Hadwiger's conjecture for 3-arc graphs
David R. Wood, Guangjun Xu, Sanming Zhou
有向图$D$的3-弧图被定义为具有$D$的弧的顶点使得两个弧$uv, xy$相邻当且仅当$uv$和$xy$是$D$的不同弧，其中$v\ne x$、$y\ne u$和$u,x$相邻。证明了Hadwiger猜想对3-弧图成立。
The 3-arc graph of a digraph $D$ is defined to have vertices the arcs of $D$ such that two arcs $uv, xy$ are adjacent if and only if $uv$ and $xy$ are distinct arcs of $D$ with $v\ne x$, $y\ne u$ and $u,x$ adjacent. We prove that Hadwiger's conjecture holds for 3-arc graphs.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
Hadwiger's conjecture: finite vs infinite graphs
我们研究了Hadwiger猜想的有限和无限图的声明的一些版本。
Hadwiger's conjecture implies a conjecture of Füredi-Gyárfás-Simonyi
Hadwiger猜想是图着色乃至图论领域中最重要的开放问题之一。这一猜想的灵感是许多数学作品，其中之一是工作的Füredi，Gyárfás和Simonyi在其中他们“冒着”猜想精确的界限图独立数$2$包含一定的连接匹配。我们证明了他们的猜想将是Hadwiger猜想的一个推论，或者等价地，如果他们的冒险猜想是假的，那么Hadwiger猜想也是假的。
Proof of a conjecture of Hadwiger
定理10的证明错误。
A weak form of Hadwiger's conjecture
我们引入Hadwiger猜想的弱版本：如果$G$是一个图，且$κ$是一个基数使得没有着色图$c:G \to κ$，那么$K_κ$是$G$的一个子图.我们证明了对于具有无限色数的图，这一陈述是成立的
Hadwiger's Conjecture with Certain Forbidden Induced Subgraphs
我们证明了$\{\overline{K_3}, H\}$ -free图不是Hadwiger猜想的反例，其中$H$是33个7，8或9个顶点的图中的任何一个，或$H=K_8$。这改进了Plummer-Stiebitz-Toft、Kriesell和Bosse过去的结果。这些证明大多是计算机辅助的。
Hadwiger's conjecture for the complements of Kneser graphs
Hadwiger猜想断言，每一个色数为$t$的图都包含一个$t$阶的完全子图.给定整数$n \ge 2k+1 \ge 5$，Kneser图$K(n, k)$是顶点为$n$ -集的$k$ -子集的图，使得两个顶点相邻当且仅当相应的$k$ -子集不相交.我们证明了Hadwiger猜想对Kneser图的补图成立。
Verifying Hadwiger's Conjecture for Examples of Graphs with $α(G) = 2$
本文验证了α(G)=2的图中哈迪格猜想的成立，并推广了相关经典结果，证明了多个特定图类的猜想。
Disproof of the Odd Hadwiger Conjecture
该研究通过证明存在特定图不包含奇极小且色数较高，从而否定了奇Hadwiger猜想。
Hadwiger's Conjecture for Proper Circular Arc Graphs
圆弧图是其顶点可以表示为圆上的弧的图，使得任何两个顶点相邻当且仅当它们对应的弧相交。真圆弧图是具有圆弧表示的图，其中没有弧完全包含在任何其他弧中。Hadwiger猜想指出，如果图$G$具有色数$k$，则$k$顶点的完全图是$G$的子图。证明了Hadwiger猜想对真圆弧图的意义。
A Note on Hadwiger's Conjecture
Hadwiger猜想指出，每个无$K_{t+1}$ -子图都是$t$ -列图.它被广泛认为是图论中最重要的理论之一。如果每个无$K_{t+1}$ -minor图的最小度至多为$δ$，则每个无$K_{t+1}$ -minor图都是用最小度贪婪算法求出的$(δ+1)$ -列.本文的目的是证明一个稍微好一点的上界。
A Note on Graph Characteristics and Hadwiger's Conjecture
这是由单纯复形的Euler-Poincare特征激发的关于三个图参数的注记。本文证明了给定连通图$G$的这三个图参数都大于或等于具有$\max(h(G),χ(G))$顶点的完全图的这三个图参数。利用特殊类型的诱导子图的个数，得到Hadwiger数和色数的三个不同的同时上界。本文还讨论了Hadwiger猜想的一些应用。
Strengthening Hadwiger's conjecture for $4$- and $5$-chromatic graphs
Hadwiger著名的着色猜想指出，每个$t$ -色图都包含一个$K_t$ -子图. Holroyd [Bull. London Math.Soc.29，（1997），pp. [139- 144]证明了Hadwiger猜想的以下加强：如果$G$是一个$t$ -色图，且$S \subseteq V(G)$取$G$的每个$t$ -色中的所有颜色，则$G$包含一个根在$S$的$K_t$ -子图.我们证明了这个猜想在第一个开放的情况下，$t=4$。值得注意的是，我们的结果也直接意味着一个更强的版本的Hadwiger猜想的$5$ -色图如下：每个$5$ -色图包含一个$K_5$ -子单支集。事实上，在一个$5$ -顶点临界图中，我们可以指定单点分支集为图的任何顶点。
Improved bound for Hadwiger's conjecture
Hadwiger在1943年证明了对任何整数$t \ge 1$，任何不含$K_t$子图的图都是$(t-1)$ -可着色的. Kostochka和独立地证明了没有$K_t$子图的图是$O(t(\log t)^{1/2})$ -可着色的。最近，Postle将其改进为可着色的$O(t (\log \log t)^6)$。本文证明了不含$K_t$子图的图是$O(t (\log \log t)^{5})$ -可着色的.
