Poisson-Gerstenhaber brackets in representation algebras
Vladimir Turaev
在余代数上引入了循环双线性型，并利用它们推广了表示代数中的Van den Bergh的泊松括号.
We introduce cyclic bilinear forms on coalgebras and use them to generalize Van den Bergh's Poisson brackets in representation algebras.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
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Gerstenhaber brackets on Hochschild cohomology of quantum symmetric algebras and their group extensions
我们构造了量子对称代数（斜多项式环）的bar和Koszul分解之间的链映射。这种构造使用了递归技术，涉及收缩同伦的显式公式。我们使用这些链映射来计算Gerstenhaber括号，得到一个量子版本的Schouten-Nijenhuis括号上的对称代数（多项式环）。在某些情况下，我们也计算括号的斜群代数产生的量子对称代数的群扩展。
The Gerstenhaber bracket as a Schouten bracket for polynomial rings extended by finite groups
我们将新的技巧应用于由多项式环和有限群（特征为0）构成的斜群代数的Hochschild上同调的Gerstenhaber括号。我们表明，Gerstenhaber括号总是可以表示的Schouten括号。我们得到的后果括号总是0的条件下，加强已知的结果。
Gerstenhaber brackets on Hochschild cohomology of twisted tensor products
我们构造了一个扭曲的张量积的代数的Hochschild上同调的Gerstenhaber括号，并作为例子，计算Gerstenhaber括号的Buchweitz，Green，Madsen和Solberg的工作中产生的一些量子完全相交。证明了扭曲张量积的Hochschild上同调环的一个子代数（其上扭曲是平凡的）与因子的Hochschild上同调环的各个子代数的张量积同构，就像Gerstenhaber代数一样。
Gerstenhaber bracket on double Hochschild complex and deformation theory
对任意结合代数$A$，构造了空间\linebreak $\{\Hom (A^{\otimes k}, A^{\otimes l})\},_{k,l\ge 0}$上的微分和李括号.这个括号对空间$\{\Hom (A^{\otimes k}, A)\},_{k\ge 0}$的限制正好是Gerstenhaber括号。我们讨论了与此结构相关的一些形式猜想。我们还讨论了变形理论的一些应用。
Gerstenhaber bracket on Hopf algebra and Hochschild cohomologies
对任意非拟三角霍普夫代数的整数$p>2$，计算了霍普夫代数上的Gerstenhaber括号和Taft代数$T_p$的Hochschild上同调.我们证明了$T_p$的霍普夫代数上同调的括号确实为零，就像所有已知的准三角霍普夫代数一样。这个例子是第一个已知的非拟三角代数的括号计算。另外，我们还找到了在棒分解上具有双射对极的任何霍普夫代数的霍普夫代数上同调括号的一般公式，这使人想起Gerstenhaber关于Hochschild上同调的原始公式.
Gerstenhaber structure on Hochschild cohomology of the Fomin-Kirillov algebra on 3 generators
本文的目的是计算Fomin-Kirillov代数在不同于$2$和$3$的特征域上的三个生成元上的Hochschild上同调的Gerstenhaber括号.这部分地基于我们介绍的一种通用方法，该方法用于容易地计算$n \in \mathbb{N}_{0}$的$\operatorname{HH}^{0}(A)$的元素和$\operatorname{HH}^{n}(A)$的元素之间的Gerstenhaber括号，该方法由M. Suárez-Álvarez计算任何$n \in \mathbb{N}_{0}$的$\operatorname{HH}^{1}(A)$的元素和$\operatorname{HH}^{n}(A)$的元素之间的Gerstenhaber括号，以及允许从先前的括号计算剩余括号的基本结果。我们还证明了$\operatorname{HH}^{\bullet}(A)$的Gerstenhaber括号不是由任何Batalin-Vilkovisky生成元诱导的。
Homotopy Gerstenhaber Structures and Vertex Algebras
给出了一类顶点代数V上的Gerstenhaber-infinity代数结构的一个简单构造，它提升了Lian和Zuckerman在V的BRST上同调上引入的严格Gerstenhaber代数结构.我们概述两个应用程序：在卡-丘流形上构造一层Gerstenhaber无穷代数，扩展函数和向量场的乘法和括号，以及与柯朗括号相关的李无穷结构。
An Alternate Approach to the Lie Bracket on Hochschild Cohomology
我们定义Gerstenhaber的分次李括号直接在复杂的酒吧以外的复杂，在一定的条件下。一个Koszul代数的Koszul复形特别满足我们的条件。作为例子，我们恢复了多项式环的Schouten-Nijenhuis括号和素数阶循环群的群代数的Gerstenhaber括号.
