Positive Energy for Asymptotically Anti-de Sitter Schwarzschild Spacetimes
在A-de-S Schwarzschild度规渐近的A-de-Sitter时空的一般类中，我们给出了一个简单的正质量定理。对所有渐近A-de-S时空的一般结果将在别处给出。
1994-04-11 gr-qc
Well-posedness for the massive wave equation on asymptotically anti-de Sitter spacetimes
在这篇简短的论文中，我们证明了一个适定性定理的质量波动方程（质量满足Breitenlohner-Freedman界）的渐近反德西特空间。通过将边界推到无穷远，将解构造为初始边值问题的解的极限，该问题的边界在时空中的有限位置。所得到的解在能量类内是唯一的（但如果无穷远处的衰减被削弱，则非唯一）。
2011-10-31 gr-qc math.AP
Maximal hypersurfaces in asymptotically Anti-de Sitter spacetime
我们证明的唯一性，存在性和正则性的结果，在时空中的共形完成在类时无穷大和渐近常数标量曲率，相关的渐近AdS时空。这件作品是献给Yvonne Choquet-Bruhat的，以纪念她即将到来的99岁生日。
2022-08-21 gr-qc hep-th math.DG
Positive energy theorem for asymptotically anti-de Sitter spacetimes with distributional curvature
在弱优势能量条件下，建立了具有分布曲率的弱渐近反deSitter初值的正能量定理。
2019-09-12 gr-qc math.DG
Hamiltonian dynamics in the space of asymptotically Kerr-de Sitter spacetimes
我们确定所有的时空流，导致一个哈密顿动力学的空间中的广义相对论的初始数据集渐近克尔-德西特结束。计算了相应的哈密顿量。黑洞热力学的一些影响指出。
2015-07-21 gr-qc
Positive mass theorems for asymptotically AdS spacetimes with arbitrary cosmological constant
我们制定并证明了洛伦兹版本的正质量定理与任意负的宇宙学常数渐近AdS时空。这一工作是第二作者关于渐近双曲三维流形正质量定理最近工作的继续。
2007-04-13 gr-qc math.DG
Global Monopole in Asymptotically dS/AdS Spacetime
本文研究了渐近dS/Ads时空中的整体粒子，发现当宇宙学常数大于某个临界值时，渐近dS时空中粒子的质量可以是正的.这表明，根据宇宙学常数的大小，全球引力场可能是吸引的，也可能是排斥的。
2002-10-05 gr-qc hep-th
Kinematical bound in asymptotically translationally invariant spacetimes
本文给出了渐近不变时空中的正能量定理，该定理适用于黑弦和带电膜。我们还讨论了膜的张力和电荷的束缚性质。
2003-09-15 astro-ph gr-qc hep-ph
The Gravitational Action in Asymptotically AdS and Flat Spacetimes
分析了渐近反德西特和渐近平坦时空中引力作用量的发散性。利用局部反项公式给出了引力作用量的有限性，并讨论了这种方法与传统参考时空的关系。对于AdS，设计了一个迭代过程，有效地确定了计数器。对于渐近平坦的空间，我们使用不同的方法来导出在大多数情况下足以消除发散的反项。
1999-09-01 gr-qc hep-th
Gravitating sphalerons and sphaleron black holes in asymptotically anti-de Sitter spacetime
数值论证了具有负宇宙学常数的EYMH方程的球对称正则解和黑洞解的存在性。这些解渐近地接近反德西特时空。讨论了解的主要性质以及与渐近平坦情形的区别。证明了引力散粒体解的不稳定性。
2001-06-11 gr-qc
Holography and colliding gravitational shock waves in asymptotically AdS_5 spacetime
利用全息术研究了强耦合N=4超对称Yang-Mills理论中平面激波的碰撞。这需要在渐近反德西特时空中的对偶引力初值问题的数值解。
2010-11-16 gr-qc hep-ph hep-th
Note on counterterms in asymptotically flat spacetimes
我们更详细地考虑了由Mann和Marolf在渐近平坦时空中提出的协变反项。着眼于具体的实际计算，使用这个反项，我们提出了明确的表达式，一般$d$尺寸，可用于在所谓的“圆柱截止”计算的行动和相关的守恒量的渐近平坦的时空。作为应用，我们给出了如何计算NUT荷电时空和四维Kerr黑洞的作用量和守恒量。
2006-08-17 gr-qc hep-th
Asymptotically Non-Static Kerr-deSitter Spacetime With No Event Horizon
本文给出了在适当的共动坐标系中Kerr-deSitter度规的推导.它渐近地逼近Robertson-walker形式的deSitter度规.这是通过考虑其中粒子运动可积的定常轴对称时空来实现的.即Hamilton-Jacobi和Klein-Gordon方程是可分的.在这种形式下，它与共动标架是渐近相容的.
