Combinatorial proofs of Gowers' FIN$_k$ and FIN$_k^\pm$ theorem
Ryszard Frankiewicz, Sławomir Szczepaniak
Gowers的鸽子洞原理的一个组合证明被发现与它的对称和近似版本一起，FIN $_k^\pm$定理。证明没有使用超滤子的概念。
A combinatorial proof of a pigeonhole principle of Gowers is found along with its symmetric and approximate version, FIN$_k^\pm$ theorem. The proofs do not use of the concept of ultrafilter.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
A simple, combinatorial proof of Gowers Dichotomy for Banach Spaces
本文用纯组合方法，基于无限Ramsey理论，给出了Gowers二分法的简单证明，即每个无限维Banach空间都含无条件基序列或遗传不可分解的子空间。
Another proof of a Gowers theorem
W. T. Gowers证明了从巴拿赫空间$c_0$到$\mathbb{R}$的单位球面上的所有Lipschitz函数都是振荡稳定的.他的证明使用了一个结果的有限分区集$FIN_k$的支持功能$p$从$\mathbb{N}$到$\{0,1,...,k\}$与$k$在$Im(p)$。每一个已知的证明这一事实使用的方法拓扑动力学的空间$β\mathbb{N}$的超滤$\mathbb{N}$。我们给出了一个纯粹的组合证明这一结果，避免使用超滤。
The ergodic and combinatorial approaches to Szemerédi's theorem
一个著名的定理Szemerédi断言，任何一组整数的积极上密度将包含任意长的等差数列。我们知道有四种类型的论证可以证明这个定理：塞梅雷迪最初的组合（和图论）方法，弗斯滕伯格的遍历论方法，高尔斯的傅里叶分析方法，以及纳格尔-罗德尔-沙赫特-斯科坎和高尔斯的超图方法。在本系列讲座中，我们将介绍第一、第二和第四种方法，但我们不会深入研究其中任何一种方法的全部细节。这些讲座的主题之一是这些方法之间的思想非常相似，尽管它们最初看起来相当不同。
Quantitative inverse theory of Gowers uniformity norms
(This文本是一个调查写的布尔巴基研讨会的工作F。礼貌。）高尔斯一致性范数是高阶傅里叶分析的中心对象，是加法组合学的基石之一，并且在高尔斯对塞梅雷迪定理和格林-陶定理的证明中起着重要作用。逆定理指出，如果一个函数有一个大的一致性范数，这是一个强大的结构组合测度，那么它必须与一个零序列相关，这是一个高度结构化的代数对象。格林、陶和齐格勒在定性意义上证明了这一点，但证明无法提供合理的界限。在2018年，Manners通过给出逆定理的新证明实现了突破。这个新的证明不仅包含了丰富的新见解，而且它还首次提供了数量上的界限，在最坏的情况下，只有双指数。本次演讲将给出一个高层次的概述逆定理说什么，为什么它是重要的，和新的证明方式。
Primitive recursive bounds for the finite version of Gowers' $c_0$ theorem
我们提供了原始的递归边界有限版本的Gowers的$c_0$定理的积极和一般情况。我们还提供了这些结果的多维版本。
Structure of finite nilspaces and inverse theorems for the Gowers norms in bounded exponent groups
作者的一个结果表明，有界指数阿贝尔群上的Gowers范数的性质与有限零空间有关。基于此，我们研究了有限零空间的结构。作为应用，我们证明了有界指数阿贝尔群上Gowers范数的逆定理.粗略地说，如果A上的一个函数具有不可忽略的U（k+1）-范数，那么当提升到A的某个阿贝尔群扩张时，它与k次相位多项式相关。这一结果与Tao和Ziegler的一个猜想密切相关。特别是得到了Tao-Ziegler逆定理的一个新证明。
Gowers' Ramsey theorem for generalized tetris operations
我们证明了一个推广的Gowers定理$\mathrm{FIN}_{k}$，而不是单一的俄罗斯方块操作$T:\mathrm{FIN}_{k}\rightarrow \mathrm{FIN}_{k-1}$，一个考虑所有的地图从$\mathrm{FIN}_{k}$ $\mathrm{FIN}_{j}$的$0\leq j\leq k$所产生的非减满射$f:\left\{ 0,1,\ldots ,k+1\right\} \rightarrow \left\{ 0,1,\ldots ,j+1\right\} $。这回答了巴尔托索娃和夸特科夫斯卡的一个问题。我们还证明了这样的结果和Galvin-Glazer-Hindman定理有限产品的一个共同的推广，在设置的分层部分半群介绍法拉，Hindman和麦克劳德。
Additive and multiplicative Gower's Ramsey theorem