Hadwiger's conjecture for graphs with forbidden holes
给定一个图$G$，$G$的Hadwiger数，记为$h(G)$，是使$G$包含完全图$K_k$作为子图的最大整数$k$。$G$中的空穴是长度至少为4的诱导循环。1943年的Hadwiger猜想指出，对于每个图$G$，$h(G)\ge χ(G)$，其中$χ(G)$表示$G$的色数。本文证明了：如果一个具有独立数$α(G)\ge3$的图$G$在$4$和$2α(G)-1$之间没有洞，则$h(G)\geχ(G)$ .我们还证明了，如果一个具有独立数$α(G)\ge2$的图$G$在$4$和$2α(G)$之间没有长度为洞，则$G$包含一个大小为$χ(G)$的奇团子式，即这样的图$G$满足奇Hadwiger猜想.
Hadwiger's Conjecture for some graphs with independence number two
本文针对独立数为二的图类，证明了当禁止某些指定子图 $H$ 时，哈德维格猜想成立，从而为该猜想提供了新的支持。
Hadwiger conjecture for 8-coloring graph
Hadwiger猜想是半个多世纪以来的一个公开问题，它认为对于每个t-可着色图，至多存在一个完全图Kt，但不存在Kt+1。Hadwiger猜想的一些例子，如1，2，3，4，5，6-可着色图，已经被完全证明是所有1 -5，但证明是非常困难的超过5-可着色图6，7。尽管图论的发展启发了科学家们对图着色的深入理解，但对于7-以上可着色图来说，这仍然是一个悬而未决的问题6，7。因此，我们提出了一种全新的色图结构，并给出了如何在色空间中描述图的着色问题。基于这一思想，我们定义了一个色平面，并在欧拉空间中配置了色坐标。同时，我们还找到了一种方法来证明Hadwiger猜想对任何8-着色图都是可行的。
A note on Hadwiger's conjecture: Another proof that every 4-chromatic graph has a $K_4$ minor
本文针对哈德维格猜想的第一个非平凡情形，给出一种新证明，通过利用图的子图的正常3-染色来构造$K_4$子式，从而证明每个色数至少为4的图都含有$K_4$子式。
A Proof of the Linear Hadwiger Conjecture
本文证明了存在常数C使得不含K_t子式的图可被Ct种颜色染色，该证明由GPT-6 Astra在作者指导下发现。
Odd Hadwiger's conjecture for the complements of Kneser graphs
本文研究 Kneser 图补图的奇数 Hadwiger 猜想，证明其在 n≥2k≥4 时成立，并给出特殊 1-浅完全子式及奇数 Hadwiger 数与色数的指数级差距。
A special case of Hadwiger's conjecture
本文研究了不存在大小为3的独立集的图的Hadwiger猜想。这样一个至少有2 t-1个顶点的图不是t-1可着色的，因此被证明有一个$K_t$子图。在这种情况下，Hadwiger猜想得到了加强，它指出，总有一个子图，其中$K_t$的顶点的原像是大小为1或2的连通子图。我们证明了这个加强版的补充图的顶点数为偶数和分数色数小于3。我们调查了几种可能的推广，并获得反例，从别人和改进的结果。我们还表明，对于足够大的$n=|V(G)|$，没有独立集的大小为3的图有一个$K_{1/9 n^{4/5}}$未成年人只使用集的大小为一个或两个顶点的原像。
Beyond halfway to Hadwiger's conjecture
针对Hadwiger猜想，基于Delcourt和Postle的结果，将不含$K_t$子式的图的色数上界改进为$O(t\sqrt{\log\log t})$。
Further Progress towards the List and Odd Versions of Hadwiger's Conjecture
