A local search $4/3$-approximation algorithm for the minimum $3$-path partition problem
给定一个图$G = (V, E)$，$3$ -路划分问题是寻找一个顶点不相交的路的最小集合，每个路的阶数至多为$3$，以覆盖$V$的所有顶点.它与著名的$3$ -集合覆盖问题不同但又密切相关。最近提出的最著名的近似算法的$3$ -路径划分问题，并有一个比$13/9$。在这里，我们提出了一个局部搜索算法，并显示，通过摊还分析，这是一个$4/3$ -近似。这个比率匹配到$3$ -集合覆盖问题的最佳近似比率。
2018-12-21 cs.DS
On Solving the Minimum Common String Partition Problem by Decision Diagrams
在最小公共字符串划分问题（MCSP）中，我们在输入端有两个字符串，我们希望将它们划分为相同的子字符串集合，从而最小化分区中的子字符串数量。这个组合优化问题在计算生物学中有应用，并且是NP难的。存在许多不同的启发式和精确的方法来解决这个问题，例如贪婪方法，蚁群优化或线性规划。在本文中，我们制定了MCSP作为一个动态规划，并制定了一个精确的解决方案算法的基础上的决策图。我们还介绍了一个限制性的决策图，允许计算启发式解决方案的MCSP和比较的质量和运行时间从文献中的实例与现有的方法。我们的方法具有很好的扩展性，适合于大规模实例的启发式求解。
2021-10-08 cs.DS
A PTAS for the Minimum Consensus Clustering Problem with a Fixed Number of Clusters
一致性聚类问题已被引入作为一种有效的方法来分析不同的微阵列实验的结果。该问题包括寻找一个分区，最好地总结了一组输入分区（每个对应于一个不同的微阵列实验）下一个简单而直观的成本函数。该问题承认多项式时间算法的两个输入分区，但在三个输入分区的APX困难。研究了一致性聚类算法在输出分区最多包含k个集合时的限制，给出了一个多项式时间近似方案（PTAS），并证明了该限制的NP-困难性.
2009-07-10 cs.DS
Computational Performance Evaluation of Two Integer Linear Programming Models for the Minimum Common String Partition Problem
在最小公共串划分（MCSP）问题中，给出了两个相关的输入串。“相关”是指两个字符串都由相同的字母集合组成，并且在两个字符串中出现的次数相同。MCSP寻求将一个字符串划分为非重叠子串的最小基数划分，该划分也是第二个字符串的有效划分。这个问题在生物信息学中有应用，例如在分析相关的DNA或蛋白质序列中。对于长度小于约1000个字母的字符串，先前公布的整数线性规划（ILP）公式产生，当用最先进的求解器，如CPLEX，令人满意的结果。在这项工作中，我们提出了一个新的，替代ILP模型相比，前一个。虽然多面体的研究表明，这两个模型的线性规划松弛是同样强大的，一个全面的实验比较，使用真实世界以及人工创建的基准实例表明新配方的计算优势。
2015-03-26 cs.DS
Mathematical Programming Strategies for Solving the Minimum Common String Partition Problem
University of the Basque Country UPV/EHU（巴斯克大学 UPV/EHU）；Universidad Santo Tomás（圣托马斯大学）
最小公共串划分问题是计算生物学中的一个NP-难组合优化问题。在这项工作中，我们提出了第一个整数线性规划模型来解决这个问题。此外，整数线性规划模型的基础上，我们开发了一个确定性的两阶段启发式算法，适用于较大的问题实例。结果表明，对于文献中的中小规模问题实例，用CPLEX求解所提出的整数线性规划模型，可以得到较好的最优解。此外，新的最知名的解决方案，从文献中获得所有考虑的问题实例。关于启发式，我们能够表明，它优于相关文献中的启发式竞争对手。
2014-05-22 cs.AI cs.DS
Partitions and Coverings of Trees by Bounded-Degree Subtrees
本文对给定的树$T$和整数$d\geq2$讨论了下列问题：（1）划分$E(T)$的最小度$d$子树个数是多少？(2)覆盖$E(T)$的最小度$d$子树数是多少？我们回答第一个问题，提供了一个明确的公式的最小数量的子树，我们描述了一个线性时间算法，找到相应的分区。对于第二个问题，我们提出了一个计算最小覆盖的多项式时间算法。然后，我们建立了一个严格的约束的子树的数量覆盖的树与给定的最大程度和路径宽度。我们的研究结果表明，路径宽度是正确的参数时，考虑研究覆盖树的度3子树。我们简要地考虑了一般图的有界度连通子图的覆盖。
