Schur Positivity and the $q$-Log-convexity of the Narayana Polynomials
利用Schur正性和Schur函数的主特化性，证明了Liu和Wang关于Narayana多项式的$q$-对数凸性的一个猜想，并证明了Narayana变换保持对数凸性的第二个猜想.基于Bränd $\mathrm{\acute{e}}$ n公式将$q$-Narayana数表示为Schur函数的特殊化，利用Schur函数乘积的Littlewood-Richardson规则，得到了几个对称函数恒等式，并得到了Narayana多项式的强$q$-对数凸性和$q$-Narayana数的强$q$-对数凸性.
2008-06-10 math.CO
A note on log-convexity of q-Catalan numbers
Carlitz和Riordan研究的q-Catalan数是q中具有非负系数的多项式。在q=1时，它们的值为加泰罗尼亚数：1，1，2，5，14，...，对数凸序列。我们使用这些多项式的组合解释，以证明一个q-对数凸性的结果。q-Catalan数列不是其他作者所用的狭义上的q-log-凸的，因此我们的工作建议采用一个更灵活的q-log-凸的定义.
2007-01-02 math.CO
Log-concavity and log-convexity via distributive lattices
University of British Columbia（不列颠哥伦比亚大学）；Michigan State University（密歇根州立大学）
本文提出序理想引理，通过分配格中的序理想统一证明多种组合序列的对数凹性与对数凸性，并给出猜想与未来方向。
2026-09-16 math.CO
The q-Log-convexity of the Generating Functions of the Squares of Binomial Coefficients
证明了Liu和Wang关于多项式序列$\{\sum_{k=0}^n{n\choose k}^2q^k\}_{n\geq 0}$的q-对数凸性的一个猜想。利用Pieri定则和Schur函数的Jacobi-Trudi恒等式，得到了初等对称函数乘积之和关于非负系数Schur函数的展开式.然后主特化导致q-log-凸性。我们还证明了Liu和Wang的一个技术条件对二项式系数的平方成立。因此，我们推出的线性变换关于三角阵列$\{{n\choose k}^2\}_{0\leq k\leq n}$是对数凸保持。
2008-10-13 math.CO
$q$-log-convexity from linear transformations and polynomials with only real zeros
本文研究迭代多项式稳定性与保持多项式强$q$-对数凸性的线性变换，给出相关判别准则，统一推导多类变换的保凸性，证实猜想并推广已有结果，还通过零点交错法得到多类多项式的稳定性与$q$-对数凸性结论。
2018-07-23 math.CO
Two-log-convexity of the Catalan-Larcombe-French sequence
Catalan-Larcombe-French序列$\{P_n\}_{n\geq 0}$产生于第一类完全椭圆积分的级数展开。证明了该序列是对数平衡的。本文利用Chen和Xia提出的一个判别满足三项递归关系的序列的2-对数凸性的准则，证明了新序列$\{P^2_n-P_{n-1}P_{n+1}\}_{n\geq 1}$是严格对数凸的，从而Catalan-Larcombe-French序列也是严格2-对数凸的.
