On Liouville transport equation with a force field in $BV_{loc}$
Maxime Hauray
本文证明了在$BV_{loc}$中除原点外具有相互作用势的$n$粒子的Liouville方程重整化解的存在唯一性。这意味着a.e.的存在性和唯一性。相关常微分方程的流解。
We prove the existence and uniqueness of renormalized solutions of the Liouville equation for $n$ particles with a interaction potential in $BV_{loc}$ execpt at the origin. This implies the existence and uniqueness of a a.e. flow solution of the associated ODE.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
Liouville-type theorems for the forced Euler equations and the Navier-Stokes equations
本文研究了$\Bbb R^N$中定常不可压Euler方程带力解的Liouville型性质。如果我们假设力的“单符号条件”，那么我们可以证明一个$C^1 (\Bbb R^N)$解$(v,p)$与$|v|^2+ |p|\in L^{\frac{q}{2}}(\Bbb R^N)$，$q\in (\frac{3N}{N-1}, \infty)$是平凡的，$v=0$。对于定常Navier-斯托克斯方程的解，满足$v(x)\to 0$作为$|x|\to \infty$，条件$\int_{\Bbb R^3} |Δv|^{\frac65} dx<\infty$比重要的D-条件$\int_{\Bbb R^3} |\nabla v|^2 dx <\infty$更强，但两者具有相同的标度性质，这意味着$v=0$。在附录中我们直接利用自相似欧拉方程重新证明了定理1.1（\cite{cha0}）。
Liouville theorems for the Stokes equations with applications to large time estimates
在空间变量衰减条件下，研究了$ \mathbb{R}^{n}$中外部区域上非定常斯托克斯方程的Liouville定理.作为应用，我们证明了Stokes半群是$L^{ \infty}_{ σ}$上的有界解析半群，角$ π/2$对于$n \geq 3$ .我们还证明了大的时间估计$n=2$与零净力。
Profile of bubbling solutions to a Liouville system
在物理学、化学和生态学的许多领域中，都有一些模型是用刘维尔系统来描述的。本文首先证明了$\mathbb R^2$中Liouville系统的一个唯一性结果。然后，我们建立了局部定义的Liouville系统在孤立爆破点附近的泡解的一个一致估计。Riemann曲面上Liouville方程组的唯一性结果和局部一致估计是获得其先验估计、度计算公式和存在性结果的重要组成部分.
Kato's inequality and Liouville theorems on locally finite graphs
本文研究了局部有限图上的Kato不等式。我们还研究了Kato不等式在这类图上的Ginzburg-Landau方程中的应用。给出了薛定谔方程的一些有趣的性质和一个Liouville型定理。
Local smoothing for the quantum Liouville equation
本文分析了量子Liouville方程密度算符解的正则性。最近所做的Eschhartz不等式，我们推广到系统的正交函数的局部光滑估计所满足的解决方案的薛定谔方程。我们特别证明了，当数据属于某些Schatten空间时，与自由线性量子Liouville方程解相关的局部密度允许给定阶的局部分数阶导数.
Liouville type theorems for the stationary Hall-MHD equations in local Morrey spaces
本文研究三维定常不可压Hall-MHD方程的Liouville型定理。在局部Morrey空间中，在一定的充分条件下，定常Hall-MHD方程的解恒为零.特别地，我们还证明了$\mathbb{R}^3$上定常不可压MHD方程的Liouville型结果.我们的定理推广了定常不可压Navier-斯托克斯方程的经典结果.