在1943年，Hadwiger证明了没有$K_t$子图的图对每个$t\ge 1$都是$(t-1)$ -可着色的。在20世纪80年代，Kostochka和Kristason独立证明了每个没有$K_t$子图的图都有平均度$O(t\sqrt{\log t})$，因此是$O(t\sqrt{\log t})$ -可着色的。最近，Norin，Song和作者证明了每个没有$K_t$子图的图对于每个$β> 1/4$都是$O(t(\log t)^β)$ -可着色的，这是对$O(t\sqrt{\log t})$界的数量级的第一次改进。在这项工作的基础上，我们之前证明了每个没有$K_t$子图的图对于每个$β> 0$都是$O(t (\log t)^β)$ -可着色的。更具体地，它们是$O(t \cdot (\log \log t)^{6})$可着色的。在本文中，我们将这项工作扩展到Hadwiger猜想的列表和奇推广。
A relative of Hadwiger's conjecture
Hadwiger猜想认为，如果一个单图$G$没有$K_{t+1}$子图，那么它的顶点集$V(G)$可以划分为$t$稳定集.这仍然是开放的，但我们证明了在相同的假设下，$V(G)$可以划分成$t$集$X_1,\ldots, X_t$，这样的$1\le i\le t$，子图诱导$X_i$有最大程度的$t$的功能。这是尖锐的，因为如果我们要求划分成具有相同性质的$t-1$集，结论就变成假的。
Improper Colourings inspired by Hadwiger's Conjecture
Hadwiger猜想断言每个$K_t$ -minor自由图都有一个适当的$(t-1)$ -着色。我们通过不适当的着色放宽了Hadwiger猜想中的结论。本文证明了任何无$K_t$ -minor图都是$(2t-2)$ -可列图，其单色分支的阶至多为$\lceil{\frac12(t-2)}\rceil$ .这个结果没有更多的颜色和更小的单色分量比所有以前的结果在这个方向上。证明了每个$K_t$ -minor free图都是单色度至多为$t-2$的$(t-1)$ -列图.这是最好的已知度界这样的结果。这两个定理都是基于独立兴趣的分解方法。我们给类似的结果$K_{s,t}$ -小自由图，从而导致这些类的广义着色数的改进的界限。最后，我们证明了不含$K_t$ -浸入的图是具有有界单色度的$2$ -可浸入图.
Contractibility and the Hadwiger Conjecture
考虑Hadwiger猜想的以下放松：对于每个$t$，存在$N_t$，使得每个没有$K_t$ -minor的图允许顶点划分为$\ceil{αt+β}$部分，使得每个部分诱导的子图的每个分量最多有$N_t$顶点。Hadwiger猜想对应于$α=1$、$β=-1$和$N_t=1$。Kawarabayashi和Mohar [ \emph{J. Combin. Theory Ser. B}，2007]用$α={31/2}$和$β=0$（以及$N_t$是$t$的一个巨大函数）证明了这种松弛。本文用$α={7/2}$和$β=-{3/2}$证明了这种松弛。证明中的主要成分是：（1）由于Kawarabayashi和Mohar的列表着色参数，（2）Norine和Thomas最近的结果，即每个足够大的$(t+1)$ -连通图包含一个$K_t$ -子图，（3）一个新的充分条件，一个图有一组边，其收缩增加了连通性。
A note on Hadwiger's Conjecture for $W_5$-free graphs with independence number two
图$G$的Hadwiger数，记为$h(G)$，是使$G$包含$K_t$作为子图的最大整数$t$。Hadwiger在1943年提出了一个著名的猜想：对每个图$G$，$h(G) \ge χ(G)$，其中$χ(G)$表示$G$的色数。令$α(G)$表示$G$的独立数。如果一个图不包含图$H$作为导出子图，则该图是$H$自由图.在2003年，Plummer，Stiebitz和Toft证明了：对于所有无$H$的图$G$，有$α(G) \le 2$，有$h(G) \ge χ(G)$，其中$H$是任何四点图，有$α(H) \le 2$，$H=C_5$，或$H$是一个特殊的七点图.在2010年，Kriesell考虑了一个由Seymour提出的Hadwiger猜想的特殊强化，并随后将该陈述推广到包含所有具有$α(H) \le 2$的五个顶点上的禁止子图$H$。本文证明了对所有无$W_5$的图$G$，有$α(G) \le 2$，有$h(G) \ge χ(G)$，其中$W_5$表示六点轮.