2016-02-16 math.CO
Strong $q$-log-convexity of the $d$-Hoggatt polynomials
Universität Wien（维也纳大学）；Dalian University of Technology（大连理工大学）
本文研究 $d$-Hoggatt 数的对数凸性，证明 $d$-Hoggatt 变换保持对数凸性，建立 $q$-模拟的强 $q$-对数凹性，并基于 Schur 函数理论证明 $d$-Hoggatt 多项式序列强 $q$-对数凸。
2026-09-29 math.CO
Combinatorial proof of the log-convexity for the derangements in the Coxeter groups
本文针对对称群、超八面体群和半超八面体群，采用组合方法证明错排数及偶、奇错排数序列的对数凸性。
2023-08-14 math.CO
A sharper log-convexity inequality for Bell numbers
本文证明了贝尔数的一个更强的对数凸性不等式，通过组合方法与初等不等式，给出了一个下界涉及斐波那契数的显式表达式。
2026-06-29 math.CO
Pfaffian--Toeplitz identities, Schur positivity, and the $q$-log-convexity of Baxter polynomials
Dalian University of Technology（大连理工大学）
该研究利用Pfaffian与Toeplitz相关公式，证明Baxter多项式序列具q-对数凸性，其q-精细Baxter数阵列行与列均为q-对数凹，相关结果可推广至d-Hoggatt数的q-模拟。
2026-08-25 math.CO
A direct injection for the strong $q$-log-convexity of Touchard polynomials
研究为贝尔数强对数凸性提供直接注入，其注入保持划分对中块总数，也是Touchard多项式强\(q\)对数凸性的注入，还应用此注入恢复了相关结果。
2026-07-23 math.CO
Positivity of iterated sequences of polynomials
本文给出了组合序列的$2$ -对数凸性和$3$ -对数凸性的一些判别准则，这些判别准则可以看作是$q$中满足递推关系$$A_{n,k}(q)=A_{n-1,k-1}(q)+g_k(q)A_{n-1,k}(q)+h_{k+1}(q)A_{n-1,k+1}(q).$$的非负系数多项式的无限三角阵列$[A_{n,k}(q)]_{n,k\geq0}$的第一列，也可以用连分数和生成函数来表示。这些允许统一处理交替欧拉多项式的$2$ - $q$ -对数凸性、欧拉数的$2$ -对数凸性和许多经典多项式的$3$ - $q$ -对数凸性，包括贝尔多项式、$A$和$B$类型的欧拉多项式、$q$ -施罗德数、$q$ -中心Delannoy数，$A$和$B$型的Narayana多项式，Aigner和Shapiro的Catalan三角形中的行的生成函数，大Schröder三角形中的行的生成函数等等，它们推广了许多已知的关于$q$ -对数凸性的结果.
2018-07-03 math.CO
Some Ratio Monotonic Properties of a New Kind of Numbers introduced by Z.-W. Sun
最近，Z. W. Sun引入了一类新的数$S_n$，并提出了与之相关的组合序列的比单调性猜想。本文通过对$S_n$的一些算术性质的研究，对他的猜想给出了肯定的回答.我们的方法是基于Chen，Guo和Wang新建立的对数凸性的判据和交错方法，以及序列的比对数凸性的判据。
2015-12-03 math.CO
Log-concavity and log-convexity of moments of averages of i.i.d. random variables
我们证明了独立同分布的平均值的阶数小于1的矩序列。正随机变量是对数凹的。对于阶数至少为1的时刻，我们推测序列是对数凸的，并证明这最终适用于整数时刻（忽略序列的第一个$p^2$项后）。
2021-04-23 math.CO math.PR
The 2-log-convexity of the Apery Numbers
给出了一种证明满足三项递归关系的序列的2-对数凸性的方法。我们证明了Aubert数、Cohen-Rhin数、Motzkin数、Fine数、3阶和4阶的Franel数以及大Schroder数都是2-log凸的。数值证据表明，所有这些序列是k-对数凸的任何$k\geq 1$可能除了一个常数的条款在开始。
2010-09-12 math.CO math.NT
Convexity and a sum-product type estimate
本文在Schoen和Shkredov（\cite{SS}）的工作基础上，进一步研究了凸性与可加性增长之间的关系，改进了Elekes，Nathanson和Ruzsa（\cite{ENR}）的早期结果.特别是，我们表明，对于任何有限集$A\subset{\mathbb{R}}$和任何严格凸或凹函数$f$，\[|A+f(A)|\gg{\frac{|A|^{24/19}}{(\log|A|)^{2/19}}}\]和\[\max\{|A-A|,\ |f(A)+f(A)|\}\gg{\frac{|A|^{14/11}}{(\log|A|)^{2/11}}}.\]对于后者的这些不等式，我们继续考虑的后果和产品类型的问题。
2011-11-22 math.CO
Bell numbers, log-concavity, and log-convexity
