一个平铺的返回模有多大？
How big is a tiling's return module?
AI总结：
本文研究平铺返回模的秩与瓦片几何的关系，证明其非拓扑不变量，并利用第一切赫上同调的秩给出上下界，最终在一般瓦片形状和足够大补丁条件下证明两者相等。
摘要：
一个平铺的返回模的秩取决于其瓦片的几何形状，并非拓扑不变量。然而，第一切赫上同调 $\check H^1(Ω)$ 的秩为返回模的大小提供了上界和下界。对于所有足够大的补丁，返回模的秩至多与上同调的秩相同。对于瓦片形状的一般选择以及任意参考补丁，返回模的秩至少为 $\check H^1(Ω)$ 的秩。因此，对于一般的瓦片形状和足够大的补丁，返回模的秩等于 $\check H^1(Ω)$ 的秩。
英文摘要：
The rank of a tiling's return module depends on the geometry of its tiles and is not a topological invariant. However, the rank of the first \v Cech cohomology $\check H^1(Ω)$ gives upper and lower bounds for the size of the return module. For all sufficiently large patches, the rank of the return module is at most the same as the rank of the cohomology. For a generic choice of tile shapes and an arbitrary reference patch, the rank of the return module is at least the rank of $\check H^1(Ω)$. Therefore, for generic tile shapes and sufficiently large patches, the rank of the return module is equal to the rank of $\check H^1(Ω)$.
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