2010-08-19 cs.DM cs.DS math.CO
A Weakly-Robust PTAS for Minimum Clique Partition in Unit Disk Graphs
研究了单位圆盘图的顶点划分问题。这个问题是NP困难的，已知有各种常数因子近似，目前最好的比率是3。我们的主要结果是对用边长表示的UDG的一个{ \em弱鲁棒}多项式时间近似方案（PTAS），它（i）计算团划分或（ii）证明图不是UDG：对于（i）计算团划分的情况，我们证明了如果输入是UDG，它保证在最优值的$(1+\eps)$比之内;然而，如果输入不是UDG，则它或者如在情况（i）中那样计算团分区而不保证团分区的质量，或者检测到它不是UDG。注意到，识别UDG的是NP难的，即使我们给定的边长，我们的PTAS是一个弱鲁棒算法。我们的算法可以转化为一个$O(\frac{\log^* n}{\eps^{O(1)}})$时间分布的PTAS。我们考虑一个加权版本的团划分问题的顶点加权UDG，推广的问题。我们注意到与未加权版本的一些关键区别，其中的想法有助于获得PTAS细分。然而，令人惊讶的是，它承认一个$(2+\eps)$ -近似算法的加权的情况下，图表示，说，作为一个邻接矩阵。这改进了以标准形式表示的UDG的{ \em未加权}情况的最佳已知的8-近似。
2009-12-03 cs.CG cs.DC cs.DM
Conflict Optimization for Binary CSP Applied to Minimum Partition into Plane Subgraphs and Graph Coloring
CG：SHOP是一项年度几何优化挑战，2022年版提出了由线段定义的特定几何图形的着色问题。令人惊讶的是，排名前三的团队使用了相同的技术，称为冲突优化。这项技术已在2021年版的挑战赛中引入，以解决协调运动规划问题。在本文中，我们提出了更一般的框架中的二进制约束满足问题（二进制CSP）的技术。然后，排名前三的团队描述了他们对同一基本策略的不同实现。我们评估这些实现的性能顶点颜色不仅几何图形，但也其他类型的图。
2023-03-25 cs.CG cs.DS
Single-Point Visibility Constraint Minimum Link Paths in Simple Polygons
我们解决了以下问题：给定一个简单的多边形$P$的$n$顶点和两个点$s$和$t$内，找到它们之间的最小链接路径，使一个给定的目标点$q$是可见的至少一个点上的路径。该方法是基于划分的一部分$P$到一个源点等链接距离的面数。这种划分本质上是一种最短路径映射（SPM）。本文提出了一个具有$O(n)$时间界的最优算法，其时间复杂度与标准最小链路问题的时间复杂度相同。
2021-02-28 cs.CG cs.DS
Finding Minimum Spanning Forests in a Graph
我们引入了一个图划分问题的计算拓扑学的动机，并提出了两个算法，产生近似解。具体地说，给定一个加权无向图$G$和一个正整数$k$，我们希望在$G$中找到$k$不相交树，使得$G$的每个顶点都包含在其中一棵树中，并且最大树的权重尽可能小。我们无法找到这个问题的图划分文献，但我们表明，这个问题是NP-完全的。然后，我们提出了两个近似算法，一个使用谱聚类方法，另一个采用动态规划策略，产生近最佳分区的测试图的家庭。我们描述了这些算法，并分析其经验性能。
2019-07-03 cs.DS math.CO
Finding the KT partition of a weighted graph in near-linear time
Kawarabayashi和Thorup（J.~ ACM'19）给出了简单图$G = (V,E)$中最小割的一个近似线性时间确定性算法。一个关键的组成部分是找到$G$的$(1+\varepsilon)$ -KT分区、$V$的粗分区$\{P_1, \ldots, P_k\}$，使得对于每个非平凡的$(1+\varepsilon)$ -具有边的接近最小切割$\{S, \bar{S}\}$，对于$i=1, \ldots, k$，它保持$P_i$包含在$S$或$\bar{S}$中。本文给出了一个求加权图的$(1+\varepsilon)$ -KT划分的近似线性时间随机算法。我们的算法与Kawarabayashi和Thorup的算法有很大的不同，并且建立在Karger的树尊重割的框架上（J.~ ACM'00）。我们描述的应用程序的算法。(i)该算法的进展，对一个更有效的算法来构建一个图中的近最小割集的多边形表示。这是Benczúr（FOCS'95）最初描述的仙人掌表示的推广。(ii)将最近提出的一种求邻接表模型下简单图最小割的量子算法的时间复杂度从$\widetilde O(n^{3/2})$提高到$\widetilde O(\sqrt{mn})$。(iii)本文描述了一种新的求复杂简单图最小割的随机算法$O(m + n \log^6 n)$。对于稍微密集的图，这与当前最好的$O(m + n…