Two Relaxations of the Dominating Hadwiger's Conjecture
针对支配哈维格猜想，本文证明两种松弛形式：一是给出平均度为Ct(log t)^2的图必含支配K_t-模型的界，二是将无支配K_t-模型的图顶点划分为t-1个有界最大度的部分。
Hadwiger's conjecture holds for strongly monotypic polytopes
本文证明了强单型多面体满足哈迪格猜想，核心方法是利用多面体的结构特性，主要贡献是扩展了猜想的应用范围。
Disproof of the dominating Hadwiger conjecture
该论文反驳了支配性Hadwiger猜想，该猜想断言色数至少为t的图必含支配性K_t-模型。作者基于ChatGPT 6 Astra Ultra发现的构造，利用Suzuki-Tits卵形随机子采样块几何图的补图作为反例。
Hadwiger's conjecture and topological bounds
研究拓扑下界层级能否推翻奇Hadwiger猜想，证明色数拓扑下界为t的图含特定奇次子式，并验证该猜想对Schrijver和Kneser图成立。
Disproof of the List Hadwiger Conjecture
列表Hadwiger猜想证明了所有无$K_t$ -minor图都是$t$ -可选的.我们通过构造一个对每个整数$t\geq 1$都不是$4t$ -可选的$K_{3t+2}$ -minor-free图来反驳这个猜想.
Hadwiger's conjecture for $\ell$-link graphs
在本文中，我们定义和研究一个新的家庭的图形，概括的概念线图和路径图。设$G$是一个没有环但可能有平行边的图。$G$的\emph{$\ell$-link}是长度为$\ell \geqslant 0$的$G$的行走，其中连续的边是不同的。我们确定了一个$\ell$ -链接与其反向序列。$G$的\emph{$\ell$-link graph $\mathbb{L}_\ell(G)$}是具有$G$的$\ell$ -链接的顶点的图，使得如果两个顶点对应于$G$的每个$μ$ $(\ell + 1)$ -链接的两个连续性，则它们由$\mathbb{L}_\ell(G)$中的$μ\geqslant 0$边连接。通过揭示一个递归结构，我们从上界得到了$\ell$ -链图的色数.作为推论，对于给定的图$G$和足够大的$\ell$，$\mathbb{L}_\ell(G)$是$3$ -列.通过研究$G$中$\ell$ -链的分流，我们证明了非空$\mathbb{L}_\ell(G)$的Hadwiger数大于或等于$G$的Hadwiger数. Hadwiger猜想指出一个图的Hadwiger数至少是该图的色数。Reed和Seymour（2004）已经证明了这个猜想，并因此证明了$1$ -link图。我们证明了关于一类广泛的$\ell$ -链图的猜想。
Weakening Total Coloring Conjecture: Weak TCC and Hadwiger's Conjecture on Total Graphs
Hadwiger猜想是图论中最重要和最古老的猜想之一。Reed和Seymour在2004年证明了Hadwiger猜想对于线图是正确的。我们调查这个猜想的密切相关的类全图。$G$的全图，记为$T(G)$，定义在$G$中$c_1$和$c_2$相邻或相互关联的顶点集$V(G)\sqcup E(G)$上，其中$c_1,c_2\in V(G)\sqcup E(G)$相邻。首先证明了存在一个常数$C$，使得如果$G$的连通性至少为$C$，则Hadwiger猜想对$T(G)$成立.定义图$G$的全色数$χ"(G)$等于它的全图的色数。也就是说，$χ"(G)=χ(T(G))$。图论中另一个著名的猜想是全染色猜想（TCC），它指出对每个图$G$，$χ"(G)\leqΔ(G)+2$，其中$Δ(G)$是$G$的最大度。证明了如果全染色猜想的一个较弱的版本（弱TCC），即$χ"(G)\leqΔ(G)+3$，对一类在取子图运算下闭的图$\mathcal{F}$成立，则Hadwiger猜想对$\mathcal{F}$中的图的全图类成立.这促使我们寻找满足弱TCC的图类。值得注意的是，即使经过几十年的努力，即使是4-可着色图（实际上甚至是平面图）的TCC的完整证明仍然难以捉摸;但弱TCC可以很容易地证明为4-可着色图。我们注意到，尽管从最初的几天在研究$χ"(G)$的$χ(G)$方面的兴趣，弱TCC没有被证明是…