A blow-up phenomenon for a non-local Liouville-type equation
我们考虑一个非局部的刘维方程对应的规定的测地曲率的圆。我们建立了一个家庭的解决方案，爆破在一个临界点的规定曲率函数的调和扩展，提供了一些通用的假设得到满足。
A Liouville theorem for non local elliptic equations
证明了（-Δ）^sv = f（v）\qquad {in $\R^n$，}型椭圆型方程有界稳定解$v \in C^2(\R^n)$的Liouville型定理，其中$s \in (0,1)$ {和$f$是任意非负函数}.算子$(-Δ)^s$代表分数拉普拉斯算子，符号为$|ξ|^{2s}$的伪微分算子。
Classification of stable solutions to a non-local Gelfand-Liouville equation
研究了非局部Gelfand-Liouville问题$$ (-Δ)^su=e^u\quad\mathrm{in}\quad \mathbb{R}^n,$$的有限Morse指标解，其中对每个$s\in(0,1)$和$n>2s$都有解.精确地说，我们证明了当奇异解$$u_{n,s}(x)=-2s\log|x|+\log \left(2^{2s}\frac{Γ(\frac{n}{2})Γ(1+s)}{Γ(\frac{n-2s}{2})}\right)$$不稳定时，有限Morse指数解的不存在性。
Quasilinear Liouville equation on manifolds with nonnegative Ricci curvature
研究非负Ricci曲率完备非紧Riemann流形上n-Laplace拟线性Liouville方程的刚性与分类，证明在尖锐对数下界条件下流形等距于欧氏空间且解为标准气泡，并构造非平坦流形上的解表明假设的尖锐性。
Liouville theorems for a stationary and non-stationary coupled system of liquid crystal flows in local Morrey spaces
我们在这里考虑简化的Ericksen-Leslie系统在整个三维空间。该系统处理不可压缩Navier-斯托克斯方程与一个调和映射流的强耦合，该映射流模拟了液晶的动力学行为。对于平稳（与时间无关）和非平稳（与时间相关）的情形，利用一类局部Morrey空间的一般框架，我们得到了关于这个耦合系统的未知量的先验条件，证明了它们同为零.这个结果被称为刘维型定理。作为一个双积，我们的定理也改进了经典Navier-斯托克斯方程的Liouville型定理的一些著名结果
The (strong) Liouville property for a class of non-local operators
证明了Lévy过程及其从属Lévy过程的无穷小生成元具有Liouville性质和强Liouville性质的一个充要条件.将我们的判据与Alibaud等人的充要条件相结合，我们得到了Lévy过程特征指数的零点集（的正交子群）的特征。
On the Liouville property for non-local Lévy generators
证明了Lévy过程及其从属Lévy过程的无穷小生成元具有Liouville性质的一个充要条件.将我们的判据与Alibaud等人的充要条件相结合，本文给出了Lévy过程特征指数的零点集（的正交子群）的一个刻划.
The Liouville property for entire local minimizers from the space $BV_{\mathrm{loc}}(\R^2,\R^N)$ of variational integrals with linear growth
该研究针对$\text{Bloc}$类函数，证明了具有严格凸线性增长密度的变分积分的整体局部极小元若有界则必为常数，得到其刘维尔性质。
Liouville phenomenon for the Klein-Gordon equation in 1+1 dimensions
本文研究1+1维Klein-Gordon方程，发现时空分裂成四个象限时，其中两个是类时，两个是类空，类空区域中解表现出Liouville现象，即解的生长不足导致对称性。
On local Type I singularities of the Navier-Stokes equations and Liouville theorems
我们证明了Navier-斯托克斯方程的适当弱解具有I型奇异性当且仅当存在一个满足I型衰减条件的非平凡的温和有界古解.主要的新颖性是在相反的方向，这是基于缩小的正则解产生一个奇异的想法。用类似的方法，我们证明了关于在$L^3$中有界的Navier-斯托克斯方程沿向后时间序列的古解的Liouville定理.
