Tight complexes in 3-space admit perfect discrete Morse functions
1967年，Chillingworth证明了所有的凸单纯3-球都是可塌缩的。使用经典的概念的紧密性，我们推广到任意流形：我们表明，所有紧单纯3-流形承认一些完美的离散莫尔斯函数。我们还通过证明所有的凸单纯3-球都是非回避的来加强Chillingworth定理。相比之下，我们表明，许多非回避3球不是凸的。
2012-04-07 math.CO math.GT
Collapsibility of Random Clique Complexes
我们证明了一个充分条件，有限团复杂的$k$维复杂的崩溃，并使用此展示阈值的$(k+1)$ -可扩展性在稀疏随机团复杂。特别地，如果团复形$X$的每个强连通的纯$(k+1)$维子复形的顶点次数至多为$2k+1$，则$X$是$(k+1)$ -可塌缩的。在Erdens-Rényi随机图$G(n,p)$的团复形的随机模型$X(n,p)$中，我们证明了对于任何固定的$k\geq 0$，如果$p=n^{-α}$对于固定的$1/(k+1) < α< 1/k$，那么团复形$X\overset{dist}{=} X(n,p)$是$(k+1)$ -可塌缩的概率很高.
2019-03-12 math.AT math.CO
Extensions of the Colorful Helly Theorem for $d$-collapsible and $d$-Leray complexes
本文推广了$d$-可坍缩和$d$-Leray复形的彩色Helly定理，统一了多个现有版本，并以此推导出Tverberg定理的扩展形式。
2023-05-21 math.CO
The worst way to collapse a simplex
一般来说，可收缩的复合体不需要是可折叠的。此外，还存在着可塌缩的复形，但即使如此，它也承认一个塌缩序列，在那里人们“卡住”了，也就是说，人们可以选择这样一种方式来塌缩，即人们到达一个不允许塌缩移动的非平凡复形。在这里，我们研究这种现象的情况下，一个单纯形。特别是，我们表征所有值的$n$和$d$，使n-单纯形可以崩溃的d-复杂的，没有进一步的崩溃是可能的。等价地，在树的高维推广的语言，我们构造超树是防崩溃的，但不是可折叠的。此外，我们还研究了随机单纯复形的抗崩溃性。
2020-08-13 math.AT math.CO math.PR
Discrete Morse-Bott theory for CW complexes
我们推导了CW复形上Morse-Bott理论的一个离散模拟，并利用这个离散Morse-Bott函数进行了Conley理论分析。事实证明，我们的离散Morse-Bott理论确实是Forman离散莫尔斯理论的推广。
2017-11-29 math.CO math.GT
Collapsibility of non-cover complexes of graphs
给定一个图$G$，$G$的非覆盖复形是$G$的独立复形的组合Alexander对偶。Aharoni问，如果图$G$没有孤立点的非覆盖复形是$(|V(G)|-i γ(G)-1)$ -可折叠的，其中$i γ(G)$表示$G$的独立控制数。第二作者证实了Aharoni的问题在弦图中是肯定的，推广了第二作者的一个结果，我们证明了这个问题的答案对于所有的图都是肯定的。也就是说，我们证明了对于图$G$，图$G$的非覆盖复形是$(|V(G)|-i γ(G)-1)$ -可折叠的。
2019-04-23 math.CO
The Connectedness Homomorphism between Discrete Morse Complexes
本研究提出离散Morse复形间的连通性同态概念，构建了链复形层面研究离散Morse理论连通性的新框架，可描述Morse复形尖点退化的离散类比，并完成了光滑与离散情形的精确对比。
2024-07-12 math.AT math.CO
Polyhedral Representation of Discrete Morse Functions on Regular CW Complexes and Posets
证明了有限正则CW复形上的Forman意义下的离散Morse函数都可以表示为CW复形的重心重分在欧几里得空间中适当嵌入的Banchoff意义下的多面体Morse函数，这种表示保持了临界点.证明是在一类偏序集的离散莫尔斯函数，这是稍微广泛的一类面偏序集的有限定期CW复杂。