2010-03-14 gr-qc
Asymptotically flat Einstein-Maxwell fields are inheriting
我们证明了Einstein-Maxwell方程的渐近平坦解的Maxwell场继承了度规的平稳性。
2018-02-23 gr-qc math.AP math.DG
Some recent results in scalar quantum field theory in globally hyperbolic asymptotically flat spacetimes
总结和评述了作者和合作者最近在零无穷远渐近平坦时空中的QFT研究结果。特别是它是集中在由BMS不变状态定义在零无穷大诱导的散装基态的物理性质。
2006-11-23 gr-qc
Asymptotically flat spacetimes in 3D bigravity
本文报道一类三维双度量理论包含渐近平坦解。这些时空可以在零无穷远处的一组渐近条件中投射，这些条件在无限维BMS群下保持不变。此外，正则生成元的代数具有中心扩张。本文还讨论了这些解描述规则黑洞的可能性。
2012-07-04 gr-qc hep-th
The positive energy theorem for asymptotically anti-de Sitter spacetimes
在反de Sitter时空中，对于渐近于任意$t$切片的反de Sitter初始数据集，建立了Henneaux-Teitelboim总能量动量不等式.特别地，当采用$t=0$时，推广了AdS质心坐标下的Chrujeciel-Maerten-Tod不等式.我们还证明了能量动量自同态的行列式${\bf Q}$是渐近反德西特时空的几何不变量。
2015-02-17 gr-qc math.DG
Asymptotic Schwarzschild Spacetimes
证明了如果一个渐近平坦时空是渐近平稳的，即对于渐近类时矢量场$ξ^a$，$\Lie_ξ g_{ab}$以$\sim t^{-3}$的速率消失，能量动量张量以$\sim t^{-4}$的速率消失，那么这个时空是渐近史瓦西时空。这给出了黑洞唯一性定理的一个新的方面。
1998-10-11 gr-qc
Holographic Confinement/Deconfinement Transitions in Asymptotically Lifshitz Spacetimes
在Scherk-Schwarz紧化下，AdS孤子和黑膜对禁闭/解除禁闭相变提供了双重描述.我们将这个构造推广到渐近Lifshitz时空。特别地，我们证明了如果解存在，孤子和黑洞之间必然存在相变。我们也构造这些解决方案的数值计算和相图。
2012-08-02 gr-qc hep-th
Cylindrically symmetric, Asymptotically flat, Petrov Type D spacetime with a Naked Curvature Singularity and Matter Collapse
本文给出了爱因斯坦场方程的一个圆柱对称、Petrov-D型、非膨胀、无切变、无涡量的解。时空在径向上是渐近平坦的，除了在对称轴上它具有一个裸曲率奇点之外，它在任何地方都是规则的。时空的能量动量张量是满足不同能量条件的各向异性流体的能量动量张量。这个时空被用来产生一个旋转的时空，它允许封闭的类时曲线，并可能代表一个宇宙时间机器。
2017-03-01 gr-qc hep-th
The isometry groups of asymptotically flat, asymptotically empty space-times with timelike ADM four-momentum
我们给出了一个完整的分类的所有连接等距群，连同他们的行动在渐近区域，在渐近平坦，渐近真空空间-时间与类时ADM四-动量。
1996-10-16 gr-qc
Asymptotically Plane Wave Spacetimes and their Actions
我们提出了一个渐近平面波时空在真空引力的度量的渐近衰减的定义，并讨论了以前构造的精确解的关系。我们构造了一个行为良好的作用量原则，这样的时空，使用的形式主义开发的曼和Marolf。我们表明，这种行动是有限的壳和变分原理是良好定义的真空引力满足我们的渐近平面波衰减条件的解决方案。
2008-04-21 gr-qc hep-th
Uniqueness of the static vacuum asymptotically flat spacetimes with massive particle spheres
本研究拓展了静态真空渐近平直时空的唯一性定理，证明含单个大质量粒子球的四维该类时空与史瓦西时空等距，且存在覆盖不同能量的大质量粒子球构成的完整时空叶状结构。
2024-06-21 gr-qc hep-th
Can we implement the holographic principle in asymptotically flat spacetimes?