The odd origin of Gerstenhaber brackets, Batalin-Vilkovisky operators, and master equations
使用五个基本原则，我们对待Gerstenhaber/李括号，BV运营商和主方程出现在数学和物理环境中的统一方式。不同的上下文由特定情况下的不同类型的（费曼）图给出。我们提出的两个准则是（1）扩展到非连通图给出了形成BV结构的一部分的交换乘法，以及（2）存在统一和解释看似特别的符号选择的通用奇扭曲，并且负责BV算子是微分的。我们的治疗结果统一，一般定理。这些使我们能够证明新的结果，并恢复和连接在整个文献中独立出现的许多结构。更一般的观点也使我们能够从环境中分离出必要的东西。
Lie brackets on Hopf algebra cohomology
通过Farinati，Solberg和Taillefer的工作，我们知道一个准三角形霍普夫代数作为Gerstenhaber括号下的分次李代数的霍普夫代数的上同调是交换的.动机的问题，这是否适用于非准三角形的Hopf代数，我们表明，Gerstenhaber括号霍普夫代数上同调可以表示通过任意的投射分解使用Volkov的同伦提升推广到一些确切的幺半范畴。这是一个特殊情况下，我们更一般的结果，一个括号操作上同调下保持严格monoidal函子-一个这样的函子是一个嵌入的霍普夫代数上同调到Hochschild上同调。因此，我们证明了对于所有的量子初等阿贝尔群（其中大部分是非拟三角群），这种霍普夫代数上同调的李结构都是正次数阿贝尔群.
Cyclic Gerstenhaber-Schack cohomology
证明了计算双代数的Gerstenhaber-Schack上同调的对角复形（即支配双代数变形的上同调理论），如果双代数是一个（不一定是有限维的）具有可逆对极的霍普夫代数，如果对极是对合的，则运算是偶循环的，则可以给出一个乘法运算的结构.因此，任何这样的霍普夫代数的Gerstenhaber-Schack上同调都带有Gerstenhaber相应. Batalin-Vilkovisky代数结构;特别地，人们获得了生成Gerstenhaber括号的上积和循环边界B，并且允许定义循环Gerstenhaber-Schack上同调。如果所讨论的霍普夫代数是有限维的，则Gerstenhaber括号在上同调中为零，因此有趣的结构不是由这个e_2-代数结构给出的，而是由所得的e_3-代数结构给出的，它用上积和B表示。
Algèbres et cogèbres de Gerstenhaber et cohomologie de Chevalley-Harrison
Gerstenhaber代数的基本例子是$\mathbb{R}^d$上的多向量场空间$T_{poly}({\mathbb R}^d)$，它具有楔积和Schouten括号。本文明确地描述了Gerstenhaber代数$\mathcal{G}$的包络$G_\infty$代数。这个结构给出了$\mathcal{G}$的Chevalley-Harrison上同调算子的定义。最后证明了$T_{poly}({\mathbb R}^d)$中自然Gerstenhaber子代数的Chevalley-Harrison上同调群的非平凡性.