2010-08-22 math.CO math.GT
Morse shellings and compatible discrete Morse functions
本文在有限单纯复形上引入Morse壳（和平铺）的概念，推广了经典的Morse壳（和平铺）的概念及其与离散莫尔斯理论的关系，证明了Morse可壳（或可平铺）单纯复形的子核和重心重分是Morse可壳（或可平铺）的.此外，每个三角剖分的闭曲面是Morse可壳的，而每个闭合的三流形携带Morse可壳三角剖分。最后，任何脱壳编码一类离散莫尔斯函数，其临界点与脱壳的临界瓦片一一对应，保持索引。
2021-01-22 math.AT math.CO math.GT
d-collapsibility is NP-complete for d greater or equal to 4
一个单纯复形是d-可塌缩的，如果它可以通过反复移除（塌缩）一个包含在唯一极大面中的维数至多为d-1的面而被简化为空复形。我们证明了一个给定的单纯复形是否d-可塌缩的算法问题是NP-完全的（d ≥ 4）和多项式时间可解的（d ≤ 2）。作为一个中间步骤，我们证明了，d-可识别的贪婪算法的d最多为2，但贪婪算法不工作的d大于或等于3。一个单纯复形是d-可表示的，如果它是R^d中凸集集合的神经。研究d-可折叠复形的主要动机是每个d-可表示复形都是d-可折叠的。我们还观察到，已知的结果意味着类比算法问题的d-可表示的复合物是NP-难的d大于或等于2。
2010-06-23 math.CO
Discrete Morse theory for moment-angle complexes of pairs (D^n,S^{n-1})
对于有限单纯复形K和CW-对（X，A），存在一个相应的CW-复形Z_K（X，A），称为多面体积。本文将离散的莫尔斯理论应用于n维球矩角复形Z_K（D^{n}，S^{n-1}）上的一个特殊CW结构。对于顶点可分解的n维单纯复形，证明了n维球矩角复形具有球楔的同伦型.作为一个推论，我们表明，一个足够高的悬挂的任何限制的单纯复形与顶点可分解的对偶同伦等价的楔形球。
2012-12-20 math.AT math.CO
Discrete Morse Complexes
本文研究了Forman定义的单纯复形上离散Morse函数集的性质。不难看出，有限单纯复形的离散莫尔斯函数的配对又形成了一个单纯复形，即离散莫尔斯复形。原来，几个已知的结果，从组合拓扑学和枚举组合，这以前似乎是无关的，可以重新解释这些离散的莫尔斯复。
2000-11-28 math.CO
Discrete Morse theory for symmetric Delta-complexes
本文将Forman的离散莫尔斯理论推广到对称$Δ$ -复形的情形。作为一个应用，我们证明了在模空间的主要极化热带阿贝尔簇的尺寸$g$关于完美的锥分解的原产地$LA^{\mathrm{trop},\mathrm{P}}_g$链接的coloop子复形是可收缩的。
2022-09-02 math.CO
Some remarks on Morse theory for posets, homological Morse theory and finite manifolds
我们介绍一个版本的离散莫尔斯理论偏序集。该理论从X上容许匹配的临界点出发，研究了h-正则偏序集X的序复形K（X）的拓扑。我们的方法与R有关。Forman关于CW-复形的离散莫尔斯理论，推广了Forman和Chari关于正则CW-复形的面偏序集的结果.我们还介绍了一个同调变体的理论，可用于研究的拓扑结构的可三角化的同调流形通过其顺序三角剖分。
2012-05-10 math.AT math.CO
The threshold for collapsibility in random complexes
本文确定了$d$ -维单纯复形的概率模型$X_d(n,p)$的可解性阈值。在\cite{ALLM}中确定了该阈值$p=\frac{c_d}{n}$的下界。在这里，我们证明这确实是正确的阈值。也就是说，对于每一个$c>c_d$，从$X_d(n,\frac{c}{n})$得到的复形几乎肯定是渐近不可塌缩的。
2013-07-10 math.CO math.PR
