Rational semimodules over the max-plus semiring and geometric approach of discrete event systems
在加法是幂等元的半环上引入有理半模，将线性控制的几何方法推广到离散事件系统。我们说半环S上的自由半模S^n的一个子半模是有理的，如果它有一个生成族是S^n的一个有理子集，S^n被认为是一个幺半群。我们证明了对于各种元素为整数的极大加型半环，有理半模在自然代数运算（并、积、正像和逆像、交、投影等）下是稳定的.证明了极大线性动力系统的可达空间和可观测空间是有理的，并给出了各种例子。
2002-11-13 math.OC
Observer Design for (max,plus) Linear System
本文研究极大加线性系的状态估计。这种估计是按照经典线性系的观测器方法的思想进行的。假设系统矩阵是已知的，并且使用输入和输出的观测来计算估计状态。观测器的设计是基于剩余理论，适用于处理幂等半环上的线性映射反演问题。
2013-06-05 math.OC
Duality between invariant spaces for max-plus linear discrete event systems
本文将条件不变空间和受控不变空间的概念推广到极大加半环或热带半环上的线性动力系统。我们建立了一个对偶定理，这两个概念，我们用来构建动态观察员。这些在某些系统系数可能在一定间隔内变化的情况下是有用的。结果示出了一个制造系统的应用程序。
2009-01-19 math.OC
Probabilistic max-plus schemes for solving Hamilton-Jacobi-Bellman equations
我们考虑与扩散控制问题相关的完全非线性Hamilton-Jacobi-Bellman方程，该扩散控制问题涉及有限集值（或切换）控制和可能的连续值控制。在以前的工作（Akian，Fodjo，2016和2017）中，我们通过结合max-plus和数值概率方法，为此类方程引入了一种较低复杂度的概率数值算法。最大加方法是在McEneaney，Kaise和Han（2011）的精神之一，是基于关于上界的单调算子的分配性。数值概率方法符合Fahim，Touzi和Warin（2011）提出的方法的精神。后者算法的一个困难是在汉密尔顿施加的关键约束，以确保该计划的单调性，因此算法的收敛性。在这里，我们提出了新的概率方案，在相当弱的假设下是单调的，并显示这些计划的误差估计。这些估计将用于进一步的工作，研究概率最大加方法。
2018-01-04 math.OC
The Minkowski Theorem for Max-plus Convex Sets
我们建立了闵可夫斯基定理的最大加模拟。$(R\cup\{-\infty\})^n$的紧极大凸子集的任何点都可以写成该子集的至多极值点的$n+1$的极大凸组合。建立了闭极大凸锥和闭无界极大凸集的相关结果。特别地，我们证明了一个封闭的极大凸集可以分解为它的回收锥和它的极值点的极大凸包的极大和。
2006-05-02 math.MG math.OC
Algorithm for the CSR expansion of max-plus matrices using the characteristic polynomial
Kyoto Prefectural University（京都府立大学）
本文提出一种O(n(m+n log n))时间算法，用于最大加法矩阵的CSR展开，通过求解特征多项式根来提高效率，优于传统O(n⁴ log n)算法。
2024-12-09 math.OC
Certification of inequalities involving transcendental functions: combining SDP and max-plus approximation
我们考虑证明形式为$f(x)\geq 0$，$\forall x\in K$的不等式的问题，其中$f$是多元超越函数，$K$是紧致半代数集.我们介绍了一种证明方法，结合半代数优化和最大加近似。我们假设$f$是由一个语法树，其成分涉及半代数运算，以及一些超越功能，如$\cos$，$\sin$，$\exp$等，我们绑定这些成分的上下限或二次型（最大加近似法，最初引入最优控制），导致半代数最优化问题，我们解决了半定松弛。最大加近似迭代细化，并结合分支定界技术，以减少松弛间隙。该算法的应用说明性的例子，解释我们如何解决紧不等式发出的Flyspeck项目（其主要目的之一是证明数字不等式中使用的证明开普勒猜想的托马斯黑尔斯）。
2013-07-26 math.OC
Max-plus (A,B)-invariant spaces and control of timed discrete event systems
将线性动力系统的（A，B）-不变子空间（或受控不变子空间）的概念推广到极大加半环上的线性系.虽然这种扩展提出了几个困难，这是类似于在同一种扩展到线性动力系统的环中遇到的困难，它似乎能够提供解决方案，许多控制问题的情况下，线性系的领域或环。给出了计算给定空间中包含的最大（A，B）-不变子空间的充分条件，并讨论了线性状态反馈的存在性。被认为是根据时间表的交通网络的研究中的应用。
