Flows driven by multi-indices Rough Paths
本文提出了一种由多索引粗糙路径驱动的粗糙微分方程的解理论，并利用log-ODE方法进行分析。
2026-01-16 math.CA math.PR
Reconstruction for the Signature of a Rough Path
最近证明了粗糙路径群模树等价通过签名映射S（取迭代路径积分的广义概念）同构于相应的签名群。然而，这个唯一性结果的证明并不包含任何关于如何从其签名“看到”（树缩减）粗糙路径的轨迹的信息，并且对唯一性结果（特别是对S的逆）的建设性理解已经成为一个有趣且重要的问题。本文的目的是以一种显式和通用的方式从粗糙路径的签名中重建粗糙路径。
2016-11-09 math.CA math.PR
Note on the Signatures of Rough Paths in a Banach Space
我们证明了arXiv：1406.7871中使用的一些结果，这些结果是关于弱几何粗糙路的，这些弱几何粗糙路在有限维中是众所周知的，但需要在无限维环境中证明。
2015-10-06 math.CA math.PR
Volterra equations driven by rough signals 2: higher order expansions
我们将最近开发的Volterra方程的粗糙路径理论（Harang和Tindel，2019）扩展到更粗糙的噪声和/或更奇异的Volterra核的情况。在（Harang和Tindel，2019）中已经观察到，在那里引入的Volterra粗糙路径不满足任何几何关系，与经典粗糙路径理论中观察到的相似。因此，将理论扩展到更不规则的驱动信号需要更深入地理解Volterra粗糙路径中产生的特定代数结构。（Gubinelli，2010）和（Hairer和Kelly，2015年）我们提供了一个简单的描述Volterra粗糙路径和受控Volterra过程的有根树，并且利用该描述，我们能够求解由更不规则的信号驱动的粗糙Volterra方程。
2021-02-19 math.CA math.PR
An isomorphism between branched and geometric rough paths
我们表现出一个明确的自然之间的同构空间的分支和几何粗糙路径。这提供了Lejay-Victoir（2006）的同构的多层次推广，以及Hairer-Kelly（2015）的Itô-Stratonovich校正公式的规范版本。我们的构造是初等的，并利用Grossman-Larson代数同构于张量代数的性质。我们应用这个同构研究分支粗糙路径的签名。也就是说，我们证明了一个分支粗糙路径的签名是平凡的当且仅当路径是树状的，并构造了一个非交换的傅里叶变换的概率测度签名的分支粗糙路径。我们利用后者提供了随机签名由其期望值确定的充分条件，从而回答了分支粗路的唯一性矩问题。
2018-04-27 math.CA math.PR
Rough differential equations and reduced rough paths: a Lie bracket characterization
School of Mathematics and Statistics, Lanzhou University（兰州大学数学与统计学院）；Gansu Provincial Research Center for Basic Disciplines of Mathematics and Statistics（甘肃省数学与统计基础学科研究中心）
研究 Hölder 正则性\(\frac13<\alpha\le\frac12\)下粗糙微分方程，从约化粗糙路径角度出发，确定其确定解的障碍，证明在交换向量场情形下反对称 Lévy 面积无关，此为研究粗糙微分方程提供新视角。
2026-07-14 math.CA math.PR
Rough path theory
本文综述粗糙路径理论，该理论为低正则项微分方程提供连续性框架，并在随机分析中为不规则路径驱动的随机微分方程赋予新意义，涵盖解的概念、路径签名及应用。
2024-02-15 math.CA math.PR
Functional differential equations driven by càdlàg rough paths
本文针对由 càdlàg 粗糙路径驱动的路径依赖粗糙微分方程，建立了解的存在唯一性及 Itô-Lyons 映射的局部 Lipschitz 连续性，并将结果应用于受控、带延迟的 RDEs 等，还构造了对应 Itô 积分的联合粗糙路径。
2025-07-06 math.CA math.PR