Morse-Bott inequalities on Lefschetz complexes
Saitama University（埼玉大学）
本文为Lefschetz复形建立离散Morse-Bott理论，通过四种保持余数级数的移动进行约简，计算Morse-Bott不等式系数及Betti数，并证明系数非负性，适用于CW复形。
2026-09-29 math.AT math.CO
Witten-Morse functions and Morse inequalities on digraphs
本文证明了有向图上的离散Morse函数是平坦的Witten-Morse函数，传递有向图的Witten复形逼近Morse复形。我们构造了一个链复形，它由路的形式线性组合组成，这些路既是传递闭包的临界路，又是有向图的允许基本路，并证明了新的链复形的同调与路同调同构.在上述结果的基础上，我们给出了有向图的Morse不等式。
2021-08-18 math.AT math.CO
Integration of vector fields on cell complexes and Morse theory
本文研究多面体复形上的向量场及其相应的轨线。本文研究光滑情形下与函数的梯度向量场类似的向量场。我们的目标是定义这样的向量场的轨迹的一个好的理论，使得它们的集合捕获多面体复合体的拓扑，如在经典的莫尔斯理论中那样。由于我们不假设多面体复形是流形，因此其上的向量场的定义与光滑情况有很大不同。然而，我们将证明，存在很好的类的功能和度量，使梯度向量场所需的性质。我们的结构依赖于福尔曼的离散莫尔斯理论。特别是，我们使用的函数类是福尔曼离散莫尔斯函数的改进。我们的理论的一个显着特点是，我们的梯度向量场是纯粹从函数和度量定义的光滑的情况下，相反的情况下，离散的莫尔斯理论，我们需要的数据的尺寸的细胞。这使我们能够实现几个有用的结构，这些结构在离散情况下是不可用的。
2021-09-08 math.AT math.CO
Spectral sequences of a Morse shelling
我们最近介绍了有限相对单纯复形的几何实现的平铺的概念，并将这些平铺与R的离散莫尔斯理论联系起来。Forman，特别是当它们具有可壳的性质时，这是经典可壳复形所共有的性质。我们现在观察到，每一个这样的瓷砖支持一个非循环的，正是当瓷砖是shellable，然后，每一个shelling诱导两个谱序列收敛到相对（共）的同源性的复杂。它们的第一页是平铺的关键平铺上的自由模。
2021-11-29 math.AT math.CO math.GT
Generalized chessboard complexes and discrete Morse theory
棋盘复合物及其推广，作为对象，离散莫尔斯理论，作为一种工具，提出了作为一个统一的主题，连接不同领域的几何，拓扑，代数和组合。本文证明了Edmonds和Fulkerson瓶颈（minmax）定理，并将其解释为关于伴随单纯复形$K$的Bier球面上离散Morse函数临界点的结果.我们说明了使用“标准离散莫尔斯函数”的广义棋盘复证明棋盘复的连通性结果的多重性。应用程序包括新的Tverberg-范坎彭-弗洛雷斯型结果$j$明智的不相交分区的一个单纯形。
2020-03-09 math.CO math.MG
Leray numbers of tolerance complexes
设$K$是顶点集$V$上的单纯复形.如果$K$的任何诱导子复形的同调群在维数$d$或更高的维数上是平凡的，则$K$称为$d$ -Leray。$K$称为$d$ -可折叠的，如果它可以通过顺序地移除包含在唯一极大面中的大小至多为$d$的单形而被简化为空复形。定义$K$的$t$ -容差复形$\mathcal{T}_t(K)$为顶点集$V$上的单纯复形，其单纯形由$K$中的一个单纯形与大小至多为$t$的一个集合的并集构成.证明了对任何$d$和$t$，存在正整数$h(t,d)$，使得对任何$d$ -可塌复形$K$，$t$ -容差复形$\mathcal{T}_t(K)$是$h(t,d)$ -Leray.复$\mathcal{T}_t(K)$的定义是由蒙特哈诺和奥利维罗斯关于“容忍”版本的海利定理的结果所激发的。作为应用，我们提出了一些新的宽容版本的彩色Helly定理。
2021-09-07 math.CO
Greedy Morse matchings and discrete smoothness
