Exceptional sets of projections, unions of k-planes, and associated transforms
Daniel M. Oberlin
我们证明了Peres和Schlag关于某些例外投影集的维数的一个结果的推广，然后将其应用于一个几何问题。
We prove a generalization of a result of Peres and Schlag on the dimensions of certain exceptional sets of projections and then apply it to a geometric problem.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
On the Packing Dimension and Category of Exceptional Sets of Orthogonal Projections
本文考虑了几个经典的正交投影例外集的豪斯多夫维数的结果，并试图找出它们是否有合理的packing维数公式。我们还研究了Marstrand和Falconer-Howroyd型投影结果的类别版本的存在性。
An exceptional set estimate for restricted projections to lines in $\mathbb{R}^3$
设$γ:[0,1]\rightarrow \mathbb{S}^{2}$是$\mathbb{R}^3$中的非退化曲线，即$\det\big(γ(θ),γ'(θ),γ''(θ)\big)\neq 0$。对于每个$θ\in[0,1]$，令$l_θ=\{tγ(θ):t\in\mathbb{R}\}$和$ρ_θ:\mathbb{R}^3\rightarrow l_θ$为正交投影。我们证明了一个例外的集合估计。对于任何Borel集$A\subset\mathbb{R}^3$和$0\le s\le 1$，定义$E_s(A):=\{θ\in[0,1]: \text{dim}(ρ_θ(A))<s\}$。我们有$\text{dim}(E_s(A))\le 1+\frac{s-\text{dim}(A)}{2}$。
Exceptional projections of sets exhibiting almost dimension conservation
本文针对满足几乎维数守恒律的集合，建立了其正交投影例外集的填充维数估计，并将结果应用于齐次集和某些图导向集，同时与Rams和Orponen的已有工作建立了联系。
Arithmetic structure of the exceptional set of projections
本文研究投影例外集的算术结构，证明了该集合要么为单点集{0}，要么为实数子域，并构造Ahlfors正则集说明此结论对其他维数不成立。
A Fourier analytic approach to exceptional set estimates for orthogonal projections
本研究提出基于傅里叶谱的正交投影定理与例外集估计方法，改进了平面例外集Ren--Wang界、Peres--Schlag界及Bourgain--Oberlin 0维估计等多个豪斯多夫维数相关结果。
Bounding the dimension of exceptional sets for orthogonal projections
本文研究正交投影中投影维数低于给定阈值的例外 Grassmann 流形维数，改进已有上界，并证明在一维及余一维情形尖锐，从而完全解决三维情形。
On unions of geodesics and projections of invariant sets
本文研究了黎曼流形中测地线并集的 Hausdorff 维度下界，通过正交性质和 Kakeya 估计扩展了 J. Zahl 关于直线并集的结果。
Exceptional projections of self-affine sets: an introduction
本文介绍自仿射分形线性投影维数的近期结果，重点给出投影图像维数的一个上界，并通过显式例子展示格拉斯曼流形中可包含于Marstrand定理例外集的光滑子流形。
Hausdorff dimension, intersection of projections and exceptional plane sections
本文包含新的结果在分形几何中的两个经典主题：投影，并与仿射平面相交。为了保持抽象的符号简单，我们限制讨论我们的定理的平面情况。我们的第一个主要结果考虑两个Borel集$A,B \subset \mathbb{R}^{2}$到一维子空间的正交投影。在$\dim A \leq 1 < \dim B$和$\dim A + \dim B > 2$的假设下，证明了对于正多线$L$和任意$ε> 0$，投影$P_{L}(A)$和$P_{L}(B)$的交至少有$\dim A - ε$维数.这是相当尖锐的：给定具有$s + t = 2$的$s,t \in [0,2]$，我们构造具有$\dim A = s$和$\dim B = t$的紧集$A,B \subset \mathbb{R}^{2}$，使得几乎所有交集$P_{L}(A) \cap P_{L}(B)$为空。在$\dim A > 1$和$\dim B > 1$的情形下，证明了对于正多个$L$，交$P_{L}(A) \cap P_{L}(B)$具有正长度.如果$A \subset \mathbb{R}^{2}$是一个Borel集，对于某个$s > 1$，它具有$0 < \mathcal{H}^{s}(A) < \infty$，则在$A$与通过$x$的所有直线的正分数相交的意义上，已知$A$从几乎所有点$x \in \mathbb{R}^{2}$都是…
