Density of real and complex decomposable univariate polynomials
Joachim von zur Gathen, Guillermo Matera
我们估计了实数和复数上可分解的一元多项式的代数簇周围的管密度。
We estimate the density of tubes around the algebraic variety of decomposable univariate polynomials over the real and the complex numbers.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
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Interpolation by decomposable univariate polynomials
通常的一元插值问题是找到一个首一多项式f的次数为n，内插n个给定的值是很好理解的。本文研究了一个变体，其中f是复合的，比如说，一个复合的两个多项式的次数d和e，分别与de=n，因此d+e-1给定值。一些特殊情况很容易解决，对于一般情况，我们构造了它和一个特殊情况之间的同伦。我们计算的几何解决方案的代数曲线提出这个同伦，这也提供了一个答案的插值任务。计算时间是多项式的几何数据，如次数，这条曲线。结果是，对于几乎所有的输入，存在可分解的插值多项式。
Number of common roots and resultant of two tropical univariate polynomials
复数域上两个一元多项式的公共根的个数等于其结式的阶数。在本文中，我们表明，这一基本关系仍然适用于热带多项式下适当的适应的概念的顺序，如果根是简单的和非零的。
Univariate Rational Sums of Squares
给定有理一元多项式f和g，使得gcd（f，g）和f / gcd（f，g）是互素，我们证明了g在f的所有实根上非负当且仅当g是模f的有理多项式的平方和.我们完成我们的研究，展示一个算法，产生一个证书，多项式g是非负的非零多项式f的实根，当上述假设得到满足。
Decomposable sparse polynomial systems
Macaulay2包DecomposableSparseSystems实现了研究和数值求解可分解稀疏多项式系统的方法。我们描述了可分解的稀疏系统的结构，并解释了如何在这个包中的方法可以用来利用这种结构，与例子。
Dimension of gram spectrahedra of univariate polynomials
多项式的格拉姆谱面体参数化了它的平方和表示。本文确定了一元多项式的格拉姆谱面的维数。
The Newton Polytope of the Morse Discriminant of a Univariate Polynomial
本文在给定支撑集$A.$的一元多项式空间中计算Morse判别式的Newton多面体$\mathcal M_A$，即建立了Morse一元热带多项式的所有组合类型的集合与$\mathcal M_A.$的顶点之间的满射
On the variety parametrizing completely decomposable polynomials
本文研究了代数闭域$\Split_{d}(\PP n)$上$n+1$变量的可完全分解的$d$次齐次多项式的簇参数化与$\PP {n+d-1}$的$n-1$维射影子空间的Grassmannian之间的关系.我们计算了$\Split_{d}(\PP n)$的某些割线簇的维数，并找到了一个猜想的反例，该猜想希望它的维数与$\GG (n-1, n+d-1)$的割线簇的维数有关。利用Veronse簇在Plücker空间中的不变嵌入，计算了$\GG (n-1, n+d-1)$与$\Split_{d}(\PP n)$、它的某些割线簇、切簇和Veronese簇的第二密切空间的交.