Differential equations driven by rough paths: an approach via discrete approximation
由不可微路径驱动的微分方程理论最近由Lyons发展起来。我们开发了一种替代方法，这个理论，使用（修改后的欧拉近似），并探讨其适用性随机微分方程驱动的布朗运动。我们还给出了一些其他的例子，表明主要结果是合理的尖锐。
2007-10-03 math.CA math.PR
Flows driven by rough paths
本文设计了一种从近似流构造Banach空间上流的简单机制，并证明了它是如何以一种简单的方式从头开始重新证明和推广粗糙微分方程的主要存在性和适定性结果的，在有限维Holder弱几何p-粗糙路径驱动的巴拿赫空间上的动力学背景下，对任意2<p;讨论了向量场线性增长条件下的爆炸问题、Euler估计的Taylor展开和收敛速度。我们通过证明一类平均场随机粗糙微分方程解的存在性和适定性来说明我们的方法。
2013-09-25 math.CA math.PR
Decay Rate of Iterated Integrals of Branched Rough Paths
在研究受控微分方程的泰勒展开式时，经常会遇到路径的迭代积分。我们将证明一个阶乘衰变估计，由M。Gubinelli，非几何粗糙路径的迭代积分。我们将用一个反例来解释为什么使用新古典不等式的传统方法失败了。我们的证明涉及到有根树上和的一个估计和T的一个非平凡扩张。Lyons在1994年证明了迭代Young积分的阶乘衰变。
2017-09-29 math.CA math.PR
Rough path metrics on a Besov--Nikolskii type scale
这是众所周知的，因为开创性的工作[T。Lyons，粗糙信号驱动的微分方程，Rev. Mat. Iberoamericana，14（1998）]，证明了与控制微分方程相关联的解映射分别在$q$ -变分中是局部Lipschitz连续的. $1/q$ -粗糙路径空间上的Hölder型度量，对于任何正则性$1/q \in (0,1]$。我们将其扩展到一类新的Besov-Nikolskii型度量，具有任意正则性$1/q\in (0,1]$和可积性$p\in [ q,\infty ]$，其中$p\in \{ q,\infty \} $的情况对应于已知的情况。有趣的是，该结果是作为已知的$q$变化粗糙路径估计的结果而获得的。
2017-04-25 math.CA math.PR
On nonlinear rough paths
本文建立了非线性粗糙路理论。给出了非线性粗糙路的定义，并发展了粗糙路的积分。然后，我们研究了非线性粗糙路径驱动的微分方程。然后，对非线性粗糙路径和经典的线性粗糙路径理论进行了比较。最后，我们将这一理论应用于粗糙偏微分方程。
2019-04-25 math.PR
A rough path approach to pathwise stochastic integration à la Föllmer
本文用粗糙路径扩展 Föllmer 路径积分框架，在二次变差与 Lévy area 存在时统一刻画 Itô、Stratonovich 和后向 Itô 积分，并给出分割不变性的充要条件。
2025-07-23 math.CA math.PR
A partial rough path space for rough volatility
本文为粗糙波动率模型构建偏粗糙路径空间，证明路径级大偏差原理，描述短期隐含波动率极限行为。
2023-12-26 math.PR
Constructing general rough differential equations through flow approximations
非线性缝纫引理从称为几乎流的一类近似中构造粗糙微分方程流。考虑一类几乎流，它可以近似为常微分方程的解，在向后误差分析的精神。展开式分析是代数与分析的结合，其核心是一个带余项的泰勒公式和一个复合公式。通过对待积分的非光滑向量场构造一个合适的代数结构，我们在一个框架内得到了几个关于各种驱动路径的高阶展开式的结果。我们还扩展了驱动粗糙路的概念，并引入了一类新的分支粗糙路，称为芳香粗糙路。
2021-12-16 math.CA math.PR
Volterra Equations Driven by Rough Signals