Gerstenhaber algebras and BV-algebras in Poisson geometry
本文的目的是建立向量丛上的各种几何结构与一些著名的代数结构如Gerstenhaber代数和BV-代数之间的显式对应。一些应用进行了讨论。特别是，我们发现了一个明确的连接之间的Koszul-Brylinski运营商的泊松流形和它的模块类。作为结果，我们证明了，泊松同调同构于泊松上同调幺模泊松结构。
Brackets and products from centres in extension categories
该研究将Schwede关于结合代数双模上Ext群的Gerstenhaber代数构造推广至带幺半中心系数的一般幺半范畴，显式刻画了双代数胚左模范畴情形下的结构并给出operad证明，推广了经典结果，同时提出更一般情形的猜想。
Brackets by any other name
括号的另一个名字，怀特黑德或萨麦尔森产品，有一个历史平行，在科斯曼-施瓦茨巴赫的从斯考滕到麦肯齐：注意到括号。在这里，我概述了同伦理论和同调代数中的这些以及其他一些括号、乘积和括号的发展，以及它们在数学物理中的应用。在对比括号的Schouten，Nijenhuis和Gerstenhaber，其中涉及的关系，另一个分次产品，在同伦理论的许多括号是独立的二元运算。我的人生道路充满了曲折。这条路径将二进制之外的运算引向多线性n元运算，无论是对于单个n，还是对于这样的集合成现在所知的$\infty$ -代数（例如同伦Gerstenhaber代数）的整个相干连续。它还导致更微妙的不变量。在此过程中，将提请注意与“物理学”的相互作用;事实上，这是一条双向的道路。
Two-colored noncommutative Gerstenhaber formality and infinity Duflo isomorphism
利用新的配置空间，我们给出了一个显式的构造，将Kontsevich的Lie-无穷拟同构从多向量场到Hochschild上链，推广到A-无穷代数的拟同构，该A-无穷代数通过多向量场的李代数的同伦导子而具有作用.人们可以把这种形式称为双色非交换Gerstenhaber同伦代数的形式。在我们的结果中，多向量场上的楔积的同伦导子的作用不是Schouten括号的伴随作用，而是同伦非平凡的，在某种意义上是该作用的唯一变形。作为应用，我们给出了李-无穷代数的一个显式Duflo型构造，它推广了李代数上对称代数的Chevalley-Eilenberg上同调与李代数的泛包络代数的Chevalley-Eilenberg上同调之间的Duflo-Kontsevich同构.
Coupled double Poisson brackets
本文研究了在结合代数上耦合的双泊松括号，引入了满足交叉雅可比恒等式的广义Van den Bergh双泊松括号和广义Fairon-McCulloch右双泊松括号，建立了与Ginzburg-Schedler轮泊松括号的双射关系，并在自由多项式代数上建立了线性耦合双泊松括号与新的代数结构Poisson-left-pre-Lie代数的一一对应关系。
n-ary Lie and Associative Algebras
借助于文献[7]中的多重分次Nijenhuis-Richardson括号和多重分次Gerstenhaber括号，我们对每个$n\ge 2$定义了$n$元结合代数及其模和$n$元李代数及其模，并给出了Hochschild和Chevalley上同调的有关公式.
Modified Double Poisson Brackets
我们提出了一个非斜对称的推广的双重泊松括号的原始定义的M。范登伯格。它允许我们显式地构造一类更一般的H_0-Poisson结构，它是在生成的结合代数上的。我们证明了修正的双泊松括号继承了双泊松括号的某些主要性质。
Deformations of monoidal functors
本文指出，对于交换幺半范畴范畴之间的幺半群函子的Yetter变形Hochschild复形，可以定义Gerstenhaber-Voronov型运算，使其成为强同伦Gerstenhaber代数.这编码变形理论的monoidal函子在一个类似的方式变形理论的结合代数描述的强同伦Gerstenhaber代数结构相应的Hochschild上链。本文描述了对称么半群函子在Poisson型结构下变形的准经典极限。
Double quasi-Poisson brackets : fusion and new examples
在已有分类结果的基础上，结合融合方法，给出了双拟泊松括号的新例子。这种方法是Van den Bergh为一类称为微分的双拟泊松括号引入的，我们的主要结果是它可以推广到任意双拟泊松括号.我们还提供了另一种结构的双重拟泊松括号的Van den Bergh与箭图，和Massuyeau-Turaev与基本群的表面。
