Fractal Dimensions Derived from Spatial Allometric Scaling of Urban Form
改进的城市聚类算法可以用于在数字地图上识别城市边界，其结果是一组等值线。城市测量值之间的关系在变量边界内遵循异速生长标度律，反映了城市的空间异速生长。本文从城市空间异速生长的角度出发，探讨了城市空间分维问题。通过对城市交通网络的理论推导和实证分析，从空间异速生长的角度推导出一组分形维数，揭示了新分形参数的基本性质。研究结果如下。首先，交通线的分形维数值高于交通节点的分形维数值。第二，基于可变边界的分维值低于基于同心圆的分维值。结果表明，空间异速生长的分形维数是一种关联维数而非容量维数，交通点的相对增长率大于交通节点的相对增长率。该研究为理解城市系统的异速生长、分形和标度性提供了新的途径。
2018-11-19 physics.soc-ph
Fractal-based modeling and spatial analysis of urban form and growth: a case study of Shenzhen in China
城市增长的分维曲线可以用S型函数来模拟，包括Logistic函数和二次Logistic函数。不同类型的逻辑函数表示不同的空间动态。西方国家城市增长的分维曲线遵循一般的Logistic函数，而中国北方城市增长的分维曲线遵循二次Logistic函数。现在，我们想知道是否所有的中国城市都遵循着同样的城市演化规律。本文研究了深圳市的分形和分维特征。将城市区域划分为四个分区，利用ArcGIS技术，采用计盒法提取空间数据集，并采用最小二乘回归估计分形参数。结果表明：（1）深圳市城市形态具有明显的分形结构，但不同分区的分维值不同：（2）4个研究区的分维增长曲线均只能用常用的Logistic函数拟合，且拟合的拟合优度随时间的推移而增大;（3）深圳城市增长的高峰期在1986年以前已经过去，分维增长已接近其最大容量。结果表明：深圳市城市形态具有多重分形特征，分形结构通过自组织逐渐完善，但土地资源已达到增长极限。深圳城市增长分维曲线与欧美城市增长分维曲线相似，但与我国北方城市增长分维曲线不同。这表明中国南北城市发展的动力机制存在着细微的差异。
2020-10-11 physics.soc-ph
Logistic Regression Modeling Based on Fractal Dimension Curves of Urban Growth
本文提出一种基于分形维数时间序列的逻辑回归建模方法，以识别并排序城市增长的影响因素，并可推广至其他空间置换现象。
2023-06-18 physics.soc-ph
Logistic Models of Fractal Dimension Growth for Spatio-Temporal Dynamics of Urban Morphology
城市形态和发展可以用分维来描述，分维是衡量城市演化过程中空间填充程度的尺度。在实证分析的基础上，发现城市形态分维的时间序列可以看作是时间的S型函数。在各种sigmoid函数中，logistic函数是最有可能的选择。然而，如何利用分维增长模型来解释和预测城市增长是一个有待解决的问题。研究了不同类型城市的分维演化规律。一个有趣的发现是：对于英国、美国和以色列等发达国家的城市，不同年份城市形态的可比分维值可以用Logistic函数拟合;而对于中国等发展中国家的城市，城市形态的分维数据可以用二次Logistic函数拟合。提出了一种广义逻辑斯谛函数来描述城市形态的分维增长。Logistic模型也可以用来描述多重分形维数的变化。广义Logistic模型可以用来预测分维的缺失值，估计分维的增长率，从而揭示城市增长的时空过程和格局。特别是为研究城市形态与城市化的相关性和发展空间置换动力学理论奠定了基础。
2016-06-11 physics.soc-ph
Spatial Measures of Urban Systems: from Entropy to Fractal Dimension
一种基于广义熵函数的分维定义。熵和分维都可以用来表征城市和区域等复杂空间系统。尽管熵与分维之间存在着内在联系，但它们在城市研究中有着不同的应用范围和方向。利用标度学的思想，探讨如何将熵度量转化为分维，用于城市无标度现象的空间分析。城市系统是随机的预分形和多重分形系统。分形城市的熵具有两个典型的性质。一是规模依赖。城市系统的熵值往往依赖于空间尺度。另一个是熵守恒。不同的分形部分具有相同的熵值。因此，熵在理论上不能反映分形城市的空间异质性。将广义熵转化为多重分形谱，可以在一定程度上解决城市空间分析中的尺度依赖性和熵均匀性问题。尺度依赖的本质是城市的尺度化，城市的空间异质性可以用多重分形尺度来表征。本研究有助于学生对城市空间复杂性的描述和理解。