Orthogonal projections of discretized sets
我们推广Bourgain的离散投影定理，以更高的秩的情况。像Bourgain定理一样，我们的结果给出了用豪斯多夫维数表示的投影定理中例外集的豪斯多夫维数的估计。这一估计补充了Mattila和Falconer的早期结果。
Projections in vector spaces over finite fields
研究了有限域上向量空间的投影。证明了欧氏投影映射例外集维数界的有限域类似。我们提供的例子，不具有特殊的投影通过随机集的投影。最后研究了具有离散傅立叶衰减的集合的投影。
Hausdorff dimension, projections, intersections, and Besicovitch sets
本文综述了欧几里得空间一般子集的投影和交的豪斯多夫维数的最新发展，重点是例外集的豪斯多夫维数的估计和限制投影族.我们还将讨论投影与Besicovitch集的豪斯多夫维数之间的关系。
On exceptional sets of radial projections
我们证明了平面上径向投影的两个新的例外集估计。如果$K \subset \mathbb{R}^{2}$是一个具有$\dim_{\mathrm{H}} K > 1$的博雷尔集，那么$$\dim_{\mathrm{H}} \{x \in \mathbb{R}^{2} \, \setminus \, K : \dim_{\mathrm{H}} π_{x}(K) \leq σ\} \leq \max\{1 + σ- \dim_{\mathrm{H}} K,0\}, \qquad σ\in [0,1).$$如果$K \subset \mathbb{R}^{2}$是一个具有$\dim_{\mathrm{H}} K \leq 1$的博雷尔集，那么$$\dim_{\mathrm{H}} \{x \in \mathbb{R}^{2} \, \setminus \, K : \dim_{\mathrm{H}} π_{x}(K) < \dim_{\mathrm{H}} K\} \leq 1.$$上述两个结果的有限域对应最近由Lund，Thang和Huong Thu证明。我们的结果解决了Lund-Thang-Huong Thu和Liu的平面情形。
Slicing Sets and Measures, and the Dimension of Exceptional Parameters
考虑了紧致度量空间Ω的切片问题，其中映射π_λ \colon Ω \to \R，λ \in \R是由Yuval Peres和Wilhelm Schlag在2000年引入的\emph{generalized projections}.基本问题是：假设Ω具有严格大于1的豪斯多夫维数，当参数λ和t变化时，“典型”切片π_λ^{-1}{t}的维数是多少。在映射π_λ是限制在紧集Ω \subset \R^{2}上的正交投影的特殊情况下，这个问题可以追溯到1954年Marstrand的一篇论文：他证明了几乎对每个λ都存在正多个$t \in \R$使得\dim π_λ^{-1}{t} = \dim Ω- 1。对于广义预测，50年后，Järvenpää、Järvenpää和Niemelä得到了同样的结果。在本文中，我们改进了先前存在的估计，取代短语“几乎所有λ”与一个尖锐的界限的尺寸例外参数。
Prescribed projections and efficient coverings by curves in the plane
该研究将Davies高效覆盖定理及对偶的指定投影定理拓展至非线性场景，证明了导数严格单调的C¹曲线的平移可高效覆盖平面可测集且测度不变，借助等价的广义投影结果与百叶窗构造完成证明。
Restricted Radon transforms and projections of planar sets
当方向集具有分数维时，我们建立了平面上Radon变换的混合模估计。这个估计被用来证明一个与平面集的投影有关的例外方向集的结果。这就引出了一个类似于著名的弗斯滕伯格猜想的猜想。
Exceptional projections in finite fields: Fourier analytic bounds and incidence geometry
本文研究有限域上子集例外投影数量的上界，通过傅里叶$L^p$估计改进已知结果，并给出子空间特征和恒等式及Plancherel定理推广，应用于仿射关联几何，提供尖锐性证明。
Exceptional sets for length under restricted families of projections onto lines in $\mathbb{R}^3$