Poisson brackets and Poisson spectra in polynomial algebras
研究了多项式代数C[x，y，z]上的泊松括号.给出了所有这些括号的描述，并对一类重要的泊松括号，确定了泊松素理想和泊松本原理想.通过大量实例说明了结果。
The derived non-commutative Poisson bracket on Koszul Calabi-Yau algebras
设$A$是一个Koszul（或更一般地，$N$ -Koszul）Calabi-Yau代数。受Kontsevich，Ginzburg和Van den Bergh工作的启发，我们证明了$A$上存在一个导出的非交换Poisson结构，从而导出了$A$的循环同调上的分次李代数结构;进一步证明了$A$的霍赫希尔德同调是循环同调上的李模，并且Connes长正合序列实际上是一列李模.最后，我们证明了与$A$上的非交换Poisson结构相关的Leibniz-Loday括号自然地映射到其Koszul对偶代数的Hochschild上同调上的Gerstenhaber括号上，从而映射到$A$自身的Hochschild上同调上.文中还讨论了它与文献中其它括号的关系，并给出了具体的例子。
Poisson bracket, deformed bracket and gauge group actions in Kontsevich deformation quantization
本文利用形式拟同构的二阶导数表示了任意Poisson流形上Kontsevich形变量子化的泊松括号与形变括号的区别。本文还研究了Poisson形式双向量场上形式双同态作用在星积上的对应。
Chicken or egg? A hierarchy of homotopy algebras
我们首先澄清和扩展的多括号符号，经济地描述替代的多线性映射和向量的张量积。给出了同伦代数、强同伦Gerstenhaber和Gerstenhaber括号代数、强同伦Batalin-Vilkovisky代数的定义和例子。我们证明了向量空间上的同伦代数结构可以提升到它的Hochschild复形，并提出了一种诱导方法来生成拓扑顶点算子代数（TVOA）上的显式强同伦Gerstenhaber代数映射，它们的存在性已由Kimura，Voronov和Zuckerman在1996年证明（后来由Voronov修正）.这是TVOA的基本结构的论点是通过提供一个注释字典的强同伦BV代数地图和身份发现连和Zuckerman在1993年得到证实。
Brackets in representation algebras of Hopf algebras
对任意分次双代数$A$和$B$，定义了一个交换分次代数$A_B$，它表示$B$的函子-$A$的表示.当$A$是一个余交换分次霍普夫代数，$B$是一个交换未分次霍普夫代数时，我们给出了一个由$A$中的Fox配对和$B$中的平衡双导子导出$A_B$中Gerstenhaber括号的方法.我们的建设的灵感来自Van den Bergh的非交换泊松几何，并可被视为一个代数推广的Atiyah-Bott-Goldman泊松结构上的模空间的表示的表面群。
An operadic approach to deformation quantization of compatible Poisson brackets
我们构造了一个类似的Livernet-Loday操作两个兼容的括号。Loday运算可用于定义泊松结构的$\star$ -乘积和形变量化。我们使用我们的操作以同样的方式，引入一个定义（操作）变形量子化的兼容泊松结构。
Non-commutative Poisson Structures on quantum torus orbifolds
研究了$SL_2(\mathbb Z)$的有限子群作用所产生的代数非交换环面/量子环面轨道折叠上的Hochschild上同调和Gerstenhaber代数结构.我们还研究了泊松结构和计算泊松上同调。
On the quantization of Poisson brackets
本文引入了代数（或代数层）上的两类Poisson括号。我们称之为局部自由非奇异Poisson括号。利用Fedosov方法，我们证明了任何局部自由的非奇异泊松括号可以量化。特别是，由此得出，特征为零的任意域上的所有泊松括号都可以量化。光滑流形上非退化Poisson括号量子化的著名定理也是从本文的主要结果得到的。
Formality of Koszul brackets and deformations of holomorphic Poisson manifolds