令$\{b_{k}(n)\}_{n=0}^{\infty}$为$k$阶的Bell数。证明了序列$\{b_{k}(n)/n!\}_{n=0}^{\infty}$是对数凹的，序列$\{b_{k}(n)\}_{n=0}^{\infty}$是对数凸的，或者等价地，对于所有的$n\geq 0$，下列不等式成立：$$1\leq {b_{k}(n+2) b_{k}(n) \over b_{k}(n+1)^{2}} \leq {n+2 \over n+1}.$$设$\{\a(n)\}_{n=0}^{\infty}$是一个具有$\a(0)=1$的正数序列.我们证明了如果$\{\a(n)\}_{n=0}^{\infty}$是对数凸的，则$$\a (n) \a (m) \leq \a(n+m), \quad \forall n, m\geq 0.$$另一方面，如果$\{\a(n)/n!\}_{n=0}^{\infty}$是对数凹的，则$$\a (n+m) \leq {n+m \choose n} \a (n) \a (m), \quad \forall n, m\geq 0.$$特别地，我们对Bell数$$b_{k}(n) b_{k}(m) \leq b_{k}(n+m) \leq {n+m \choose n} b_{k}(n) b_{k}(m), \quad \forall n, m\geq 0.$…
2001-04-12 math.CO
Log-convexity and the cycle index polynomials with relation to compound Poisson distributions
我们推广了Bender和Canfield（1996）的指数公式，它将对数周期和轮换指数多项式联系起来。该推广澄清了对数凸性关系。证明是通过注意复合泊松分布及其矩母函数的性质。我们还参考Bender和Canfield的方法给出了扩展的“对数凸部分”的组合证明，其中Bruijn和Erdös（1953）的公式被进一步利用.组合方法产生更丰富的结构性结果比对数凸。此外，我们考虑了满足指数公式的序列的正规卷积和二项式卷积。这些操作产生了一些有趣的例子，这些例子不包括在众所周知的关于对数凸性/凸性的定律中。
2017-07-28 math.CO math.PR math.ST
Log-convexity and log-concavity for series in gamma ratios and applications
多项式序列${P_m}_{m\geq0}$是$q$ -代数凹的，如果$P_{m}^2-P_{m+1}P_{m-1}$是对任何$m\geq{1}$具有非负系数的多项式.我们引入一个类似的概念，正式的幂级数的系数是非负的连续函数的参数。四种类型的幂级数被认为是参数依赖表示的比率的Γ函数。我们证明了六个定理陈述各种形式的$q$ -对数级数和凸性这些系列。这些调查的主要动机的例子是超几何函数。在本文的最后一节中，作为一般定理的直接应用，我们给出了Kummer函数、Gauss函数之比和广义超几何函数的新的不等式。
2012-11-14 math.CA math.CO
Strong log-convexity of genus sequences
University of Ljubljana（卢布尔雅那大学）；Simon Fraser University（西蒙菲莎大学）
本文反驳了Gross、Robbins和Tucker关于图的亏格序列对数凹性的猜想，通过实例展示其在多个项上偏离对数凹性。
2025-12-27 math.CO
On Ratio Monotonicity of a New Kind of Numbers Conjectured by Z.-W. Sun
最近，Z. W. Sun以$\{z_n/z_{n-1}\}_{n=N}^\infty$和$\{\sqrt[n+1]{z_{n+1}}/\sqrt[n]{z_n}\}_{n=N}^\infty$的形式给出了一系列关于组合序列单调性的证明，其中$\{z_n\}_{n=0}^\infty$是正整数序列. Luca和Stenjnickel，Hou等人，Chen等人，孙和杨证明了其中的一些。本文对Z所证明的另一类新数的单调性给出了肯定的回答。W. Sun通过交错方法证明了序列的对数凸性和对数凸性，并利用了Xia提出的以$\{\sqrt[n]{z_n}\}_{n=1}^\infty$形式表示的序列对数凸性判据。
2015-12-03 math.CO
Continuous Narayana Interpolations: Hankel Total Positivity and Log-Convexity Preservation
Wenzhou University（温州大学）；Université Claude Bernard Lyon 1, CNRS UMR 5208, Institut Camille Jordan（里昂第一大学，法国国家科学研究中心UMR 5208，卡米尔·乔丹研究所）
该研究探讨B型与移位A型Narayana三角的连续插值，证明其相关序列的全正性，且连续Narayana等变换可保持对数凸性，为组合数学相关性质提供了新的理论依据。
2026-10-21 math.CO
Log-behavior of two sequences related to the elliptic integrals
在研究完全椭圆积分的级数展开式时，出现了两个有趣的序列，分别称为Catalan-Larcombe-French序列$\{P_n\}_{n\geq 0}$和Fennessey-Larcombe-French序列$\{V_n\}_{n\geq 0}$.本文证明了$\{V_n^2-V_{n-1}V_{n+1}\}_{n\geq 2}$和$\{n!V_n\}_{n\geq 1}$的对数凸性，$\{P_n\}_{n\geq 0}$与Apéry数列$\{A_n\}_{n\geq 0}$的对数比凸性，以及$\{V_n\}_{n\geq 1}$的对数比凸性.
