On the Directonal Derivative Sets and Differentials of the Set Valued Maps
Serpil Altay, Nihal Ege, Anar Huseyin, Nesir Huseyin
本文研究了给定集值映射的方向导数集和微分。研究了集值映射与其方向导数集的紧子集之间的关系。计算了某些平面集的上、下相依锥。
In this paper directional derivative sets and differentials of a given set valued map are studied. Relations between the set valued map and compact subsets of the directional derivative sets of the given map are investigated. Upper and lower contingent cones of some plane sets are calculated.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
Frechet and Mordukhovich Derivative (Coderivative) and Covering Constant for Single-Valued Mapping in Euclidean Space with Applications (I)
本文研究欧几里得空间中单值映射的Frechet与Mordukhovich导数计算规则，并利用所得导数解求覆盖常数，进而结合参数化重合点定理求解参数化方程。
Mordukhovich derivatives of the set-valued metric projection operator in general Banach spaces
本文研究一般 Banach 空间中集值度量投影算子的 Mordukhovich 导数性质与精确解，并证明了 C[0, 1] 到多项式空间的投影为单值映射，进而探讨了其 Mordukhovich 导数与 Gateaux 方向导数。
Mordukhovich Derivatives and Covering Constant for Set-Valued Metric Projection in General Banach Spaces
本文得到l₁空间到其单位闭球的集值度量投影算子的显式表示，研究其Mordukhovich导数性质以计算覆盖常数，还针对二维巴拿赫空间得到该投影算子的显式解并详细计算其导数。
Isometries on Banach algebras of $C(Y)$-valued maps
本文利用自然$C(Y)$ -赋值的概念，提出了一种统一的方法来研究向量值Lipschitz映射代数和连续可微映射代数上的等距.自然$C(Y)$ -赋值取值于单位交换$C^*$ -代数.给出了Jarosz \cite{ja}一个定理的精确证明。
An approach to metric space valued Sobolev maps via weak* derivatives
本文提出用弱*导数刻画度量空间值Sobolev映射，并修正了Hajłasz和Tyson的先前结果。
Some Properties of Mordukhovich Derivatives with Applications to Locally Variational Inequalities in Banach Spaces
本文研究Banach空间中Frechet导数与Mordukhovich导数的联系，发现集值映射导数性质，引入局部变分不等式概念，并揭示其解与Mordukhovich导数的关联。
Calculating Covering Constants for Mappings in Euclidean Spaces Using Mordukhovich Coderivatives with Applications
本文利用偏导数与 Frechet 导数的联系，推导出欧几里得空间中单值映射 Mordukhovich 导数的计算规则，进而求出或估计映射的覆盖常数，并应用于求解参数化方程。
Isometries on Banach algebras of vector-valued maps
本文利用容许四元组的概念，提出了一种研究向量值Lipschitz映射代数和连续可微映射代数上的等距性的统一方法。本文描述了取值于单位交换$C^*$ -代数的容许四元组的函数空间上的等距。作为结果，我们证实了\cite [例8]{jp}关于Lipschitz代数的陈述，并证明了在这样的代数上的等距确实采取标准形式。
Separating maps between spaces of vector-valued absolutely continuous functions
本文给出了定义在实直线的紧子集上的向量值绝对连续函数空间上的分离性或保持不交性的线性双射的刻划。我们得到了它们在有限维情形下是连续的和双分离的。无限维的情况下也进行了研究。
Frechet and Mordukhovich Derivative (Coderivative) and Covering Constant for Single-Valued Mapping in Euclidean Space with Application (II)
本文针对欧几里得空间中的保范单值映射，计算其Fréchet导数与Mordukhovich导数，证明除原点外覆盖常数恰为1，并将结果推广到R^4后用于求解参数化方程。
Second derivatives of norms and contractive complementation in vector-valued spaces
本文考虑向量值空间$\ell_p(X)$的1-补子空间（压缩投影的值域），其中$X$是一个具有1-无条件基和$p \in (1,2)\cup (2,\infty)$的巴拿赫空间.如果$X$的范数是二次连续可微的，并且满足一定的条件，连接范数和关于基的不相交性的概念，那么我们证明了$\ell_p(X)$的每个1-补子空间都有一个由互不相交的元素组成的基.此外，我们还证明了每一个压缩投影都是一个平均算子。我们将所得结果应用于具有$p,q\in (1,2)\cup (2,\infty)$的$\ell_p(\ell_q)$空间，得到了其1-补子空间的一个完整刻画.