这篇文章致力于扩展的粗糙路径理论的背景下的Volterra方程可能奇异核。我们开始描述一类定义在单形上的两个参数函数，称为Volterra路径。这些路径用于构造所谓的Volterra签名，类似于里昂粗糙路径理论中使用的签名。我们提供了一个详细的代数和分析描述这个对象。有趣的是，Volterra签名不具有类似于经典签名的乘法性质，并且我们引入了一个积分积，其行为类似于扩展经典张量积的卷积。我们表明，这种卷积产品是很好地定义了一个大类的Volterra路径，我们提供了一个模拟的扩展定理从粗糙路径理论（这保证特别是存在的Volterra签名）。此外，卷积积的概念是必不可少的Volterra控制路径的建设，这是自然类的过程中集成的驱动噪声在我们的情况。这导致给出作为Volterra签名和Volterra控制路径的泛函的粗略积分，通过卷积积组合。粗糙积分，然后使用在构造的解决方案的Volterra方程驱动的Hölder噪声与奇异核。并给出了布朗噪声和奇异核的一个例子
2021-03-03 math.CA math.PR
Pathwise Itô Calculus for Rough Paths and Rough PDEs with Path Dependent Coefficients
本文介绍了路径导数，在Dupire的功能伊藤演算的精神，为控制路径的粗糙路径理论与可能的非几何粗糙路径。该理论允许我们以与标准随机分析相同的方式处理粗糙积分和粗糙偏微分方程。接下来，我们研究粗糙偏微分方程的系数取决于粗糙路径本身，这对应于随机偏微分方程的随机系数。这种系数在时间变量上不太规则，在现有文献中没有涉及。所得结果对研究随机偏微分方程的黏性解是有用的。
2014-12-23 math.AP math.PR
Integration of branched rough paths
本文研究了分支p-粗糙路径积分的构造及其在粗糙路径度量下的连续性，并证明了其与相关Π-粗糙路径积分的一致性。
2026-01-10 math.PR
BPHZ Renormalization in Gaussian Rough Paths
利用粗糙路径理论与正则结构的关系，构造了粗糙路径的Bogoliubov-Parasiuk-Hepp-Zimmermann（BPHZ）重整化过程. BPHZ重整化在奇异随机偏微分方程理论中起着核心作用，它保证了模型在正则结构中的收敛性。在这里，我们证明了重整化也是有效的，在粗糙路径设置考虑其应用粗糙路径理论和数学金融。
2021-03-12 math.PR
Probabilistic rough paths II Lions-Taylor expansions and Random controlled rough paths
在前面的贡献\cite{salkeld2021Probabilistic}中引入的概率粗糙路径的概念，我们解决相应的随机控制粗糙路径（首次引入\cite{2019arXiv180205882.2B}），其结构是由狮子森林索引。这些是由基础概率粗糙路径上的喷射和剩余项的组合描述的路径空间上的统计分布。后者的正则性便于粗糙积分的定义。我们建立了随机控制粗糙路径上的两个关键算子：粗糙积分和Wasserstein空间上的光滑函数复合的闭性和稳定性。这些都是重要的结果走向一个完整的理论粗糙的McKean-Vlasov方程仍在酝酿中。证明通过高阶泰勒展开的狮子衍生物，我们严格阐述。耦合的霍普夫代数结构（见\cite{salkeld2021Probabilistic}）和狮子-泰勒展开（在\ref{section:TaylorExpansions}节中建立）引入了许多额外的挑战，这意味着这些结果不仅仅是经典理论的自然扩张。我们致力于追求这些细节。
2022-03-02 math.PR
Optimal extension to Sobolev rough paths
该研究证明满足α>1/p>0的Sobolev路径可提升为Lyons意义下的Sobolev粗糙路径，且存在关于严格凸泛函的唯一最优提升，给出了最小范数提升与布朗运动Stratonovich提升的实例，并提及Besov空间推广。
2022-04-28 math.CA math.FA math.PR
Smooth rough paths, their geometry and algebraic renormalization
本文引入光滑粗糙路径，利用Maurer-Cartan视角实现Lyons延拓定理的纯代数形式及粗糙路径重整化，并扩展至拟几何与Hopf代数框架。
2021-11-30 math.CA math.PR math.RA
On Sobolev rough paths
引入了具有Sobolev正则性的粗糙路空间和相应的受控Sobolev路的概念。在此基础上，我们研究了粗糙路径积分和粗糙微分方程。作为主要结果，我们证明了对于任意低正则性$α$和可积性$p$，由粗路驱动的微分方程的解映射是Sobolev粗路空间上的局部Lipschitz连续映射，只要$α>1/p$满足.