2017-04-10 math.CO
Majorization Inequalities from Logarithmic Convexity
Institute of Mathematics, Academia Sinica（中央研究院数学研究所）；Department of Mathematics, Rutgers University（罗格斯大学数学系）
本文利用对数凸性作为统一工具，证明Macdonald多项式、Jack多项式和Heckman-Opdam超几何函数的新优超不等式，统一现有结果并解决若干开放猜想。
2026-09-25 math.CO math.RT
Log-concavity and log-convexity in the theory of the Graham--Knuth--Patashnik recurrences
Universidad Carlos III de Madrid（马德里卡洛斯三世大学）
本文研究了由Graham-Knuth-Patashnik递推关系定义的三角数组T(n,k;μ)，证明了其在变量参数下具有强对数凹性和强对数凸性，并展示了其Hankel-完全正性。
2026-07-07 math.CO
Total positivity from the exponential Riordan arrays
Bender和Canfield [J. Combin.理论系列A 74（1996）]。Schirmacher [J. Combin. Theory Ser. A 85（1999）]将它们推广到$q$ -对数凸性和几乎$q$ -对数凸性。受此启发，我们考虑了Toeplitz矩阵和Hankel矩阵的更强性质全正性。利用指数Riordan阵列方法，分别利用指数公式、对数公式和分式公式给出了广义轮换指数多项式系数三角形矩阵、多项式序列的Toeplitz矩阵和Hankel矩阵的全正性的判别准则.最后，我们将我们的准则应用于满足某些递推关系的三角形阵列，包括两类Bessel三角形及其推广，Lah三角形及其推广，幂等三角形以及与二项式系数、rook多项式和Laguerre多项式有关的三角形。我们不仅得到了这些下三角形的全正性、行生成函数的$q$ -Stieltjes矩性质和$3$ - $q$ -对数凸性，而且证明了它们的三角卷积保持Stieltjes矩性质.特别地，我们解决了Sokal关于车多项式的$q$ -Stieltjes矩性质的一个猜想.
2021-10-10 math.CO
Sun's log-concavity conjecture on the Catalan-Larcombe-French sequence
令$\{P_n\}_{n\geq 0}$表示Catalan-Larcombe-French序列，它自然地来自第一类完全椭圆积分的级数展开。本文证明了由Sun提出的序列$\{\sqrt[n]{P_n}\}_{n\geq 1}$的严格对数性。我们还得到了序列$\{\sqrt[n]{V_n}\}_{n\geq 1}$的严格对数正态性，其中$\{V_n\}_{n\geq 0}$是第二类完全椭圆积分的级数展开中产生的Fennessey-Larcombe-French序列.
