Radial projections of rectifiable sets
我们证明了如果没有$m$ -平面包含几乎所有的$m$ -可求长集$E \subset \R^{n}$，则存在一个单一的$(m - 1)$ -平面$V$，使得$E$的径向投影从$V$外的每一点都有正的$m$ -维测度.
2011-02-12 math.CA
Prescribed projections and efficient coverings by curves in the plane
该研究将Davies高效覆盖定理及对偶的指定投影定理拓展至非线性场景，证明了导数严格单调的C¹曲线的平移可高效覆盖平面可测集且测度不变，借助等价的广义投影结果与百叶窗构造完成证明。
2025-03-19 math.CA
Application of a Fourier restriction theorem to certain families of projections in R^3
我们利用分形测度的傅里叶变换的一个限制定理来研究在R^3中法线方向形成非退化曲线的平面族上的投影。
2013-07-18 math.CA
Hausdorff dimension, intersection of projections and exceptional plane sections
本文包含新的结果在分形几何中的两个经典主题：投影，并与仿射平面相交。为了保持抽象的符号简单，我们限制讨论我们的定理的平面情况。我们的第一个主要结果考虑两个Borel集$A,B \subset \mathbb{R}^{2}$到一维子空间的正交投影。在$\dim A \leq 1 < \dim B$和$\dim A + \dim B > 2$的假设下，证明了对于正多线$L$和任意$ε> 0$，投影$P_{L}(A)$和$P_{L}(B)$的交至少有$\dim A - ε$维数.这是相当尖锐的：给定具有$s + t = 2$的$s,t \in [0,2]$，我们构造具有$\dim A = s$和$\dim B = t$的紧集$A,B \subset \mathbb{R}^{2}$，使得几乎所有交集$P_{L}(A) \cap P_{L}(B)$为空。在$\dim A > 1$和$\dim B > 1$的情形下，证明了对于正多个$L$，交$P_{L}(A) \cap P_{L}(B)$具有正长度.如果$A \subset \mathbb{R}^{2}$是一个Borel集，对于某个$s > 1$，它具有$0 < \mathcal{H}^{s}(A) < \infty$，则在$A$与通过$x$的所有直线的正分数相交的意义上，已知$A$从几乎所有点$x \in \mathbb{R}^{2}$都是…
2015-09-18 math.CA
Projections of sets with optimal oracles onto $k$-planes
University of Wisconsin-Madison（威斯康星大学麦迪逊分校）
本文证明了具有最优或acles的集合在R^n中的例外集估计，扩展了Marstrand投影定理在k-平面上的适用条件，利用Kolmogorov复杂性等有效方法提出新工具研究Grassmannian元素的信息含量。
2026-04-07 math.CA math.LO
Combinatorial proofs of two theorems of Lutz and Stull
本文用组合几何方法（离散位势理论、鸽巢原理、Katz-Tao引理）证明了Lutz-Stull的Marstrand型投影定理，并推广到任意m维平面投影。
2020-09-03 cs.CC math.CA math.MG
Intersection of projections and slicing theorems for the isotropic Grassmannian and the Heisenberg group
本文研究了$\mathbb{R}^{2n}$的子集的各向同性投影的交的Hausdorff维数以及集合与各向同性平面的交的维数。证明了若$A$和$B$是维数大于m的$\mathbb{R}^{2n}$的Borel子集，则对于各向同性m-平面的正测度集，$A$和$B$在这些平面上的正交投影下的像的交集具有正Hausdorff $m$ -测度.此外，如果$A$是大于$m$的Hausdorff维数的可测量集合，则存在具有$\dim B\leq m$的集合$B\subset\mathbb{R}^{2n}$，使得对于所有$x\in\mathbb{R}^{2n}\setminus B$，存在各向同性m平面的正测度集合，对于该正测度集合，每个这样的平面的正交补的$x$的平移在维数集合$\dim A-m$上与$A$相交。然后将这些结果应用于$n^{th}$ Heisenberg群，得到了类似的结果.
2020-01-16 math.CA math.MG
A study guide for "On the Hausdorff dimension of Furstenberg sets and orthogonal projections in the plane" after T. Orponen and P. Shmerkin
本文为 Orponen 与 Shmerkin 关于平面 Furstenberg 集 Hausdorff 维数与正交投影的论文撰写学习指南，介绍 Furstenberg 集问题、投影例外集，并总结证明思路与核心思想。
2024-06-07 math.CA math.CO math.MG
Improved bounds for restricted families of projections to planes in $\mathbb{R}^{3}$
对于$e \in S^{2}$，即$\mathbb{R}^3$中的单位球面，令$π_{e}$为$e^{\perp} \subset \mathbb{R}^{3}$的正交投影，令$W \subset \mathbb{R}^{3}$为任何不是子空间的$2$平面。证明了若$K \subset \mathbb{R}^{3}$是一个具有$\dim_{\mathrm{H}} K \leq \tfrac{3}{2}$的Borel集，则对于$\mathcal{H}^{1}$，几乎每个$e \in S^{2} \cap W$都有$\dim_{\mathrm{H}} π_{e}(K) = \dim_{\mathrm{H}} K$，其中$\mathcal{H}^{1}$表示$1$维Hausdorff测度，$\dim_{\mathrm{H}}$表示Hausdorff维数.这是已知的较早，由于Järvenpää，Järvenpää，Ledrappier和Leikas，为Borel集$K \subset \mathbb{R}^{3}$与$\dim_{\mathrm{H}} K \leq 1$。我们还证明了一个部分结果集的维数超过$3/2$，改进了以前的界限D。Oberlin和R.奥伯林
2018-07-25 math.CA math.MG
