我们的新定义的强度，表明在单边局部谱扩展的小双平衡集有非常强的扩展特性，如唯一的邻居样扩展。我们进一步表明，cosystallization扩展器中的同调是双平衡的，并使用新推导出的双平衡集的强扩展特性，以获得指数级的改善，目前最先进的最小距离的下限。
2022-11-17 cs.CC cs.DM math.CO
On Near Optimal Spectral Expander Graphs of Fixed Size
我们提出了一对启发式算法。第一个是生成一个固定大小的随机正则图。第二个是引进的Metropolis耦合模拟退火（MCSA）优化光谱间隙在固定大小的规则图。
2021-09-29 cs.DM math.CO stat.ME
Free flags over local rings and powering of high dimensional expanders
本文针对高维扩张子提出基于 Bruhat–Tits 建筑商空间测地游走的新幂运算，并通过有限局部环自由模旗与 Garland 技术证明其保持并提升扩张性，还构造了高效双重采样器。
2021-04-17 math.CO math.GR
Mixing in high-dimensional expanders
我们证明了任意（有限）单纯复形的扩展混合引理的推广。最初的引理指出，图的拉普拉斯谱的集中意味着组合扩展（也称为混合或准随机性）。最近，这个引理的一个类似证明了任意维数的单纯复形，只要复形的骨架是完整的。更确切地说，它表明，单纯霍奇拉普拉斯算子的集中谱意味着一个类似类型的扩展，如在图中。在本文中，我们删除了一个完整的骨架的假设，表明浓度的拉普拉斯光谱在所有维度意味着组合扩展在任何复杂的。作为应用，我们证明了谱集中蕴涵了Gromov的几何重叠性质，并且可以用来限定复形的色数。
2013-10-24 math.CO math.SP
Gonality of Expander Graphs
本文给出了图的谱扩张和边扩张的角度的下界。结果，我们看到随机3-正则图的角度渐近几乎必然大于它的亏格的七分之一。
2016-08-31 math.AG math.CO
On linear-algebraic notions of expansion
关于有界度图扩展器的一个基本事实是，扩展的三个概念-顶点扩展，边扩展和谱扩展-都是等价的。在本文中，我们研究在何种程度上这样的声明是真实的线性代数概念的扩展。线性代数展开有两个研究得很好的概念，即维数展开（定义类似于图的顶点展开）和量子展开（定义类似于图的谱展开）。Lubotzky和Zelmanov证明了后者意味着前者。我们证明，相反的是假的：有维扩张器，这不是量子扩张器。此外，这种不对称性的解释是，有两个不同的线性代数类似物的图边扩展的事实。其中第一个是量子边扩展，这是由黑斯廷斯介绍，他证明了这是等同于量子膨胀。我们引入了一个新的概念，称为维边扩展，我们证明了这是等价的尺寸扩展，这是隐含的量子边扩展。因此，上面的分离是由一个更精细的分离所暗示的：维度边缘扩展严格弱于量子边缘扩展。这个新的概念也导致了一个新的，更模块化的证明Lubotzky-Zelmanov结果，量子扩展器是维度扩展器。
2023-01-12 cs.DM math.CO math.RA
Isoperimetric Inequalities for Ramanujan Complexes and Topological Expanders
在过去的四十年里，扩展图得到了广泛的研究。近年来出现了一个膨胀子的高维理论，并研究了几个变体。其中最突出的是上边界扩展和拓扑扩展。已知对每一个$d$都存在维数为$d$的具有这些性质的无界度单纯复形.然而，一个主要的开放问题，制定Gromov，是是否有界的程度高维扩展存在$d \geq 2$。我们提出了一个明确的结构维数$d=2$，这是拓扑扩张的有界度复形，从而回答了Gromov的问题是肯定的。在Serre关于同余子群性质的一个猜想的条件下，这些子族的无穷子族也给出了一族有界度的上边界扩张子。主要的技术工具是Ramanujan复形的新的等周不等式。我们证明了这些复合物的$F_2$收缩不变量的线性尺寸界，这似乎是第一个线性$F_2$收缩界。由这些等周不等式导出了展开式的结果。
2014-09-04 cs.CC math.CO math.GR
Nonlinear spectral calculus and super-expanders
一致凸赋范空间的非线性谱间隙满足谱微积分不等式，建立其衰减沿Cesaro平均。图的非线性谱隙也表现出次乘法下的锯齿产品。这些结果产生了超扩展器的组合结构，即，一个3-正则图序列，不允许粗嵌入到任何一致凸赋范空间中。
2013-03-20 math.CO math.FA math.MG