本文证明了 $\mathbb{R}^3$ 中 Hausdorff 维数大于1的 Borel 集在特定直线族上的正交投影，除一个维数受限的例外集外均具有正长度。
Almgren-minimality of unions of two almost orthogonal planes in $\mathbb R^4$
本文证明了R_4中两个几乎正交平面的并是Almandro-极小的。这给出了一个单参数极小锥族的例子，这是R3中不存在的现象。本文的目的是对R4中的2维Almandro极小集的奇点进行分类。请注意，传统的证明极小性的方法（校准和切片参数）在这里不适用，我们不得不使用一些更复杂的参数，如停时参数，调和扩展，Federerer-Fleming投影等，这些参数很少用于证明极小性（它们通常用于证明正则性）。本文还需要二维Almgren极小集（[5]，[6]）的正则性结果。
On the absolute continuity of radial projections
设$d \geq 2$和$d - 1 < s < d$。设$μ$是$\mathbb{R}^{d}$中的紧支集Radon测度，具有有限的$s$ -能量.我证明了$μ$的径向投影PDMATHAMR对于每个中心$x \in \mathbb{R}^{d} \setminus \operatorname{spt} μ$关于$\mathcal{H}^{d - 1}$是绝对连续的，在一个例外的维数集之外至多$2(d - 1) - s$。这个很锋利事实上，对于如上所述的例外集之外的$x$，对于某些$p > 1$，$π_{x\sharp}μ\in L^{p}(S^{d - 1})$。
Bourgain-type projection theorems over finite fields
本文在有限域上证明了Bourgain投影定理的推广，改进了Chen的例外集估计，适用于更高维和余维数情况。
Exceptional set estimates in finite fields
研究了有限域 $\mathbb{F}_q^n$ 中投影的例外集估计问题，证明了在特定条件下例外集大小的上界，改进了先前结果并证明了范围的锐利性。
Applications of Nonlinear Projections to Rectifiable 1-sets
本文将Federer的线性投影定理扩展到非线性问题，提出统一方法研究集合的低维非线性像与例外集，并证明了1-可求长集的锚定距离集、径向投影、圆并集的相关性质。
Exceptional set estimates for radial projections in $\mathbb{R}^n$
本文证明了关于 $\mathbb{R}^n$ 中 Borel 集径向投影例外集维数上界的两个猜想，分别确认了 Lund–Pham–Thu 估计和 Liu 的上取整界。
Furstenberg set problem and exceptional set estimate in prime fields: dimension two implies higher dimensions
该研究在素域中考察例外集估计及相关 Furstenberg 型问题，证明二维结果可推出所有更高维结果。
On the dimension and smoothness of radial projections
本文给出了欧氏空间中集合和测度的径向投影的维数和光滑性的两个结果。为了介绍第一个，假设$E,K \subset \mathbb{R}^{2}$是具有$\dim_{\mathrm{H}} K > 0$的非空Borel集。$K$到$E$中某点的径向投影是否有正维数？不一定：$E$可以是零维的，或者$E$和$K$可以在一条公共线上。我证明了这些是唯一的障碍：如果$\dim_{\mathrm{H}} E > 0$，$E$不躺在一条线上，那么存在一个点在$x \in E$这样的径向投影$π_{x}(K)$具有Hausdorff维数至少$(\dim_{\mathrm{H}} K)/2$。将此结果应用于$E = K$，得到如下推论：若$K \subset \mathbb{R}^{2}$是不位于直线上的Borel集，则$K$所张成的方向集的Hausdorff维数至少为$(\dim_{\mathrm{H}} K)/2$ .对于第二个结果，设$d \geq 2$和$d - 1 < s < d$。设$μ$是$\mathbb{R}^{d}$中具有有限$s$能量的紧支集Radon测度.我证明了$μ$的径向投影是绝对连续的$\mathcal{H}^{d - 1}$对于每一个中心在$\mathbb{R}^{d} \setminus \operatorname{spt} μ$，外一个特殊的一组尺寸在最$2(d -…
A discretised projection theorem in the plane
本文的主要结果是：对任何$1/2 \leq s < 2 - \sqrt{2} \approx 0.5858$，存在一个数$σ= σ(s) < s$，它具有下列性质.设$δ> 0$很小，假设$A \subset [0,1]$是一个$(δ,1/2)$ -集，并且$E \subset [0,1]$包含$\gtrsim δ^{-σ}$大致由$δ^{s}$ -分离的点。则存在一个数$t \in E$，使得$A + tA$包含$\gtrsim δ^{-s}$ $δ$分隔的点。对于$σ= s$，这基本上是考夫曼著名的投影例外集的界的结果。我们的证明包括一个结构观察集，考夫曼的界是近最优的，结合（适应）Solymosi的论点，他的“$4/3$”和产品定理。