2015-05-26 math.CO
A Sharpened Condition for Strict Log-Convexity of the Spectral Radius via the Bipartite Graph
Friedland（1981）证明了对于非负方阵A，其谱半径r（e^DA）是实对角矩阵D上的对数凸泛函.他证明了对于完全不可分解的A，log r（e^DA）在D_1，D_2上是严格凸的当且仅当D_1-D_2！= c I对于任何c \in R。在这里，完全不可分解的条件被证明可以被A和A 'A不可约的较弱条件替换，这是最尖锐的可能替换条件。A和A 'A的不可约性被证明等价于A^2和A' A的不可约性，这是Cohen、Friedland、Kato和Kelly（1982）中发现的关于谱半径的许多严格不等式的条件。这样的“二重不可约”等价于A、A^2、A 'A和AA'的联合不可约，或者用组合术语等价于A的有向图是强连通的，而A的简单二部图是连通的。提供了其他辅助结果。
2012-11-08 math.CO math.SP
Energy estimates in sum-product and convexity problems
我们证明了一类新的低能量分解，除其他后果外，这意味着任何整数的有限集$A$可以被写为$A = B \cup C$，其中$B$和$C$是满足\[ |\{ (b_1, \dots, b_{2s}) \in B^{2s} \ | \ b_1 + \dots + b_{s} = b_{s+1} + \dots + b_{2s}\}| \ll_{s} |B|^{2s - (\log \log s)^{1/2 - o(1)}} \]和\[ |\{ (c_1, \dots, c_{2s}) \in C^{2s} \ | \ c_1 \dots c_{s} = c_{s+1} \dots c_{2s} \}| \ll_{s} |C|^{2s - (\log \log s)^{1/2 - o(1)}}.\]的不相交集。从而证实了贝西·伍利的推测我们进一步使用我们的方法来获得新的估计$s$倍的$k$ -凸集的附加能量，这些任意接近已知的下界$s$变得足够大。
2021-09-10 math.CO math.NT
Linear transformations and strong $q$-log-concavity for certain combinatorial triangle
众所周知，二项式变换保持对数凸性和对数凸性。令$\binom{a+n}{b+k}$为二项式系数，$\binom{n,k}{j}$由$(b_0+b_1x+\cdots+b_kx^{k})^n:=\sum_{j=0}^{kn}\binom{n,k}{j}x^j,$定义，其中序列$(b_i)_{0\leq i\leq k}$为对数凹的。本文证明了线性变换$$y_n(q)=\sum_{k=0}^n\binom{a+n}{b+k}x_k(q)$$对任意固定非负整数$a$和$b$保持强$q$-log-log-log-log-log-log-log-log-log-log-log-log-log-log-log-log-log-log-log-log-log-log-log-log-log-log-log-log-log-log-log-log-log-log-log-log-log-log-log-log-log-log-log-log-log-log-log-log-log-log-log-log-log-log-log-log-log-log-log-log-log-log-log-log-log-log-log-log-log-log-log-log-log-log-log-log-log-log-log-log-log-log-log-log-log-log-log-log-log-l…
2016-05-01 math.CO
Recurrence Relations for Strongly q-Log-Convex Polynomials
我们考虑了一类基于线性系数三角递归关系的强q-log-凸多项式，证明了Bell多项式、Bessel多项式、Ramanujan多项式和Dowling多项式都是强q-log-凸的.我们还证明了贝塞尔变换保持对数凸性。
2008-06-23 math.CO
Convexity and log-concavity of the partition function weighted by the parity of the crank
本文利用 crank 奇偶分拆函数差的渐近公式及其显式界，证明 $M_0(n)$ 与 $M_1(n)$ 的凸性，并进一步得到其对数凹性及高阶 Turán 不等式，细化了经典分拆函数 $p(n)$ 的凸性结果。
2023-10-30 math.CO math.NT