Hadwiger's conjecture for hypergraphs
本文将针对无限图成立的稍弱版哈德维格猜想推广到超图，给出其纯集合论表述，该猜想对有限图仍未解决。
Dominating Hadwiger's Conjecture for graphs $G$ with $α(G)=2$
针对强化版的支配哈德维格猜想，本文基于独立数不超过2的图的子式等价性质，结合海鸥填充相关结论，证明了两类满足α(G)≤2的图类符合该猜想。
Hadwiger Number and the Cartesian Product Of Graphs
图G的Hadwiger数mr（G）是使n个顶点上的完全图K_n是G的子图的最大整数n。Hadwiger证明了对任意图G，mr（G）>= chi（G），其中chi（G）是图G的色数.本文研究图的笛卡儿积G [] H的Hadwiger数。作为本文的主要结果，我们证明了对任意两个图G_1和G_2，当mr（G_1）= h和mr（G_2）= 1时，mr（G_1 [] G_2）>= h \sqrt{l}（1 - o（1））.我们证明了上述下界是渐近最佳可能的。这渐近地解决了一个Z的问题。Miller（1978年）。作为我们的主要结果的后果，我们表明：1。设G是一个连通图。设G的（唯一）素分解由G_1 [] G_2 [].给出. [] G_k.则G满足Hadwiger猜想，若k >= 2.log（log（chi（G）+c '，其中c'为常数.这改进了Rupran和Sivadasan的2.log（chi（G））+3界。2.设G_1和G_2是两个图，使得chi（G_1）>= chi（G_2）>= c.log ^{1.5}（chi（G_1）），其中c是常数。则G_1 [] G_2满足Hadwiger猜想。3. Hadwiger猜想对G^d（G乘d次的笛卡儿积）成立，对任意图G和任意d >= 2.这解决了一个问题，由Alberran和Sivadasan（他们已经表明，Hadiwger的猜想是正确的G^d…
Hadwiger's conjecture for graphs with infinite chromatic number
我们构造了一个连通图H，使得（1）χ（H）= ω，（2）ω点上的完全图K_ω不是H的子图.因此Hadwiger猜想对具有无限色数的图不成立。
The Uncountable Hadwiger Conjecture and Characterizations of Trees Using Graphs
我们证明了一个非特殊的树的大小$λ$的存在性是等价的不可数色图的存在性，没有$K_{ω_1}$小的大小$λ$，建立一个特殊的树数和不可数Hadwiger猜想之间的联系。还推出了Aronszajn，Kurepa和Suslin树的图的特征。引入了一个新的广义连通性概念，利用它我们可以刻画弱紧基数。
Dominating Hadwiger's Conjecture holds for all $2K_2$-free graphs
本文证明支配哈德维格猜想对所有$2K_2$-自由图成立，关键利用诱导banner的存在性，加强了经典哈德维格猜想。
A shorter proof of the linear list Hadwiger conjecture
本文改进了$K_t$-无minor图的列表色数上界，证明了每个$K_t$-无minor图是$O(t\log\log t)$-可选择的，改进了先前的结果。
Hadwiger's Conjecture for squares of 2-Trees
Hadwiger猜想断言任何图都包含一个阶不小于图的色数的团子。我们证明了这个著名的猜想是真实的所有图当且仅当它是真实的分裂图的平方。这一观察意味着Hadwiger的弦图的平方猜想是困难的一般情况下，因为弦图是分裂图的超类。然后我们考虑了2-树，它们是可平面图、2-退化图和弦图的子类。证明了Hadwiger猜想对$2$ -树的平方成立.我们通过证明以下更强的结果来实现这一点：对于任何$2$树$T$，它的平方$T^2$有一个阶为$χ(T^2)$的团子，每个分支集诱导一条路，其中$χ(T^2)$是$T^2$的色数.