离散的莫尔斯理论成为计算几何和拓扑学的重要工具。它的核心结构是离散梯度场，定义为复$C$上的非循环匹配，由此可以有效地计算$C$的拓扑和几何信息，特别是它的同调或Morse-Smale分解.给定在$C$上采样的函数$f$，可以导出模拟$f$的动态的离散梯度。许多这样的构造是基于给定适当权重的相邻单元的贪婪配对的某种变体。然而，证明$f$的动力学被该过程正确地捕获通常是复杂的。这项工作引入了离散光滑的概念对$(f,C)$，作为一个最小的采样条件，以确保离散梯度是几何上忠实于$f$。更确切地说，从一个函数$f$上的多面体复杂$C$的任何尺寸的离散梯度建设进行了研究，导致理论保证之前的离散光滑性假设。这些结果，然后扩展和完成光滑的情况下。作为应用，给出了CAT（0）立方复形可塌缩的一个纯组合证明。
2018-01-30 cs.CG cs.DM math.CO
Vertex decompositions of two-dimensional complexes and graphs
我们研究了二维单纯复形的顶点分解定义的家庭。它们包括nonevasive复合物，Barmak和Miniam的强烈可塌缩复合物以及Harary和Palmer的2-树的类似物。我们调查的复杂性，这些家庭和他们的一些组合性质的识别问题。某些结果遵循类似的图的分解技术。例如，我们证明了它是NP-完全的决定，如果一个图可以减少到一个离散图的一系列删除度为3的顶点。
2011-02-21 math.CO
On The Discrete Morse Functions for Hypergraphs
从单纯复形中删除一些非极大单纯形可以得到超图。本文研究超图的嵌入同调和（下）伴单纯复形的同调。我们推广了单纯复形上的离散Morse函数。研究了超图上的离散Morse函数以及超图的（下）相伴单纯复形上的离散Morse函数。
2021-08-05 math.CO
On optimizing discrete Morse functions
福尔曼介绍了离散莫尔斯理论作为一种工具，研究CW复杂的基本上崩溃他们到更小的，更容易理解复杂的关键细胞在[Fo]。在[Ch]中，Chari重新表述了正则胞腔复形在面偏序集上的非循环匹配的离散莫尔斯理论。本文解决了两个问题：（1）在什么条件下，离散Morse函数中的几条梯度路径可以同时被反转，从而消除几对临界胞元，使复形进一步坍缩;（2）如何使用排列的字典序第一约化表达式（在[Ed]的意义上）使（1）对偏序集序复形实用。应用程序包括科恩-Macaulayness的一个新的偏序，最近推出的Remmel，对对称群（通过细化的基础分区成周期），以及一个简单的新的证明同伦类型的间隔弱序的对称群。其他应用程序显示在[HW]中。
2018-08-23 math.AT math.CO
Corrigendum to "Topology of matching complexes of complete graphs via discrete Morse theory'' [arXiv:2305.02973, Discrete Math. Theor. Comput. Sci. 26:3#13 (2024)]
本文是对完全图匹配复形拓扑研究的勘误，指出Conjecture 5.1动机有误，并证明了更强的定理反驳该猜想，同时在阶为7的完全图匹配复形上获得了最优梯度向量场。
2025-05-02 math.AT math.CO
On discrete gradient vector fields and Laplacians of simplicial complexes
离散莫尔斯理论是一种类似于光滑莫尔斯理论的胞腔复形，自1998年罗宾·福尔曼最初提出以来，在过去的几十年里已经发展起来。特别地，单纯复形上的离散梯度向量场捕获了离散Morse函数的重要特征。证明了当复形是一个图或一个可定向流形的三角形时，复单纯复形的Laplacian矩阵的特征多项式是离散Morse函数的离散梯度向量场的生成函数.此外，我们提供了一个完整的表征之间的对应关系，在更高的维度和离散梯度向量场扎根森林。
2022-07-02 math.AT math.CO
Morse-Smale complexes on convex polyhedra
受地貌学应用驱动，本文将Morse-Smale理论拓展至定义三维凸多面体的径向距离函数，分析了其与两类相关Morse-Smale复形的异同，并设计实现了相应的显式计算算法。