On the dimension of exceptional parameters for nonlinear projections, and the discretized Elekes-Rónyai theorem
本文研究非线性投影中异常参数的维数结构，建立单尺度非线性投影定理，并借此刻画二元实解析函数的维数扩张性质，得到离散化 Elekes-Rónyai 定理的类比结果。
Projections of sets with optimal oracles onto $k$-planes
本文证明了具有最优或acles的集合在R^n中的例外集估计，扩展了Marstrand投影定理在k-平面上的适用条件，利用Kolmogorov复杂性等有效方法提出新工具研究Grassmannian元素的信息含量。
Projections of totally disconnected thin fractals with very thick shadows on ${\mathbb R}^d$
本文研究分形投影与其凸包投影相同的极端情形，给出自仿射集的可检验准则，并构造凸多胞体内维数接近 1 的完全不连通紧集。
Absolute continuity of self-similar measures, their projections and convolutions
我们表明，在许多参数化的家庭的自相似措施，他们的投影，和他们的卷积，一组参数的措施未能绝对连续的是非常小的余维至少有一个在参数空间。这补充了关于维度的类似问题的一条活跃的研究路线。此外，我们建立了一些规则性的密度以外的这个小的例外集，这特别适用于伯努利卷积，沿着这个道路，我们证明了一些新的结果的尺寸的自相似措施和绝对连续性的卷积的两个措施。作为一个具体的应用，我们得到了平面自相似集的Marstrand投影定理的一个非常强的版本。
Distance sets, orthogonal projections, and passing to weak tangents
我们考虑了几何测度论中两个重要问题的Assouad维数类似。这些问题通过“向弱切线传递”这一共同主题联系在一起。首先，我们解决了一个类似的Falconer的距离集问题的Assouad维数在平面上：如果一个平面集的Assouad维数严格大于1，那么它的距离集的Assouad维数为1。我们也得到了部分结果在更高的维度。其次，我们考虑如何Assouad维正交投影下的行为。我们扩展的平面投影定理的弗雷泽和Orponen更高的维度，提供估计（Hausdorff）维的例外集的投影，并提供了一个食谱获得结果的限制家庭的投影。我们提供了几个说明性的例子。
A study guide for "On the Hausdorff dimension of Furstenberg sets and orthogonal projections in the plane" after T. Orponen and P. Shmerkin
本文为 Orponen 与 Shmerkin 关于平面 Furstenberg 集 Hausdorff 维数与正交投影的论文撰写学习指南，介绍 Furstenberg 集问题、投影例外集，并总结证明思路与核心思想。
A transversality theorem for multiple-point crossings under generic linear perturbations with Hausdorff measure estimates
本文在一般线性扰动下建立了多重交叉点横截性定理，给出了例外参数集的Hausdorff测度估计，并改进了之前仅证明该集勒贝格测度为零的结果。
Smooth projections of self-similar measures
研究自相似测度正交投影的绝对连续性，通过弗斯滕伯格型准则及利用特定拉马努金集，得到奇异自相似测度线投影绝对连续、小傅里叶维数测度在多数方向光滑投影等结果。
A Furstenberg-type problem for circles, and a Kaufman-type restricted projection theorem in $\mathbb{R}^3$
本文利用离散几何中的透镜切割技术，证明分形集上 Wolff 圆极大函数变体的精确 $L^p$ 界，从而解决 $\mathbb{R}^3$ 中空间曲线参数化的例外投影维数猜想。
The box dimensions of exceptional self-affine sets in $\mathbb{R}^3$
研究了由有限个广义置换矩阵构成的$\mathbb{R}^3$中自仿射集的盒维数。我们得到的尺寸，非常小的假设，并在许多情况下产生尖锐的结果。在将完善的平面理论扩展到$\mathbb{R}^3$中存在许多问题，包括主平面投影是具有重叠的自仿射集（而不是自相似集）（的仿射失真），并且自然修改的奇异值函数通常不能是次乘法的。我们介绍了几种新的技术来处理这些问题，并希望提供一些深入了解的挑战，进一步扩展理论。