我们讨论了在渐近平坦时空中实现全息原理的一些最新结果。特别是，我们介绍的候选人对偶理论的关键成分，生活在零无穷大，它是不变的渐近对称群的这类时空。
2005-11-02 gr-qc hep-th math-ph
Conformally flat slices of asymptotically flat spacetimes
为了数学上的方便，数值相对论中的初始数据集通常被认为是共形平坦的。采用双叶状形式主义，我们调查的物理后果，这一假设。工作在一个大类的渐近平坦的时空，我们表明，ADM的线性动量是由领先的洛伦兹部分的推动，即使在存在的supercrition类条款。随后，我们发现，在时空是渐近平坦的，并承认空间切片与消失的线性动量是足够接近共形平坦，任何提升切片不能共形平坦。因此，史瓦西时空中不存在共形平坦的增强切片。这证实了先前预期的解释存在的垃圾辐射的Brandt-Bruegmann穿刺数据。
2019-09-13 gr-qc
Microlocal analysis near null infinity in asymptotically flat spacetimes
Stanford University（斯坦福大学）
本文提出了一种分析渐近平坦时空波方程在null无穷邻域正则性和衰减性质的新方法，并证明了相关正则性和衰减估计。
2023-02-27 gr-qc math.AP math.DG
Higher fundamental forms of the conformal boundary of asymptotically de Sitter spacetimes
我们提供了一个部分表征的共形无穷大的渐近德西特时空推导的约束条件，涉及的渐近应力-能量张量与共形几何数据。后者是使用最近定义的对象捕获的，称为更高的共形基本形式。对于边界超曲面，它们将第二形式的无迹部分推广到高阶。
2022-08-19 gr-qc math.DG
Dynamics of a nonminimally coupled scalar field in asymptotically $AdS_4$ spacetime
数值研究了一类非最小耦合标量场理论下四维渐近反德西特（$AdS_4$）时空的稳定性。特别是，我们研究了如何耦合影响的形成黑洞和能量转移到不同的空间/时间尺度。最后，我们详细介绍了著名的类比之间的非最小耦合标量场的应力-能量张量和粘性相对论流体，并讨论了该类比的局限性时，它被应用到各向异性标量场配置渐近$AdS$时空。
2022-10-17 gr-qc hep-th
Singularities from the Topology and Differentiable Structure of Asymptotically Flat Spacetimes
我们证明了某些渐近平坦的初始数据集与非平凡的拓扑和/或可微结构崩溃，形成奇点。一类这样的初始数据集的特点是一个新的光滑不变，最大Yamabe不变，定义通过光滑紧化的渐近平坦流形。我们的奇异性定理适用于时空承认的柯西曲面的非正极大Yamabe不变的初始数据，满足主导能量条件。这类时空包括具有单个渐近区域的单连通时空，这类时空没有被拓扑结构的先验奇点定理所覆盖。最大Yamabe不变量可以与其他不变量相关，包括在4维中的A-亏格和Seiberg-Witten不变量。特别地，具有渐近平坦柯西曲面且具有非平凡Seiberg-Witten不变量的5维时空是奇异的。这种奇异性是由于流形的可微结构。
2010-06-15 gr-qc hep-th
The flat limit of three dimensional asymptotically anti-de Sitter spacetimes
为了更好地理解宇宙学常数为零的引力理论的全息性质，我们详细分析了三维空间中渐近反德西特时空与渐近平坦时空的关系.这种关系有些微妙，因为在标准的费曼-格雷厄姆坐标系中不能天真地接受消失的宇宙学常数的极限。在重新制定标准的反德西特结果在罗宾逊-Trautman坐标，一个适当修改的彭罗斯极限连接两个渐近制度。
2012-04-15 gr-qc hep-th
Deflection in higher dimensional spacetime and asymptotically non-flat spacetimes
利用微扰技术，我们研究了弱场极限下扩展Einstein-Maxwell时空、Born-Infeld引力和荷电Ellis-Bronnikov（CEB）时空中零信号和类时信号的偏转.偏转角被发现采取（准）系列形式的碰撞参量，并自动考虑到有限距离的影响源和观察者。该方法也被应用于任意维CEB时空中的偏转。证明了在某些$n$维时空中，对于首非平凡阶，偏转是$\mathcal{O}(M/b)^{n-3}$阶的。然后，我们扩展的方法是渐近非平坦的时空，并研究了在非线性电动标量理论的偏转。在这种渐近非平坦时空中，在平凡阶的偏转角不再是$π$。在所有这些情况下，微扰偏转角与数值结果非常吻合。分析了一些非平凡时空参数以及信号速度对偏转角的影响。
