MacWilliams identities for poset level weight enumerators of linear codes
已经考虑了各种度量上的代码，例如Rosenbloom-Tsfasman（RT）、Lee等。最近，偏序集度量上的码得到了研究。偏序集度量是许多度量的一个很好的推广，特别是著名的度量如RT和Hamming度量。偏序集度量可以在具有局部错误发生的信道上实现。已经证明，MacWilliams恒等式对于一般偏序集度量上的码是不可接受的[Kim and Oh，2005]。最近，为了克服这个问题，一些进一步的研究偏序集度量上的MacWilliams恒等式已经提出。本文引入了Frobenius交换环上线性码的偏序集水平权计数元。我们推导出MacWilliams型的身份为每个给定的枚举，在很大程度上推广了以前的文献中讨论的结果。大多数的重量枚举在文献中，如汉明，Rosenbloom-Tsfasman和完整的m-spotty重量枚举遵循这些身份的推论。
2014-08-07 cs.IT math.IT
Weight Enumerators From Equivalence Relations and MacWilliams Identities
University of Scranton（斯克兰顿大学）
本文研究了有限域、有限阿贝尔群和有限Frobenius环上的码，定义了关于等价关系的重量枚举器，确定了其满足MacWilliams关系的条件，并探讨了特定等价关系下的重量枚举器。
2025-10-31 cs.IT math.IT
MacWilliams Identity for Codes with the Rank Metric
麦克威廉姆斯恒等式将码的重量分布与其对偶码的重量分布联系起来，在确定码的重量分布时很有用。本文给出了具有秩度量的线性码的MacWilliams恒等式，该恒等式与Delsarte的恒等式具有不同的形式.使用我们的MacWilliams身份，我们也得到相关的身份秩度量码。这些身份平行的二项式和幂矩的身份与汉明度量的代码。
2007-11-28 cs.IT math.IT
Codes on graphs: Duality and MacWilliams identities
一个概念框架，涉及正常因子图的分区函数的介绍，类似的最近发展的铝Bashabsheh和毛。证明了对偶正规因子图的配分函数是一个傅里叶变换对，无论图是否有圈。原来的正规图对偶定理作为推论如下。在这个框架内，MacWilliams恒等式被发现用于图上的一般群或线性码的各种局部和全局权重生成函数;这推广并提供了最近由Gluesing-Luerssen和Schneider发现的线性时不变卷积码的MacWilliams恒等式的简洁证明。进一步MacWilliams身份开发终止卷积码，特别是咬尾码，类似于最近研究的Bocharova，拥抱，Johannesson和Kudryashov。
2010-11-20 cs.IT math.IT
Classification of poset-block spaces admitting MacWilliams-type identity
本文证明了偏序集块空间存在MacWilliams型恒等式的充要条件是偏序集是层次的，且在偏序集的任何层上，所有块都具有相同的维数。当偏序块允许MacWilliams型恒等式时，我们给出了码的权枚举数与其对偶码的权枚举数之间的关系。
2012-02-28 cs.IT math.IT
MacWilliams Identities for Terminated Convolutional Codes
Shearer和McEliece [1977]证明了正交线性卷积码的自由距离谱不存在MacWilliams恒等式。另一方面，我们证明了线性卷积码C和它的正交码C^ \perp的单位时间重量分布的生成函数之间确实存在MacWilliams恒等式，并且这种分布与用于估计码性能的自由距离谱一样有用。这些观察结果与Bocharova，Hug，Johannesson和Kudryashov最近的观察结果相似;然而，我们专注于通过咬尾而不是截断来终止。
2010-04-22 cs.IT math.IT
MacWilliams Type identities for $m$-spotty Rosenbloom-Tsfasman weight enumerators over finite commutative Frobenius rings
$m$斑点字节差错控制码为使用具有宽I/O数据（例如，8、16或32位）的高密度RAM芯片的半导体存储器系统中的差错检测和校正提供了良好的源。$m$ -不均匀字节差错控制码非常适合于突发校正。M.Özen和V. Siap [7]证明了二进制码的$m$ -spotty Rosenbloom-Tsfasman（简称RT）重量枚举数的MacWilliams恒等式。本文的主要目的是给出有限交换Frobenius环上线性码的$m$ -斑点RT重量计数元的MacWilliams型恒等式.