2007-04-06 math.OC
A probabilistic max-plus numerical method for solving stochastic control problems
我们考虑与扩散控制问题相关的完全非线性Hamilton-Jacobi-Bellman方程，该扩散控制问题涉及有限集值（或切换）控制和可能的连续值控制。我们通过将McEneaney，Kaise和Han（2011）为解决此类问题而获得的幂等展开性质与Fahim，Touzi和Warin（2011）为解决某些完全非线性抛物型偏微分方程而提出的数值概率方法相结合，构造了一种较低复杂度的概率数值算法。给出了一个期权定价和套期保值的小例子的数值检验。
2016-05-10 math.OC
Sparsity in Max-Plus Algebra and Systems
我们研究稀疏性的最大代数设置。我们寻求具有最小支撑基数的最大加线性方程的精确解和近似解。在前一种情况下，稀疏解问题被证明是等价的最小集覆盖问题，因此，NP-完全。在后者中，近似量化的$\ell_{1}$残差范数，这是具有超模性质的一些凸约束下，称为迟到的约束。因此，贪婪近似算法的多项式复杂性，可以采用这两个问题的近似有保证的界限。研究了稀疏恢复问题和稀疏精确解求解稀疏恢复问题的条件，通过多机交互过程，描述了该框架如何应用于两个实际的离散事件系统问题：资源优化和结构寻求系统辨识。我们还展示了稀疏性与修剪问题的关系。最后，我们提出了一个数值例子的结构寻求系统辨识问题，我们研究了性能的贪婪算法通过模拟。
2019-06-04 math.OC
Max-plus modeling of traffic on passenger railway lines with a junction: fundamental diagram and dynamic control
本文针对单枢纽地铁线路提出了交通流数学模型和控制规律。这些模型基于[12，14]中为线性地铁线路（无交叉口）开发的模型。训练动力学描述与离散事件交通模型。考虑了两个时间限制。第一个对训练运行和停留时间施加下界。第二种方法确定了列车安全间隔时间的下界。提出了一个枢纽上的训练动力学模型，以及作为乘客出行需求函数的训练运行和停留时间的控制律。这些模型中的大多数被写为最大加代数（多项式矩阵代数）中的线性系，这允许静态状态的表征和交通相图的推导。
2020-10-24 math.OC
Deterministic filtering and max-plus methods for robust state estimation in multi-sensor settings
一个强大的（确定性）滤波方法的最佳传感器选择的问题被认为是在这里。对于一个具有多个传感器的给定系统，在每个时间步，必须选择其中一个传感器的输出，以获得最佳状态估计。我们重新制定这个问题的最优控制框架，然后可以解决使用动态规划。为了以有效的方式处理解的数值计算，我们利用了当由动态规划算子作用时最优费用函数的最小加结构的保持。这种技术产生一个网格自由的数值方法的问题。一个例子的问题上的仿真服务，以突出的有效性，这种可推广的方法，强大的多传感器状态估计。
2012-11-08 math.OC
How to find horizon-independent optimal strategies leading off to infinity: a max-plus approach
最优控制中的一个一般问题是寻找一个终端报酬，使价值函数与视界无关。这样的终端奖励可以被解释为相关的Lax-Oleinik半群的最大加特征向量。我们给出了所有这些特征向量的一个表示公式，它适用于状态空间为非紧的最优控制问题。这种表示涉及状态空间的抽象边界，它扩展了用Busemann函数定义的度量空间的边界（horobouncement）。特征空间的极值生成元对应于某些边界点，它们是准测地线的极限。我们说明我们的结果的情况下，一个线性二次型问题。
2006-09-08 math.OC
From a monotone probabilistic scheme to a probabilistic max-plus algorithm for solving Hamilton-Jacobi-Bellman equations
在以前的工作（Akian，Fodjo，2016）中，我们介绍了一种较低复杂度的概率最大值数值方法，用于求解与扩散控制问题相关的完全非线性Hamilton-Jacobi-Bellman方程，该扩散控制问题涉及有限集值（或切换）控制和可能的连续值控制。该方法基于McEneaney、Kaise和Han（2011）获得的幂等展开性质以及Fahim、Touzi和Warin（2011）提出的求解某些完全非线性抛物型偏微分方程的数值概率方法。Fahim，Touzi和Warin算法的一个难点在于对Hamilton算子施加临界约束，以保证方案的单调性，从而保证算法的收敛性。在这里，我们提出了一个新的“概率计划”，这是单调的相当弱的假设下，包括强椭圆型偏微分方程的情况下，有界系数。这使我们能够在更一般的情况下应用我们的概率最大加方法。我们说明了这一点上的超套期保值价格的不确定相关模型下的期权与几个标的股票和变化的符号交叉伽马的评估，并特别考虑的情况下，5只股票导致偏微分方程在第5维。