Steady state and long time convergence of spirals moving by forced mean curvature motion
本文证明了“定常”螺旋线受迫中曲率运动的存在唯一性。该螺旋具有固定的形状并以恒定的角速度旋转。在适当的初始条件下，我们还证明了Cauchy问题的解的长时间收敛性（直到时间上的某个子序列）。这个结果是基于一个新的刘维结果，这是独立的利益。
Super-Liouville equation with a spinorial Yamabe type term
本文研究带有旋量Yamabe型项的超Liouville方程，为爆破序列建立精细定性性质，证明旋量与函数部分的能量恒等式并计算局部质量，揭示了由非线性项导致的两种奇性新现象。
On the parabolic and hyperbolic Liouville equations
本文研究了二维随机非线性热方程（SNLH）和随机阻尼非线性波动方程（SdNLW）在时空白噪声作用下的指数非线性项$λβe^{βu }$解.我们证明了这些方程的局部和全局适定性，这取决于$λ$的符号和$β^2 > 0$的大小，以及相关的吉布斯测度的不变性。更精确的摘要见论文摘要。(Due由于arXiv对摘要的字符数设置了限制，因此无法在此处显示完整的摘要。）
Mean Field Limit and Propagation of Chaos for Vlasov Systems with Bounded Forces
我们考虑大系统的粒子通过粗糙但有界的相互作用内核相互作用。我们能够控制相对熵之间的$N$粒子分布和预期的极限，解决了相应的弗拉索夫系统。这意味着Vlasov系统的平均场极限以及通过所有边缘的强收敛的混沌传播。该方法在刘维尔方程的水平上工作，并依赖于精确的组合结果。
Particles approximation for some 1D kinetic Fokker-Planck equations with singular forces
在本文中，我们考虑了一个系统的$N$粒子的实数线上的发展，根据牛顿定律，通过一个奇异（排斥）力来自潜在的$\frac{|x|^{1-α}}{1-α}$与$α\in (0,1/8)$和布朗力。由于熵耗散沿刘维方程与此粒子系统和机械能的控制，我们建立了一个定量的估计，使收敛/一致性的粒子系统向限制Vlasov-Fokker-Planck方程与奇异力。
Gradient estimate and a Liouville theorem for a $p$-Laplacian evolution equation with a gradient nonlinearity
本文建立了一类具有快速增长梯度非线性项的$p$ -Lpalacian方程的局部梯度估计.利用这个估计，我们可以证明一个抛物型Liouville定理的古代解决方案，满足一些增长限制在无穷远。
Liouville-type theorem for the stationary inhomogeneous Navier-Stokes equations
本文针对三维稳态非齐次 Navier-Stokes 方程，通过两次频率局部化获得 Dirichlet 能量局部公式，并据此估计 $u$ 与 $ρ$ 的不同频率部分，证明新的 Liouville 型定理。
Non-degeneracy and local uniqueness of bubbling solutions for a singular Liouville equation
针对奇异Liouville方程，利用局部Pohozaev恒等式证明鼓包解的非退化性，进而建立浓度参数接近时鼓包解的局部唯一性。
A priori estimates and Liouville type results for quasilinear elliptic equations involving gradient terms
本文利用$m>1$，$p,q>0$和$M\in\mathbb R$研究了$\mathbb R^N$的整环$Ω$中$-Δ_mu=|u|^{p-1}u+M|\nabla u|^q$正解的局部和整体性质.根据\cite{BV,Vron1}中的一些思想，利用直接Bernstein方法结合Keller-Osserman估计，我们得到了几个先验估计以及Liouville型定理.利用Serrin的经典结果证明了一个局部Harnack不等式.
Local and nonlocal singular Liouville equations in Euclidean spaces
我们研究了在原点具有指定奇异性的欧几里得空间中常数$Q$-曲率的度量，即有限体积条件下方程$$(-Δ)^\frac{n}{2}w=e^{nw}-cδ_{0} \text{ on } \mathbb R^n,$$的解。我们分析的渐近行为在无穷远和每一个$n\ge 3$也在超临界状态下的解决方案的存在性。最后，我们提出了一些开放的问题。
The quantum Liouville-BGK equation and the moment problem