2020-10-03 math.PR
Approximate Transitivity of Young Translation on Rough Paths
IRIMAS, Université de Haute-Alsace（阿尔萨斯大学 IRIMAS）；LAMA, Université Gustave Eiffel（巴黎东岸大学 LAMA）；IUF（法国高等教育与研究高等研究院）；IECL, Université de Lorraine（洛林大学 IECL）
本文证明在粗糙路径空间中Young平移具有稠密轨道，并应用于随机级数和Gaussian过程（包括非中心分数布朗粗糙路径）的全支撑准则。
2026-05-29 math.PR
Random dynamical systems, rough paths and rough flows
我们分析了随机过程到粗糙路/粗糙驱动值过程的常见提升，并给出了这些提升的上循环性质成立的充分条件。我们证明了随机粗糙微分方程驱动的电梯诱导随机动力系统。特别地，我们的结果意味着由分数布朗运动的Friz-Victoir意义下的提升驱动的粗糙微分方程诱导随机动力系统。
2016-12-06 math.PR
Regularization by noise for rough differential equations driven by Gaussian rough paths
本文研究了由Gaussian粗糙路径驱动的粗糙微分方程，在非确定性和一致椭圆性条件下证明了低正则性漂移的逐路径适定性，并利用流变换和Malliavin计算确定了分数布朗运动下漂移的Hölder连续性界限。
2024-02-14 math.PR
A uniform estimate for rough paths
我们证明了经典的粗糙路径连续性定理的一个推广。我们发现，两个$p$粗糙路径是密切的，在所有级别的迭代积分提供的第一个$\lfl p \rfl$条款是密切的，在一个统一的意义。应用包括估计两个一致接近路径的签名的差异和高斯粗糙路径的收敛速度。
2013-11-05 math.PR
Controlled Rough Paths on Manifolds I
在本文中，我们建立了流形上的控制粗糙路理论的基础。一些自然的候选人的定义流形值控制粗糙路径的发展和证明是等价的。然后定义了沿着这样一条受控路径的受控粗糙单形理论及其所得积分。这种一般的积分理论确实需要在流形上引入一种额外的几何结构，我们称之为“平行性”。“讨论了平行变换下的变换性质。利用这些变换性质，它表明，沿流形值控制粗糙路径的光滑的一种形式的集成实际上是定义良好的独立于任何额外的几何结构。我们提出了一个理论的推进，并显示它是如何与我们的整合理论兼容。最后，我们给出了一个粗糙微分方程的解被解释为流形上的受控粗糙路径时的一些特征，然后证明了这样的解的存在性和唯一性。
2015-06-21 math.CA math.DS math.PR
General Rough integration, Levy Rough paths and a Levy--Kintchine type formula
我们考虑带跳跃的粗糙路径。特别地，在跳跃环境下建立了Lyons延拓定理和粗糙积分的类比，为随机积分的cadlag过程提供了一种途径性的观点.利用李群值Levy过程的Hunt框架，引入了一类Levy粗路，并刻画了其左不变扩散向量场上的次椭圆性条件和群上的Carnot-Caratheodory范数关于Levy测度的可积性. Levy粗路径的例子包括由D. Williams，磁场中的纯区域泊松过程和布朗运动。给出了期望签名的一个显式公式。
2014-11-27 math.PR
Stochastic Calculus with respect to G-Brownian Motion Viewed through Rough Paths
本文研究了伊藤型和Stratonovich型随机积分关于$G$ -布朗运动的粗糙路径性质.对$G$ -布朗运动的粗糙度进行了估计，得到了$G$ -框架下的路径Norris引理.
2016-08-23 math.PR
Chaos processes as rough paths
本文研究了生活在固定Wiener混沌中的过程$X_t$的粗糙路径结构。具体来说，我们制定了各种类型的粗电梯的$X_t$和研究他们的属性。作为应用，我们研究了由$X_t$驱动的粗糙微分方程的相关量的可积性。
2023-03-16 math.PR
Small ball probabilities, metric entropy and Gaussian rough paths
研究了高斯粗糙路径的小球概率。虽然许多粗糙路径的工作研究的大偏差原则（LDPs）的高斯粗糙路径驱动的随机过程，这是一个值得注意的差距，在文献中，SBPs没有被扩展到粗糙路径框架。LDP提供了关于建立可积性类型属性的度量的宏观信息。SBPs提供微观信息，并用于建立局部精确的近似测量。考虑到再生核希尔伯特空间（RKHS）球的紧性，它的度量熵为如何逼近高斯粗糙路径的规律提供了宝贵的信息.作为应用，我们能够找到路径空间中经验粗糙高斯测度收敛到其真实规律的收敛速率的上界和下界.