Characteristic Polynomials of Symmetric Matrices over the Univariate Polynomial Ring
将R[x，t]中的二元多项式f看作是由实数x参数化的t中的一元多项式族，如果这个族由只有实根的首一多项式组成，我们称f为实根的。若f是元素在R[x]中的对称矩阵的特征多项式，则它显然是实根的。本文建立了一元实多项式环上二元实根多项式的逆命题，即二元实根多项式是一元实对称矩阵的特征多项式。作为一个副产品，我们提出了一个纯代数证明的Helton-Vinnikov定理，解决了60岁的拉克斯猜想的存在明确的行列式表示的三元双曲型。
Zero counting for a class of univariate Pfaffian functions
给出了一类$1$级单变量Pfronian函数实零点个数的一种新的计算方法。该过程是基于这些功能的Sturm序列的建设，并依赖于一个甲骨文的符号确定。在$E$-多项式的特殊情况下，我们设计了一个无预言机的有效算法，在指数复杂度内解决了这个任务。此外，我们给出了一个明确的上界的实零点的绝对值的$E$-多项式。
Closed formulae for multiple roots of univariate polynomials through subresultants
实代数平面曲线拓扑的计算，如果在每条垂直线上不超过一个临界点：一般位置条件，则大为简化。当这个条件不满足时，则坐标的有限次改变将使初始曲线移动到一般位置。我们将展示许多情况下，所考虑的曲线的拓扑结构周围的临界点是非常容易计算，即使曲线不是在一般的位置。这将是通过引入一个新的家庭的公式描述，在许多情况下，通过subresult，重根的一元多项式作为有理函数的考虑多项式涉及最多一个平方根。这种新的方法将被用来表明，三次，四次和五次的拓扑结构可以很容易地计算，即使曲线是不是在一般的位置和那些高次曲线，这种方法可以使用。我们也将应用这种技术来确定两个二次曲面的相交曲线，并研究如何确定两个椭球相交时所产生的曲线的类型。
Positive Semidefinite Univariate Matrix Polynomials
研究了沿实直线半正定的对称一元实矩阵多项式的平方和表示。本文给出了一个新的证明，证明了大小为$n\times n$的一元半正定矩阵多项式都可以写成$M=Q^TQ$的平方和，其中$Q$的大小为$(n+1)\times n$，这是Blekherman-Plaumann-Sinn-Vinzant最近证明的.我们的新方法使用的理论，二次型，使我们能够证明这些作者的猜想，这些最小的表示$M=Q^TQ$一般在一对一的对应关系的非负一元多项式$\det(M)$的表示为两个平方和。在平行，我们将使用我们的方法来证明更基本的埃尔米特模拟，每一个埃尔米特单变量矩阵多项式$M$，这是半正定沿实数线，是一个广场，这是众所周知的矩阵Fejér-Riesz定理。
Optimality of Curtiss Bound on Poincare Multiplier for Positive Univariate Polynomials
本文证明对于正单变量多项式，在所有仅依赖于非实根辐角的乘子次数上界中，柯蒂斯界是最优的。
Solving Parameterized Polynomial Systems with Decomposable Projections
参数化多项式方程组的伽罗瓦群编码解的结构。这个单值群作用于一般参数集的解集，也就是说，作用于从入射变量的参数和解到参数空间的投影的纤维。当这个投影是可分解的，伽罗瓦群是不本原的，我们表明，该结构可以利用计算的改进。此外，我们开发了一个新的算法来解决这些系统的基础上适当的跟踪测试。我们举例说明我们的方法在统计，运动学和计算代数中的基准问题。特别是，我们解决了一个猜想的数量的解决方案的时刻系统相关联的混合高斯分布。
Decision problem for a class of univariate Pfaffian functions
我们解决的判定问题的句子涉及单变量函数构造从一个固定的Pfronan函数的顺序$1$。我们提出了一个新的符号程序解决这个问题的计算复杂性的基础上计算合适的Sturm序列。对于一般的Pfronan函数，我们假设存在一个预言来确定该类函数取实代数数的符号。对于E-多项式，我们给出了一个不用预言机的有效算法，并将其应用于解决一个类似的多元判定问题。最后，我们介绍了一个概念的Thom编码的E-多项式的零，并描述了一个算法，他们的计算。
Braid monodromy of univariate fewnomials