本文研究了量子Liouville-BGK方程。这个方程出现在Degond和Ringhouth关于从第一原理推导量子流体动力学模型的工作中。他们的理论是将用于动力学方程的熵最小化封闭策略转移到量子环境中。起始点是量子Liouville-BGK方程，其中碰撞项通过所谓的量子局部平衡来定义，量子局部平衡被定义为在局部密度约束下的量子自由能的最小值。然后，我们解决三个相关的问题：我们证明了这些量子平衡的规律性的新结果，我们证明了量子刘维尔-BGK方程承认一个经典解，我们调查的解决方案的长期行为。证明的核心是基于对自由能极小元性质的精细分析。
Concentrating solutions for a Liouville type equation with variable intensities in 2D-turbulence
我们构造了一个描述具有可变涡强度和任意方向的湍流欧拉流的平均场方程的变号集中解。我们研究了不同的强度和方向上的鼓泡轮廓和涡点的位置的效果。
Liouville Theorem for the Constant $Q/R$-Curvature Equation
本文证明弱超调和条件使平坦常Q/R-曲率方程的正整解自动可容许，从而分类为正常数或标准气泡，并揭示该条件在结构上必要，移除后存在单参数族振荡解。
Liouville theorems for mixed local and nonlocal indefinite equations
本文研究了混合局部-非局部方程正解的定性性质，通过建立最大原理和严格单调性，结合平滑第一特征函数和合适子解，推导了混合算子(-Δ)^s - Δ的非存在性结果，并扩展到抛物情形，揭示了双重非局部性下的新定性特征。
Liouville theorems for fractional parabolic equations
本文建立了分数阶抛物型方程整体解的几个Liouville型定理。我们首先得到Liouville定理证明中所需的关键要素，如无界域上反对称函数的窄域原理和最大值原理，通过构造辅助函数，将通常的$u \to 0$关于空间变量在无穷远处的衰减条件减弱为$u \to 0$上的多项式增长，进而导出了解在半空间$\mathbb{R}_+^n \times \mathbb{R}$中的单调性，得到了一些给出了半空间$\mathbb{R}_+^n \times \mathbb{R}$与全空间$\mathbb{R}^{n-1} \times \mathbb{R}$解的不存在性之间的新联系，并由此证明了相应的Liouville型定理.为了克服由分数拉普拉斯算子的非局部性所造成的困难，我们引入了几个新的想法，这将成为有用的工具，在调查各种非局部抛物问题的解决方案的定性性质。
Stochastic quantization of Liouville conformal field theory
研究了闭曲面上受时空白噪声强迫的非线性随机热方程，方程的非线性项为$e^{βu}$。这个方程对应于刘维尔量子引力（LQG）测度的随机量子化。(i)我们首先回顾了$L^2$体系$0<β<\sqrt{2}$中的刘维共形域论（LCFT）中LQG测度的构造。这统一了David-Kupiainen-Rhodes-Vargas（2016），David-Rhodes-Vargas（2016）和Guillarmou-Rhodes-Vargas（2019）的方法，这些方法分别处理亏格为0，1和$> 1$的闭曲面的情况。此外，我们的论点表明，这一措施是独立的近似程序的一大类光滑近似。(ii)我们证明了抛物型随机动力学的几乎必然的整体适定性，以及测度在这种随机流下的不变性。特别地，我们的结果改进了Garban（2020）在球和环面的正则度量情况下的先前结果，并且在具有更高亏格的闭曲面的情况下是新的。
Gradient estimates for $u_t=ΔF(u)$ on manifolds and some Liouville-type theorems
本文首先证明了多孔介质型方程：$$u_t=ΔF(u),$$和$F'(u) > 0$在具有里奇曲率的完备黎曼流形上正解的局部Hamilton型梯度估计.第二部分研究了快扩散方程和多孔介质方程：$$u_t=Δ(u^p),\qquad p>0,$$，在$p$的更大范围内得到了它们的局部化Hamilton型梯度估计，比文献中的Aronson-Bénilan估计、Harnack不等式和Cauchy问题的局部化Hamilton型梯度估计要大.利用FDE和PME的局部梯度估计，在具有非负里奇曲率的非紧完备流形上证明了FDE和PME整体正解的Liouville型定理，推广了Yaus著名的正调和函数的Liouville定理.
Positive Liouville theorem and asymptotic behaviour for $(p,A)$-Laplacian type elliptic equations with Fuchsian potentials in Morrey space
研究拟线性椭圆型方程$$-\text{div}(|\nabla u|_A^{p-2}A\nabla u)+V|u|^{p-2}u =0\quad\text{in } Ω\setminus\{ζ\},$$的Liouville型定理和孤立奇点$ζ\in\partialΩ\cup\{\infty\}$附近正解的渐近性态，其中$Ω$是$\mathbb{R}^d$（$d\geq 2$）中的一个区域，$A=(a_{ij})\in L_{\rm loc}^{\infty}(Ω;\mathbb{R}^{d\times d})$是对称的局部一致正定矩阵.势$V$位于某个局部Morrey空间（依赖于$p$），并在$ζ$处具有Fuchsian型孤立奇点。