On Characterizations of Metric Regularity of Multi-valued Maps
本文基于Ioffe的著作思路，为Frankowska关于多值映射度量正则性可由切锥变分正则性刻画的结果提供了一个新证明。
Fixed Point Theorems for Set-Valued Maps with Contractive Orbits
研究豪斯多夫空间中限制于轨道时下半连续的集值映射，引入两种收缩轨道概念并建立不动点定理，表明豪斯多夫假设重要，还推广了康托尔交定理，推导了局部凸向量空间及度量前空间中集值映射的不动点定理。
Extensions of vector-valued functions with preservation of derivatives
设$X$和$Y$是Banach或赋范线性空间，$F\subset X$是闭集.我们应用我们最近的向量值Baire 1函数的扩张定理arXiv：1512.03717来获得具有预分配导数的向量值函数$f\colon F\to Y$的扩张定理，保持可微性（在预分配导数实际上是导数的每个点处），保持连续性，保持（逐点）Lipschitz性质和（对于有限维域$X$）保持严格可微性和全局（最终局部）Lipschitz连续性。
Maps preserving common zeros between subspaces of vector-valued continuous functions
对于度量空间$X$和$Y$，赋范空间$E$和$F$，以及向量值连续函数的某些子空间$A(X,E)$和$A(Y,F)$，我们得到了保公共零点的线性映射和双射映射$T:A(X,E)\to A(Y,F)$的一个完整刻画，即，对于任何$f,g\in A(X,E)$，满足性质\setcounter{equation}{15} \label{dub} Z（f）\cap Z（g）\neq \emptyset \Longleftrightarrow Z（Tf）\cap Z（Tg）\neq \emptyset的映射，其中$Z(f)=\{x\in X:f(x)=0\}$。此外，我们提供了一些例子的子空间的线性双射的自动连续性的性质（\ref{dub}）的推导。
Differential of metric valued Sobolev maps
引入了度量空间之间Sobolev映射的微分概念。微分给出的度量测度空间，由第一作者开发的正切和余切模的框架。我们证明了当源是欧几里得空间时，我们的概念与Kirchheim的度量微分是一致的;当目标是$\mathbb{R}$时，我们的概念与第一作者提供的抽象微分是一致的.
Noncommutative vector valued $L_p$-spaces and completely $p$-summing maps
设$E$是Blecher-Paulsen和Effros-Ruan最近发展的理论意义下的算子空间.我们引入了一个概念的$E$值的非交换$L_p$ -空间的$1 \leq p < \infty$，我们证明了由此产生的算子空间满足自然属性，例如对偶和插值。这一概念导致了“完全p-和”映射的定义，它是Pietsch-Kwapiesten意义下的$p$ -绝对和映射的算子空间模拟。这些概念扩展了Effros-Ruan先前研究的特殊情况$p=1$。
Dilations of frames, operator valued measures and bounded linear maps
我们将给出一个大纲的主要结果，在我们最近的AMS Memoir，并包括一些新的结果，论述和开放的问题。在这本回忆录中，我们开发了一个一般的膨胀理论的运营商价值的措施作用于巴拿赫空间的运营商价值的措施（或地图）不一定完全有界。主要结果表明，任何算子值的措施，不一定完全有界的，总是有一个膨胀到一个投影值的措施作用在一个Banach空间，和每一个有界的线性映射，再次不一定完全有界的，在一个巴拿赫代数有一个有界同态膨胀作用在一个巴拿赫空间。这里，即使底层空间是希尔伯特空间，膨胀空间通常也需要是巴拿赫空间，并且投影是不一定自伴的幂等元。这些结果使框架理论与算子代数之间产生了一些新的联系，其中一些可以作为“非交换”框架理论研究的一部分。
Jointly separating maps between vector-valued function spaces