令$\mathcal{C}_d\subset \mathbb{C}^{d+1}$是次数为$d$的非奇异单变量多项式的空间。Viète映射$\mathscr{V} : \mathcal{C}_d \rightarrow Sym_d(\mathbb{C})$向其无序根集发送多项式。经典的事实是，在基本群水平上的诱导映射$\mathscr{V}_*$实现了$π_1(\mathcal{C}_d)$与Artin辫子群$B_d$之间的同构.对于fewnomials，或者等价地对于$\mathcal{C}_d$与$\mathbb{C}^{d+1}$中的坐标超平面集合的相交$\mathcal{C}$，映射$\mathscr{V} _* : π_1(\mathcal{C}) \rightarrow B_d$的图像一般是未知的。在本文中，我们证明了映射$\mathscr{V} _*$是满射的，只要相应多项式的支集跨越$\mathbb{Z}$作为仿射格。如果支持跨越一个严格的子格的索引$b$，我们表明，图像的$\mathscr{V} _*$是预期的花环产品的$\mathbb{Z}/b\mathbb{Z}$与$B_{d/b}$。从这些结果中，我们得出一个应用程序的计算的辫子monodromy的一元多项式的集合取决于一组共同的参数。
Arithmetics and combinatorics of tropical Severi varieties of univariate polynomials
本文给出了具有两个二重根的n次一元多项式的热带簇的刻划。作为一个集合，它被给出为n-1维的三种类型的最大锥的并集，其中只有这些类型中的两种锥是{0，.，n}。通过Kapranov定理，这一目标是通过仔细研究具有两个二重根的多项式的根的初等对称函数的可能赋值来实现的。尽管表面上看起来很简单，但热带塞维里变种的计算既有组合的成分，也有算术的成分。
Solving Decomposable Sparse Systems
Amendola等人提出了一种用于求解位于一个族中的多项式方程的系统的方法，该方法利用递归分解成更小的系统。一族系统允许这样的分解当且仅当相应的伽罗瓦群是非本原的。当伽罗瓦群是非本原群时，我们考虑计算一个显式分解的问题. Esterov对具有非本原伽罗瓦群的稀疏多项式系统的分类的一个结果是，这种分解是通过检查得到的。这导致了一个递归算法来解决可分解的稀疏系统，我们提出并证明其效率。
Subresultant of several univariate polynomials
本文将两元多项式子结式理论推广到任意多个多项式，给出基于根的定义、系数表达式，并展示其在参数化 GCD 与根重数中的应用。
Closed formula for univariate subresultants in multiple roots
我们广义西尔维斯特单和多集（重复元素的集合），并表明这些总和计算subresultants的两个单变量多项式作为其根的函数独立于其多重性结构。这是第一个闭公式subresultants在根方面，工程的任意多项式，以前的努力只处理特殊情况。我们的扩展涉及在某些情况下合流舒尔多项式，并通过使用多元对称插值通过交换引理。
Topological Classification of Univariate Sparse Polynomials via Tropical Geometry
该研究利用热带几何对支撑集为$A=\{d,d+1,d+2,d+3,d+4\}(d\geq3)$、具两个$(2,2)$型临界值的单变量稀疏复多项式分类，发现其拓扑等价类与无穷远分支热带化组合类型的对应关系及支撑集平移下的可能周期性。
Permuting the roots of univariate polynomials whose coefficients depend on parameters
研究单变量多项式系数依赖于参数时根的排列问题，通过计算Galois群和布雷德蒙德单束映射像来确定Galois群，应用于有理函数和枚举问题的Galois群计算。
Real Univariate Quintics
对于一般的实系数一元五次方程，从Sturm序列中尽可能直接和简单地导出了系数的多项式条件，Sturm序列将确定实根和复根的重数以及实根关于重数的阶数.
A new algorithm for computing $μ$-bases of the univariate polynomial vector
本文刻划了Groebner基与u-基之间的关系：n元多项式的合合模关于项-位置单项式阶的任何极小Groebner基都是它的u-基。此外，基于gcd计算，我们用递归的方法构造了syzygy模的一个自由基。根据这种关系和所构造的自由基，给出了计算合合模u-基的一种新算法。在合理的假设下，算法的理论复杂度为O（n^3d^2），其中d是输入n个多项式的最大次数。我们已经在Maple中实现了该算法（MinGb）。实验数据以及与Song和Goldman（2009）开发的现有算法（SG算法）和Hong等人（2017）开发的现有算法（HHK算法）的性能比较表明，当n和d足够大时，MinGb算法比SG算法更高效，而MinGb算法和HHK算法都有各自的优势。
Root Configurations of Real Univariate Cubics and Quartics
对于一般的实系数一次三次和四次多项式，从Sturm序列中尽可能直接和简单地导出了系数的多项式条件，Sturm序列将确定实根和复根的重数以及实根关于重数的阶数.