On topological relaxations of chromatic conjectures
关于色数有几个著名的未解定理，它们被放松并已被证明对分数色数成立。讨论了色数的拓扑下界的类似松弛。特别是，我们证明了这样一个放松的版本是真实的Behzad-Vizing猜想，并讨论了Hedetniemi和Hadwiger的代数从这个角度来看。对于后者，第一作者与G.塔尔多斯，我们在这里主要关心的是，所谓的奇哈德维格猜想在这方面看起来要困难得多。证明了奇Hadwiger猜想对任意固定色数的足够大的Kneser图和Schrijver图成立。
Hadwiger's Conjecture for $\{\text{co-claw}, \text{co-gem}\}$-free graphs and $\{\text{fork}, \text{antifork}\}$-free graphs
本文证明了哈德维格猜想对 $\{\text{co-claw}, \text{co-gem}\}$-自由图和 $\{\text{fork}, \text{antifork}\}$-自由图成立，并给出了更强的结构结果。
Halfway to Hadwiger's Conjecture
1943年，Hadwiger证明了每个无$K_t$ -minor图对每个$t\ge 1$都是$(t-1)$ -可着色的.在20世纪80年代，Kostochka和Kristason独立证明了每个没有$K_t$子图的图都有平均度$O(t\sqrt{\log t})$，因此是$O(t\sqrt{\log t})$ -可着色的。最近，Norin和Song证明了没有$K_t$子图的图是$O(t(\log t)^{0.354})$ -可着色的。在第二部分的基础上，证明了不含$K_t$子图的图对每个$β> \frac{1}{4}$都是$O(t(\log t)^β)$ -可着色的.
Asymptotic Equivalence of Hadwiger's Conjecture and its Odd Minor-Variant
Hadwiger猜想指出，每个$K_t$ -子自由图都是$(t-1)$ -可着色的.由Gerards和Seymour提出的这个猜想的一个定性加强，被称为奇Hadwiger猜想，类似地说，每个没有奇$K_t$ -子图的图是$(t-1)$ -可着色的。对于这两种结构，它们的渐近松弛仍然是开放的，即，对于某个常数$C>0$，$Ct$形式的色数是否存在上界。我们证明了如果每个没有$K_t$ -子图的图都是$f(t)$ -可着色的，那么每个没有奇数$K_t$ -子图的图都是$2f(t)$ -可着色的.利用这一点，Delcourt和Postle最近对$K_t$-minor自由图的色数的$O(t\log\log t)$-上界直接推广到奇$K_t$ -minor自由图的色数.这（稍微）改进了Delcourt和Postle对这个问题的$O(t(\log \log t)^2)$的上界。
Towards Hadwiger's conjecture via Bourgain Slicing
1957年，Hadwiger推测$\mathbb{R}^d$中的每个凸体都可以被其内部的$2^d$平移所覆盖。60多年来，最著名的界限是$O(4^d \sqrt{d} \log d)$的形式，但最近由Huang，Slomka，Tkocz和Vritsiou改进了$e^{Ω(\sqrt{d})}$。在本说明中，我们采取了另一个步骤Hadwiger的猜想推导出一个几乎指数的改善，从最近的突破性工作的陈，Klartag和Lehec的Bourgain的切片问题。更准确地说，我们证明，对于任何凸体$K \subset \mathbb{R}^d$，$$\exp\bigg( - Ω\bigg( \frac{d}{(\log d)^8} \bigg) \bigg) \cdot 4^d$$ translates的$\text{int}(K)$足以覆盖$K$。我们还表明，一个积极的回答布尔甘的切片问题将意味着指数改进Hadwiger的猜想。
Fractional illumination and the optimal exponential rate in Hadwiger's covering conjecture
本文证明凸体的分数照明数上界为2^d，并给出Hadwiger覆盖猜想的最优指数速率，通过重叠能量最小化和贪心覆盖方法实现。
Connectivities for k-knitted graphs and for minimal counterexamples to Hadwiger's Conjecture
本文证明了每个8ℓ-连通图是ℓ-编织的，并应用此结果改进了Hadwiger猜想极小反例的顶点连通度下界至⌈k/8⌉。
Further progress towards Hadwiger's conjecture