2023-06-15 cs.CG math.CO math.MG
On the gap between representability and collapsibility
一个单纯复形K被称为d-可表示的，如果它是R^d中凸集集合的神经; K是d-可塌缩的，如果它可以通过反复移除一个包含在唯一极大面中的维数至多为d-1的面而被约化为空复形; K是d-勒雷的，如果K的每个诱导子复形都有维数为d或更大的零同调。已知d-可表示蕴含d-可折叠蕴含d-勒雷，并且当d大于或等于2时，这些概念中没有两个是一致的。离散几何中著名的Helly定理和其他重要结果都可以看作是关于d-可表示复形的结果，其中许多结果中的“d-可表示”假设可以用“d-可塌缩”甚至“d-Leray”来代替。我们研究这些概念之间的“尺寸差距”，我们构造，对于所有的正整数d，一个2d-Leray复杂的是不是（3d-1）-可折叠的和一个d-可折叠的复杂的是不是（2d-2）-表示。在证明中，我们得到了两个独立有趣的结果：（i）每个有限集合族的神经，每个集合的大小不超过d，是d-可折叠的。(ii)如果单纯复形K的神经是d-可表示的，则K嵌入R^d。
2008-03-25 math.CO
Discrete Morse theory for the collapsibility of supremum sections
偏序集$\le$的Dushnik-Miller维数是$\le$的线性扩张$\le_1, \ldots , \le_d$的最小数$d$，使得$\le$是$\le_1, \ldots , \le_d$的交集。上确界部分是由Scarf引入的单纯复形，并与Dushnik-Miller联系如下：单纯复形的包含偏序集的Dushnik-Miller维数至多为$d$，当且仅当它包含在来自维数$d$的表示的上确界部分中。可塌性是单纯复形的一个拓扑性质，由Whitehead引入，类似于可壳性。虽然Ossona de Mendez证明了一种特殊类型的上确界部分是可壳的，但我们在这篇文章中表明，上确界部分通常是可折叠的，这要归功于Forman开发的离散Morse理论。
2018-05-04 cs.DM math.CO
Strong homotopy types, nerves and collapses
介绍了单纯复形的强同伦型理论。类似于经典的简单同伦理论，强同伦类型可以用基本移动来描述。在这种情况下的基本移动被称为强坍缩，它是一种特殊的单纯坍缩。使用强塌缩的优点是核的存在性和唯一性以及它们与复合物的神经的关系。从这一理论出发，我们从不同的角度研究了单纯可积性，得到了新的结果。我们分析了点传递单纯$G$ -作用，并证明了单纯复形的Evasiveness猜想的一个特例。此外，我们减少了一般的猜想类的极小复形。我们还加强了V. Welker关于可塌复形的重心重分的一个结果。我们得到了这个和其他结果的可折叠的多面体的不同概念的特点，在有限的拓扑空间的崩溃。
2009-07-17 math.AT math.CO math.GT
Discrete Morse Theory for Manifolds with Boundary
我们介绍一个版本的离散莫尔斯理论具体的流形边界。我们的想法是考虑Morse函数的所有边界细胞是至关重要的。我们得到的“相对Morse不等式”的同源性的流形的内部临界细胞的数量。我们还推导出一个球定理，类似于福尔曼的球面定理。我们的工作的主要推论是：-对于每个d \ge 3和每个k \ge 0，有一个PL d-球上的任何离散莫尔斯函数有超过k个关键（d-1）-细胞。(This解决了一个问题，由查理。）--对于固定的d和k，有指数级的许多组合类型的单纯d-流形（相对于面的数量计数），允许离散莫尔斯函数与最多k个临界内部（d-1）-细胞。(This将离散莫尔斯理论与枚举组合学/离散量子引力联系起来。）--任何可构造d球的重心重分都是可折叠的。(This“几乎”解决了Hachimori的问题。--每个可构造的球都坍缩到它的边界减去一个小平面。(This改进了作者和齐格勒的结果。）--任何3球与打结跨越边缘不能崩溃到其边界减去一个小平面。(This加强了Bing的一个经典结果以及作者和Ziegler最近的一个结果。
2010-10-02 math.AC math.AT math.CO
Morse shellings on products