2018-02-07 math.OC
Linearly-constrained Linear Quadratic Regulator from the viewpoint of kernel methods
线性二次型调节器问题是最优控制中的核心问题，自控制理论一开始就被研究。然而，当它包括仿射状态约束时，从经典的"最大值原理“的角度来看，它仍然非常具有挑战性。在这项研究中，我们提出了如何矩阵值再生核允许另一种观点。我们表明，二次目标配对的线性动力学编码相关的内核，定义一个希尔伯特空间的控制轨迹。利用核形式主义，我们引入了一个加强的连续时间凸优化问题，可以解决有限维求解器，并解决内部的约束。当细化时间离散网格时，可以使该解任意接近于状态约束线性二次调节器的解。我们说明了这种方法的实施路径规划问题。
2021-03-29 math.OC
Discrete max-plus spectral theory
我们发展了无限矩阵的极大谱理论。我们引入了递归和紧性条件，在这些条件下，有限维理论中关于特征向量的表示和矩阵幂的渐近行为的许多结果得以延续。我们还宣布更一般的代表性结果的特征向量，这是通过引入一个最大加模拟的马丁边界。
2004-05-12 math.OC math.SP
Max-plus Stochastic Control and Risk-sensitivity
在Maslov幂等概率演算中，随机变量的期望被定义为相对于最大加和标量乘法是线性的。本文研究了以最小化某个最大加性运行费用的最大加性期望为目标的控制问题。这样的问题自然出现的某些类型的风险敏感随机控制问题的限制。该值函数是动态规划的一个拟变分不等式的黏性解.这个QVI的非线性抛物型偏微分方程的不连续哈密顿量的等价性被用来证明粘性下，上解决方案的比较定理。给出了一个数学金融的例子，并简述了它在非线性H ∞控制中的应用。
2009-01-20 math.OC math.PR
A max-plus finite element method for solving finite horizon deterministic optimal control problems
本文提出一种极大加有限元方法求解有限时域确定性最优控制问题，基于极大加变分公式和投影算子，获得零和博弈对应的非线性离散半群，并给出误差估计及与现有方法的比较。
2004-04-08 cs.NA math.NA math.OC
Solutions of max-plus linear equations and large deviations
我们推广了大偏差理论的加特纳-埃利斯定理。我们的结果使我们能够从广义对数矩母函数的收敛性中得到随机最优控制中的大偏差型结果。它们依赖于极大值加线性方程解的唯一性的特征。我们给出了一个简单的投资模型，其中对数矩母函数代表风险敏感值。
2005-09-13 math.OC math.PR
An Adaptive Multi-Level Max-Plus Method for Deterministic Optimal Control Problems
针对有限时域确定性最优控制问题，本文利用正反向 HJB 方程定位最优轨迹邻域，并通过多层网格上的 max-plus 基函数逼近实现收敛验证与复杂度改进。
2023-04-20 math.OC
Model-free Learning for Risk-constrained Linear Quadratic Regulator with Structured Feedback in Networked Systems
针对无限时域线性二次型调节器（LQR）问题，提出了一种无模型学习算法。具体而言，（风险）约束和结构化的反馈被认为是为了减少状态偏差，同时允许在实践中的稀疏通信图。通过将对偶问题转化为一个非凸-凹极大极小问题，我们采用梯度下降极大预言（GDmax），对于无模型设置，使用零阶策略梯度的随机（S）GDmax。通过使用特定定义的子水平集来限制LQR成本的Lipschitz和平滑常数，我们可以设计步长和相关参数以建立收敛到平稳点（以高概率）。在网络化微电网控制问题中的数值试验验证了我们提出的SGDmax算法的收敛性，同时证明了风险约束的有效性。与经典的LQR控制相比，SGDmax算法获得了令人满意的最优性间隙，特别是对于全反馈情况。
2022-04-04 math.OC
Stochastic Stability in Max-Product and Max-Plus Systems with Markovian Jumps
National Technical University of Athens, School of Electrical and Computer Engineering（雅典国立技术大学电气与计算机工程学院）