2023-02-15 gr-qc
Comments on holographic current algebras and asymptotically flat four dimensional spacetimes at null infinity
我们遵循的精神，最近的建议表明，以前的计算在零无穷大的四维渐近平坦的时空可以重新解释在一个定义良好的全息电流代数的电流的时间分量。该分析是由当前的代数空间组件。
2013-10-21 gr-qc hep-th
Semiglobal Numerical Calculations of Asymptotically Minkowski Spacetimes
这个演讲报告了在数值相对论中对渐近平坦时空的半周期研究的最新进展。渐近闵可夫斯基双曲面的初始数据的三维求解器的发展已经呈现可能的应用弗里德里希的共形场方程的天体物理有趣的时空。作为第一个应用，研究了弱初值双曲集的整个未来，包括未来零和类时无穷大。使用这个例子，我们素描的数值技术，并强调一些独特的功能的数字代码。最后，我们对未来的工作的影响。
2001-12-06 gr-qc
Positivity of energy for asymptotically locally AdS spacetimes
我们得到必要条件的旋Witten-Nester能量是明确定义的渐近局部AdS时空。我们发现共形边界应该允许满足一定微分条件的旋量，并且在奇数维中边界度规应该是共形爱因斯坦的。我们表明，这些条件是满足渐近AdS时空。引力能（使用全息应力能张量获得）和旋能在偶数维中相等，在奇数维中相差一个与共形异常有关的有界量。
2005-08-31 gr-qc hep-th math.DG
Entropy of extremal black holes in asymptotically anti-de Sitter spacetime
与普通时空中的极端Reissner - Nordström黑洞不同，反德西特时空中的黑洞是作用量极小值，如果在极端化之后进行量子化，则熵为零。然而，如果在量化之后进行极值化，则熵是通常情况下面积的四分之一。
1999-12-16 gr-qc hep-th
Spinning Up Asymptotically Flat Spacetimes
我们提出了一种方法来构造爱因斯坦场方程的固定，渐近平坦，旋转的解决方案。其中一个自旋解有准局部质量，但没有全局质量。它有能层但没有事件视界。在能层之外的任何地方，角动量都是常数。这个解的能量-动量成分可以解释为旋转的弦流体。
2004-10-19 gr-qc
Symmetries of the asymptotically de Sitter spacetimes
我们开始系统的调查可能的等距渐近德西特解决方案爱因斯坦方程。我们将Killing方程重新表述为$\mathcal{I}^+$上初始数据的保角方程。这允许对可能的对称代数进行部分分类。特别地，如果它们不是最大的，则它们可以是至多$4$维的。我们提供了几个例子。作为一个简单的推论，它表明，唯一的时空中的Killing视界相交$\mathcal{I}^+$（共形完成后）是局部的德西特宇宙。
2022-05-27 gr-qc
On energy bounds in asymptotically locally AdS spacetimes
University of Edinburgh（爱丁堡大学）
本文推导了渐近局部AdS时空中的正能量定理，并证明了BPS不等式在4维和5维最小规范超引力中的有效性。
2025-12-18 gr-qc hep-th math.DG
On Black Hole Scalar Hair in Asymptotically Anti de Sitter Spacetimes
意外发现的毛茸茸的黑洞解的理论与标量场简单地考虑渐近反deSitter，而不是渐近平坦，边界条件进行了分析的方式，表现出在一个明确的方式之间的差异，这两种情况。结果表明，平凡的史瓦西Anti de Sitter变得不稳定，在这些情况下，这一事实的ADS/CFT猜想的可能相关性指出。
2003-03-18 gr-qc
Non-Spherically Symmetric Collapse in Asymptotically AdS Spacetimes