最近我们定义了有限单纯复形的Morse可壳性（和可分瓦性）的一个性质，它推广了经典的Morse可壳性及其与离散莫尔斯理论的关系.我们证明了两个Morse可分或可壳单纯复形的乘积在一定的驯服条件下带有Morse可分或可壳三角剖分，并且任何分或壳在经过一次重心重分后都变得驯服.我们推导出任何维数小于4的闭流形的有限积都带有Morse可壳三角剖分，其临界向量和h-向量是回文的。我们还证明了h-矢量的莫尔斯瓷砖总是回文的尺寸小于4或在h-瓷砖的情况下，其关键向量是回文的。
2020-10-23 math.AG math.CO math.GT
The Dowker theorem via discrete Morse theory
本文通过构造离散 Morse 理论中的显式无环匹配，重新证明了 Dowker 定理的 Barmak 加强版本，即二元关系定义的两个复形是简单同伦等价的。
2024-07-22 math.AT math.CO
Matching and Independence Complexes Related to Small Grids
$2\times n$网格图的匹配复合体的拓扑结构是神秘的。我们描述了一个离散的莫尔斯匹配的一个家庭的独立复杂$\mathrm{Ind}(Δ_n^m)$，包括这些匹配的复杂。使用这种匹配，我们确定所产生的莫尔斯复合物的链空间的尺寸，并推导出一定的$\mathrm{Ind}(Δ_n^m)$的非平凡的同调群的位置上的界限。进一步，我们确定了$\mathrm{Ind}(Δ_n^m)$的欧拉示性数，并证明了$\mathrm{Ind}(Δ_n^m)$的几个同调群是非零的.
2016-06-03 math.AT math.CO
Combinatorics of combinatorial topology
我们开发了一个更紧密的实现基本PL拓扑，它跟踪一些组合结构以外的PL同胚类型。用这种技术，我们澄清PL的横截性的一些方面，并给出一些已知的结果的组合证明。新的结果包括组合特征的可折叠多面体的可构造偏序集（广义面偏序集的可构造单纯复形的意义上的Hochster）。相关的可构造偏序集也被刻画在Reading的偏序集压缩中，这是单纯复形中边压缩的一种变体。
2018-08-30 math.CO math.GT
Complexes of strong discrete Morse matchings
University of Florida（佛罗里达大学）
本文基于强离散 Morse 理论定义强 Morse 匹配复形，并计算了路径、圈、星、单纯形及其边界等复形上这些复形的同伦类型及圈情形的同调。
2026-09-09 math.AT math.CO
Magnitude homology of graphs and discrete Morse theory on Asao-Izumihara complexes
本文研究 Asao-Izumihara 复形的同伦型与图幅度同调可对角化性的关系，证明 pawful 图的该复形同伦等价于球面的一点并，并推广 pawful 图概念，找到新的直径为 2 的非 pawful 可对角化图。
2022-06-02 math.AT math.CO math.MG
Discrete Morse theory and the topology of matching complexes of complete graphs
本文利用离散莫尔斯理论技术研究完全图匹配复形 $M_n$ 的拓扑，证明其具有比同伦连通性更强的几何 $(ν_n-1)$-连通性，并确定 $M_8$ 同伦等价于 132 个 2 维球面的楔和。
2024-01-17 math.AT math.CO math.GT
Morse-Bott Theory on posets and an homological Lusternik-Schnirelmann Theorem
我们发展了偏序集上的Morse-Bott理论，推广了正则复形的离散Morse-Bott理论和偏序集上的莫尔斯理论。此外，我们证明了Lusternik-Schnirelmann定理的一般匹配偏序集，特别是Morse-Bott功能。
2020-07-24 math.AT math.CO
MVF Designer: Design and Visualization of Morse Vector Fields