2021-11-02 cs.DS quant-ph
Approximating Minimum Cost Connectivity Orientation and Augmentation
我们调查的问题，解决组合连接增强和方向设置。我们给出了一个多项式时间的6-近似算法，找到一个最小成本的子图的无向图$G$，承认一个方向覆盖一个非负交叉$G$ -超模需求函数，由弗兰克定义。一个重要的例子是$(k,\ell)$ -边连通性，它是全局边连通性和根边连通性的一个常见推广。我们的算法是基于一个非标准的应用程序的迭代舍入方法。我们观察到，标准的线性规划与切割约束是不适合的，并使用替代的线性规划与分区和共分区的约束。该证明需要一种新型的分区和共分区不交叉技术。我们还考虑了问题设置时，成本的边缘可以是不同的两个可能的方向。对于$k$边缘连接性的更简单要求，问题已经变得更加困难。Khanna，Naor和Shepherd证明了当$k=1$为整数时，自然线性规划的完整性缺口至多为$4$，并证明了对于所有固定的$k$，它是常数。我们通过证明一个$Ω(|V|)$完整性缺口来反驳这个猜想，即使当$k=2$。
2017-11-16 cs.DM cs.DS math.CO
Degree-constrained 2-partitions of graphs
图$G$的$(δ\geq k_1,δ\geq k_2)$ -划分是$G$的顶点划分$(V_1,V_2)$满足$i=1,2$的$δ(G[V_i])\geq k_i$。我们确定，对于所有的正整数$k_1,k_2$，决定一个给定的图是否有一个$(δ\geq k_1,δ\geq k_2)$ -分区的复杂性。我们还解决的问题，找到一个功能$g(k_1,k_2)$，使$(δ\geq k_1,δ\geq k_2)$ -分区问题是${\cal NP}$ -完全的最低程度小于$g(k_1,k_2)$和多项式的所有图的最低程度至少$g(k_1,k_2)$的图类。我们证明了$k\ge 3$的$g(1,k)=k$、$g(2,2)=3$和$g(2,3)$（如果存在）的值为4或5。
2018-01-18 cs.DS math.CO
Genomic Problems Involving Copy Number Profiles: Complexity and Algorithms
近年来，由于多种癌症的基因组序列分析，基于{ \em拷贝数谱}（{ \em CNP}）的基因组数据越来越流行。CNP是一种载体，其中每个组分是代表特定基因或目的片段拷贝数的非负整数。在本文中，我们提出了两个结果流。首先是关于Qingge等人在2018年提出的最小拷贝数生成（MCNG）问题的计算复杂性的两个开放问题的负面结果。Qingge等人证明，如果重复是串联的，则问题是NP难的，并且他们留下了一个悬而未决的问题，即如果使用任意重复，则问题是否仍然是NP难的。我们肯定地回答这个问题，在本文中，事实上，我们证明，这是NP-困难的，甚至获得一个常数因子近似。我们还证明了参数化版本是W[1]-困难的，回答了Qingge等人的另一个公开问题。另一个结果是肯定的，并且基于一个新的（更一般的）关于CNP的问题。\emph{Copy Number Profile Conforming (CNPC)}问题的形式定义如下：给定两个CNP的$C_1$和$C_2$，用$cnp(S_1)=C_1$和$cnp(S_2)=C_2$计算两个字符串$S_1$和$S_2$，使得$S_1$和$S_2$之间的距离$d(S_1,S_2)$最小。在这里，$d(S_1,S_2)$是一个非常通用的术语，这意味着它可以是任何基因组重排距离（如逆转，转座和串联重复等）。我们的第一步表明，如果$d(S_1,S_2)$是由断点距离测量…
2020-02-12 cs.CC cs.DS
First-principles multiway spectral partitioning of graphs
本文研究了用谱方法将一个图划分为两个以上部分的最小割问题。虽然存在完善的频谱算法，这个问题，给出了良好的结果，他们传统上没有得到很好的动机。它们不是通过最小化图切割从第一原理导出的，而是通常在没有直接推导的情况下提出，然后在事实证明有效。在本文中，我们采取了一种对比的方法，我们从一个矩阵制定的最小割问题，然后显示，通过一个放松的优化，它如何可以映射到一个谱嵌入定义的领导特征向量的图形拉普拉斯算子。最终的结果是一个算法，是类似的精神，但不同的细节，以前的频谱分割方法。在测试中的算法，我们发现，它优于以前的方法在某些特别困难的分区问题。
2013-07-19 cs.DS cs.SI
Men Can't Always be Transformed into Mice: Decision Algorithms and Complexity for Sorting by Symmetric Reversals