W. T. Gower推广了Hindman的有限和定理在$X_{k}=\left\{ \left(n_{1},n_{2},\ldots,n_{k}\right):n_{1}\neq0\right\} $上，证明了对于任何有限着色的$X_{k}$存在一个序列，使得由该序列生成的Gower子空间是单色的。对于$k=1,$，这立即给出了有限和定理。本文证明了对$X_{k}$的任意有限着色，存在两个序列$\left\{ \mathbf{n_{i}}:i\in I\right\} $和$\left\{ \mathbf{m_{i}}:i\in I\right\} $，使得由$\left\{ \mathbf{n_{i}}:i\in I\right\} $生成的Gower子空间和由$\left\{ \mathbf{m_{i}}:i\in I\right\} $生成的所有有限积的集合为单色.这直接推广了V.Bergelson和N. Hindman提出的一种新的着色方法，即对于$\mathbb{N}$的任何有限着色，存在两个序列$\left(x_{n}\right)_{n}$和$\left(y_{n}\right)_{n}$，使得由$\left(x_{n}\right)_{n}$和$\left(y_{n}\right)_{n}$生成的有限和与乘积是相同的颜色。
Stability results for random discrete structures
两年前，康伦、高尔斯和沙赫特证明了一般定理，这些定理允许人们将一大类极值组合结果从确定性转移到概率性。尽管这两篇论文解决了概率组合学中同一组长期存在的开放问题，但其中使用的方法差异很大，因此在某些方面产生的结果不具有可比性。沙赫特定理可以应用于更一般的环境，并产生更强的概率估计，而康伦和高尔斯的定理也意味着一些结构陈述的随机版本，如著名的稳定性定理的鄂尔多斯和西蒙诺维奇。在本文中，我们弥合了这两个迁移定理之间的差距。基于沙赫特的方法，我们证明了一个一般定理，允许一个转移确定性的稳定性结果的概率设置，这是更普遍和更强的比康伦和Gowers获得的。然后，我们使用这个定理推导出几个新的结果，其中一个随机版本的任意图的Erdos-Simonovits稳定性定理。主要的新想法，一个完善的方法，多次曝光时，考虑子集的二项式随机集，可能是独立的利益。
A Tight Bound for Hyperaph Regularity
超图正则性引理--Szemerédi的图正则性引理在$k$ -一致超图上的推广--是过去十年中获得的最著名的组合结果之一。到目前为止，有几个（非常不同的）证明这个引理，获得高尔斯，由Nagle-Rödl-Schacht-Skokan和陶。不幸的是，所有这些证明的共同点是，它们产生的规则划分的顺序是由$k$ -th阿克曼函数。我们表明，这样的阿克曼型界限是不可避免的每一个$k \ge 2$，从而证实了陶的预测。在我们的工作之前，这种类型的唯一结果是Gowers著名的下界图的正则性。
A generalised transference principle
本文提出广义迁移定理，扩展前人结果，用于推导非严格平衡图与超图的稀疏计数引理，在概率p和成功概率上达渐近最优界。
The inverse theorem for the $U^3$ Gowers uniformity norm on arbitrary finite abelian groups: Fourier-analytic and ergodic approaches
本文证明了任意有限阿贝尔群上 $U^3$ Gowers 一致性范数的定量反定理，并利用 Host--Kra 型结构定理给出了其定性版本。
Quantitative bounds for the $U^4$-inverse theorem over low characteristic finite fields
本文给出了$\mathbb{F}_p^n$上Gowers $U^4$ -模逆定理的第一定量界，当$p=2,3$ .我们建立在Gowers和Miliević的早期工作，他们解决了$p\geq 5$的相应问题。我们的证明有两个主要步骤：对称化和低特征三线性形式的整合。我们能够解决所有$k$ -线性型的积分问题，但对称化问题，我们只能解决三线性型。我们提出了几个开放的问题，对称化的低特征$k$ -线性型的决议，结合最近的工作Gowers和Milienević，将给予定量界的逆定理的Gowers $U^{k+1}$ -范数超过$\mathbb{F}_p^n$的所有$k,p$。
An infinite-dimensional version of Gowers' $\mathrm{FIN}_{\pm k}$ theorem
我们证明了一个无限维版本的近似Ramsey定理的Gowers，最初用于表明，每一个Lipschitz功能的单位球的$c_0$是振荡稳定的。为此，我们使用Todorcevic开发的超Ramsey空间理论，以获得$\mathrm{FIN}_{\pm k}$中所有无限块序列空间的Ellentuck型定理。
Finite forms of Gowers' Theorem on the oscillation stability of $c_0$
给出了Gowers的$FIN_k$定理的有限形式的构造性证明，并分析了相应的上界。$FIN_k$定理与$c_0$的振荡稳定性密切相关。在任意有限维巴拿赫空间上的Lipschitz函数的稳定性以前由V.Milman研究得很好。我们比较了有限$FIN_k$定理与有限稳定原理在空间的形式$\ell_{\infty}^n$，$n\in\mathbb{N}$的情况下，并建立了一个缓慢增长的上界有限稳定原理在这种特殊情况下。
Gowers' Ramsey Theorem with multiple operations and dynamics of the homeomorphism group of the Lelek fan