表面上的矢量场设计最初是由图形学中的应用（如纹理合成和渲染）激发的。在本文中，我们考虑的想法，向量场设计的一个新的动机，从计算拓扑。我们对设计和可视化矢量场感兴趣，以帮助研究莫尔斯函数，莫尔斯矢量场和莫尔斯-斯梅尔复形。为了实现这样一个目标，我们提出了MVF设计器，一个新的交互式设计系统，提供细粒度的控制矢量场的几何形状，使编辑矢量场的拓扑结构，并支持一个简单而有效的方式使用基本的动作，这是行动，启动或推进我们的设计过程中的设计过程。我们的系统允许数学家探索莫尔斯函数的复杂配置空间，它们的梯度，以及它们相关的莫尔斯-斯梅尔复形。了解这些空间将有助于我们进一步扩展其在拓扑数据分析和可视化中的应用。
2019-12-19 cs.CG cs.GR math.AT
Morse shellings out of discrete Morse functions
从拓扑的观点出发，证明了有限单纯复形的Morse壳是{ \it pinched}柄分解，推广了经典的Morse壳.我们证明了有限单纯复形上的每个离散Morse函数在其第二个重心重分上诱导Morse壳，其临界瓦片或捏柄与函数的临界面一一对应，并保持指数.对于闭流形上任意光滑的Morse函数，经过足够多的重心重分后，在其上的任意分段线性三角剖分也是如此。
2022-05-31 math.CO math.GT
A nerve lemma for gluing together incoherent discrete Morse functions
拓扑组合学中最有用的两个工具是神经引理和离散莫尔斯理论。在本说明中，我们引入一个定理，它们之间的插值，并允许分解成非收缩片的复杂，只要离散的莫尔斯理论，确保他们的行为足够好。证明是基于空间的图表，但该理论是不需要的公式或应用的定理。
2013-07-17 math.AT math.CO
Discrete-to-Continuous Extensions: Lovász extension and Morse theory
这是一系列论文中的第一篇，这些论文在离散数学和相应的连续类似物的结构之间建立了一个系统的桥梁。在本文中，我们建立了一个等价的Forman的离散莫尔斯理论的单纯复形和连续的莫尔斯理论（在任何已知的非光滑莫尔斯理论的意义下）通过Lovász扩展相关联的顺序复杂。此外，我们还提出了一个新的抽象单纯复形上的Lusternik-Schnirelman范畴，将经典的Lusternik-Schnirelman定理与其在有限复形上的离散模拟联系起来.更一般地说，我们可以建议一个离散的莫尔斯理论超图的分段线性（PL）的莫尔斯理论和Lovász扩张，希望提供新的工具，探索超图的结构。
2022-02-08 math.CO math.OC
Topology of matching complexes of complete graphs via discrete Morse theory
本文利用离散Morse理论构造并改进完全图匹配复形$M_n$（特别是$M_7$）的梯度向量场，以纯组合方式证明其连通性，并高效计算$M_7$的同调群，同时提出一个猜想为最优的梯度向量场。
2024-10-16 math.AT math.CO math.GT
Hardness of Approximation for Morse Matching
离散莫尔斯理论已经成为一个强大的工具，为广泛的问题，包括计算（持久）同源。在这种情况下，离散Morse理论被用来减少计算输入单纯复形的拓扑不变量的问题，以计算相同的拓扑不变量的（显着更小的）塌陷细胞或链复形。因此，在过去的十年中，设计用于获得复形上的梯度向量场以减小问题实例的大小的方法已经成为一个新兴的主题。虽然计算单纯复形上的最优梯度向量场是NP难的，但已经观察到几种算法可以在各种数据集上计算接近最优的梯度向量场。因此，理解这些策略的理论极限是计算拓扑学中的一个基本问题。在本文中，我们考虑的Morse匹配问题的最大化和最小化变量的逼近性，构成了Joswig和Pfetsch的开放问题。我们建立了最大莫尔斯匹配和最小莫尔斯匹配的硬度结果。特别是，我们表明，对于一个单纯复形的n个单形和尺寸$d \leq 3$，它是NP-困难的近似Min-Morse匹配的一个因素内的$O(n^{1-ε})$，任何$ε> 0$。此外，利用从3度极大无环子图到Max-Morse匹配的L-约简，证明了在一定的显式常数因子内，对维数为$d \leq 2$的单纯复形，近似Max-Morse匹配是NP-困难和UGC-困难的.