Kakeya problem and projection problem for $k$-geodesics in Grassmannians
本文将Kakeya问题与投影问题推广到齐性空间，以$k$维全测地子流形替代$k$-平面，并针对Grassmann流形证明了尖锐估计。
2024-04-04 math.CA math.CO math.MG
SO(2)-congruent projections of convex bodies with rotation about the origin
证明了如果两个凸体$ K, L \subset \mathbb{R}^3$满足$K$和$L$在包含原点的每个平面上的正交投影互为旋转的性质，则要么$K$和$L$重合，要么$L$是$K$在原点的反射下的像
2013-09-27 math.CA math.MG
X-rays of currents and projections of forms
我们引入并研究了一种新的Radon-like变换，它平均了R^n中仿射（n-k）平面上的投影微分p-形式。然后，我们证明了一个明确的反演公式我们的快速衰减光滑p-形式的空间上的变换。我们的变换不同于Gelfand-Graev-Shapiro中的变换。此外，如果它可以扩展到更大的p-形式空间，我们的反演公式将允许将R^n上任何快速衰减的光滑p-形式合成为k维子空间上p-形式的拉回的（连续）叠加。反过来，这样的综合意味着一个明确的公式（我们推导出），用于重建R^n中的紧支电流（例如，紧定向k维子簇）从它们在k平面上的定向投影。
2009-08-21 math.CA math.DG
Improved bounds for restricted projection families via weighted Fourier restriction
证明了如果$A \subseteq \mathbb{R}^3$是豪斯多夫维数$\dim A \in (3/2,5/2)$的Borel集，则对a.e. $θ\in [0,2π)$ $A$在与$\frac{1}{\sqrt{2}}(\cos θ, \sin θ, 1)$正交的二维平面上的投影$π_θ(A)$满足$\dim π_θ(A) \geq \max\left\{\frac{4\dim A}{9} + \frac{5}{6},\frac{2\dim A+1}{3} \right\}$。这改进了Oberlin和Oberlin以及Orponen和Venieri对于$\dim A \in (3/2,5/2)$的界。更一般地说，一个较弱的下界给出了家庭的平面在$\mathbb{R}^3$参数化曲线在$S^2$与非零测地曲率。
2021-03-24 math.AP math.CA
A quantitative version of the Besicovitch projection theorem via multiscale analysis
通过使用多尺度分析，我们建立定量版本的贝西科维奇投影定理（几乎每一个投影的纯粹不可求长集在平面上的有限长度的措施零）和一个标准的同伴的结果，即任何平面集至少有两个投影的措施零是纯粹不可求长。我们说明了这些结果，提供了一个明确的（但弱）的平均投影的$n^{th}$代产品康托尔集的上界。
2008-05-15 math.CA math.MG
A Quantification of a Besicovitch Nonlinear Projection Theorem via Multiscale Analysis
贝西科维奇投影定理指出，如果平面的子集$E$在Hausdorff测度意义下具有有限长度，并且是完全不可求长的（因此它与任何Lipschitz图的交集具有零长度），则几乎所有$E$到直线的正交投影都具有零测度。换句话说，一个完全不可求长的$1$ -集的Favard长度为零。在这篇文章中，我们证明了当线性投影被某些称为曲线投影的非线性投影所取代时，这个结果仍然成立。事实上，我们走得更远，并使用多尺度分析来证明这个贝西科维奇非线性投影定理的定量版本。粗略地说，我们表明，如果一个子集的平面有有限的长度在Hausdorff的意义上，几乎是纯粹的不可求长，那么它的Favard曲线长度是非常小的。我们的技术建立在陶的基础上，陶在[Tao 09]中证明了原始贝西科维奇投影定理的量化。
2021-04-02 math.AP math.CA math.MG
Restricted families of projections onto planes: The general case of nonvanishing geodesic curvature
本文研究沿具有非零测地曲率的曲线族向平面投影的 Hausdorff 维数下界问题，在部分维数范围内解决并改进了 Fässler–Orponen 猜想的相关结果。
2022-10-01 math.AP math.CA
Reconstructing currents from their projections
本文通过证明外 $k$-平面变换的反演公式，解决了 Solomon 猜想：当 $m<k$ 时，$\mathbf R^n$ 中的 $m$-流可由其在 $\mathbf R^k$ 上的投影唯一重构。
2025-03-10 math.CA math.DG
Algorithmic Information Bounds for Distances and Orthogonal Projections
University of Notre Dame（圣母大学）；University of Chicago（芝加哥大学）；University of Michigan（密歇根大学）；Universidad de Zaragoza（萨拉戈萨大学）
介绍证明欧几里得空间几何对象柯尔莫哥洛夫复杂度界的新技术，运用此技术证明关于距离和正交投影的算法信息论定理，改进固定距离集豪斯多夫维数下界，推广Bourgain关于正交投影例外集的定理。
2026-07-14 cs.CC math.CA
Spread-out Furstenberg sets II: general configurations and fractal restricted projections
该论文针对阴影未局部集中于 pencil 的特定构型证明最优对偶 Furstenberg 估计，推导平面及高维限制投影定理，并将其应用于 Grassmann 流形曲面投影、固定距离等多个分形相关问题。
2026-10-12 math.CA math.CO
Intersection between pencils of tubes, discretized sum-product, and radial projections
本文在平面上证明了下列结果。它们相互关联，但又各有各的利益。首先，我们得到了$δ$ -管束相交的$ε_0$ -增量，在非浓度条件下。事实上，我们证明了它等价于离散和积问题，从而$ε_0$是Bourgain著名结果的推广.然后我们证明了一些关于径向投影的新结果。我们还讨论了$ε_0$的依赖性，并提出了一个新的猜想.一个管条件Frostman措施，经过仔细的改进，也给出了。
2020-01-08 math.CA math.CO math.MG