Refuting Perfect Matchings in Spectral Expanders is Hard
University Of Warwick（华威大学）；University Of Canterbury（坎特伯雷大学）
该研究证明在多项式计算和平方和证明系统中，反驳谱扩张器中存在完美匹配的复杂性具有Ω(n/log n)的下界。
2026-02-11 cs.CC math.CO
Local Improvement Gives Better Expanders
随机正则图是一个很好的扩张器，这一点早已为人们所知。这是在1980年代由Bollobás首先建立的，通过直接计算一组顶点具有小扩展的概率，然后应用并集界。在本文中，我们改进了这种分析依赖于一个简单的高层次的观察：如果一个图包含一组小的扩展顶点，那么它也必须包含这样一组顶点是局部最优的，也就是说，一组的扩展不能通过交换一个顶点从集合的补充。我们表明，一组顶点满足这一额外的属性的概率是显着较小。因此，在再次应用联合界，我们得到了改进的下界的随机$Δ$ -正则图的$Δ\ge 4$的扩展。事实上，这种分析的收益随着$Δ$的增长而增加，我们通过将我们的技术扩展到一般的$Δ$来解释这一事实。因此，在最后，我们得到了一个改进，不仅在一些小的特殊情况下，但一般的渐近界的$Δ$ -正则图的Bollobás的扩展。
2012-11-02 cs.DM math.CO
Ramanujan Complexes and bounded degree topological expanders
在过去的四十年里，扩展图一直是计算机科学的一个关注焦点。近年来，一个高维膨胀子理论正在兴起。有几种可能的推广理论的扩张单纯复形，其中脱颖而出的共边界扩张和拓扑扩张。我们知道，对于每个d，都有维数为d的无界次数单纯复形具有这些性质。然而，一个主要的开放问题，制定了格罗莫夫，是否有界度高维扩张，根据这些定义，存在d >= 2。我们提出了一个显式的结构维数d = 2的有界度复形，这是高维扩展。更确切地说，我们的主要结果说，2-骨架的三维Ramanujan复合物是拓扑扩张。假设Serre关于同余子群性质的一个猜想，它们中的无穷多个也是上边界扩张子。
2014-08-27 cs.CC math.CO math.GR
Long-range expanders: construction and cutoff
University of Texas at Austin（德克萨斯大学奥斯汀分校）
本文证明每个Ramanujan图具有长程扩张，构造对数围长的显式长程扩张图，并确立固定度长程扩张图序列上随机游走的截断现象及其高斯极限轮廓，为传递谱扩张图的截断猜想提供中间进展。
2026-10-08 math.CO math.MG math.PR
Expander Graphs -- Both Local and Global
设$G=(V,E)$是一个有限图.对于$v\in V$，我们用$G_v$表示由$v$的邻居集诱导的$G$的子图。我们说$G$是$(a,b)$ -正则的$a>b>0$整数，如果$G$是$a$ -正则的和$G_v$是$b$ -正则的每个$v\in V$。PCP理论的最新进展要求构造无穷多个$(a,b)$ -正则扩张图$G$，它们也是局部扩张图。也就是说，所有的图$\{G_v|v\in V\}$也应该是展开式。虽然随机正则图是具有高概率的扩张器，但它们几乎肯定不能局部扩张。在这里，我们构建了两个家庭的$(a,b)$ -正则图，扩大本地和全球。我们还分析了$(a,b)$ -正则图可能的局部和全局谱隙。此外，我们检查我们的建设相对于被认为是高维膨胀机的特性。
2019-08-28 math.CO
Bounded Degree Cosystolic Expanders of Every Dimension
在这项工作中，我们提出了一个新的本地到全球的标准，证明了一种形式的高维膨胀，我们的术语costostolic膨胀。应用这一标准的拉马努金复体，产量为每一个维度，一个无限家庭的有界度复体的拓扑重叠属性。这个答案肯定地回答了格罗莫夫提出的一个悬而未决的问题。
2017-01-26 cs.CC cs.DM math.CO
Rigidity expander graphs
本文提出了图G的d维代数连通度a_d(G)的新下界，给出了图刚性的新充分条件，并证明了k正则d刚性扩展图无限族的存在性及完全图的代数连通度下界。
2023-04-03 math.CO
$L^p$ Expander Graphs
我们讨论了图的扩张是如何与覆盖树上的$L^{p}$ -函数的行为相关的。证明了$(q+1)$ -正则图上邻接算子的非平凡特征值被覆盖树上算子的$L^{p}$ -范数$q^{1/p}+q^{(p-1)/p}$约束当且仅当对每个$ε>0$，从图到树的函数的适当平均提升位于$L^{p+ε}$中.我们将结果推广到边上的算子和二部图。这项工作是基于组合解释的代表性理论的想法。