2018-11-19 physics.soc-ph
Understanding Fractal Dimension of Urban Form through Spatial Entropy
城市的空间格局和过程可以用不同的熵函数来描述。然而，空间熵往往依赖于尺度，很难找到一个特征值，相反，分形参数可以用来描述无标度现象。探讨了空间熵与分维在城市描述中的异同。将城市与生长中的分形进行类比，说明了基于不同熵概念的分维定义。利用多重分维集合中的三个代表性分维对两个城市的城市形态进行了实证分析。结果表明，熵值是不确定的，但分维值是确定的;如果盒子的线性尺寸足够小（例如，<1/25）时，熵与分维的线性相关性明显。进一步的实证分析表明，分形维数与空间熵的特征值接近。这表明，分维的物理意义可以用熵和尺度的思想来解释，这一结论对今后的城市空间分析具有一定的启示意义。关键词：分维;熵;多重分形;尺度;城市形态;中国城市
2017-07-12 physics.soc-ph
Modeling Urban Growth and Form with Spatial Entropy
熵是定义分维的物理基础之一，广义分维是由Renyi熵定义的。利用分形维数可以描述城市的生长、形态和空间复杂性。许多分形模型和测量已被提出用于城市研究。然而，分形维数应用的前提是要找到城市的标度关系。在没有标度性的情况下，我们可以利用熵函数和测量。本文主要研究如何用空间熵来描述城市增长。通过与城市分维增长模型的类比，可以推导出一对熵增长模型，并构造一组基于熵的测度来描述城市增长过程和增长模式。首先，利用逻辑斯蒂函数和玻尔兹曼方程来模拟城市增长的熵增长曲线。其次，采用基于空间熵的一系列指标来表征城市形态。将多重分形维数谱推广到空间熵谱。结论如下。熵与分维在城市研究中既有交叉又有不同的应用领域。因此，对于给定的空间测量尺度，为了简单起见，分形维数通常可以用空间熵代替。本文所提出的城市空间熵模型和度量方法对于将熵和分维纳入城市空间分析的同一框架，理解城市空间复杂性具有重要意义。
2020-11-16 physics.soc-ph
Two Sets of Simple Formulae to Estimating Fractal Dimension of Irregular Boundaries
本文针对图像数据有限时边界分形维数难以计算的问题，基于规则参考形状构造几何测度关系，提出两组实用的边界维数估算公式并定义形状指数，揭示边界维数与形状指数的函数关系，为地理、生态及城市科学中的前分形研究提供快速估算工具。
2020-01-18 physics.soc-ph
Fractal dimension evolution and spatial replacement dynamics of urban growth
本文从城市的角度出发，提出了一种新的视角来看待分形与混沌的关系。特别提出了空间填充和空间置换原理来解释城市形态的分维。城市增长的分维演化可以用玻尔兹曼方程进行经验模拟。对于归一化数据，玻尔兹曼方程等价于逻辑函数。逻辑斯谛方程可以转化为著名的一维逻辑斯谛图，它是基于一个二维地图，表明城市发展的空间置换动力学。二维递推关系可以用来产生分岔和混沌等非线性动力学行为。发现分形维数的增长遵循逻辑斯谛曲线，其归一化维数值即为空间填充率。如果空间置换（城市增长）速度太快，就会产生周期振荡和混沌，城市系统就会陷入无序状态。空间置换动力学可以推广到一般置换动力学，而分岔和混沌似乎与某种置换过程有关。
2011-06-06 physics.soc-ph
The solutions to uncertainty problem of urban fractal dimension calculation
分形几何为城市的无标度空间分析提供了有力的工具，但分形维数的计算结果往往依赖于研究方法和研究区域的范围。这一现象一直困扰着许多研究者。讨论了分形维数估计的不确定性问题及其解决方法，以规则分形为原型，通过类比的方法揭示了分形维数估计结果差异的原因和影响。影响城市分维值的主要因素包括预分形结构、多尺度分形图案和自仿射分形生长。解决这一问题的方法是用可比较的分维值代替真实的分维值。主要措施如下：第一，针对特定的分形研究，选择合适的方法。第二，根据研究目标为一个城市确定一个合适的研究区域，或者为不同的城市确定一个可比的研究区域。这些建议对那些对分形城市感兴趣甚至已经参与分形城市研究的学生有一定的帮助。
2018-11-19 physics.soc-ph
Describing urban evolution with the fractal parameters based on area-perimeter allometry