证明了如果微分Gerstenhaber代数的生成元满足一定的Cartan型恒等式，则相应的李括号是形式的。几何学的例子包括泊松流形的移位的德拉姆复形和辛流形上的微分形式的子复形在拉格朗日子流形上消失，赋予Koszul括号。作为推论，我们推广了希钦最近关于全纯泊松流形变形的一个结果。
Quadratic Poisson brackets compatible with an algebra structure
研究了具有双线性乘法的向量空间上的二次Poisson括号。引入了与乘法相容的括号的概念，并给出了这种相容性的有效判据。在兼容括号中，描述了共边界括号的子类，并且在多个示例中列举了这样的括号。
Double Poisson brackets on free associative algebras
讨论了M意义下的双Poisson结构。Van den Bergh关于自由结合代数，重点讨论二次Poisson括号的情况。我们建立了它们与结合型Young-Baxter方程的关系，研究了双Poisson结构的线性二次束的双Hamilton性质，并在有两个自由生成元的代数的情况下，给出了二次双Poisson括号的分类.提出了二次双Poisson括号的许多新例子。
Quadratic Poisson brackets and Drinfeld theory for associative algebras
本文研究结合代数中与乘法相容的Poisson括号。这些括号被证明是二次的，并揭示了它们与经典的杨-巴克斯特方程的关系。本文还包含一个描述泊松李结构的李群的李代数是相邻的结合结构。
Quadratic Poisson brackets and Drinfel'd theory for associative algebras
研究了结合代数上的二次Poisson括号。这种与乘法相容的括号与基础代数的张量平方的微分有关。雅可比恒等式意味着这种微分满足经典的杨-巴克斯特方程。相应的李群正则地具有泊松李结构。提出了一种构造这种结构的方法。
The deformations of nondegenerate constant Poisson bracket with even and odd deformation parameters
考虑了R^{2n}中具有紧支集的光滑Grassmann值函数上实现的具有常数非退化括号的Poisson超代数。当n>1时，给出了这些超代数的奇变形参数和偶变形参数。
Poisson Brackets in Kontsevich's "Lie World"
本文发展了Kontsevich“Lie World”中Poisson括号的概念。这些括号可以被认为是“普遍”定义的经典泊松结构，即只涉及二次李代数的结构映射的形式表达式。我们证明了一个唯一性声明，这些泊松括号与一个给定的时刻地图。作为应用，我们得到了穿孔球面上平坦联络的模空间的拟Poisson结构的线性化公式，从而用余伴随轨道的约化确定了它们的辛叶.等价地，我们得到了Goldman双Poisson括号的线性化，在这种情况下，我们的Poisson括号的定义与Van Den Bergh的一致。这可以进一步解释为给出了哈密顿拟泊松空间和哈密顿空间之间的monoidal等价。
Remarks on Geometric Quantization of R-matrix Type Poisson Brackets
我们检验了紧李群余伴轨道上R-矩阵型泊松束的几何量子化的Vaisman条件。结果表明，该条件不满足。
On the algebraic structures connected with the linear Poisson brackets of hydrodynamics type
给出了流体动力学型线性括号Verma模的Kac公式的推广形式。计算了广义维拉索罗代数的二阶上同调群.证明了中心扩张与流体力学括号的量子化问题之间的联系。
Noncommutative Poisson brackets on Loday algebras and related deformation quantization
给定一个李代数，存在唯一的Poisson代数，称之为李代数上的Lie-Poisson代数.我们将证明，给定一个Loday/Leibniz代数，在Loday代数上存在唯一的非交换Poisson代数.非交换泊松代数称为Loday-Poisson代数。在超分次情形下，Loday-泊松括号被看作是经典（线性）Schouten-Nijenhuis括号的非交换形式.它将表明，Loday-Poisson代数形成一个特殊的子类阿吉亚尔的双prePoisson代数。我们还研究了Loday-Poisson代数上的形变量子化问题。证明了多项式Loday-Poisson代数是形变可量子化的，并且相应的量子代数是Loday结合双代数.