2019-09-19 math.CO
Improved Product-Based High-Dimensional Expanders
高维扩展器将扩展图的概念推广到高维单纯复形。与扩展图相反，只有少数高维扩展器构造被提出，并且没有已知的具有接近最优扩展的基本组合构造。在本文中，我们引入了一种改进的组合高维扩展器构造，通过修改Liu，Mohanty和Yang（ITCS 2020）的先前构造，该构造基于张量积的高维变体。我们的构造实现了$Ω(\frac{1}{k^2})$的谱间隙的随机游动的$k$ -维的脸，这只是二次差于最佳界的$Θ(\frac{1}{k})$。以前的组合结构，包括刘，Mohanty和杨，只实现了频谱间隙，是指数小的$k$。我们还提出了推理，表明我们的建设是最佳的类似的产品为基础的建设。
2021-07-04 cs.DM math.CO
High dimensional expansion using zig-zag product
我们希望重新讨论最近的组合结构，是3-均匀超图扩展，查看他们在一个更一般的角度来看，揭示了一个以前未知的关系之字形产品。我们通过引入一种称为三元组结构的新结构来实现这一点，该结构在每个顶点周围保持相同的局部环境。在某些情况下，该结构预计会产生一个有界族的超图扩展器，其二维随机游动收敛。我们已经将这里获得的结果应用到几个已知的结构中，获得了比以前已知的更好的膨胀率。也就是说，我们在Conlon构造和Chapman、Linal和Peled的$S=[1,1,0]$构造的情况下这样做。
2020-01-23 math.CO
Routing permutations on spectral expanders via matchings
我们考虑以下基于匹配的路由问题。最初，连通图$G$的每个顶点$v$被具有唯一目的地$π(v)$的卵石占据。在每一轮中，在$G$中所选匹配的边缘上的pebble被交换，目标是在尽可能少的轮中将每个pebble路由到其目标顶点。我们表明，如果$G$是一个足够强的$d$ -经常频谱扩展，然后任何置换$π$可以实现$O(\log n)$轮。这对于常数$d$是最优的，并且解决了Alon、Chung和Graham的问题[SIAM J. Discrete Math.，7（1994），pp. 516- 530]。
2022-09-08 cs.DM cs.DS math.CO
New High Dimensional Expanders from Covers
基于单纯复形的覆盖空间，我们构造了一个新的高维扩张子。高维扩展器（HDX）是扩展图的超图类似物。它们在理论计算机科学中有许多用途，但不幸的是，只有很少的构造是已知的，具有任意小的局部谱展开。我们给出了一个随机算法，作为输入的高维扩展$X$（满足一些温和的假设）。它输出一个子复体$Y \subseteq X$，它是一个高维扩展器，具有无限多个单纯覆盖。这些覆盖形成了新的有界度高维扩张子族。子复形$Y$继承了$X$的基础图，并且其链路是$X$的链路的稀疏化。当$X$的链路的大小是$O(\log |X|)$时，该算法可以是确定性的。我们的算法基于Lubotzky，Samuels和Vishne（2005）发现的群和生成集，这些群和生成集被用来构造第一个发现的高维扩张子。我们表明，这些群体产生了更多的“随机化”的高维扩展。此外，我们的技术还提供了一个随机稀疏化算法的高维扩展，保持其局部谱特性。这可能是独立的利益。
2022-11-24 cs.DM math.CO
Coboundary expanders
我们描述了一个自然的拓扑推广的边扩张的图，经常CW复杂，并证明了这一性质具有很高的概率为某些随机复杂。
2011-04-15 math.AT math.CO math.PR
Hypercontractivity on High Dimensional Expanders: Approximate Efron-Stein Decompositions for $\varepsilon$-Product Spaces
证明了高维扩张式上的超压缩不等式。在p偏置超立方体，对称群，和格拉斯曼计划的设置，我们的不等式是有效的整体功能，这是功能，不显着影响的一个小的坐标集的限制。作为应用，我们得到了高维展开式的Fourier集中，小集展开和Kruskal-Katona定理。我们的技术依赖于一个新的近似Efron-Stein分解高维链接扩展。
2021-12-24 cs.CC math.CO
New cosystolic high-dimensional expanders from KMS groups