本文研究具有马尔可夫跳跃的max-product和max-plus系统的随机稳定性问题，通过构造Lyapunov函数和分步Lyapunov函数，推导出随机稳定性的充分必要条件，并应用于生产系统示例。
2017-11-08 cs.SY eess.SY math.OC
Fitted Q-Iteration via Max-Plus-Linear Approximation
Delft University of Technology（代尔夫特理工大学）；Delft Center for Systems and Control（代尔夫特系统与控制中心）
本文提出基于最大加线性近似的拟合Q迭代算法，利用Bellman算子与最大加运算的相容性将回归简化为矩阵-向量乘法，并通过变分实现使每次迭代复杂度与样本数无关。
2025-03-07 cs.AI cs.LG cs.SY
The max-plus finite element method for solving deterministic optimal control problems: basic properties and convergence analysis
本文提出最大加Petrov-Galerkin有限元方法求解有限时域确定性最优控制问题，基于最大加变分公式，证明了误差界由值函数与其在最大加和最小加半模上的投影之差决定，并给出了两种基于哈密顿量的近似及其收敛性分析。
2006-03-27 cs.NA math.NA math.OC
The max-plus finite element method for optimal control problems: further approximation results
本文通过最大加有限元方法求解有限时域确定性最优控制问题，证明了在任意维度下误差估计为 δ+Δx(δ)^{-1} 量级，并展示了如何通过凸优化计算质量矩阵和刚度矩阵的最大加类似物。
2005-09-12 cs.NA math.NA math.OC
Contraction of Riccati flows applied to the convergence analysis of a max-plus curse of dimensionality free method
Max-plus方法是近年来研究一阶Hamilton-Jacobi-Bellman方程的一种新方法。特别地，McEneaney的无量纲方法适用于其中哈密顿量采取线性/二次型的（逐点）最大值的形式的方程。在McEneaney和Kluberg以前的工作中，该方法的近似误差被证明是$O(1/(Nτ))+O(\sqrtτ)$，其中$τ$是时间离散化步骤，$N$是迭代次数。在这里，我们使用最近建立的收缩结果的不定Riccati流在汤普森的度量表明，在不同的技术假设下，仍然涵盖了一类重要的问题，错误的顺序只有$O(e^{-αNτ})+O(τ)$。这也使我们能够获得更好的执行时间估计，并调整修剪过程的精度，这在实践中是该方法的关键要素。
2013-01-21 math.CA math.OC
Switched max-plus linear-dual inequalities for makespan minimization: the case study of an industrial bakery shop
Technische Universität Berlin（柏林工业大学）；National University of Life and Environmental Sciences of Ukraine（乌克兰国立生物与环境科学大学）
本文利用切换型最大-加线性-对偶不等式研究工业面包厂的调度问题，通过最大-加代数方法提高完成时间最小化效率。
2023-05-23 cs.SY eess.SY math.OC
On a discrete max-plus transportation problem
Universidad de Antioquia（安蒂奥基亚大学）；Innopolis University（因诺波利斯大学）；St.Petersburg Branch of the Steklov Mathematical Institute of the Russian Academy of Sciences（俄罗斯科学院列别杰夫数学研究所圣彼得堡分支）；Dipartimento di Matematica, Università di Pisa（比萨大学数学系）；HSE University（高等经济学院）
本文提出了解决热带最优运输问题的显式算法，指出在特定条件下最优热带计划可能不对应于完美匹配，并证明了解的唯一性罕见。
2026-02-23 math.CO math.OC math.PR
Sparse Approximate Solutions to Max-Plus Equations with Application to Multivariate Convex Regression
National Technical University of Athens（雅典国家技术大学）；University of Pennsylvania（宾夕法尼亚大学）