我们数值模拟了远离球对称的渐近反德西特时空中的引力坍缩。从无质量实标量场的初始数据出发，我们求解了五维时空中具有负宇宙学常数的爱因斯坦方程，并获得了一族非球对称解，其中包括在轴上形成两个不同黑洞的解。我们发现，这些配置崩溃速度比球对称的相同质量和径向紧凑。同样，它们需要更少的质量在固定时间内崩溃。
2017-11-07 gr-qc hep-th
The positive energy theorem for weighted asymptotically anti-de Sitter spacetimes
本文针对三维渐近反德西特初始数据集，在加权主能量条件下证明其正能量定理可推广至加权情形。
2024-03-04 gr-qc math.DG
Homothety and Quasi Self Similarity in Asymptotically Flat and AdS Spacetimes
本文研究了球对称自引力标量场在不同维渐近平坦时空和AdS时空中的自相似解和拟自相似解。我们的主要方法依赖于减少爱因斯坦-克莱因-戈登方程组的自相似假设下的动力系统。应用标准技术在动力系统的分析，我们研究相应的相图，获得一些洞察系统的短期和长期的演变。在渐近平坦的情况下，动力系统的不动点对应于共形平坦的时空。我们观察到一个新的过渡从一个固定点到一个黑洞，我们计算相应的指数解析。在AdS时空中，我们观察到了准自相似标量场在中心附近发生干涉后散射到无穷远，对应于没有不动点的动力系统。
2015-03-02 gr-qc
Properties of Dual Supertranslation Charges in Asymptotically Flat Spacetimes
研究了渐近平坦时空中一些新荷的性质。这些对偶超平移荷类似于QED中的磁性大$U(1)$荷。在本文中，我们发现与这些费用的对称性，并表明，全球双超平移收费是拓扑的，因为它是不变的全球定义的，光滑的渐近度量的变化。我们还展示了时空中的电荷不消失，我们发现动态过程，这些费用的不同值之间的区域内插。
2020-03-20 gr-qc hep-th
Einstein-Born-Infeld-dilaton black holes in non-asymptotically flat spacetimes
本文导出了四维Einstein-Born-Infeld-Weinton引力场的精确荷磁静态球对称黑洞解。这些解既不是渐近平坦的，也不是（反）-de Sitter的。讨论了这些解的性质。结果表明，黑洞对线性径向扰动是稳定的。
2005-08-22 gr-qc hep-th
Asymptotically Flat Initial Data for Gravitational Wave Spacetimes, Conformal Compactification and Conformal Symmetry
我们研究了利用保角紧化的保角方法解决广义相对论的约束条件的渐近平坦的初始数据。经过一般性的讨论的框架，特别注意的简化时产生的限制到一类初始数据，有一定的$U(1)\times U(1)$共形对称。
1998-11-02 gr-qc
Asymptotically flat spacetimes with BMS$_3$ symmetry
我们构建了3维渐近平坦时空的相空间，形成了由超平移和超旋转组成的BMS群的体度量表示。渐近对称群是BMS群在零无限和空间无限的唯一副本。BMS相空间服从全息因果关系的概念，并且可以由边界零场参数化。这将自动导致对映识别的散装领域之间的过去和未来的零无限的情况下，一个全球性的圆锥形缺陷。
2017-05-17 gr-qc hep-th
Gravitational decoupling for hairy black holes in asymptotically AdS spacetimes
在这项研究中，引力解耦的方法通过扩展的几何变形，以产生解析的黑洞解，由于其简单和有效的。考虑SchwarzschildAdS黑洞周围的外场，我们在渐近AdS时空中导出了满足强能量和主能量条件的多毛黑洞解.此外，我们发现，如果黑洞时空是一个流体系统，在这些条件下的流体是各向异性的。
2022-12-09 gr-qc
Extracting the bulk metric from boundary information in asymptotically AdS spacetimes
我们使用测地线探针，以恢复整个散装度量在某些渐近AdS时空。给定边界上的零测地线端点的频谱，我们描述了两个非常简单的方法来恢复批量信息。在研究了影响它们在实践中应用的问题后，我们从计算的角度强调了一个显著的优势，并给出了一些说明性的例子。我们继续考虑时空中的方法不能用来恢复完整的批量度量，并证明在这些情况下可以恢复多少信息。