Ben-Gurion University of the Negev（内盖夫本-古里安大学）；Ghent University（根特大学）
本文利用Kac-Moody-Steinberg群的有限商群构造KMS复形，首次给出任意维数下余上同调展开图的陪集复形构造，并证明其链结为余边界展开图，从而获得无限族有界度余上同调展开图。
2026-09-11 math.CO math.GR
A note on the elementary construction of High-Dimensional Expanders of Kaufman and Oppenheim
本文给出了Kaufman和Oppenheim [Proc.50thACM Symp.计算理论（STOC），2018年。作为奖励，这也产生了一个简单的建设和分析的标准扩展器。
2022-05-31 cs.DM math.CO
High-Dimensional Expanders from Expanders
我们提出了一个基本的方法来转换扩展图到单纯复形，其中所有高阶随机游动有一个恒定的谱间隙，即，它们迅速收敛到平稳分布。作为一个结果，我们得到了新的结构，以及一个自然的概率模型来采样常数度高维扩展。特别是，我们表明，给定一个扩展图$G$，添加自循环到$G$，并采取修改后的图与高维扩展的张量积产生一个新的高维扩展。我们的高阶随机游动的快速混合的证明是基于可分解的马尔可夫链框架介绍了Jerrum等人。
2019-11-20 cs.DM math.CO
Expansion in Matrix-Weighted Graphs
矩阵赋权图是一个无向图，它的每条边都有一个$k\times k$正半定矩阵。对于这样的图，存在拉普拉斯矩阵和邻接矩阵的自然推广。这些矩阵可以用来定义和控制矩阵加权图的扩展。特别是，一个类似的扩展混合引理和一个Cheeger型不等式的一半举行矩阵加权图。一个新的矩阵加权扩展图的定义表明，诱人的可能性，家庭的矩阵加权图比拉马努金扩展。
2020-09-25 math.CO math.SP
Improved Small Set Expansion in High Dimensional Expanders
Bar-Ilan University（巴伊兰大学）；The Academic College of Tel Aviv-Yaffo（特拉维夫-亚法学院）
本文改进了高维展开器中小集展开的结果，通过结合不同方法实现了对集合大小的指数级提升。
2026-09-09 cs.CC math.CO
Random Steiner systems and bounded degree coboundary expanders of every dimension
本文引入了一个新的随机$d$ -维单纯复形模型，对于$d\geq 2$，其$(d-1)$ -胞元具有有界度.我们发现，以高概率，根据这个模型采样的复合物是共边界扩展。该结构依赖于Keevash最近的设计结果[Ke 14]，扩展的证明使用了Evra和Kaufman在[EK 15]中开发的技术。这给出了在[DK 12]中提出的问题的完整解，该问题在二维情况下由Lubotzky和Meshulam [LM 13]解决。
2015-12-28 math.CO math.PR
A Simple Sub-Polynomial Degree Coboundary Expander
Institute for Advanced Study（高等研究院）；Indian Institute of Science（印度科学学院）
本文提出了一种简单的组合构造，用于构建一个小多项式度复杂度的展开器，该展开器同时满足谱展开和边界展开的条件，并且在交换边界展开方面也有效，同时给出了具有良好一致测试的近线性大小的组合超图和一种简单的PCP构造。
2026-05-21 cs.CC cs.DM math.CO
Garland's Technique for Posets and High Dimensional Grassmannian Expanders
自Garland [G]的开创性工作至今，局部到全局机制在单纯复形的研究中起着重要的作用。在这项工作中，我们开发了一个本地的全球机制一般偏序集。我们证明了高维扩张概念和最近的一些扩张结果对偏序集的推广。例子是高维随机游动的快速收敛推广[KO，AL]，一个等价的全球随机游动定义，推广[DDFH]和涓滴定理，推广[O]。特别地，我们证明了某些偏序集，如格拉斯曼偏序集，表现出比单纯复形更强的滴流效应。利用这些方法，结合Posetification的新思想，对Ramanujan复形[LSV 1，LSV 2]构造了一个常度扩张的Grassmannian偏序集，并分析了它的扩张.这是第一个这样的对象的建设，其存在是在[DDFH]。