Projections of self-affine fractals
该研究扩展Falconer关于自仿射分形维度的结果到投影维度，通过开发的技术构建新现象例子，包括自仿射分形上非精确维投影的平衡测度例子，以及强不可约自仿射集且和集小无算术共振。
Kakeya problem and projection problem for $k$-geodesics in Grassmannians
本文将Kakeya问题与投影问题推广到齐性空间，以$k$维全测地子流形替代$k$-平面，并针对Grassmann流形证明了尖锐估计。
Applications of dimension interpolation to orthogonal projections
本文综述了维度插值方法，并重点展示傅里叶谱、中间维数和Assouad谱在正交投影维数理论中的三类应用，拓展了经典Marstrand–Mattila投影定理的研究视角。
Projections of Poisson cut-outs in the Heisenberg group and the visual $3$-sphere
研究了Poisson截集$E$在非欧空间中的投影性质。在第一海森伯群中，我们证明了垂直投影$π(E)$（沿海森伯群中心的投影）的Hausdorff维数几乎必然等于$\min\{2,dim_H(E)\}$，并且如果$dim_H(E)>2$，则$π(E)$具有非空内部.作为一个推论，这使我们能够确定的Hausdorff维数$E$相对于欧几里德度量的海森堡Hausdorff维数$dim_H (E)$。我们还研究了Heisenberg群的一点紧化中的投影，即具有通过将$S^3$与复双曲平面的边界识别而获得的视觉度量$d$的$3$球$S^3$。在$S^3$中，我们证明了一个投影结果，同时适用于所有的径向投影（沿所谓的“链”的投影）。这表明在$S^3$中的泊松截断满足强版本的Marstrand投影定理，没有任何例外的方向。
A note on Kakeya sets of horizontal and $SL(2)$ lines
我们考虑$\mathbb{R}^{3}$中$SL(2)$线的并集。这些是$$L = (a,b,0) + \mathrm{span}(c,d,1),$$形式的行，其中$ad - bc = 1$。证明了如果$\mathcal{L}$是$SL(2)$线的Kakeya集，则其并集$\cup \mathcal{L}$具有豪斯多夫维数$3$ .这回答了王和Zahl的一个问题。$SL(2)$线可以与第一海森堡群中的水平线等同，并且我们得到的主要结果是关于水平线并的更一般陈述的推论.这种说法是建立通过一个点线之间的对偶原则水平和圆锥线在$\mathbb{R}^{3}$，结合最近的工作限制家庭的投影到飞机，由于GAN，郭，古斯，哈里斯，马尔达格，王。我们的结果也有一个推论的Nikodym集与水平线，这回答了一个特殊情况下的问题金。
A nonlinear projection theorem for Assouad dimension and applications
本文证明了Assouad维数的一般非线性投影定理，应用于距离集、径向投影和和积现象，完全解决了平面距离集问题，并给出了尖锐估计。
Brascamp--Lieb inequalities for fractal dimensions
本文利用泛函分析中的Brascamp--Lieb不等式，证明了关于分形集的上盒维数、包络维数和Assouad维数的新不等式，这些不等式以某些投影的维数为条件。与Hausdorff和下盒维数不同，类似不等式不成立。作者将这些分形Brascamp--Lieb不等式应用于正交投影的例外集估计，并为某些受限和集提供精确的维数估计，同时通过非线性Brascamp--Lieb不等式建立了类似的非线性不等式。
Projection theorems with countably many exceptions and applications to the exact overlaps conjecture
本文针对分形测度投影中的例外参数建立了最优估计，证明在至多可数多个方向外维数保持，并应用于精确重叠猜想，得出平面测度与集合投影维数的下界。
On dimensions of visible parts of self-similar sets with finite rotation groups
本文给出了具有有限个旋转群且满足开集条件的迭代函数系统生成的自相似集的可见部分的Assouad维数的上界.该界对所有可见部分都有效，它依赖于集合的可穿透部分，这是本文定义的一个概念。作为一个推论，我们得到在平面的情况下，如果投影是一个有限的或可数的区间联盟，然后可见的部分是1维的。我们还证明了一个可见的部分的Assouad维数是严格小于豪斯多夫维数的集合提供的投影包含内点。
Restricted projections in positive characteristic via Fourier extension and restriction estimates
该研究通过傅里叶扩展和限制估计，在有限特征下研究了限制投影，并揭示了算术-几何二元性对例外集大小的影响。
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