我们推广有限版本的Gowers'拉姆齐定理的多个tetris一样的操作和应用它来表明，一组同胚，保持一个“典型的”线性秩序的分支的Lelek风扇，一个紧凑的连接度量空间与许多对称性，是非常顺从。
A note on the Freiman and Balog-Szemeredi-Gowers theorems in finite fields
在有限域几何F_2 ^n的模型情形下，我们得到了Balog-Szemeredi-Gowers定理和Freiman定理的定量形式，改进了这类定理的已知界.例如，如果A是F_2^n的子集，使得|A+A| <= K |A|（因此A有小的加法加倍），我们证明了存在基数为|V| >> K^{-O（\sqrt{K}）} |A|的F_2 ^n的仿射子空间V，使得|A \cap V|>> |V| /2K。在假设A至少包含|A| ^3/K个四元组且a_1 + a_2 + a_3 + a_4 = 0的情况下，我们得到了类似的结果，尽管条件|V| >> K^{-O（K）} |A|稍弱。
The inverse conjecture for the Gowers norm over finite fields via the correspondence principle
关于有限域$\F$上的有限维向量空间$V$的Gowers范数$U^d(V)$的逆猜想断言，粗略地说，有界函数$f$具有大的Gowers范数$\|f\|_{U^d(V)}$当且仅当它与次数至多为$d-1$的相位多项式$ϕ= e_\F(P)$相关，因此$P: V \to \F$是次数至多为$d-1$的多项式。在本文中，我们开发了一个变种的Furstenberg对应原理，使我们能够建立这个猜想在大的特征情况下$\charac(F) \geq d$从遍历理论对应，这是最近建立的Bergelson和作者。在低特征下，我们得到了一个部分结果，其中相位多项式$ϕ$允许有较大的次数$C(d)$。完整的逆猜想在低特征中仍然是开放的;在这种情况下，Lovett-Meshulam-Samorodnitsky或Green-Tao的反例可以通过稍微重新表述猜想来避免。
Quantitative inverse theorem for Gowers uniformity norms $\mathsf{U}^5$ and $\mathsf{U}^6$ in $\mathbb{F}_2^n$
我们证明了定量界的逆定理的Gowers一致性规范$\mathsf{U}^5$和$\mathsf{U}^6$在$\mathbb{F}_2^n$。证明从早期的部分结果Gowers和作者减少了反问题的研究代数性质的某些多重线性型。本文的大部分工作是研究$\operatorname{Sym}_4$和$\operatorname{Sym}_5$在多重线性型空间上的自然作用与分块秩之间的关系，采用正则性方法的代数形式.一路上，我们给出了一个肯定的答案Tidor猜想约对称多重线性型在5个变量，这是已知的情况下是假的4个变量。最后，我们讨论了$\mathsf{U}^k$规范的参数可能的推广。
Mad families of Gowers' infinite block sequences
本文基于 Gowers 的 $\mathbf{FIN}_k$ 定理所保证的小子集理想，研究 $\mathbf{FIN}_k$ 上相对于该理想的无限 mad 族，并证明其最小基数 $\mathfrak{a}_{\mathbf{FIN}_k}$ 不可数。
An Inverse Theorem for Certain Directional Gowers Uniformity Norms
设$G$是素域$\mathbb{F}_p$上的有限维向量空间，其中包含若干子空间$H_1, \dots, H_k$。设$f \colon G \to \mathbb{C}$为函数。推广了Gowers一致性范数的概念，Austin引入了$f$在$(H_1, \dots, H_k)$上的方向Gowers一致性范数为\[\|f\|_{\mathsf{U}(H_1, \dots, H_k)}^{2^k} = \mathbb{E}_{x \in G,h_1 \in H_1, \dots, h_k \in H_k} \partial_{h_1} \dots \partial_{h_k} f(x)\]，其中$\partial_u f(x) \colon= f(x + u) \overline{f(x)}$是离散乘法导数。设$G$是子空间$G = U_1 \oplus U_2 \oplus \dots \oplus U_k$的直和。本文证明了范数\[\|\cdot\|_{\mathsf{U}(U_1, \dots, U_k, \smash[b]{\underbrace{\scriptstyle G, \dots, G}_{\scriptscriptstyle \ell}})},\]的逆定理，这是方向Gowers一致性范数的逆问题中最简单有趣的未知情形。也就是说，写作$\|\cdot\|_{\mat…
Parametrized Ramsey theory of infinite block sequences of vectors
我们证明了Gowers的$\mathrm{FIN}_k$和$\mathrm{FIN}_{\pm k}$定理的无限维版本可以由$2^ω$的完美子集的无穷序列参数化。要做到这一点，我们使用超拉姆齐理论，以获得精确和近似版本的结果，结合元素从两个Gowers'定理和Hales-Jewett定理。因此，我们得到了Gowers的$c_0$定理的参数化形式.