2022-09-13 cs.CC math.CO
Modularity and Graph Expansion
研究建立图模块度与扩张性之间的等价关系，证明模块度严格小于1当且仅当图含大型扩张子图，并刻画连通分量在最优划分中被拆分的扩张阈值条件，解释模块度的分辨率极限。
2023-12-12 math.CO
Random Schreier graphs and expanders
令群$G$在有限集$Ω$上传递作用，并令$S \subseteq G$在取逆下是封闭的。Schreier图$Sch(G \circlearrowleft Ω,S)$是具有点集$Ω$和边集$\{ (ω,ω^s) : ω\in Ω, s \in S \}$的图。本文证明了$C \log|Ω|$元素上的随机Schreier图以很高的概率表现出（双侧）谱隙，从而推广了Alon和Roichman关于Cayley图的一个著名定理.另一方面，根据$G$对$Ω$的特定作用，我们给出了提供谱隙所需的元素数量的下界。当$G$为幂零时，我们用这种方法估计谱隙。
2022-05-09 math.CO math.GR
Inheritance of expansion and oriented Hamilton cycles in robust expanders: a regularity-free proof
Miami University（迈阿密大学）
本文通过修改 Häggkvist 和 Thomason 的证明，给出了 Taylor 定理（关于鲁棒外出扩张图包含所有定向哈密顿圈）的免正则引理证明，并推广到哈密顿连通性与链结，应用替代正则引理于最小半度或总度条件下的有向图结果。
2026-10-08 math.CO
Explicit SoS lower bounds from high-dimensional expanders
我们构造了一个显式的家庭3XOR的情况下，这是很难的$O(\sqrt{\log n})$水平的平方和层次。与早期的结构，其中涉及一个随机组件，我们的系统可以明确地在确定性多项式时间。我们的结构是基于Lubotzky，Samuels和Vishne设计的高维扩展器，称为LSV复合物或Ramanujan复合物，我们的分析是基于这些复合物的两个概念：costostolytic膨胀和局部等周不等式由于Gromov。我们的构建与Alev，Jeronimo和最后一位作者的近期工作（FOCS 2019）形成了有趣的对比。他们表明，变量对应于高维扩展器中顶点的3XOR实例很容易求解。相反，在我们的例子中，变量对应于复合体的边缘。
2020-09-11 cs.CC cs.DM math.CO
Boolean functions on high-dimensional expanders
本文开创高维扩展器上的布尔函数分析，提出基于随机游走的定义与近似特征空间分解，将Friedgut-Kalai-Naor定理推广到该稀疏模型，并证明其可作为布尔切片的去随机化。
2024-01-17 cs.CC math.CO
Lipschitz functions on weak expanders
本文研究了弱膨胀图上的$M$-Lipschitz函数，证明了在放宽膨胀条件和更大$M$值下，随机函数仍具有小波动，部分回答了Peled等人的问题，并采用图容器方法和熵方法作为技术手段。
2024-08-27 math.CO math.PR
From Grassmannian to Simplicial High-Dimensional Expanders
本文提出一种基于格拉斯曼HDX的凯莱单纯复形构造，实现次多项式度数与任意好局部谱扩张，并证明其1-同调群维数可达Ω(log²N)，超越以往构造。
2023-12-26 cs.DM math.CO
Almost Ramanujan Expanders from Arbitrary Expanders via Operator Amplification
本文提出一种基于算子放大的局部高效算法，可将任意扩展图变换为度数与谱扩展达到几乎最优（近二次）权衡的几乎拉马努金扩展图，并推广 Ta-Shma 的偏差放大技术，应用于群生成元、量子扩展器及去随机化随机游走等。
2024-10-22 cs.DM cs.DS math.CO
Efficient algorithms for the Potts model on small-set expanders
本文针对小集扩张图上的铁磁 Potts 模型，提出一种近似算法，通过高效寻找伪基态并围绕其探索状态空间，解决低温问题在典型实例上的计算可行性。
2024-02-05 cs.DM cs.DS math.CO