设$X$和$Y$是紧Hausdorff空间，$E$和$F$是实或复Banach空间，$A(X,E)$是$C(X,E)$的子空间。在本文中，我们研究的线性算子$S,T: A(X,E) \lo C(Y,F)$联合分离，在这个意义上，$\coz(f) \cap \coz(g) = \emptyset$意味着$\coz(Tf) \cap \coz(Sg)=\emptyset$。这里$\coz(\cdot)$表示函数的上零点集。我们刻画了一类向量值（以及标量值）连续函数空间之间映射的一般形式，包括向量值Lipschitz函数空间、绝对连续函数空间和连续可微函数空间.这些结果可应用于线性算子对$T:A(X) \lo A(X)$和$S:A(X,E) \lo A(X,E)$，其中$A(X)$是$X$上的正则Banach函数代数，使得$f\cdot g=0$蕴涵$Tf \cdot Sg=0$，对于$f\in A(X)$和$g\in A(X,E)$ .如果$T$和$S$是这类标值函数的Banach代数之间的联合分离双射，则它们诱导出$X$和$Y$之间的同胚，而且$T^{-1}$和$S^{-1}$也是联合分离映射。
Lifting of $\mathbb{RP}^{d-1}$-valued maps in $BV$ and applications to uniaxial $Q$-tensors. With an appendix on an intrinsic $BV$-energy for manifold-valued maps
我们证明了一个$BV$映射的值到射影空间$\mathbb{RP}^{d-1}$有一个$BV$提升的值到单位球$\mathbb S^{d-1}$，满足一个最佳的$BV$ -估计。作为液晶的应用，这一结果也表示为$BV$地图的值到单轴$Q$ -张量。为了量化$BV$提升，我们证明了一个显式公式的内在$BV$ -能量的值映射到任何紧光滑流形。
Isometries and hermitian operators on spaces of vector-valued Lipschitz maps
本文研究了具有和范数的向量值Lipschitz映射空间上的Hermite算子与等距，证明了Hermite算子为广义复合算子，并完整刻画了特定代数上的单位满射复线性等距。
Approximation of functions and their derivatives by analytic maps on certain Banach spaces
设X是可分的巴拿赫空间，且允许一个可分多项式，特别是X是可分的希尔伯特空间.设$f:X \rightarrow R$是有界的，Lipschitz和$C^1$具有一致连续导数.则对于每个ε>0，存在具有$|g-f|<ε$和$||g'-f'||<ε$的解析函数$g:X \rightarrow R$。
Weak differentiability of metric space valued Sobolev maps
证明了取值于对偶巴拿赫空间的Sobolev映射可以用弱 * 意义下的弱导数刻画.由于每一个度量空间等距嵌入到一个对偶巴拿赫空间中，这意味着度量空间值Sobolev映射的一个特征。此外，我们还研究了Sobolev映射在哪些目标空间上是几乎处处弱 * 可微的。
On directional derivatives of trace functionals of the form $A\mapsto\Tr(Pf(A))$
给定函数$f:(0,\infty)\rightarrow\RR$和半正定$n\times n$矩阵$P$，可以将正定$n\times n$矩阵上的迹泛函定义为$A\mapsto \Tr(Pf(A))$。对于可微函数$f$，函数$A\mapsto \Tr(Pf(A))$在所有正定矩阵$A$处可微。在~ $f$上一定的连续性条件下，该函数可推广到某些非正定矩阵$A$，并可在那里计算$\Tr(Pf(A)$的\emph{directional}导数.本文给出了这些方向导数存在的条件，并计算了它们。这些条件适用于函数$f(x)=\log(x)$和函数$f_p(x)=x^p$，适用于所有$p>-1$。相应的迹泛函的导数计算在这里。
Order-Preserving Extensions of Hadamard Space-Valued Lipschitz Maps
本文研究了在Hadamard空间中保持顺序的Lipschitz映射扩展问题，发现当维度大于等于2时，只有在特定条件下才能保持单调性，从而推翻了Kirszbraun定理的顺序理论扩展可能性。
Approximations of Lipschitz maps with maximal derivatives on Banach spaces
本文研究Banach空间上Lipschitz映射的两类逼近，用强范数可达和最大导数可达映射刻画Radon-Nikodým性质，并证明实直线上Lipschitz泛函可被最大仿射函数局部逼近但无法一致逼近。
Additive jointly separating maps and ring homomorphisms