The structure of totally disconnected Host--Kra--Ziegler factors, and the inverse theorem for the $U^k$ Gowers uniformity norms on finite abelian groups of bounded torsion
本文研究完全不连通的Host–Kra–Ziegler因子的结构，证明其为Weyl型$\boldsymbol{\text{Z^ω}}$系统的广义因子，进而利用对应原理得到有界挠有限阿贝尔群上$U^k$ Gowers均匀性范数的弱逆定理。
An inverse theorem for the Gowers U^{s+1}[N]-norm
本文证明了Gowers U^{s+1}[N]-范数的反向猜想，针对s≥3的情况，提出了一种具有有限复杂度的s步nil序列与函数f的相关性，从而推导出Hardy-Littlewood素数元猜想。
A quantitative ergodic theory proof of Szemerédi's theorem
Szemerédi的一个著名定理断言，给定任何密度$0 < δ\leq 1$和任何整数$k \geq 3$，任何具有密度$δ$的整数集合将包含无穷多个长度为$k$的真等差数列。对于一般的$k$，这个事实基本上有四个已知的证明：Szemerédi使用Szemerédi正则性引理和van der Waerden定理的原始组合证明，Furstenberg使用遍历论的证明，Gowers使用傅里叶分析和加法组合学的逆理论的证明，以及Gowers使用超图正则性引理的最近证明。在这四个证明中，遍历论证明可以说是最短的，但也是最不基本的，特别需要使用超穷归纳法（因此也是选择公理选择公理），将一般遍历系统分解为一个超穷紧扩展塔的弱混合扩展。在这里，我们提出了一个定量的，自足的版本，这个遍历论证明，这是“基本的”，在这个意义上，它不需要选择公理，使用无限集或措施，或使用傅里叶变换或逆定理从加法组合。它还给出了明确的（但极差的）定量界限。
An inverse theorem for the Gowers $U^3$-norm relative to quadratic level sets
该研究证明了有限向量空间高秩二次水平集上Gowers $U^3$-范数的有效逆定理，可用于密度增量论证，得到Brauer四元组Ramsey数指数界等结果，为相关组合数论问题提供新方法。
Ergodic-theoretic implementations of the Roth density-increment argument
我们展示证明两个遍历理论的结果在研究多重递归使用类似的密度增量参数的罗斯和Gowers：Furstenberg的多重递归定理（这意味着Szemerédi定理），和一个二维的特殊情况下Furstenberg和Katznelson的多维版本这个定理。其中第二个也需要一个模拟的一些最近有限的工作Shkredov。许多证明这些多重递归定理是现在已知的，但我们的主要目标是进一步阐明启发式对应原则，已成长之间的遍历理论和组合方面的多重递归和Szemerédi定理。重点放在密度增量策略突出了这些设置之间的几个密切联系点。
On the inverse theorem for Gowers norms in abelian groups of bounded torsion
本文利用幂零空间理论研究有界挠阿贝尔群Gowers范数逆定理，证明有限幂零空间准素分解定理，在m无平方因子及U³范数情形下肯定了界C可降至最优值k，并给出一般情形的部分解答。
Free nilspaces, double-coset nilspaces, and Gowers norms
本文刻画紧有限秩及一般 $k$ 步紧 nilspace，证明其可由自由 nilspace 经高阶格作用取商并表示为双陪集空间，进而得到有限 Abel 群上 Gowers 范数的新逆定理。
Ramsey theory for layered semigroups
我们进一步发展的理论分层半群，介绍了法拉，Hindman和McLeod，提供了一个通用的框架来证明拉姆齐声明这样的半群$S$。通过非标准和拓扑论证，证明了$S$上的Ramsey陈述是由$S$中“相干”序列的存在所隐含的.这个框架允许我们形式化和证明许多结果在拉姆齐理论，包括高尔斯的$\mathrm{FIN}_k$定理，格雷厄姆-罗斯柴尔德定理，和Hindman的有限和定理。其他亮点包括：一个简单的非标准证明的格雷厄姆-罗斯柴尔德定理强变量的话;一个非标准证明伯格森布拉斯-欣德曼的分区定理位于变量的话，使用的结果卡尔森，欣德曼和施特劳斯;和一个共同的概括后者的结果和高尔斯定理，这可以证明在我们的框架。
