Maximal equicontinuous factors and cohomology for tiling spaces
本文研究了镶嵌空间的极大等度连续因子映射在上同调上诱导的同态。我们将看到这个映射是一次内射的，并且有无挠的上核。然而，我们通过例子表明，最大等度连续因子的上同调可能不是平铺上同调的直接和项。
2012-04-06 math.DS
Cohomology in one-dimensional substitution tiling spaces
Anderson和Putnam证明了一个替换瓦片空间的上同调可以通过给瓦片加领来计算，以获得一个“强制”其边界的替换。然后，我们可以将平铺空间表示为由有领瓦片形成的细胞复形上的膨胀和替换映射的逆极限;平铺空间的上同调被计算为复形的上同调上的膨胀和替换引起的同态的直接极限。对于一维替代平铺空间，我们描述了一个修改的Anderson-Putnam复杂的领瓷砖，允许更容易的计算，并提供了一种手段，确定某些特殊功能的平铺空间与特定元素的上同调。
2007-02-22 math.DS math.GN
Fusion: A general framework for hierarchical tilings
一种研究得很好的构建准晶瓦片的方法是通过膨胀和细分（a.k.a.替代）规则。这些产生自相似的平铺-彭罗斯，八角形和风车平铺是著名的例子。我们提出了一个不同的模型，我们称之为“融合规则”的分层平铺。膨胀和细分规则是融合规则的一种特殊情况，但一般的融合规则更灵活，允许缺陷，几何形状的变化，甚至约束随机性。讨论了融合镶嵌空间产生齐次结构的条件和计算频率的方法。
2013-11-21 math-ph math.DS math.MP
Comparing different versions of tiling cohomology
我们建立直接同构之间的不同版本的平铺上同调。第一个版本是Anderson-Putnam-Gähler复形中逼近子的上同调的直接极限，第二个版本是最近引入的Bellissard和Savinien的PV-上同调，第三个版本是模式等变上同调。对于后两个版本，可以定义弱上同调群。我们证明了同构扩展到弱版本。这导致了一种替代配方的模式等变混合商群，它描述了变形的平铺模拓扑共轭。
2010-05-31 math.DS
Cohomology of Substitution Tiling Spaces
Anderson和Putnam证明了一个替换瓦片空间的上同调可以通过对瓦片进行领化来计算，以获得一个“强迫其边界”的替换。然后，人们可以将平铺空间表示为由有领瓦片形成的细胞复形上的膨胀和替换映射的逆极限;平铺空间的上同调被计算为复形的上同调上的膨胀和替换引起的同态的直接极限。在早期的工作中，Barge和Diamond描述了一维替换瓦片空间的有领瓦片上的Anderson-Putnam复形的修改，它允许更容易的计算，并提供了一种识别瓦片空间的某些特殊特征与上同调的特定元素的方法。在本文中，我们将这种修改后的结构扩展到更高的维度。我们还研究了旋转群对上同调的作用，并计算了风车平铺空间的上同调。
2018-07-06 math.DS math.GN
Cohomology of the Pinwheel Tiling
我们提供了一个计算上同调的风车平铺使用安德森-普特南复杂。一个边界强迫版本的风车瓷砖的构造，允许一个明确的建设复杂的连续船体的商由圆。最终结果使用Barge、Diamond、Hunton和Sadun的谱序列参数给出。
2012-12-18 math.DS
Complexity and cohomology for cut and projection tilings
我们考虑一个子类的镶嵌，镶嵌得到的切割和投影。在一些标准的假设下，我们证明了自然复杂性函数具有多项式增长。我们根据出现在构造中的某些群的秩来计算它的指数α。我们给出了α的界。这些计算适用于一些众所周知的平铺，如八边形平铺，或与台球序列相关的平铺。一个链接之间的指数的复杂性，以及事实上，相关的平铺空间的上同调是在\Q上生成的。我们表明，这样的联系不能建立更一般的tilings，我们提出了一个反例在一维。
2008-04-01 math.CO math.DS
PV cohomology of pinwheel tilings, their integer group of coinvariants and gap-labelling