2018-07-13 cs.CC cs.CG math.AT
On Vietoris--Rips complexes (with scale 3) of hypercube graphs
本文研究超立方体图的 Vietoris-Rips 复形，证明其非平凡约化同调仅出现在维度 4 和 7，并确定尺度 2 和 3 时的可坍缩数为 2^r，回答了 Adamaszek 与 Adams 的开放问题。
2023-05-15 math.AT math.CO
Topology of the view complex
在本文中，我们考虑一族单纯复形，我们称之为视图复形。我们的研究对象的选择是出于理论上的分布式计算，因为视图复杂的是一个关键的简单的构造用于协议复杂的快照计算模型。我们发现，视图复杂$\view$可以折叠到著名的复杂$χ(Δ^n)$，称为标准色细分的单形，和$χ(Δ^n)$本身是可折叠的。此外，我们表明，崩溃可以同时进行的自然对称群作用的整个轨道。我们的研究结果产生一个纯粹的组合和建设性的理解的拓扑结构的视图复合体，在同一时间，因为他们提高了我们的知识的标准色细分的单形。
2014-12-05 cs.DC math.CO
Connecting Discrete Morse Functions via Birth-Death Transitions
本文通过生灭转换研究有限单纯复形上离散Morse函数间的转换，证明了任意两函数均可由有限转换序列连接，并以此给出Forman基本结果的替代证明及探讨函数空间的拓扑结构。
2025-09-14 math.AT math.CO math.GN
Multiple Cylinder of Relations for Finite Spaces and Nerve Theorem for Strong-Good Cover
本文提出关系多重柱概念以推广映射柱并捕捉有限空间链的复杂同伦结构，同时引入强-好覆盖，证明了具有该覆盖的单纯复形与有限空间及其神经保持相同简单同伦型，强化了经典神经定理。
2025-05-28 math.AT math.CO
Intersection patterns of convex sets via simplicial complexes, a survey
本综述的任务是介绍关于凸集交模式的各种结果。单纯复形的观点是研究交叉模式的主要工具之一。我们回顾了$d$ -可表示、$d$ -可折叠和$d$ -Leray单纯复形的定义，这些定义对我们的研究非常有用.我们研究了这些概念之间的差异，我们也专注于计算复杂性识别它们。在综述中给出了一系列Helly型定理，并讨论了上述概念对这些定理的重要作用。我们还考虑交叉模式的良好覆盖，推广集合的凸集（集可能是“曲线”，但是，他们的交集不能太复杂）。我们主要关注新的结果。
2011-10-22 math.CO
On The Morse Ensemble Polynomial Of Simplicial Complexes
Shibaura Institute of Technology（芝浦工业大学）；Waseda University（早稻田大学）
本文引入单纯复形的Morse系综多项式，通过Laplacian公式、顶面递归和独立复形多项式等结果，证明了该多项式是比Tutte多项式更精细的同构不变量。
2026-06-18 math.AT math.CO math.SP
Connection matrices in combinatorial topological dynamics
连接矩阵是一个中心工具，在康利的方法来研究动力系统，因为他们提供的信息存在的连接轨道的莫尔斯分解。它们可以被认为是莫尔斯理论中莫尔斯复形中边界算子的推广。它们的可计算性最近已经解决了哈克，Mischaikow，和Spendlove的背景下，晶格过滤链复形。在本文中，我们扩展了最近推出的康利理论的组合向量和多向量场的Lefschetz复杂的概念转移到这个设置的连接矩阵。这是由任意偏序集过滤链复形的连接矩阵的概念，以及相关的等价，它允许在底层偏序集的变化。我们证明了对于Forman意义下的梯度组合向量场的特殊情形，连接矩阵必然是唯一的.因此，经典的结果Reineck有一个自然的模拟组合设置。
2023-03-07 math.AT math.CO math.DS
2-Matching Complexes
一个$2$ -匹配复形是一个单纯复形，它描述了图的$2$ -匹配之间的关系。在本文中，我们将使用离散莫尔斯理论和匹配树算法证明同伦结果。我们将考虑一类图的同伦类型的$2$ -匹配的复杂的转换从一个球体到一个点，除了叶。最后，我们通过定义$k$匹配序列，并期待在$1$ -和$2$ -轮图和完美的毛虫图匹配复合物的文件。
2021-01-28 math.AT math.CO