Liouville theorem for singular solutions to nonlocal equations
研究分数阶 Laplace 方程及一般非局部线性方程的奇异解，通过构造基本解和建立局部化比较原理，证明了 Bôcher 型结果与 Liouville 定理。
A liouville property with application to asymptotic stability for the camassa-holm equation
我们证明了一致几乎本地化（平移）的H 1-整体解决方案的Camassa-Holm方程的动量密度是一个非负的有限措施的刘维性质。更确切地说，我们表明，这样的解决方案必须是一个peakon。因此，我们证明了峰子在动量密度属于M +（R）的H1-函数类中是渐近稳定的。最后，我们也得到了一个关于峰值训练的渐近稳定性结果。
Liouville Theorems for the Lane-Emden Equation Involving a Mixed Local-Nonlocal Operator
研究混合局部-非局部Lane-Emden方程正上解存在的条件，证明当且仅当q>n/(n-2s)时存在分布上解，并建立了基本解的渐近估计、分布意义下的最大值原理和等价积分不等式。
$L^p_{loc}$ positivity preservation and Liouville-type theorems
本文在完备黎曼流形上研究了微分不等式 $-Δu + λu \geq 0$ 的 $L^{p}_{loc}$ 分布解，证明了在适当增长条件下解必非负，并探讨了其在完备极小子流形外在距离 $L^{p}$ 增长估计中的应用。
A nonlinear Liouville theorem for fractional equations in the Heisenberg group
我们建立了一个关于次临界非线性问题的Liouville型定理，该问题涉及Heisenberg群中次拉普拉斯算子的分数次幂。为了证明我们的结果，我们将使用分数CR协变算子的局部实现，它可以被构造为退化椭圆型方程的Dirichlet到Neumann算子的精神Caffarelli和Silvestre，建立在\cite{FGMT}。我们的主要证明工具是CR反演和移动平面方法，适用于解决半空间$\mathbb H^n\times \mathbbR^+$中的提升问题。
On a singular Liouville-type equation and the Alexandrov isoperimetric inequality
我们得到了一个由C. Bandle在解析环境中，对于奇异Liouville型方程的弱下解.作为应用，我们得到了奇异抽象曲面上Alexandrov等周不等式的一个新证明。有趣的是，这个几何问题的动机，我们获得了一个看似新的表征局部度量亚历山德罗夫的曲面有界曲率。至少就我们所知，在这样一个弱框架下，等周不等式的等式情形的刻画也是新的。
On Liouville type theorems in the stationary non-Newtonian fluids
本文证明了在应力张量$\mathbf{A}_p(u) = \mathrm{div} ( | \mathbf{D}(u) |^{p-2} \mathbf{D}(u) )$中具有粘性部分的$\mathbb{R}^3$中非牛顿流体定常方程的Liouville型定理，其中$\mathbf{D}(u) = \frac 12 ( \nabla u + ( \nabla u )^{\top})$和$\frac 95 < p < 3$ .本文考虑一个弱解$u \in W^{1,p}_{loc}(\mathbb{R}^3)$及其势函数$\mathbf{V} = (V_{ij}) \in W^{2,p}_{loc}(\mathbb{R}^3)$，即$\nabla \cdot \mathbf{V} = u$ .我们证明了存在一个常数$s_0=s_0(p)$，使得如果$s>s_0$的$\mathbf{V}$的$L^s$平均振荡在无穷远处满足一定的增长条件，则速度场为零.我们的结果包括以前的结果\cite{CW20, CW19}作为特殊情况。
Regularity and a Liouville theorem for a class of boundary-degenerate second order equations
在极小正则性假设下，研究了一类二维二阶边界退化椭圆型方程。在退化边界上证明了一个最大值原理和一个Harnack不等式，并假设局部有界，证明了连续性.在全局定义的非负解，我们提供了强大的约束在无穷远的行为，并证明了一个刘维尔型定理的整个解决方案的封闭半平面。所讨论的偏微分方程类包括许多来自数学金融的偏微分方程、Keldysh型和Tricomi型偏微分方程以及来自Kähler几何的完全非线性四阶Abreu方程的二阶约化。
Liouville theorems for Kirchhoff-type hypoelliptic Partial Differential Equations and systems. I. Heisenberg group
本文给出了海森堡群上Kirchhoff椭圆型、抛物型和双曲型方程解的不存在性结果。此外，还考虑了Kirchhoff型的伪抛物和伪双曲型方程。为了证明这些结果，我们使用了检验函数方法。此外，还将类似的结果推广到系统的情形.此外，我们给出了一些非局部非线性的例子。