2013-07-06 cs.IT math.IT
MacWilliams type identities for some new $m$-spotty weight enumerators
在过去的几年里，具有宽I/O数据的高密度RAM芯片得到了广泛的使用（例如，16、32、64位）。这些芯片极易受到一种特殊类型的字节错误的攻击，这种错误称为$m$斑点字节错误，可以使用字节错误控制码有效地检测或纠正这种错误。本文给出了整数环上和任意有限域上的字节差错控制码的联合$m$-斑点重量计数器和分裂$\ell$-斑点重量计数器。我们还推导出上述枚举的MacWilliams类型的身份，并讨论了他们的一些应用。
2011-11-11 cs.IT math.IT
Weights on finite fields and failures of the MacWilliams identities
Western Michigan University（西密歇根大学）
研究有限域上权重与MacWilliams恒等式的失效，发现存在具有相同权重枚举但对偶码不同的线性码。
2026-01-05 cs.IT math.IT
MacWilliams type identities for some new $m$-spotty weight enumerators over finite commutative Frobenius rings
在过去的几年中，具有宽I/O数据（例如，16、32、64位）的RAM芯片在计算机存储器系统中得到了广泛的使用。这些芯片极易受到一种特殊类型的字节错误的攻击，这种错误称为$m$斑点字节错误，可以使用字节错误控制码有效地检测或纠正这种错误。麦克威廉姆斯恒等式提供了码的重量分布与其对偶码的重量分布之间的关系。本文介绍了有限交换Frobenius环上字节差错控制码的$m$-spotty Hamming重量计数器、联合$m$-spotty Hamming重量计数器和分裂$m$ -spotty Hamming重量计数器以及无限族环上的$m$ -spotty Lee重量计数器。此外，MacWilliams类型的身份也来自这些枚举。
2013-07-06 cs.IT math.IT
MacWilliams Identity for the Rank Metric
本文研究了线性码的秩重分布与其对偶码的秩重分布之间的关系。本文的主要结果是，类似于Hamming度量的MacWilliams恒等式，任何线性码的秩重分布都可以表示为它的对偶码的秩重分布的解析表达式。值得注意的是，我们的新恒等式与汉明度量的麦克威廉姆斯恒等式具有相似的形式。新的恒等式为线性码的秩重分布分析提供了一个重要的分析工具。我们使用一个线性空间为基础的方法在证明我们的新身份，并适应这种方法提供了一个替代证明的汉明度量的麦克威廉姆斯身份。最后，我们确定了线性码的秩分布的矩与其对偶码的秩分布的矩之间的关系，并给出了最大秩距离码的秩重量分布的另一种推导方法。
2007-01-16 cs.IT math.IT
Weights with Maximal Symmetry and Failures of the MacWilliams Identities
Western Michigan University（西密歇根大学）
该文研究有限链环与有限域矩阵环上具最大对称性的权的w-权计数多项式，发现含齐次权在内的诸多情形下MacWilliams恒等式失效，即存在同w-权计数多项式的线性码其对偶码的w-权计数多项式不同。
2024-04-10 cs.IT math.IT math.RA
A multiset approach to MacWilliams identities
School of Mathematics and Statistics, UNSW Sydney（新南威尔士大学悉尼数学与统计学院）
本文提出一种基于多重集求和的新证明方法，用于推导有限交换Frobenius环上线性码的对称权重枚举器的MacWilliams恒等式，并推广至支撑和码字元组情形。
2025-09-25 cs.IT math.CO math.IT
A MacWilliams type identity for m-spotty generalized Lee weight enumerators over $\mathbb{Z}_q$ q
突发错误在实践中非常常见。为了控制和纠正这种错误，已经有许多设计。近来，已经专门设计了一类称为斑点字节差错控制码的新的字节差错控制码，以适应使用具有8、16和32位输入/输出数据的高密度随机存取存储器（RAM）芯片的大容量存储器系统。麦克威廉姆斯恒等式描述了线性码的重量计数器和其对偶码的重量计数器如何相关。Lee度量也因其应用而吸引了许多研究者。本文将这两个有趣的主题结合起来，引入了Zq上码的m-spotty广义Lee重量和m-spotty广义Lee重量枚举数，并证明了一个MacWilliams型恒等式.这种推广包括了文献[I]中给出的恒等式的情形。李权枚举数的M-点李权恒等式，应用数学。23（1）（2010）13-16]和文献[M.Özen，V. J.，有限域上线性码的m-spotty重量枚举数的MacWilliams恒等式，Comput. 61（4）（2011）1000-1004]作为特例。