2021-08-03 math.PR
A moment estimate of the derivative process in rough path theory
本文证明了由布朗粗路驱动的粗微分方程的导数过程对任何$r /ge 1$都具有有限的$L^r$ -矩。由于Burkholder-Davis-Gundy不等式的存在，这类问题在通常的非线性理论中很容易解决。然而，在粗糙路径理论的背景下，它似乎并不那么明显。
2010-07-27 math.PR
Rough Paths above Weierstrass Functions
针对多元 Weierstrass 函数缺乏显式粗糙路径提升的问题，本文构造其迭代积分，并据此给出由该确定性不规则信号驱动的微分方程解及示例。
2024-04-04 math.CA math.DS math.PR
Examples of Itô càdlàg rough paths
基于Itô积分的并矢近似，我们证明了一般半鞅、适当的高斯过程和非负典型价格路径上Itô càdlàg粗路径的存在性.进一步，给出了càdlàg路的Lyons-Victoir扩张定理，证明了有限$p$ -变差的càdlàg路都可以提升为粗糙路.
2018-02-26 math.PR
From random walks to rough paths
Donsker的不变原理被证明对粗路拓扑中的随机游动成立。作为应用，我们得到了随机积分和微分方程的Donsker型弱极限定理。
2008-10-15 math.PR
An Itô-Wentzell formula for rough paths
本文给出了适用于具有$α$ -Hölder正则性$α\in (\frac{1}{3},\frac{1}{2}]$的粗糙路径的Itô-Wentzell型公式.改进了R. Castquini和P. Catuogno的Young积分和C.凯勒和J.张的崎岖之路。
2022-06-20 math.PR
Differential equations driven by rough paths with jumps
我们发展了伊藤随机积分和一般半鞅驱动的-微分方程的粗糙路径对应。这大大扩大了类（伊藤/向前）随机微分方程治疗的路径方法。一些应用程序进行了讨论。
2017-09-15 math.PR
A stochastic Taylor-like expansion in the rough path theory
本文在粗糙路理论的背景下，建立了一类以小参数为指标的It ^{o}映射的Taylor展开式.我们不仅处理了粗糙度$p$满足$[p]=2$的情况，而且还处理了$[p] ge 3$满足$[p]=2$的情况。作为应用，我们讨论了布朗粗糙路的It^{o}泛函的Laplace渐近性.
2010-04-09 math.PR
Rough paths and regularization
正则化微积分和粗糙路径是逼近随机积分和接近路径微积分的两种方法。粗糙路径理论的起源是纯粹的确定性，通过正则化的微积分是基于确定性技术，但仍然有一个概率的背景。本文的目的是建立随机控制型过程，一个概念，让人想起粗糙路径理论，和所谓的弱狄利克雷过程之间的联系。作为一个副产品，我们提出了c{à}dl{à}g弱Dirichlet过程被积函数和连续半鞅积分粗糙积分和Stratonovich积分之间的联系。
2021-06-15 math.PR
Construction and Skorohod representation of a fractional K-rough path
我们继续了文献[3]中关于时空分数噪声驱动的非线性扰动热方程模型的研究。使用一般的结果从海尔的正则结构理论，分析减少到一个所谓的K-粗糙路径的建设（以上的噪音），我们在这里介绍的一个概念，作为一个妥协的正则结构形式主义和粗糙路径理论。展示这样一个K粗糙路径在三阶允许我们覆盖整个粗糙域，扩展到标准的时空白噪声的情况。我们还提供了一个表示这种抽象的K-粗糙路径的Skorohod随机积分。
2016-07-19 math.PR
Weak solutions of rough path SDE's via Girsanov
考虑一个由布朗运动和粗糙路径共同驱动的微分方程，证明了该方程在概率意义下构造弱解的Girsanov型结果.
2018-05-03 math.PR
Introduction to rough paths theory
本文基于2022年巴西概率学校课程，简明介绍里昂粗糙路径理论，重点阐述其在随机微分方程中的应用。
2023-10-11 math.PR
Continuity of the Ito-Map for Hoelder rough paths with applications to the support theorem in Hoelder norm
Lyons的粗糙路径理论目前是在p-变分拓扑中形成的。我们推广他的主要结果，通用极限定理，一个更强的Hoelder拓扑。研究了布朗粗糙路的几种近似。作为我们方法的应用，我们得到著名的支撑定理（Hoelder拓扑）作为直接（！）必然的结果
2003-08-08 math.PR
Large deviations for rough paths of the fractional Brownian motion
从Coutin和Qian（2002）给出的具有Hurst参数$H\in]{1/4}, {1/2}[$的分数阶布朗运动的几何粗路出发，证明了几何粗路空间中的一个大偏差原理，推广了高斯过程的经典结果.作为副产品，得到了与分数布朗运动的再生核希尔伯特空间的元素相关联的几何粗糙路径，并给出了一个显式的整表示.