Quantization and dynamisation of Trace-Poisson brackets
讨论了由双Poisson括号导出的迹括号代数的量子化问题。我们得到了二次迹括号量子化的边界YBE（或所谓的ABCD-代数）的一个推广。在Gervais-Neveu-Felder动力学量子代数上提出了一种动力学变形。
Deformation Quantization of Certain Non-linear Poisson Structures
作为李代数对偶空间上线性Poisson括号的推广，我们引入了某些非线性泊松括号，它们是线性泊松括号的“上循环扰动”.我们证明了这些特殊的泊松括号等价于中心扩张型的泊松括号，它类似于普通李括号通过李代数上循环的中心扩张。我们能够通过扭群C*-代数来制定这些泊松括号的（严格）变形量子化。我们还指出这些形变量子化可以用来构造一些特定的非紧量子群。
Noncommutative Poisson structures on Orbifolds
本文计算了作用在紧致流形$M$上的有限群$G$的$C^\infty(M)\rtimes G$的Hoch-schild上同调的Gerstenhaber括号.当$M$是辛流形时，利用这个计算，我们得到了$C^\infty(M)\rtimes G$上所有非交换Poisson结构的几何描述.我们还讨论了这些非交换泊松结构的变形量子化的例子。
Odd Jacobi manifolds and Loday-Poisson brackets
本文在奇Jacobi超流形上的光滑函数代数上构造了一个非斜对称的Poisson括号。我们把这种类泊松括号称为Loday-Poisson括号。我们研究了奇Jacobi结构和Loday-Poisson结构的Hamilton向量场之间的关系。此外，我们证明了Loday-Poisson括号满足Leibniz规则的非交换产品来自同调向量场。
Compatible quadratic Poisson brackets related to a family of elliptic curves
我们构造了9个两两相容的二次Poisson结构，使得它们的一般线性组合与n个生成元中的椭圆代数相关联。给出了这种椭圆Poisson结构的Casimir元的显式公式。
Difference equations and cluster algebras I: Poisson bracket for integrable difference equations
从一般的T-系和Y-系的角度出发，给出了可积差分方程、离散Lotka-Volterra方程和离散Liouville方程的簇代数表示.我们还研究了簇代数的Poisson结构，并给出了两个差分方程的泊松括号。
Divergence operators and odd Poisson brackets
我们定义了一个分次代数上的发散算子，我们表明，给定一个奇数的泊松括号的代数，运营商，映射一个元素的哈密尔顿导数的发散，它定义的是一个生成器的括号。这是Batalin-Vilkovisky量子化的“奇拉普拉斯”，$Δ$。然后我们研究了超流形上奇泊松括号的生成元，其中分次向量场的发散可以用Berezinian体积或分次联络来定义。例子包括流形上多向量的Schouten括号的生成元（超流形是在纤维上坐标为奇数的余切丛）和泊松流形上形式的Koszul-Schouten括号的生成元（超流形是在纤维上坐标为奇数的切丛）。
Open problems in the Kontsevich graph construction of Poisson bracket symmetries
泊松括号允许使用定向图编码的无穷小对称;这种构造是由于Kontsevich（1996）。我们制定了几个开放的问题有关的组合和拓扑性质的图形所涉及的，关于可积性和分析性质的对称流（特别是，对于已知的类泊松括号），以及上同调，微分几何，量子方面的理论。关键词：泊松括号，雅可比恒等式，无穷小对称，仿射流形，泊松上同调，图复形。
On Field Theoretic Generalizations of a Poisson Algebra
本文讨论了泊松代数到场论的几个推广，它们是用多动量变量正则地表示的。考虑微分形式上的分次Poisson括号和函数上的$(n+1)$元括号.微分形式上的泊松括号产生了Gerstenhaber代数的各种推广：非交换的（在Loday的意义上）和高阶的（在高阶分次莱布尼茨规则的意义上）。$(n+1)$ -ary括号满足Nambu括号的性质，包括"基本恒等式“，从而导致Nambu-Poisson代数。我们指出，在场论的背景下，Nambu括号与适当定义的协变类似的Hamilton函数确定了几个动力学变量的联合演变。
The sh Lie structure of Poisson brackets in field theory
给出了由李代数的同调分解构造sh李代数的一般方法。它适用于空间的局部泛函配备了泊松括号，引起了括号的局部功能沿线建议的凝胶'fand，Dickey和Dorfman。通过这种方式，构造了更高阶的映射，这些映射组合起来形成水平形式的分次微分代数上的sh李代数。同样的构造也适用于场论中的分次括号，如哈密顿BRST理论的Batalin-Fradkin-Vilkovisky括号或Batalin-Vilkovisky反括号。
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