2013-02-01 cs.IT math.IT
A MacWilliams Identity for Convolutional Codes: The General Case
将建立卷积码的MacWilliams恒等式。它利用的代码和它的对偶的重量邻接矩阵，基于状态空间实现（控制器规范形式）的代码的问题。麦克威廉姆斯恒等式适用于卷积编码理论文献中出现的各种对偶概念。
2008-05-22 cs.IT math.IT math.OC
Quantum Codes from additive constacyclic codes over a mixed alphabet and the MacWilliams identities
设$\mathbb{Z}_p$是模素数$p$的整数环，其中$p-1$是模$p$的二次剩余。本文研究了链环$\mathcal{R}=\frac{\mathbb{Z}_p[u]}{\langle u^2\rangle}$和$\mathcal{S}=\frac{\mathbb{Z}_p[u]}{\langle u^3\rangle}$上的常循环码.利用环$\mathcal{R}$和环$\mathcal{S},$上的生成多项式分别研究了环$\mathcal{R}\mathcal{S}$和环$\mathbb{Z}_p\mathcal{R}\mathcal{S}$上的加法常循环码.进一步，通过定义$\mathcal{R}$，$\mathcal{S}$和$\mathbb{Z}_p\mathcal{R}\mathcal{S},$上的Gray映射，得到了加性码的Gray象的一些结果.然后给出了$\mathbb{Z}_p\mathcal{R}\mathcal{S}$上加法码的重量计数和MacWilliams恒等式.最后，作为所得码的一个应用，我们给出了基于CSS构造的量子码。
2022-12-26 cs.IT math.IT
The MacWilliams identity for $m$-spotty weight enumerator over $\mathbb{F}_2+u\mathbb{F}_2+\cdots+u^{m-1}\mathbb{F}_2$
在过去的几年中，具有宽I/O数据（例如16、32、64位）的RAM芯片在计算机存储器系统中得到了广泛的使用。这些芯片极易受到一种特殊类型的字节错误的攻击，这种错误称为$m$斑点字节错误，可以使用字节错误控制码有效地检测或纠正这种错误。麦克威廉姆斯恒等式提供了码的重量分布与其对偶码的重量分布之间的关系。本文的主要目的是给出$\mathbbm{F}_{2}+u\mathbbm{F}_{2}+\cdots+u^{m-1}\mathbbm{F}_{2}$上的$m$ -点权枚举数（简称$R_{u, m, 2}$）的MacWilliams恒等式.
2013-07-06 cs.IT math.IT
Fourier-Reflexive Partitions and MacWilliams Identities for Additive Codes
有限阿贝尔群的划分通过傅立叶变换产生特征标群上的对偶划分。研究了对偶分拆的性质，并给出了对偶分拆与原分拆重合的一个简便的检验方法。这样的划分允许添加码的划分枚举数的MacWilliams恒等式。证明了对偶化与给定群的卡方幂上分拆的取积和对称化积是可交换的。在将结果翻译成Frobenius环，这是确定与他们的字符模块，该方法适用于分区所产生的偏序集结构。
2013-04-03 cs.IT math.CO math.IT
The MacWilliams Identity for the Skew Rank Metric
本文针对斜秩度量下的斜对称矩阵码，引入斜q代数并结合广义Krawtchouk多项式，推导得到函数变换形式的q模拟MacWilliams恒等式，进而得到该类码斜秩分布的若干矩。
2023-05-02 cs.IT math.IT
Linear Codes over Z_4+uZ_4: MacWilliams identities, projections, and formally self-dual codes
考虑环Z_4+uZ_4上的线性码，uZ_4是Z_4的非链扩张.定义了这类码的Lee重量和Gray映射，证明了完备枚举数、对称枚举数和Lee重量枚举数的MacWilliams恒等式。本文考虑了Z_4+uZ_4到环Z_4和F_2+uF_2的两个投影，并结合这两个投影研究了Z_4+uZ_4上的自对偶码。最后给出了环Z_4+uZ_4上形式自对偶码及其Z_4-象的三种构造方法，并给出了由这些构造方法得到的形式自对偶Z_4-码的一些好例子。
2013-07-11 cs.IT math.IT math.RA
On the MacWilliams Identity for Classical and Quantum Convolutional Codes