2004-12-09 math.PR
Large deviation principle for certain spatially lifted Gaussian rough path
在Hairer型粗糙随机偏微分方程理论中，两参数连续高斯过程关于空间变量的粗糙路径提升起主要作用。这种过程的一个突出例子是在周期条件下的随机热方程的解。本文的主要目的是证明该过程的空间提升规律在几何粗糙道路空间上的连续道路空间上满足Schilder型大偏差原理。
2014-02-06 math.PR
Doob--Meyer for rough paths
最近，Hairer-Pillai提出了路径的$θ$ -粗糙度的概念，并由此导出了一个确定性的Norris引理.在粗糙路径的Gubinelli框架（Hoelder，第2级）中，他们能够证明Hoermander类型的结果（分数布朗运动驱动的SDES，$H>1/3$）。我们退一步，并提出了一个自然的“粗糙度”条件相对于一个给定的$p$粗糙的道路在里昂的意义上，其目的是一个Doob-Meyer粗糙积分的里昂意义上的结果。在我们的（较弱）条件的兴趣是，它立即验证了大类的高斯过程，也在无限维。我们的结论与应用程序的非马尔可夫系统下Hoermander的条件。
2012-05-11 math.PR
Random dynamical systems generated by rough differential equations driven by controlled rough paths
School of Mathematics and Statistics, Lanzhou University（兰州大学数学与统计学院）；Gansu Provincial Research Center for Basic Disciplines of Mathematics and Statistics（甘肃省数学与统计学基础学科研究中心）
本文研究由受控粗糙路径驱动的粗糙微分方程，通过典范提升建立路径wise适定性，构造可微解余圈，并证明局部稳定、不稳定和中心流形的不变性。
2026-09-23 math.PR
Quasi-sure Existence of Gaussian Rough Paths and Large Deviation Principles for Capacities
我们构建了一个准肯定的版本（在Malliavin的意义上）的几何粗糙路径与高斯过程的长时间记忆。作为应用，我们建立了一个大偏差原则（LDP）的能力，这样的高斯粗糙路径。结合Lyons的万有极限定理，我们的结果直接给出了在粗糙路径意义下由这种高斯过程驱动的随机微分方程的路径解的相应结果.此外，我们的LDP结果暗示了Yoshida关于与这种高斯过程相关联的抽象Wiener空间上的容量的LDP结果。
2014-10-26 math.PR
The geometry of the space of branched Rough Paths
我们构造了Hölder函数的巴拿赫空间在分支粗糙路空间上的一个显式传递自由作用，特别地，它给出了这两个空间之间的一个双射.这赋予空间的分支粗糙路径的结构的主齐性空间在巴拿赫空间，并允许其自同构的特点。该构造基于Baker-Campbell-Hausdorff公式、Lyons-Victoir延拓定理的构造性版本和Hairer-Kelly映射，该映射允许用各向异性几何粗糙路径来描述分支粗糙路径。
2019-11-17 math.PR
Approximation of rough paths of fractional Brownian motion
本文研究了具有Hurst参数$H\in]{1/4}, {1/2}[$的分数布朗运动的几何粗糙路径。利用再生核希尔伯特空间元素上的粗糙路径序列，给出了模型距离的一个二阶近似结果.
2005-09-15 math.PR
Rough path theory and an introduction to rough partial differential equations
Albert Ludwig University of Freiburg（弗莱堡大学）
本文介绍粗偏微分方程的基本理论，涵盖粗路径理论及其在随机偏微分方程中的应用。
2026-05-11 math.FA math.PR
The geometry of controlled rough paths
本文证明任意阶受控（分支）粗糙路径空间构成连续 Banach 空间场，建立内蕴拓扑与逼近结果，并使粗糙积分及 Itô-Lyons 映射连续且保持结构。
2022-03-11 math.CA math.PR math.RA