在1943年，Hadwiger证明了没有$K_t$子图的图对每个$t\ge 1$都是$(t-1)$ -可着色的。在20世纪80年代，Kostochka和Kristason独立证明了每个没有$K_t$子图的图都有平均度$O(t\sqrt{\log t})$，因此是$O(t\sqrt{\log t})$ -可着色的。最近，Norin，Song和作者证明了每个没有$K_t$子图的图对于每个$β> 1/4$都是$O(t(\log t)^β)$ -可着色的，这是对$O(t\sqrt{\log t})$界的数量级的第一次改进。在此基础上，本文证明了没有$K_t$子图的图对每个$β> 0$都是$O(t (\log t)^β)$ -可着色的。更具体地结合作者的另一篇论文，它们是$O(t \cdot (\log \log t)^{18})$ -可着色的。
Refined list version of Hadwiger's conjecture
假设$λ=\{k_1,k_2, \ldots, k_q\}$是$k_λ = \sum_{i=1}^q k_i$的分区。$G$的$λ$ -列表分配是$G$的$k_λ$ -列表分配$L$，使得颜色集$\bigcup_{v \in V(G)}L(v)$可以被划分成$|λ|= q$集$C_1,C_2,\ldots,C_q$，使得对于$G$的每个$i$和每个顶点$v$，$|L(v) \cap C_i| \ge k_i$。我们说$G$是\emph{$λ$-choosable}，如果$G$是$L$ -列，用于任何$λ$ -列表分配$G$的$L$。$λ$ -可选性的概念是可选性的细化，它将$k$ -可选性和$k$ -着色性放在同一个框架中。如果$|λ|$接近于$k_λ$，则$λ$ -可选择性接近于$k_λ$ -可着色性;如果$|λ|$接近于$1$，则$λ$ -可选择性接近于$k_λ$ -可选择性。本文在$λ$可选性的背景下研究Hadwiger猜想. Hadwiger猜想等价于说每个$K_t$ -minor自由图对于任何正整数$t$都是$\{1 \star (t-1)\}$ -可选的。证明了对于$t \ge 5$，对于$t-1$的除$\{1 \star (t-1)\}$以外的任何划分$λ$，存在一个$K_t$ -minor-free图$G$，它不是$λ$ -choosable的.然后，我们构造了几种…
On a recolouring version of Hadwiger's conjecture
本文构造不含 K_t 子式但存在对 Kempe 变换冻结的 (3/2−ε)t 着色的图，从而否定 Las Vergnas 与 Meyniel 在1981年提出的三个相关猜想。
The odd Hadwiger's conjecture is "almost'' decidable
由Gerads和Seymour在20世纪90年代初提出的奇异Hadwiger猜想是著名的Hadwiger猜想的一个类似物。它说，每个没有奇数$K_t$ -子图是$(t-1)$ -可着色的。已知这个猜想对$t \leq 5$是正确的，但对$t \geq 5$的情况则是完全开放的。到目前为止，最一般的结果是，没有奇数$K_t$ -子图的图是$O(t \sqrt{\log t})$ -可着色的。在本文中，我们解决这个猜想从一个算法的观点，并显示以下内容：对于一个给定的图$G$和任何固定的$t$，有一个多项式时间算法输出以下之一：\begin{enumerate} \item a $(t-1)$-coloring of $G$, or \item an odd $K_{t}$-minor of $G$, or \item after making all "reductions" to $G$, the resulting graph $H$ (which is an odd minor of $G$ and which has no reductions) has a tree-decomposition $(T, Y)$ such that torso of each bag $Y_t$ is either \begin{itemize} \item of size at most $…
Complete Minors, Independent Sets, and Chordal Graphs
图G的Hadwiger数h（G）是图G的完全子式的最大尺寸。Hadwiger猜想说明h（G）>= χ（G）。由于χ（G）α（G）>=| V（G）|Hadwiger猜想暗示α（G）h（G）>=| V（G）|.我们证明了（2 α（G）- \lceil log_t（t α（G）/2）\rceil）h（G）\geq| V（G）|其中t约为6.83。对于α（G）\geq为14的图，这改进了Kawarabayashi和Song最近的结果，他们证明了（2 α（G）- 2）h（G）>=| V（G）|当α（G）>= 3时.