与卷积码（CC）相关联的权重生成函数基于状态空间实现或权重邻接矩阵（WAM）。WAM上CC的MacWilliams恒等式首先由Gluesing-Luerssen和Schneider在最小编码器的情况下建立，并由Forney推广。我们考虑这个问题的观点，约束码，并获得一个简单而直接的证明，这MacWilliams身份的情况下，最小的编码器。为了我们的目的，我们选择了一个不同的表示的确切重量生成函数（EWGF）的分组码，通过定义它作为一个线性组合的正交向量的狄拉克bra-ket符号。这种表示提供了很大的灵活性，使一般的分裂重量生成函数和他们的MacWilliams身份可以很容易地获得从MacWilliams身份的EWGF。作为结果，我们还获得了输入奇偶校验的重量邻接矩阵的系统卷积码和它的对偶的MacWilliams恒等式。最后，与经典情形的发展并行，我们建立了量子卷积码的MacWilliams恒等式。
2016-06-24 cs.IT math.IT quant-ph
On the MacWilliams Identity for Convolutional Codes
与卷积码相关联的邻接矩阵以详细的方式收集关于码的权重分布的信息。一个MacWilliams恒等猜想，说明一个码的邻接矩阵完全决定了对偶码的邻接矩阵，将制定，和一个明确的公式转换将说明。该公式涉及的MacWilliams矩阵已知的完整重量枚举的分组码。该猜想将被证明为一类卷积码，其中代码本身或其对偶不具有大于1的Forney指数。对于一般情况下的猜想是支持了许多例子，和一个较弱的版本将建立。
2006-03-02 cs.IT math.IT math.OC
Codes over Finite Ring $\mathbb{Z}_k$, MacWilliams Identity and Theta Function
本文基于格和Theta函数研究有限环$\mathbb{Z}_k$上的线性码，推广现有工作得到完全及对称重量计数器的MacWilliams恒等式，还在$k$为素数时建立Theta函数与汉明重量计数器的关系。
2025-04-17 cs.CR cs.IT math.IT
MacWilliams Identities for $m$-tuple Weight Enumerators
Yale University（耶鲁大学）
研究关于m元组重量枚举器的麦克威廉姆斯恒等式，通过证明布里茨等人定理的推广得出结论，并给出m元组重量枚举器示例。
2026-07-22 cs.IT math.CO math.IT
The MacWilliams Identity for Krawtchouk Association Schemes
本文利用 $b$-代数统一了基于秩度量、斜秩度量和 Hermitian 矩阵的 Krawtchouk 结合方案的 MacWilliams 恒等式理论，并推导了码重量分布的矩。
2024-01-14 cs.IT math.IT
MacWilliams Theory over Zk and nu-functions over Lattices
本文推广了 MacWilliams 理论至 Zk 上多码情形及有限生成环上的码，并给出格上 nu-函数新公式，通过反例证明 Solé 猜想仅在二元码相关格上成立。
2025-04-24 cs.IT math.IT
The MacWilliams Identity for the Hermitian Rank Metric
本文通过引入负 q-代数，为有限域上配备秩度量的埃尔米特矩阵码建立了麦克威廉姆斯恒等式及其相关矩，推广了 Schmidt 的近期工作，并强调了与斜秩度量方法的相似性以便未来推广。
2024-01-14 cs.IT math.IT
Harmonic higher weight distributions, Simonis' approach of MacWilliams identity and moments
Shahjalal University of Science and Technology（沙贾拉勒科技大学）
该研究针对线性码的调和高权分布给出西蒙尼斯型MacWilliams恒等式的组合证明，推导了随机线性码调和高权枚举子的矩相关性质及协方差公式。
2026-08-31 cs.IT math.CO math.IT
Bounds on absolutely maximally entangled states from shadow inequalities, and the quantum MacWilliams identity
一个纯多体量子态称为绝对最大纠缠态（AME），如果通过追踪至少一半的量子态而得到的所有约化都是最大混合态。最大纠缠存在于每一个二分区中。在许多情况下，这些国家的存在并不清楚。借助于由量子纠错得到的加权计数器机制和广义影子不等式，我们得到了大于2维的AME态存在的新的界.为了完成对重量计数器机器的处理，量子MacWilliams恒等式在Bloch表示中被导出。最后，我们考虑AME状态的子系统具有不同的局部尺寸，并提出了一个例子，为$2 \times3 \times 3 \times 3$系统，显示最大的纠缠在每个bipartition。