在本文中，我们首先提醒我们如何可以看到“壳”的风车平铺作为一个逆极限的单纯复形（安德森和普特南），然后我们适应PV上同调引入Bellissard和Savinien的一份文件中定义它的风车平铺。然后我们证明了这个上同调同构于由$S^1$的包的商的整数Čech上同调，这让我们证明了包的顶部整数Čech上同调实际上是包的某些断面上的共不变量的整数群。最后，我们证明了风车镶嵌的间隙标记，并通过一个明确的计算来结束这篇文章，表明$μ^t \big(C(Ξ,\ZZ) \big) = \dfrac{1}{264} \ZZ [\dfrac{1}{5}]$。
2009-06-12 math.AT math.DS math.KT
Cohomology of the continuous hull of a combinatorial pentagonal tiling
在文章“Construction of the continuous hull for the combinatorics of a regular pentagonal tiling of the plane”中，我们为“A regular pentagonal tiling of the plane”的组合构造了连续壳，在文章“Continuous hull of a combinatorial pentagonal tiling as an inverse limit”中，我们展示了如何将此壳写成一个inverse limit。在本文中，我们展示了如何计算的上同调的外壳和它的拓扑K理论。
2013-05-05 math.DS math.OA
Tiling deformations, cohomology, and orbit equivalence of tiling spaces
我们研究有限的局部复杂性（FLC），其中$d$维子移位的悬挂同胚空间，和（可能）无限的局部复杂性（ILC）的平铺空间的轨道等价。在FLC的情况下，我们构造了同胚的上同调不变量，并证明了所有同胚是平铺变形，平移和局部等价（MLD）的组合。在ILC的情况下，我们构建了一个上同调不变量在所谓的弱上同调，并表明，所有的轨道等价的组合平铺变形，平移，拓扑共轭。这些推广的Parry和Sullivan的结果到更高的维度。当平铺空间是唯一遍历时，我们证明了同胚（FLC）或轨道等价（ILC）是完全参数化的适当的上同调不变量。我们还表明，在适当的上同调条件下，连续映射之间的瓷砖空间是同伦的瓷砖变形的组合物，无论是局部导子（FLC）或因子映射（ILC）。
2018-07-06 math.DS
Cohomology of One-dimensional Mixed Substitution Tiling Spaces
我们计算的切赫上同调与整数系数的一维平铺空间所产生的不只是一个，但几个不同的替代，所有的作用在同一组瓦片。这些计算涉及到安德森-普特南复形的普遍版本的介绍。证明了在一定的置换条件下，这种泛Anderson-Putnam复形的投射极限与平铺空间同构，并引入了一种简化的泛Anderson-Putnam复形，它可用于计算Cech上同调.然后，我们使用这个简化的复杂的放置在一个一维的替代瓷砖空间的第一个上同调群的瓷砖的数量方面的秩的界限。
2012-03-06 math.DS math.GN
Pattern Equivariant Mass Transport in Aperiodic Tilings and Cohomology
假设我们有$\mathbb{R}^n$的重复和非周期性平铺$\bf T$，以及$\mathbb{R}^n$上的两个质量分布$f_1$和$f_2$，每个模式相对于$\bf T$等变。在什么情况下可以进行从$f_1$到$f_2$的有界传输？什么时候才有可能以强或弱模式等变的方式进行这种传输呢？我们减少这些问题的属性的\v切赫上同调的外壳$\bf T$，在大多数常见的例子中的属性已经很好地理解。
2018-09-26 math.DS
New results on tilings via cup products and Chern characters on tiling spaces
University of Texas at Austin（德克萨斯大学奥斯汀分校）；University of Maryland, College Park（马里兰大学帕克分校）
本文通过计算机辅助方法研究瓷砖空间的上同调环，发现具有同构上同调群但不同上同调环的替换镶嵌例子，探讨了等价间隙标记猜想在高维空间中的失效可能性。
2025-04-24 math.AT math.DS math.KT
Pattern-Equivariant Cohomology with Integer Coefficients