在这项工作中，我们研究的问题，找到近似，最小支撑集，解决矩阵最大-加方程，我们称之为稀疏近似解。我们展示了如何可以有效地获得这样的解决方案，并在多项式时间的任何$\ell_p$近似误差。基于这些结果，我们提出了一种新的方法，凸多元函数的分段线性拟合，最优性保证的模型参数和近似最小数量的仿射区域。
2020-12-21 cs.LG math.OC math.RA
The max-plus algebra approach in modelling of queueing networks
Faculty of Mathematics and Mechanics, St. Petersburg State University（圣彼得堡国立大学数学力学系）
针对由单服务器分叉-合并节点和无限缓冲区组成的排队网络，利用最大加代数推导网络动态表示，提出统一动态状态方程，并给出状态转移矩阵的计算方法及示例。
2012-12-04 cs.SY eess.SY math.OC
Controlled Invariance in Fully Actuated Max-plus Linear Systems with Precedence Semimodules
Technische Universität Berlin（柏林工业大学）；Science of Intelligence, Research Cluster of Excellence（智能科学卓越研究集群）
本文研究了全驱动max-plus线性系统中precedence半模的受控不变性问题，提出计算最大受控不变子半模和判断固定点算法收敛性的方法。
2025-06-28 cs.SY eess.SY math.OC
Curse of dimensionality reduction in max-plus based approximation methods: theoretical estimates and improved pruning algorithms
INRIA（法国国家信息与自动化研究所）；CMAP École Polytechnique（巴黎综合理工学院数学与应用数学中心）；University of California, San Diego（加利福尼亚大学圣地亚哥分校）；Fudan University（复旦大学）
针对最大加法近似方法中值函数逼近的维度灾难问题，提出理论误差估计并改进剪枝算法，以更少的基函数达到更高精度。
2011-09-24 cs.SY eess.SY math.OC
Max-plus algebra models of queueing networks
Faculty of Mathematics and Mechanics, St. Petersburg State University（圣彼得堡国立大学数学力学系）
针对具有任意拓扑、包含单服务器分叉-合并节点及无限/有限缓冲区的排队网络，利用最大加代数推导网络动态表示，建立通用动态状态方程，并给出存在条件。
2012-12-03 cs.SY eess.SY math.OC
Bundle-based pruning in the max-plus curse of dimensionality free method
本文提出利用束法高效解决非凸状态空间中最大加法基函数的剪枝问题，通过半正定规划实现量子门合成的精确松弛。
2014-02-06 cs.NA math.NA math.OC
Max-Plus Representation for the Fundamental Solution of the Time-Varying Differential Riccati Equation
利用最优控制、对偶理论和\maxp代数，导出了时变系数矩阵微分Riccati方程（DRE）解的统一表示.它是基于一个特殊情况下的\maxp基本解，首先提出了\cite{FlemMac}。这种基本解可以将二元DRE的特解推广为通解，并且可以从任意初始条件出发解析求解DRE。本文还证明了在固定的对偶核下，一个DRE解的双凸对偶满足另一个对偶DRE，其系数满足包含Hamilton和某些辛矩阵的矩阵相容条件.对于时不变DRE，这允许我们使对偶DRE线性化，从而解析地求解原始DRE。本文还推导出各种核/对偶关系之间的原始和时移对偶DRE，从而导致一系列的DRE解决方案。其中一种方法的时不变模拟首先在\cite{Funda}中提出。
2010-12-27 math.AP math.DS math.OA
Tsallis Entropy Regularization for Linear Quadratic Regulator and Kullback-Leibler Control
Graduate School of Informatics, Kyoto University（京都大学信息学研究科）
本文提出基于Tsallis熵的正则化方法用于线性二次调节器和Kullback-Leibler控制，推导出闭式解和高效算法，并展示了其在平衡探索与稀疏性方面的优势。
2026-09-22 cs.LG cs.SY eess.SY