2017-11-29 cs.IT math.IT quant-ph
A duality for nonabelian group codes
本文针对非阿贝尔群码是否存在对偶性与MacWilliams公式这一开放问题，基于群的不可约表示提出新的对偶性概念，并证明了相应的Greene定理和MacWilliams恒等式，推广了经典结果。
2024-02-27 cs.IT math.GR math.IT
MacWilliams Identities for Intrinsic Quantum Codes
Florida State University（佛罗里达州立大学）；University of California, San Diego（加州大学圣地亚哥分校）
本文提出内在枚举框架，用于单位ary表示对称群下的量子纠错，通过引入投影和twirl枚举器，建立内在MacWilliams恒等式，并应用于对称幂表示，给出置换不变的量子码线性规划界。
2026-08-28 cs.IT math.IT quant-ph
An Elementary Approach to MacWilliams Extension Property and Constant Weight Code with Respect to Weighted Hamming Metric
Fudan University（复旦大学）；The University of Hong Kong（香港大学）
本文用初等线性代数方法刻画了加权汉明度量下的MacWilliams扩展性质与恒重码，并证明当权重退化为常数1时可恢复汉明度量码的两个经典结论。
2025-11-02 cs.IT math.IT
Mixed-dimensional quantum MacWilliams identity: Bounds for codes and absolutely maximally entangled states in heterogeneous systems
Universitat de Barcelona（巴塞罗那大学）；Universitat Politècnica de Catalunya（加泰罗尼亚理工大学）
针对异构量子系统，本文提出基于维度多重集的数学框架，推导混合维量子MacWilliams恒等式，并推导出混合维量子Hamming、Singleton和Scott界，用于分析绝对最大纠缠态的约束。
2026-09-02 cs.IT math.CO math.IT
Orthogonal Polynomials and the MacWilliams Transform for Permutation-Invariant Qudit Codes
University of California, San Diego（加州大学圣地亚哥分校）
本文推导了排列不变量子拟态码的内在麦克威廉斯变换显式公式，利用对称幂表示和共轭作用的不可约分解，识别出内在麦克威廉斯矩阵为有限的拉卡变换，通过终止超几何级数和正交多项式参数化，得到闭式正交性、详细平衡和反演性身份。
2026-05-14 cs.IT math.IT quant-ph
Performance Analysis of Quantum CSS Error-Correcting Codes via MacWilliams Identities
University of Bologna（博洛尼亚大学）
本文通过MacWilliams恒等式分析量子CSS纠错码的性能，推导出不同码的渐近误差率，并探讨了量子退化的意义。
2025-12-11 cs.IT math.IT quant-ph
Duality of codes supported on regular lattices, with an application to enumerative combinatorics
本文在有限交换群上引入了一类正则权函数，并研究了具有这类函数的码的组合学、对偶理论和度量性质。权值是通过构造一个合适的支持度映射和满足一定正则性的分次格的秩函数得到的。一个群上的正则权正则地导出一个特征标群上的正则权，并且可逆的麦克威廉姆斯恒等式对于这样一对权总是成立的。此外，相应的MacWilliams变换的Krawtchouk系数具有精确的组合意义，并且可以用底层格的不变量来表示。特别是，它们在许多示例中很容易计算。传统上在编码理论中研究的几种权函数都属于本文所介绍的权类。我们的格理论方法还提供了一个控制度量结构，一个定期的重量诱导的基础组。特别是，它允许表明，每一个有限的阿贝尔群承认的重量功能，同时，引起麦克威廉姆斯身份，并赋予基本组与度量空间结构。我们提出了一个一般性的概念极值（不一定是加性）码的群赋予半正则支持，并建立一个Singleton型界。然后，我们研究组合学和对偶理论的极值码，扩展经典的结果的重量和距离分布的纠错码。最后，我们将MacWilliams恒等式理论应用于计数组合问题，得到了有限域上具有给定秩且满足某些线性条件的矩形矩阵个数的封闭公式.