Product decompositions of quasirandom groups and a Jordan type theorem
我们首先注意到，高尔斯关于群中无积集的一个结果有一个意想不到的结果：如果k是有限群G的表示的最小度，则对于G的每个子集B，有$|B| > |G| / k^{1/3}$，我们有B^3 = G。我们用它来获得改进的版本最近深定理的Helfgott和Shalev关于产品分解的有限单群，更简单的证明。另一方面，我们证明了Jordan定理的一个版本，它意味着如果k>1，那么对于某个绝对常数c，G有一个指数至多为ck^2的真子群，因此是一个大小至少为$|G| / c'k$的无积子集。这回答了Gowers的一个问题。
Quasipolynomial inverse theorem for the $\mathsf{U}^4(\mathbb{F}_p^n)$ norm
本文针对有限向量空间中的 $\mathsf{U}^4$ 范数证明拟多项式逆定理，并借助抽象 Balog-Szemerédi-Gowers 定理及多种代数组合工具给出新的定量证明策略。
An inverse theorem for the uniformity seminorms associated with the action of $F^ω$
设$\F$为有限域。我们表明，Gowers-Host-Kra均匀性的普适特征因子$U^k(\X)$的概率空间$X = (X,\B,μ)$上的无限阿贝尔群$\F^ω$的遍历作用$(T_g)_{g \in \F^ω}$是由相位多项式$ϕ: X \to S^1$的次数小于$C(k)$ $X$，其中$C(k)$只依赖于$k$。在$k \leq \charac(\F)$的情况下，我们得到了清晰的结果$C(k)=k$。这是Host和Kra对$\Z$的类似结果的有限域对应。在本文的姊妹篇中，我们将把这个结果与对应原理结合起来，建立高特征情形$k \leq \charac(\F)$下有限域中Gowers范数的逆定理，并给出低特征情形下的部分结果。
Another proof of the $U^4(\mathbf{F}_p^n)$-inverse theorem
本文提出了有限域上高维向量空间中Gowers $U^4$-范数定量逆定理的一个更短的新证明。
Three Dimensional Corners: A Box Norm Proof
在加法群（G，+）中，三维角点是四个点g，g+d（1，0，0），g+d（0，1，0），g+d（0，0，1），其中g在G ^3中，d是G的非零元素。我们感兴趣的拉姆齐数是R_3（G），它是G ^3的一个不包含三维角点的子集的最大基数。Furstenberg和Katznelson已经证明了R_3（Z_N）是N^3的小-o，事实上相应的结果在所有维度上都成立，这个结果是Szemeredi定理的一个深远的推广。我们给出了一个新的证明的有限域版本的这一事实，一个证明，是一个共同的推广的Gowers证明Szemeredi定理的四项级数，和结果Shkredov的二维角落。主要工具是Gowers Box Norms。
Complete type amalgamation for non-standard finite groups
本文扩展了Hrushovski稳定子定理，证明了Pillay-Scanlon-Wagner关于三种类型乘积结果的测度论版本，推广了Gowers的结果，并为拟随机群及特定可定义顺从群中长度为3的算术级数存在性（Roth定理）提供了模型论证明。
A Symbolic Finite-state approach for Automated Proving of Theorems in Combinatorial Game Theory
我们开发了一个有限状态自动机的方法，实现在一个Maple包{ \tt ToadsAndFrogs}，可从我们的网站上，为programming，然后严格证明，值为大家庭的位置在理查德盖伊的组合游戏"蟾蜍和青蛙“。特别地，我们证明了Jeff Erickson的猜想。
Combinatorial local convexity implies convexity in finite dimensional CAT(0) cubed complexes
证明了如下定理：有限维CAT（0）立方复形$X$的连通子复形$W$是凸的当且仅当对$W$的每个顶点$v$，Lk $(v, W)$是Lk $(v, X)$的全子复形.
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