Gradient estimates and Liouville-type theorems for the semilinear elliptic equation involving the nonlinear gradient source
本文通过构造线性算子和辅助函数，利用最大值原理，对所有参数(p,q)建立了含非线性梯度源的半线性椭圆方程的局部梯度估计与Liouville型定理，并推广了已有结果。
A priori estimates and Liouville-type theorems for the semilinear parabolic equations involving the nonlinear gradient source
本文研究含非线性梯度源的半线性热方程，通过逐点梯度估计、Gidas-Spruck 积分法和 doubling lemma 证明 Liouville 型定理并导出普适先验估计。
Liouville-type theorems for the stationary non-Newtonian fluids in a slab
本文研究了slab中非牛顿流体 stationary 解的Liouville型定理，证明了在特定条件下解必须为平凡解，并引入了Korn不等式常数的估计方法。
Liouville-type theorems and universal estimates for semilinear elliptic equations involving the product of the function and its gradient
本文通过引入线性算子构造微分不等式，研究半线性椭圆方程正解的梯度估计与Liouville型定理，并将参数条件推广至更广范围，获得局部解的普适估计。
Liouville Type Theorem for Some Nonlocal Elliptic Equations
本文证明了一类非局部非线性椭圆型方程的Liouville定理，其中$\mathbb R_+^N=\{x\in \mathbb R^N:x_N>0\}$，$f,g,F,G$为非局部非线性函数，且具有非局部边值条件$$ \left\{ \begin{array}{ll} \displaystyle -Δu(y)=\intpr \frac{ F(u(x',0))}{|(x',0)-y|^{N-α}}dx'g(u(y)), &y\in\R, \\ \\ \displaystyle \frac{\partial u}{\partial ν}(x',0)=\intr \frac{G(u(y))}{|(x',0)-y|^{N-α}}\,dy f(u(x',0)), &(x',0)\in\partial \mathbb R_+^N, \end{array} \right. $$.在对非线性函数$f,g,F,G$的某些假设下，证明了该方程不存在非平凡正解。将Liouville定理从局部问题推广到非局部问题。我们使用移动平面方法来证明我们的结果。
Towards a Liouville theorem for continuous viscosity solutions to fully nonlinear elliptic equations in conformal geometry
研究了含共形Hessian的完全非线性椭圆型方程的整体连续黏性解。证明了非一致椭圆型方程的强比较原理和Hopf引理，其中竞争者之一是$C^{1,1}$ .我们得到的结果是一个刘维尔定理的整体解决方案是近似的$C^{1,1}$解决方案上越来越大的紧凑的域，特别是整个$C^{1,1}_{\rm loc}$解决方案：他们要么是常数或标准泡沫。
Blow-up, zero $α$ limit and the Liouville type theorem for the Euler-Poincaré equations
本文研究了$\Bbb R^N$中的Euler-Poincaré方程。证明了$W^{2,p}(\Bbb R^N),$ $p>N$弱解的局部存在性，$H^k (\Bbb R^N)$，$k>N/2+3$经典解的局部存在性，以及爆破准则.对于零色散方程（$α=0$），我们证明了经典解的有限时间爆破。我们还证明了当色散参数为零时，弱解收敛到零色散方程的一个解$α\to0$，只要极限解属于具有$k>N/2 +3$的$C([0, T);H^k(\Bbb R^N))$.对于Euler-Poincaré方程的{ \em平稳弱解}，我们证明了一个Liouville型定理.也就是说，对于$α>0$，任何弱解$\mathbf{u}\in H^1(\Bbb R^N)$都是$\mathbf{u}=0$ ;对于$α=0$，任何弱解$\mathbf{u}\in L^2(\Bbb R^N)$都是$\mathbf{u}=0$。
Liouville-type theorems for unbounded solutions of elliptic equations in half-spaces
证明了半空间中Lane-Emden方程的狄利克雷问题不存在正解，其增长最多为方程的自然标度指数到边界的距离的幂，即排除了{ \it ~I型增长}解.这种不存在性的结果以前只适用于有界解，或在非线性的权力的限制。工具的证明是本地逐点的解决方案和其正常的导数，我们也建立的对数梯度的界限。