2017-10-31 cs.IT math.CO math.IT
Rank-metric codes and their duality theory
比较了Delsarte和Gabidulin提出的秩度量码的两种对偶理论，证明了前者是后者的推广。对于一般的Delsarte秩度量码，我们给出了MacWilliams恒等式的初等证明.我们得出的身份是非常容易处理，并允许我们重新建立一个非常简洁的方式的主要成果理论的秩度量码首先证明了德尔萨特采用理论的关联计划和经常半格。我们还表明，我们的身份意味着作为一个推论，原来的麦克威廉姆斯身份建立的Delsarte。我们描述了如何最小和最大秩的秩度量码的最小和最大秩的对偶码，给出了一些界限和特征的代码实现它们。然后，我们研究最佳的反码的秩度量，描述他们的最佳代码（即，MRD码）。特别地，我们证明了一个最佳反码的对偶是一个最佳反码。最后，作为我们的结果在计数组合学中的一个经典问题的应用，我们得到了一个递归的和一个显式的公式，$k \times m$矩阵的数量在有限域上具有给定的秩和$h$ -迹。
2015-04-02 cs.IT math.CO math.IT
Properties of Rank Metric Codes
本文研究了具有秩度量的码的一般性质。本文首先研究了秩度量码的渐近填充性质。然后，我们研究了秩度量码的球面覆盖性质，推导了它们的参数界，并研究了它们的渐进覆盖性质。最后，我们建立了几个恒等式，这些恒等式将线性码的秩重分布与其对偶码的秩重分布联系起来。我们的一个恒等式是汉明度量的麦克威廉斯恒等式的对应物，它与德尔萨特的恒等式有不同的形式。
2007-06-12 cs.IT math.IT
On weight spectrum of linear codes
我们研究具有均匀权谱的线性或仿射码序列，即，具有任何固定权重的码字的一部分趋于零。证明了当码的权向量数为$1$时，线性码序列具有一致的权谱。我们发现一个例子的序列的线性码，使尺寸的代码是一半的codelength，但它没有一个统一的重量谱。这个例子生成具有最小支持和部分覆盖集的傅里叶变换的特征函数。此外，我们推广了一些MacWilliams型恒等式。关键词：码的重量分布，对偶码，麦克威廉斯恒等式，傅立叶变换，部分覆盖阵列
2021-07-30 cs.IT math.CO math.IT
On $Z_{2^k}$-Dual Binary Codes
介绍了Gray映射的一种新的推广。新的推广$Φ: Z_{2^k}^n \to Z_{2}^{2^{k-1}n}$与已知的广义Gray映射$ϕ$的联系是：如果我们取两个对偶线性$Z_{2^k}$ -码，并利用Gray映射的推广$ϕ$和$Φ$从它们构造二元码，则所得到的二元码的权枚举数将满足MacWilliams恒等式.描述了一类$Z_{2^k}$ -线性Hadamard码和一类共$Z_{2^k}$ -线性扩展1-完美码，其中共$Z_{2^k}$ -线性是指借助于新的广义Gray映射，可以从线性$Z_{2^k}$ -码得到码.关键词：Gray映射，Hadamard码，MacWilliams恒等式，完美码，$Z_{2^k}$ -线性
2009-10-05 cs.IT math.CO math.IT
On the equivalence between Stein and de Bruijn identities
本文主要证明Stein恒等式与de Bruijn恒等式之间的等价性。在一定条件下，证明了Stein恒等式与de Bruijn恒等式等价.此外，给出了de Bruijn恒等式的一些推广.对于任意但固定的输入和噪声分布，微分熵的一阶导数和后验均值之间存在关系。此外，微分熵的二阶导数与任意输入和噪声分布的Fisher信息有关。几个应用程序，以支持本文中开发的结果的有用性。
2012-07-22 cs.IT math.IT
A User-Centric System for Verified Identities on the Bitcoin Blockchain
我们提出了一个内置于比特币区块链中的身份管理方案，允许身份与区块链本身一样不可磨灭。此外，我们利用比特币的去中心化特性来促进用户和身份提供商之间的共享控制，允许用户直接管理自己的身份，流畅地协调来自不同提供商的身份，即使身份提供商可以撤销身份并实施控制。
2017-10-05 cs.CR cs.IT math.IT