Algorithm for computing $μ$-bases of univariate polynomials
本文给出了计算任意域$\mathbb{K}$上单变量$n$多项式的合冲模的$μ$ -基的一个新算法。该算法在概念上不同于Cox、Sederberg、Chen、Zheng和Wang为$n=3$开发的算法，以及Song和Goldman为任意$n$开发的算法。它涉及计算$\mathbb{K}$上的$ (2d+1)\times n(d+1)$矩阵的“部分”简化行梯队形式，其中$d$是输入多项式的最大次数。该算法的证明是基于标准的线性代数，是完全独立的。它包括一个存在的$μ$ -基础的证明，并作为一个结果提供了一个替代的证明的免费的syzygy模块。该算法的理论（最坏情况渐近）计算复杂性为$O(d^2n+d^3+n^2)$。我们已经实现了这个算法（HHK）和宋和高盛（SG）开发的一个。对随机输入的实验表明，当$d$对于固定的$n$变得足够大时，SG比HHK快，并且当$n$对于固定的$d$变得足够大时，HHK比SG快。
Some New Applications of Toric Geometry
本文从复曲面几何的角度重新审视单变量约简。我们首先通过构建一个二项式变体的$u$ -结果，然后重新定制的广义特征多项式充分利用任何给定的多项式系统的单式结构的稀疏性。因此，我们获得了一个快速的新算法，单变量减少和更好地了解潜在的投影。作为一个推论，我们证明了希尔伯特第十问题的一个改进在单指数时间内是可判定的。我们还展示了如何某些多项式系统的根的多对称函数可以计算稀疏结果。
Explicit factors of some iterated resultants and discriminants
本文分析了将一元结式迭代构造法应用于多元多项式的结果。我们认为输入多项式作为一个给定的程度的通用多项式，并表现出明确的分解成不可约因素的几个建设涉及两次迭代的单变量结果和判别式的整数通用环的系数的条目多项式。涉及从两个到四个通用多项式和结果或判别式在其变量之一的情况下进行处理。利用一元结式和判别式的基本性质以及对多项式次数的归纳，得到了不可约因子的分解。因此，每一个不可约因子都可以根据某个多元结果来单独和显式地计算。用这种方法，我们也得到了直接推论柯林斯和麦卡勒姆的一些结果，对应于多项式的情况下，其系数本身是通用的多项式在其他变量。最后给出了一个多项式迭代判别式的代数因式分解的几何解释。
Univariate real root isolation in an extension field
我们提出的算法，复杂性和实现结果的问题隔离的一元多项式的实根在$B_α \in L[y]$，其中$L=\QQ(α)$是一个简单的代数扩展的有理数。我们考虑两种方法来解决这个问题。在第一种方法中，使用结果计算，我们执行一个减少到一个多项式的整数系数。我们计算的根的分离界限，并使用它们，我们推断，我们可以隔离在$\sOB(N^{10})$，其中$N$是上界的输入多项式的所有数量（次数和位大小）的$B_α$的实根。在第二种方法中，我们隔离了直接作用于输入多项式的实根。我们计算改进的分离界的真正的根，我们证明他们是最佳的，在温和的假设。为了隔离的根，我们考虑修改的Sturm算法，和Sagraloff介绍的\func{descartes}算法的修改版本。对于前者，我们证明了$\sOB(N^8)$的复杂性界，对于后者，我们证明了$\sOB(N^{7})$的复杂性界.我们实现的算法在\func{C}的核心库的\mathematica的一部分，我们说明了他们的效率在各种数据集。最后，我们提出的复杂性结果的第一种方法，其中系数属于多个扩展的一般情况下。
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