设$X$和$Y$是紧Hausdorff空间，$E$和$F$是实或复赋范空间，$A(X,E)$是$C(X,E)$的子空间.对于函数$f\in C(X,E)$，令$\coz(f)$为$f$的上零点集。如果$\coz(Tf)\cap \coz(Sg)=\emptyset$在$\coz(f)\cap \coz(g)= \emptyset$的任何时候都是可加映射对$S,T: A(X,E) \lo C(Y,F)$，则称之为联合分离的。本文首先给出了某些向量值连续函数空间（包括向量值Lipschitz函数空间、绝对连续函数空间和连续可微函数空间）之间的可加联合分离映射的部分刻划。然后，我们应用这些结果刻画了某些向量值连续函数的Banach代数之间的连续环同态。特别是，结果提供了一些推广的最近结果之间的向量值Lipschitz代数的单位同态，用不同的方法。
Matrix-valued Aleksandrov--Clark measures and Carathéodory angular derivatives
本文研究矩阵值Aleksandrov-Clark测度族$\{\boldsymbolμ^α\}_{α\in\mathcal{U}(n)}$，它对应于复平面上单位圆上的纯压缩$n\times n$矩阵函数$b$.我们不对$b$作其他先验假设。特别地，$b$可以是非内部的和/或非极端的。这类族的研究主要是从酉有限秩扰动理论的应用出发。$\boldsymbolμ^α$的绝对连续部分的描述是标量情形（$n=1$）的著名结果的相当直接的推广。矩阵值$\boldsymbolμ^α$的奇异部分的结果和证明比标量情况下的奇异部分的结果和证明要复杂得多，这也是本文的主要内容。我们讨论矩阵值Aronszajn-多诺霍理论的奇异部分的克拉克措施，以及Carathéodory角导数的矩阵值函数和它们的连接原子的$\boldsymbolμ^α$。这些结果远远不是标量情形的直接扩展：这里出现了矩阵值情形特有的新现象。在陈述和证明中需要新的思想，包括方向性的概念。
Topological singular set of vector-valued maps, I: Applications to manifold-constrained Sobolev and BV spaces
我们在向量值映射$u$上引入了一个算子$\mathbf{S}$，该算子能够捕获由$u$携带的相关拓扑信息.特别地，该算子被定义在取值于欧几里得空间$\mathbb{R}^m$的闭子流形$N$中的映射上，并且在$N$是球面的情况下与分布雅可比矩阵一致。$\mathbf{S}$的值域是一组映射，其值是系数在适当赋范阿贝尔群中的平坦链。在本文中，我们使用$\mathbf{S}$来刻画光滑的、$N$值映射关于Sobolev范数的强极限，扩展了Pakzad和Rivière的结果。我们还讨论了应用研究流形值映射的有界变差。在一个配套文件中，我们将考虑应用的渐近行为极小的金斯堡-朗道型泛函。
On Differential Properties of Multifunctions Defined Implicitly by Set-Valued Inclusions
本文利用变分分析方法研究了由集值包含隐式定义的集值函数的广义导数的若干性质。集值包含是锥约束系统鲁棒实现的形式化问题，其数据受不确定元素的“粗糙知识”影响，不能用传统的广义方程表示。本研究的重点是在一阶行为的解决方案映射与参数化集值包含，从Lipschitzian属性，然后考虑其图形的衍生物。特别地，一个条件的Aubin连续的解决方案映射建立在定义的包含集值映射的外预导数。本文提出了一大类参数集值灌输，证明了其解映射是凸的。一些相关的后果的图形衍生物进行了探讨。在没有的情况下，公式的内部和外部近似的图形衍生物提供了通过预衍生的问题数据。一个表示有用的计算的解映射的协导数也得到了通过次微分的价值函数。
Lifting functionals defined on maps to measure-valued maps via optimal transport
该研究探讨将映射上的泛函提升为测度值映射上泛函的问题，指出最大凸提升等价于求解含无穷多边缘分布的最优传输问题，且复原依赖雅可比的泛函提升需对提升泛函加可加性限制。
The spectrum of the Hilbert space valued second derivative with general self-adjoint boundary conditions
本文考虑了向量值函数空间上一类与二阶导数有关的自伴椭圆问题。我们提出了两种不同的方法来研究相关的特征值问题。第一个，更一般的一个允许取代世俗方程（这是众所周知的，在某些特殊情况下）由一个抽象的排名条件。后者似乎特别适用于一个特定的边界条件，有时被称为“反基尔霍夫”在文献中，出现在理论的微分算子的图形;它也允许讨论有趣的和更直接的连接之间的频谱的微分算子和一些图论数量。在任何一种情况下，我们的结果产生，除其他外，一些结果的对称性的频谱。
Banach bimodule-valued positive maps: Inequalities and induced representations
本文研究了Banach双模值正映射的诱导表示，并推导了相关不等式。