我们与Kellendonk和普特南的模式等变（PE）上同调的逆极限结构的平铺空间。这给出了一个版本的PE上同调与整数系数，或与系数在任何阿贝尔群。它还提供了一个简单的证明Kellendonk和Putnam的原始定理有关PE上同调的切赫上同调的平铺空间。逆极限结构还允许构造一个新的非阿贝尔不变量，即PE表示变量。
2018-07-06 math-ph math.DS math.KT
K-theory of crossed products of tiling C*-algebras by rotation groups
设$Ω$是一个平铺空间，$G$是固定$Ω$的最大旋转群。然后$Ω$和$Ω/G$的上同调都是不变量，它们给出了关于$Ω$中镶嵌的有用几何信息。$Ω$的上同调的非交换类似物是与$Ω$相关联的C* 代数的K-理论，并且对于维数为2或更小的有限镶嵌，K-理论同构于上同调群的直和。本文给出了计算$Ω/G$的上同调的非交换模拟的一个公式，即平铺C* 代数与$G$的交叉积的K-理论.我们还提供了一个表格，其中包含许多常见示例的一些计算K群，包括彭罗斯和风车平铺。
2013-10-21 math.DS math.OA
A Homeomorphism Invariant for Substitution Tiling Spaces
我们推导出同胚不变量的瓷砖空间，而一般的替代规则多边形瓷砖，包括那些瓷砖，如风车，其中包含瓷砖在无限多个方向。不变量是切赫上同调的商，很容易直接从替换规则计算，并区分许多例子，包括大多数风车状平铺空间。我们还介绍了一种上同调模的结构，这种结构既方便又直观。
2000-08-22 math.AT math.DS math.KT
A Spectral Sequence for the K-theory of Tiling Spaces
令$\Tt$是具有有限局部复杂度的$\RM^d$的非周期性和重复的平铺。我们提出了一个谱序列，收敛到$K$ -理论的$\Tt$与$E_2$ -页给出了一个新的上同调，将被称为PV在参考Pimsner-Voiculescu精确序列。它是塞尔谱序列的推广。$\Tt$的PV上同调推广了纤维化的底空间的上同调，其纤维具有纤维的$K$ -理论中的局部系数。我们证明了它同构于$\Tt$的壳的Čech上同调（其平移族的紧化）。
2009-06-05 math.DS math.KT
Fusion: a general framework for hierarchical tilings of $R^d$
我们介绍了一种形式主义处理一般空间的层次平铺，一类，包括替代平铺，Bratteli-Vershik系统，S-adic变换，和多维切割和堆叠变换。我们探讨这些空间的遍历性，谱和拓扑性质。我们表明，熟悉的性质的替代平铺进行适当的假设下，并给出反例，这些假设不满足。例如，我们证明了一个极小的平铺空间不是唯一遍历的，其中一个遍历测度具有纯点谱，另一个遍历测度具有混合谱。我们还展示了一个2维平铺空间，具有纯点测度理论谱，但拓扑弱混合。
2018-07-06 math.DS
Topology of (some) tiling spaces without finite local complexity
平铺理论的一个基本假设是相邻的瓦片只能以有限的方式相遇，直到刚性运动。然而，有许多有趣的平铺空间不具有此属性。它们有“断层线”，沿着这些断层线，瓷砖可以相互滑动。我们调查的拓扑结构的某一类这种类型的平铺空间。我们证明了它们可以写成CW复形的逆极限，并且它们的Cech上同调与断层线的性质有关。
2007-01-15 math-ph math.DS math.MP
Tilings, tiling spaces and topology
为了理解非周期镶嵌（或在非周期镶嵌上建模的准晶），我们构造了一个类似镶嵌的空间，平移群自然地作用于该空间。这个空间就是一个（抽象的）动力系统。空间的动力学性质（如混合，或平移算子的谱）与单个镶嵌的整体性质（如衍射图案）密切相关。平铺空间的拓扑，特别是切赫上同调，给出了原始平铺如何变形的信息。平铺空间可以构造为分支流形的逆极限。
2018-07-06 math-ph math.DS math.MG
Introduction to hierarchical tiling dynamical systems
本文用平铺动力系统方法研究非周期序。我们比较和对比四种相关类型的系统：普通（一维）符号系统，一维瓷砖系统，多维$Z^d$系统，多维瓷砖系统。非周期性有序结构在本质上通常是分层的，并且有许多不同但相关的方法来定义它们。我们将专注于我们所谓的“超瓦片构造方法”：一维和多维的符号替换，S-adic序列，自相似和伪自相似瓦片，以及融合规则。这些系统的动力学分析的技术进行了讨论，并调查了一些结果。最后，我们从动力学和衍射的角度讨论了超瓦系统的光谱理论。