排列的反转排序是基因组重排中的一个著名问题。自1997年以来，大量的生物学证据表明，在许多基因组中，反向区域的两侧通常是一对反向重复序列。这种类型的反转被称为对称反转，不幸的是，直到最近才在很大程度上被忽视。在本文中，我们研究了对称反转排序的问题，它需要一系列的对称反转将一个染色体$A$转换成另一个染色体$B$。通过对称反转排序的决策问题被称为{ \em SSR}（当输入染色体$A$和$B$被给出时，我们使用{ \em SSR（A，B）}）和相应的优化版本（即，当对{ \em SSR（A，B）}的回答为是时，使用最小数量的对称反转将$A$转换为$B$）被称为{ \em SMSR（A，B）}。本文的主要结果总结如下，其中输入是一对染色体$A$和具有$n$重复的$B$。(1)我们提出了一个求解决策问题{ \em SSR（A，B）}的$O(n^2)$时间算法，即，确定染色体$A$是否可以通过一系列对称反转转化为$B$。(2)我们设计了一个$O(n^2)$时间算法来处理一个特殊的2-平衡情形{ \em SMSR（A，B）}，其中染色体$A$和$B$都有重复数2，并且每个重复在$A$和$B$中以不同的方向出现两次. (3)我们表明，SMSR是NP难的，即使输入染色体的重复数最多为2，从而表明上述正优化结果是最好的可能。作为一个副产品，我们表明，\emph{minimum Steiner tr…
2023-02-07 cs.DS
On a Partition LP Relaxation for Min-Cost 2-Node Connected Spanning Subgraphs
我们的动机是改善已知的最佳近似保证问题的最小成本2-节点连接生成子图的给定无向图的非负边成本。提出了一种基于划分约束的线性规划松弛算法。输入包含零成本生成树的特殊情况称为2NC-TAP。我们提出了一个贪心算法的2NC-TAP，我们分析它通过双重拟合我们的分区LP松弛。关键词：2-节点连通图，近似算法，连通性增强，贪心算法，网络设计，分区松弛
2021-11-15 cs.DS
Nonuniform Graph Partitioning with Unrelated Weights
我们给出了最小非均匀划分问题的双准则近似算法，最近由Krauthgamer，Naor，Schwartz和Talwar（2014）介绍。在这个问题中，我们给出了一个图$G=(V,E)$上的$n$顶点和$k$数$ρ_1,\dots, ρ_k$。目标是将图划分为满足$|P_i|\leq ρ_i n$的$k$不交集$P_1,\dots, P_k$，以使划分所切割的边数最小。我们的算法具有$O(\sqrt{\log n \log k})$的一般图的近似比，和一个$O(1)$近似的排除未成年人的图。这是对Krauthgamer、Naor、Schwartz和Talwar（2014）的$O(\log n)$算法的改进。我们的近似比匹配最小（均匀）$k$ -分区问题的最佳已知比。我们扩展我们的结果的情况下，“无关的权重”和“无关的$d$维权重”的情况下。在前一种情况下，不同的顶点可以具有不同的权重，并且顶点的权重可以取决于顶点被分配到的集合$P_i$。在后一种情况下，如果$u$被分配给$P_i$，则每个顶点$u$具有$d$维权重$r(u,i) = (r_1(u,i), \dots, r_d(u,i))$。每个集合$P_i$具有$d$维容量$c(i) = (c_1(i),\dots, c_d(i))$。目标是找到一个分区，使得$\sum_{u\in {P_i}} r(u,i) \leq c(i)$坐标…
2014-04-28 cs.DS
Minimization of Gini impurity via connections with the k-means problem
PUC-Rio（里约热内卢天主教大学）
基尼不纯性是决策树/随机森林构造中选择属性的一种度量。本文讨论了加权Gini不纯最小的划分问题与$k$ -均值聚类问题之间的联系。基于这些联系，我们表明，计算分区的最小加权基尼是一个NP完全问题，我们还讨论了如何获得新的算法与可证明的近似基尼最小化问题。
2018-09-28 cs.CC cs.DS cs.LG
Partitioning algorithms for weighted trees and cactus graphs
本文考虑了加权树和仙人掌图的不同约束划分问题。我们专注于（l，u）-划分问题，这是一个加权图划分成连接的集群，使每个集群满足的下限和上限的重量限制l和u的问题。划分成最小、最大或固定数量的簇通常是NP难的，但在树上是多项式时间可解的。我们证明了这三个变种的（l，u）-分区问题可以解决仙人掌图，以及通过提出一个多项式时间算法。此外，我们提出了一个有效的方法来计算相应的分区。对于其他优化目标或附加约束，划分问题在树上变得NP-难-甚至对于等于零的较低权重界限。我们表明，我们的方法可以作为一个算法框架来解决其他分区问题的加权树和仙人掌图的伪多项式运行时。
2022-03-02 cs.CG cs.DS