Lifting for manifold-valued maps of bounded variation
设$\mathcal{N}$是光滑、紧致、连通的无边界黎曼流形.设$\mathcal{E}\to\mathcal{N}$是$\mathcal{N}$的黎曼泛覆盖.对于任何有界的光滑域$Ω\subseteq\mathbb{R}^d$和任何$u\in\mathrm{BV}(Ω, \, \mathcal{N})$，我们证明了$u$具有提升$v\in\mathrm{BV}(Ω, \, \mathcal{E})$ .我们的结果证明了Bethuel和Chiron的一个猜想。
A matrix-valued measure associated to the derivatives of a function of generalised bounded deformation
本文为广义有界变分函数关联了一个推广分布对称梯度的矩阵值测度，证明了其绝对连续、Cantor和跳跃三部分分解，并据此表征了 $GSBD(Ω)$ 空间。
Ordered group-valued probability, positive operators, and integral representations
概率图是在格序阿贝尔群的单位区间取值的加性和归一化图。它们出现在仿射表示理论中，也是哈耶克概率逻辑的语义对应物。本文得到了某些Riesz空间之间概率映射与正算子之间的一个对应关系，从而推广了著名的实值MV-代数态的正线性泛函表示定理.当余域代数包含所有连续函数时，所有概率映射的集合是凸的，我们证明了它的极值点与同态重合。我们还表明，概率图可以被看作是一个集合的状态索引的极大理想的余域代数，我们将此集合在特殊情况下。
Finite order differentiability properties, fixed points and implicit functions over valued fields
证明了值域上任意拓扑向量空间到巴拿赫空间（k至少为2）的C^k-映射的一个隐函数定理.作为一种工具，我们证明了巴拿赫空间的适当收缩族的不动点对参数的C^k依赖性.对k次严格可微映射和k次Lipschitz可微映射也得到了类似的结果。在实际情况下，我们的结果推广了从任意拓扑向量空间到巴拿赫空间的Keller C^k_c-映射的一个隐函数定理.
Linear Selections of Superlinear Set-Valued Maps with some Applications to Analysis
A. Ya.推广了Zaslavskii关于定义在具有插值性质的凸锥（凸集）$K$上的线性（仿射）或超线性（凸）映射$Φ: K \to 2^Y$存在线性（仿射）选择的结果.我们证明了它们在更一般的条件下对映射的值成立，并研究了选择的其他一些性质。这导致了Choquet单形的一个特征在于存在连续仿射选择任意连续凸映射。一些应用分析，包括一个建设，导致存在一个（不一定有界）的解决方案的电晕问题的polydisk $\mathbb D^n$的径向边界值，有界的几乎处处不在的$\mathbb T^n$。
Symbol calculus of square-integrable operator-valued maps
我们开发了一个抽象的框架，调查的量化和反量化程序的基础上正交关系，不一定涉及组表示。为了说明我们的抽象方法的有用性，我们表明，它表现良好的无限张量积。这种构造包含了来自于磁Weyl演算、磁伪微分Weyl演算、局部紧阿贝尔群上的元表示、与某些特殊无限维李群的有限维余伴轨道相关的不可约表示以及幂零李群的任意不可约表示所共享的平方可积性质的研究的例子。
Quantum Kolmogorov--Arnold representation theorem for continuous unitary-valued maps
研究连续酉值映射的量子柯尔莫哥洛夫 - 阿诺德表示定理，通过反厄米值映射矩阵指数内的精确加法分解及酉映射的有限序列积等方法，给出两个定理并以反例表明局部定理不能全局扩展。
Semilinear Neumann boundary value problems for measure-valued maps
本文研究带非齐次Neumann边界条件的非线性Poisson系统的Wasserstein提升，证明极小元存在性并推导最优性条件，发现高维中会出现测度值极小元，且提升问题与经典问题最小值不同，属非线性椭圆理论新现象。
Operator-valued maximal $f$-divergences for completely positive maps
该研究引入冯·诺依曼代数间完全正映射的算子值极大f-散度，证明其多项性质，解答Hiai的开放问题，推导其与BS相对熵、信道散度的关系并给出有限维实例公式。
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