Clique Minors in Cartesian Products of Graphs
图G中的“团子图”可以被认为是G中的一组连通子图，它们是两两不相交的，两两相邻的。Hadwiger数h（G）是G中团子式的最大基数。本文研究了笛卡儿积G*H中的团子式.我们的主要结果是有界Hadwiger数的笛卡儿积的一个粗略的结构特征定理。它意味着，如果产品的两个足够大的图有界Hadwiger数，那么它是以下图形之一：-一个平面网格与有界宽度的涡流在outerface，-一个圆柱形网格与有界宽度的涡流在每两个'大'面，或-一个环形网格。研究图的Hadwiger数的动机包括Hadwiger猜想，该猜想指出色数chi（G）<= h（G）。Hadwiger猜想是否对任何笛卡儿积都成立是一个未知数。证明了：当|V（H）|-1>= chi（G）>= chi（H）则Hadwiger猜想对G*H成立。另一方面，我们证明了Hadwiger猜想对所有的笛卡儿积成立当且仅当它对所有的G * K_2成立。然后我们证明了h（G * K_2）与G的树宽有关。我们还开发了连接与伪消色差着色和连接的控制集，这意味着近紧边界上的Hadwiger数的网格图（笛卡儿积的路径）和Hamming图（笛卡儿积的派系）。
Complete minors and stability numbers
Hadwiger猜想意味着对所有阶为$n$、稳定数为$α$和Hadwiger数为$h$的图，有$n\leαh$.结合Kawarabayashi等人和Wood的思想，我们证明了对这类图的$n\le (α-1)(2h-5)+5$如果是$α\ge 3$和$h\ge 5$ .
An even better Density Increment Theorem and its application to Hadwiger's Conjecture
在1943年，Hadwiger证明了没有$K_t$子图的图对每个$t\ge 1$都是$(t-1)$ -可着色的。在20世纪80年代，Kostochka和Kristason独立证明了每个没有$K_t$子图的图都有平均度$O(t\sqrt{\log t})$，因此是$O(t\sqrt{\log t})$ -可着色的。最近，Norin，Song和作者证明了每个没有$K_t$子图的图对于每个$β> 1/4$都是$O(t(\log t)^β)$ -可着色的，这是对$O(t\sqrt{\log t})$界的数量级的第一次改进。最近，作者证明了每个没有$K_t$子图的图对于每个$β> 0$都是$O(t (\log t)^β)$可着色的;更具体地说，它们是$t \cdot 2^{ O((\log \log t)^{2/3}) }$可着色的。结合这一工作，本文证明了任何不含$K_t$子图的图都是$O(t (\log \log t)^{6})$ -可着色的。
Strong chromatic index and Hadwiger number
研究了多重图和单图中固定的禁止团子图对强色指数的影响。对每一个$k\ge 4$，我们猜想任何最大度$Δ$的$K_k$ -minor free重图的强色指数至多为$\frac32(k-2)Δ$ .我们提出了一个结构证明，如果真的猜想是渐近尖锐的$Δ\to\infty$。为了支持这一猜想，我们在$k=4$的情形下证明了这一猜想，并证明了用强团数代替强色指数的说法。与此相反，我们做了一个基本的观察，对于$K_k$ -minor-free单图，强边着色问题是“之间”Hadwiger猜想和它的分数松弛。对于$k\geq5$，我们还证明了边直径至多为$2$的$K_k$ -minor free重图的强团数至多为$(k-\frac{1}{2})Δ$ .
Balanced-chromatic number and Hadwiger-like conjectures
本文引入带符号图的平衡色数概念，提出并证明一个与哈德维格猜想等价的带符号版本猜想，并研究细分与平衡色数的关系，推广了Kawarabayashi关于全奇细分的结果。
Complete minors in digraphs with given dichromatic number
有向图$D$的二色数$\vecχ(D)$是允许$k$ -染色的最小$k$，其中每个色类诱导一个无圈子图。受Hadwiger关于无向图的猜想的启发，最近有几组作者研究了给定二色数的有向图中有向图子图的包含问题.在这个简短的说明中，我们改进了现有的几个边界，并证明几乎线性边界减少的问题，最近的结果波斯特尔Hadwiger猜想。
Improved lower bound for the list chromatic number of graphs with no $K_t$ minor
Hadwiger猜想断言任何没有$K_t$ -子式的图都是$(t-1)$ -可着色的.已知Hadwiger猜想的确切版本并不扩展到列表着色，但Kawarabayashi和Mohar（2007）已经证明存在一个常数$c$使得每个没有$K_t$ -子图的列表色数至多为$ct$。更具体地说，他们还强调这适用于$c=\frac{3}{2}$。证明了不含$K_t$ -子式的图的最大色数至少为$(2-o(1))t$，从而证明了上述猜想中的$c \ge 2$是必要的.这改进了Barát，Jouret和Wood（2011）之前的最佳下界，他们证明了$c \ge \frac{4}{3}$。我们的下界的例子是通过概率方法获得的。
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