2021-04-06 math.DS
Matching Rules for Substitution and Hierarchical Tilings for any Substitution with Finite Local Complexity
Moscow State University（莫斯科大学）；HSE University（高等经济大学）；Yandex
提出一个简化条件的Goodman-Strauss定理版本：替换拼图族具有有限局部复杂性（FLC）时，可通过局部匹配规则定义，并证明层次拼图族也有类似定理。
2026-08-11 math.DS
Substitution rules and topological properties of the Robinson tilings
一个相对简单的替代罗宾逊平铺，它只需要56瓷砖的翻译。在这个替代中，由于琼M。泰勒，相邻的瓦片被替换为部分重叠的瓦片片。我们发现，这种重叠的替代产生一个正常的原始替代以及，这意味着罗宾逊平铺形成一个模型集，从而有纯点衍射。通过Anderson-Putnam方法计算了Robinson镶嵌的壳的Cech上同调，以及置换作用在壳上的动态zeta函数。动态zeta函数，然后用于获得船体的结构的详细描述，将其与上同调群的功能。
2012-10-24 math.DS
Rotation numbers and rotation classes on one-dimensional tiling spaces
将圆映射的旋转理论推广到平铺空间。具体地说，我们考虑一个1维平铺空间$Ω$有限的局部复杂性和研究自映射$F$是同伦的身份和其位移是强模式等变（sPE）。我们定义一个上同调类$[μ]$来代替熟悉的旋转数。我们证明存在性和唯一性的结果，这一类，发展的概念，不合理性，并证明了一个类似的庞卡雷定理：如果$[μ]$是不合理的，那么$F$是半共轭均匀平移空间$Ω_μ$的平铺是同胚的$Ω$。在这种情况下，$F$半共轭到$Ω$自身上的一致平移当且仅当$[μ]$位于$Ω$的第一上同调群的某个子空间中。
2020-09-07 math.DS
Pattern equivariant functions, deformations and equivalence of tiling spaces
本文利用P-等变上同调重新研究了镶嵌的形变理论。特别是，我们涉及的概念渐近忽略形状功能介绍克拉克和萨顿弱P-等变形式。然后，我们更密切地研究模式空间的同胚或拓扑共轭与模式的变形之间的关系。
2007-03-06 math.DS
Simple Tilings of Riemannian Homogeneous Spaces
本文定义了Riemannian simplex铺砌为简单铺砌，并证明了此类铺砌与简单铺砌在某些条件下同胚，同时展示了其在nilpotent Lie groups中的应用。
2026-10-26 math.DS math.MG
Geometric realization for substitution tilings
给定一个n维替换，其线性展开式是幺模双曲的，我们利用其一维整数Čech上同调的元素，构造了替换诱导动力学与双曲环体自同构的不变集之间的有限对一的半共轭，称为几何实现.若线性展开满足Pisot族条件，且广义返回向量模的秩等于线性展开的广义度，则几何实现的象是整个环面，并与平铺空间上平移作用到最大等度连续因子上的映上重合.得到了Pisot代换猜想的一个高维推广：若线性展开满足Pisot族条件，且平铺空间的一维上同调的秩等于线性展开的广义度，则平铺空间上的平移作用具有纯离散谱.
2011-11-28 math.DS
When Shape Matters: Deformations of Tiling Spaces
我们研究平铺动力系统的动力学及其变形。如果两个镶嵌系统具有相同的组合，则镶嵌空间是同胚的，但它们的动力学性质可能不同。存在从瓦片的可能形状的参数空间到模型瓦片空间的$H^1$的自然映射${\mathcal I}$，其中值在${\mathbb R}^d$中。在${\mathcal I}$下具有相同图像的两个平铺空间是相互局部可导的（MLD）。当图像的差异是“渐近可忽略的”，那么平铺动态拓扑共轭，但一般不是MLD。对于替换tilings，我们给出了一个简单的测试上同调类是渐近可忽略的，并表明，只有当${\mathcal I}$的图像中的变化是渐近可忽略的拓扑共轭动力学的形状的无穷小变形的结果。最后，我们给出了（变形的）置换镶嵌空间是拓扑弱混合的判据。
2018-07-09 math-ph math.DS math.MG
How big is a tiling's return module?