Liouville theorems and Fujita exponent for nonlinear space fractional diffusions
考虑半线性空间分数阶扩散问题$(\partial_t+(-Δ)^{α/2})u=ρ(x)u^p$在全空间$R^n$上的非负解，其中$(-Δ)^{α/2}$是$α$ -Laplacian算子，$α\in (0,2)$ .这里$p>0$和$ρ(x)$是一个非负的局部可积函数。对于$ρ(x)=1$，我们证明了Fujita指数是$p_F=1+\fracα{n}$和Liouville型结果的平稳方程是真实的$0<p\leq 1+\fracα{n-α}$。当$p=1/2$和$ρ(x)$满足可积条件时，至少存在一个正解.在建立了分数阶Poisson方程解的唯一性结果后，证明了该结果的存在性。
Harnack inequalities and quantization properties for the n-Liouville equation
我们考虑一个拟线性方程涉及的$n-$拉普拉斯算子和指数非线性，一个问题，其中包括著名的刘维方程在平面上作为一个特殊情况。对于一个非紧序列的解决方案，它是已知的指数非线性收敛，直到一个子序列，狄拉克措施的总和。通过执行精确的局部渐近分析，我们完成了这样的结果，通过显示相应的狄拉克质量被量化为给定质量的倍数，根据第一作者在P. Esposito，A classification result for the quasi-linear Liouville equation中获得的分类结果重新缩放后，与极限轮廓的质量相关。安·因斯特·H庞加莱肛门。Non Linèaire 35（2018），no. 3，781--801.这里提供了一个基本的工具，由一些Harnack不等式的“sup+inf”型，一个问题的独立利益，我们证明在准线性的情况下，通过一个新的和简单的爆破方法。
Gradient estimates for a nonlinear parabolic equation and Liouville theorems
在光滑度量测度空间上建立了非线性抛物型方程正光滑解的局部椭圆梯度和抛物梯度估计。作为应用，我们确定了各种条件的方程的系数和增长的解决方案，保证非平凡的正光滑解的非存在性的许多特殊情况下的非线性方程。特别地，我们应用梯度估计讨论了完备黎曼流形和光滑度量测度空间的Yamabe型问题。
Sharp gradient estimate and Yau's Liouville theorem for the heat equation on noncompact manifolds
我们得到一个尖锐的，局部化的版本的椭圆型梯度估计的正解（有界或无界）的热方程。这些估计类似于拉普拉斯方程的Cheng-Yau估计和紧致流形上热方程有界解的Hamilton估计。作为应用，在一定的增长条件下，我们将丘氏著名的关于正调和函数的Liouville定理推广到热方程的正永恒解。令人惊讶的是，即使在没有这样的条件的${\bf R}^n$中，热方程的刘维尔定理也不成立。我们还证明了非紧流形上热核对数的一个锐化的长时间梯度估计。这一直是一个开放的问题，在紧凑，短时间的情况下，众所周知的估计。
Optimal Control for Kuramoto Model: from Many-Particle Liouville Equation to Diffusive Mean-Field Problem
本文研究Kuramoto振荡器群的平均场最优控制问题，通过环绕分布解释粒子系统与周期域平均场PDE的联系，推导无限振荡器极限下的扩散平均场模型，用Γ-收敛证明最优控制存在，结合大偏差估计完成混沌传播的相对熵估计。
Gradient Bounds and Liouville theorems for Quasi-linear equations on compact Manifolds with nonnegative Ricci curvature
本文研究非负 Ricci 曲率紧 Riemannian 流形上的拟线性椭圆方程，建立梯度界、Liouville 型定理、等号情形的局部分裂定理，以及梯度的 Harnack 型不等式和 ABP 估计。
Liouville type theorems on the steady Navier-Stokes equations in R3
本文研究定常不可压Navier-Stokes方程在$\mathbf{R}^{3}$中解的Liouville型性质。证明了在狄利克雷积分有限且远场速度场为零的情况下，定常Navier-斯托克斯方程在$\mathbf{R}^{3}$中的任何解必定是平凡的.这解决了一个开放的问题。证明的关键成分包括能量通量的霍奇分解和变形矩阵的平方位于局部Hardy空间中的观察。作为副产品，我们还获得了一个Liouville型定理的定常密度相关的Navier-斯托克斯方程。
A Liouville-Weierstrass correspondence for Spacelike and Timelike Minimal Surfaces in $\mathbb{L}^3$
本文研究了Liouville方程与空间状和时间状最小曲面在$\mathbb{L}^3$中的对应关系，通过复分析和para复分析提供了统一处理方法，并给出了显式例子。
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