The Log-Behavior of $\sqrt[n]{p(n)}$ and $\sqrt[n]{p(n)/n}$
令$p(n)$表示配分函数。Desalvo和Pak证明了$p(n)$对$n>25$的对数不等式和$n>1$的不等式$\frac{p(n-1)}{p(n)}\left(1+\frac{1}{n}\right)>\frac{p(n)}{p(n+1)}$。设$r(n)=\sqrt[n]{p(n)/n}$和$Δ$是关于$n$的差分算子。Desalvo和Pak指出，他们证明$p(n)$的对数凸性的方法可以用来证明Sun关于$\{r(n)\}_{n\geq 61}$的对数凸性的猜想，只要找到$Δ^2 \log r(n-1)$的适当估计。在本文中，我们得到了一个下界$Δ^2\log r(n-1)$，导致这个猜想的证明。从$\{r(n)\}_{n\geq61}$和$\{\sqrt[n]{n}\}_{n\geq4}$的对数凸性出发，证明了Sun关于$\{\sqrt[n]{p(n)}\}_{n\geq27}$的对数凸性的另一个猜想.此外，我们表明，$\lim\limits_{n \rightarrow +\infty}n^{\frac{5}{2}}Δ^2\log\sqrt[n]{p(n)}=3π/\sqrt{24}$。最后，通过求出$Δ^2 \log\sqrt[n-1]{p(n-1)}$的上界，证明了一个关于比率$\frac{\sqrt[n-1]{p(n-1)}}{\sqrt[n]{p(n)}}$的不…
2015-11-09 math.CO math.NT
On three measures of non-convexity
集合$X \subseteq \mathbb{R}^d$的不可见图$I(X)$是一个（可能是无限的）图，其顶点是$X$的点，并且两个顶点由一条边连接当且仅当连接两个对应点的直线段不完全包含在$X$中。我们考虑集合$X$的以下三个参数：团数$ω(I(X))$、色数$χ(I(X))$和凸数$γ(X)$，凸数是覆盖$X$的$X$的凸子集的最小数目。解决了Matoušek和Valtr的一个猜想，即对于每个平面集合$X$，$γ(X)$可以用$χ(I(X))$来有界.作为证明的一部分，我们证明了在其边界附近具有$n$一点孔的圆盘具有$χ(I(X)) \ge \log\log(n)$但具有$ω(I(X))=3$。我们还发现集合$X$在$\mathbb{R}^5$中具有$χ(X)=2$，但$γ(X)$任意大。
2015-11-21 math.CO math.MG
Log-convex and Stieltjes moment sequences
我们证明了Stieltjes矩序列是无穷对数凸的，这与（有限）Pólya频率序列是无穷对数凹的一个著名结果是一致的.本文引入了多项式的$q$ -Stieltjes矩序列的概念，并证明了组合数学中许多著名的多项式都是这样的序列。给出了保持Stieltjes矩序列的线性变换和卷积的一个判据。许多著名的组合序列被证明是Stieltjes矩序列在一个统一的方法，因此，无限对数凸，这特别解决了陈和夏的猜想关于无限对数凸的Schröder数。本文还列举了一些关于（广义）Apéry数的对数凸性和Stieltjes矩性质的有趣问题和定理。
2016-12-13 math.CA math.CO
On the Gap Between Strict-Saddles and True Convexity: An Omega(log d) Lower Bound for Eigenvector Approximation
UC Berkeley（加州大学伯克利分校）
我们证明了一个\emph{query complexity}下界秩一主成分分析（PCA）。我们考虑一个预言机模型，给定一个对称矩阵$M \in \mathbb{R}^{d \times d}$，允许一个算法，使$T$ \emph{exact}查询的形式$w^{(i)} = Mv^{(i)}$的$i \in \{1,\dots,T\}$，其中$v^{(i)}$是从一个分布，任意依赖于过去的查询和测量$\{v^{(j)},w^{(j)}\}_{1 \le j \le i-1}$。我们表明，对于一个小的常数$ε$，任何自适应，随机算法，它可以找到一个单位向量$\widehat{v}$的$\widehat{v}^{\top}M\widehat{v} \ge (1-ε)\|M\|$，即使是小概率，必须使$T = Ω(\log d)$查询。除了解决一个广泛持有的民间猜想，这个界限证明了凸优化和“严格鞍”非凸优化之间的根本差距，PCA是一个典型的例子：在前者中，一阶方法可以有无量纲迭代复杂性，而在PCA中，基于梯度的方法的迭代复杂性必须随着维数的增加而增长。我们的论点通过减少估计的秩一穗变形维格纳模型。我们建立了这个模型的下限，通过开发一个“截断”类似的$χ^2$贝叶斯风险下限陈等人。
2017-04-14 cs.DS cs.IT cs.LG