本文研究平铺返回模的秩与瓦片几何的关系，证明其非拓扑不变量，并利用第一切赫上同调的秩给出上下界，最终在一般瓦片形状和足够大补丁条件下证明两者相等。
2024-06-11 math.DS
Isomorphism of Hierarchical Structures
我们考虑层次结构，如斐波那契序列和彭罗斯平铺，并检查同构的定义的不同选择的后果。特别是，我们讨论的作用，这样的选择方面的匹配规则，这样的结构。
2018-07-09 math-ph math.DS math.MP
Topology of the Random Fibonacci Tiling Space
该研究探讨了0<p<1参数下局部随机斐波那契替换平铺空间的拓扑性质，证明其Čech上同调群非有限生成，与全局随机替换情形存在差异，丰富了随机替换平铺拓扑领域的研究结论。
2013-12-17 math.DS math.GN
Combinatorics and topology of the Robinson tiling
我们研究的空间的所有tilings可以得到使用罗宾逊瓷砖（这是一个二维子移位的有限型）。我们证明了它有唯一的极小子移位，并通过一个替换来描述它。这种描述允许计算它的上同调群，并证明它是一个模型集。
2012-03-07 math.CO math.DS
Random Substitution Tilings and Deviation Phenomena
本文研究在 N 种替换规则下随机生成的 R^d 镶嵌，证明其空间具有康托集结构，并利用重整化上循环的李雅普诺夫谱刻画遍历平均偏差与统计性质。
2019-02-24 math.DS
Factors of Pisot tiling spaces and the coincidence rank conjecture
本文研究了Pisot置换平铺空间的结构，特别是平移作用不具有纯离散谱的空间的结构。这样的空间总是一个可测的m到1覆盖的平移作用的一个群称为最大等度连续的因素。整数m是替换的重合秩，当且仅当平铺空间上的平移具有纯离散谱时，m等于1。通过考虑介于平铺空间和它的极大等度连续因子之间的因子，建立了具有重合秩2和奇模扩张的一维Pisot置换平铺空间的上同调的一个下界.符合秩猜想，对于符合秩2，是一个推论。
2013-01-29 math.DS
Beyond primitivity for one-dimensional substitution subshifts and tiling spaces
我们研究了一维非本原替换的子移位和平铺空间的拓扑和动力学。我们确定了一个属性的替代，我们称之为驯服，在存在的大多数可能的病理行为的非最小的替代不能发生。我们发现了驯服的一个特征，并利用它来证明杜兰德结果的一个稍微强一些的版本，杜兰德的结果说，最小替换的子移位与本原替换的子移位拓扑共轭。然后，我们推广到非最小设置的结果由安德森和Putnam的原始替代，这说，一个替代平铺空间同胚到一个特定的有限图的逆极限下的自映射诱导的替代。我们使用这个结果来探索结构的封闭的不变子空间和替代平铺空间，我们计算上同调不变量，更强的切赫上同调的平铺空间单独的格子。
2017-07-17 math.AT math.DS
Recognisability for generalised hierarchical pattern spaces of finite local complexity
School of Mathematical Sciences, Mathematical Sciences Building, University Park, Nottingham, NG7 2RD, United Kingdom（数学科学学院，诺丁汉大学）
本文发展了一个欧几里得模式与模式空间的广义框架，证明了在无最小性要求下，自仿射替换模式空间的可识别性，并回答了Cortez和Solomyak关于非周期拼图在替换下是否具有唯一原像的开放问题。
2026-05-28 math.DS
Homological Pisot Substitutions and Exact Regularity
我们考虑一维替换平铺空间的扩张（拉伸因子）是一个度d Pisot数，第一个合理的切赫上同调是d维的。我们构建的例子，这样的“同源皮索”取代不具有纯离散光谱。这些例子是不是unimodular，我们猜想，重合秩必须始终划分的权力规范的扩张。为了支持这一猜想，我们表明，同源皮索替代表现出一个精确的正则性属性（ERP），其中出现的补丁的返回长度的数量是严格由长度。ERP对对应的平铺空间中的任何柱集的测量施加了强约束。
2018-07-06 math.AT math.DS