2006-10-11 gr-qc hep-th
Deflection angle in the strong deflection limit in a general asymptotically flat, static, spherically symmetric spacetime
像黑洞和虫洞这样的致密物体的光球产生的引力透镜将给我们提供关于致密物体的信息。在本文中，我们提供了一个改进的强偏转极限分析一般渐近平坦，静态，球对称时空。强挠度极限分析在超静定时空中同样适用。作为一个超静态时空的例子，我们重新检查在强偏转极限在埃利斯虫洞时空的偏转角。利用强偏转极限，我们得到了Reissner-Nordstrom时空的偏转角。改进之处在于强挠度极限分析中标准变量的定义。我们表明，变量的选择是一样重要的坐标的选择，我们得出结论，应该选择一个合适的变量为一个给定的时空。
2017-03-08 gr-qc
Rigidity of asymptotically $AdS_2 \times S^2$ spacetimes
众所周知，时空$AdS_2 \times S^2$是作为极端Reissner-Nordstrom解的“近视界”几何而出现的，因此人们结合AdS/CFT对应对它进行了研究。在这里，我们考虑渐近$AdS_2 \times S^2$时空服从零能量条件（或其某种平均版本）。支持胡安Maldacena的几何观点，我们表明，任何这样的时空必须有一个特殊的几何相似，在各个方面的$AdS_2 \times S^2$，并在某些情况下必须等距$AdS_2 \times S^2$。
2018-08-02 gr-qc hep-th math.DG
Late time tails and nonlinear memories in asymptotically de Sitter spacetimes
研究了无质量标量波在受任意中心质量扰动的de Sitter时空中的传播。通过关注后期时间限制，这探测了在零锥内行进的标量信号的部分。与渐近平坦的时空不同，观测者在类时无穷远处探测到的标量场的振幅不会衰减回零，而是在中心质量M的零阶和一阶上产生时空常数位移。这表明无质量标量场在渐近de Sitter时空中的传播具有线性和非线性尾诱导记忆。另一方面，对于足够晚的延迟时间，在零无穷远处测量的标量信号的非线性部分被发现相对于其类时无穷远处的对应物被放大，通过其与M中的一阶引力场的非线性相互作用。
2021-05-07 gr-qc hep-th
Hamiltonian charges in the asymptotically de Sitter spacetimes
我们推广了一个概念的'保守'的费用由沃尔德和Zoupas渐近德西特时空。令人惊讶的是，我们的结构比在渐近平坦的上下文中遇到的更不明确。围绕具有Killing向量的精确解的展开提供了它们的物理意义。特别讨论了如何定义在Kottler和Carter背景上传播的引力波的能量和角动量。我们表明，得到的表达式有一个正确的限制为$Λ\to 0$。我们还评论了这种方法和$\mathcal{I}^+$上基于初始数据的正则相空间的方法之间的关系。
2021-03-26 gr-qc hep-th
The Positivity of Energy for Asymptotically Anti-de Sitter Spacetimes
我们使用的渐近反德西特边界条件Ashtekar和Magnon的制定，以获得一个坐标表达式的一般渐近AdeS度量在无穷大的邻域。由此，我们能够计算零曲线在无穷远附近传播的时间延迟。如果引力质量为负，那么时空中某些零测地线的时滞（相对于无穷远处的零测地线）也将为负。紧接着彭罗斯、索尔金和伍尔加（他们处理了渐近平坦的情形）给出的论证，我们就能够论证负时滞与时空中具有良好因果性质的非负物质能量不一致。因此，我们得到一个新的正质量定理，这些时空。即使在无穷远边界附近的物质通量下降得很慢以至于质量发生变化时，只要该定理在时间平均的意义上应用，该定理也可以应用。这个定理也适用于某些局部物质能量有时为负的时空，就像半经典引力的情况一样。
1994-04-11 gr-qc
Black branes in asymptotically Lifshitz spacetimes in $κ$-deformed Horndeski gravity
本文研究了嵌入渐近 Lifshitz 时空且动能项受参数形变的 Horndeski 引力，获得了具有局部与全局热力学稳定性的黑膜解，并证明该 $\kappa$-形变允许临界指数取任意值。
2024-03-13 gr-qc hep-th