面积周长异速生长标度是研究分形城市的一种基本而重要的方法，已被研究了很长时间。然而，传统的城市边界维数计算公式往往在数值上高估了城市的边界维数。虽然已经导出了一个修正公式来修正过高估计的边界维数和估计形状维数，但整体分形参数和局部分形参数之间的联系尚不清楚。基于面积-周长测度关系，采用改进的分形参数对城市演化进行描述。以长江三角洲68个城镇体系为例进行了实证研究。发现城市局部分形参数的平均值与城市整体分形参数的平均值近似相等。这表明局部参数是全局参数的分解。该实证研究的创新之处在于：第一，将形态维度和边界维度结合起来表征城市的结构和肌理;第二，将全局和局部参数结合起来表征城市体系和单个城市。通过对低分辨率遥感图像进行面积-周长尺度分析，为城市分形系统的研究提供了一条新的途径。
2015-11-04 physics.soc-ph
Nonlinear Autoregressive Approach to Estimating Logistic Model Parameters of Urban Fractal Dimension Curves
本文提出一种非线性自回归方法，通过离散化增长率方程和最小二乘估计，有效估计城市分形维数曲线的Logistic模型参数，并应用于巴尔的摩和深圳案例。
2023-06-18 physics.soc-ph
Geographical space based on urban allometry and fractal dimension
本文通过将城市异速生长分为纵向、横向和等值线三类，推导出三组分形维数，并据此将城市地理空间划分为实际空间、相空间和有序空间，从而为解释城市分形维数和拓展地理空间分析理论提供统一框架。
2023-08-08 physics.soc-ph
Spatial Signal Analysis based on Wave-Spectral Fractal Scaling: A Case of Urban Street Networks
长期以来，人们发展了许多基于时间序列的时域信号分析方法。然而，对于地理系统，空间信号分析与时间信号分析同样重要。时空非平稳过程具有非线性特征，传统的分析方法无法有效地分析。分形理论为探索复杂性提供了有力的工具，有助于时空信号分析。本文利用波谱标度方法研究了地理系统的空间信号。以中国10个城市的交通网络为例进行了实证研究。采用快速傅里叶变换和最小二乘回归分析计算谱指数。结果表明，这些城市交通网络的波-谱密度分布均遵循标度律，其谱标度指数可以转化为分维值。利用分形参数可以对地理信号进行空间分析。分析过程可以推广到时间信号分析。波谱标度方法既适用于地理世界中的自相似分形信号，也适用于地理世界中的自仿射分形信号。
2020-11-21 physics.soc-ph
Modeling Growth Curve of Fractal Dimension of Urban Form of Beijing
城市形态分维增长曲线具有挤压效应，可用S型函数描述。西方国家城市形态的分维增长可以用玻尔兹曼方程和逻辑斯谛函数来模拟。然而，这些模型不能很好地应用于中国的首都北京市的分维增长曲线。本文采用实验方法建立了中国城市形态分维增长曲线的参数模型。通过统计分析、数值分析和对比分析，发现二次Boltzmann方程和二次Logistic函数可以用来表征北京城市土地利用格局的分维随时间的增长规律。该模型也适用于中国北方的许多城市。为了将经验模型转化为理论模型，我们尝试构建城市演化的空间置换动力学模型，并由此导出城市分维增长的Logistic模型。该模型可以用来预测中国城市增长的速度和上限。特别是，该模型可以用来揭示中国城市分形增长与西方城市分形增长的异同。
2018-10-01 nlin.CD physics.soc-ph
A Scaling Approach to Evaluating the Distance Exponent of Urban Gravity Model
引力模型是社会物理学和人文地理学的重要模型之一，但仍有一些基本的理论和方法问题有待解决。特别是，它是很难解释和评估的距离指数使用的想法从欧几里德几何。本文对城市重力模型中的距离衰减参数进行了探讨。基于分形几何的概念，从城市自相似等级的标度律出发，可以导出若干分形参数关系。结果表明，距离指数只是一个标度指数，它等于一个地理区域内城市规模测量值的平均分维数。标度指数可以用尺度分布的齐普夫指数与城镇等地理要素空间分布的分维的乘积来计算。将新方程应用于中国城市，实证结果符合理论预期。研究结果进一步支持了重力场模型是一个分形模型的观点，其距离指数与分维和Zipf指数有关。这一工作有助于地理学家利用分形理论理解重力模型，并利用分形模型估计距离指数。
2018-01-29 physics.soc-ph
A Study on the Curves of Scaling Behavior of Fractal Cities
本研究通过数学推理和实证分析，推导了基于城市层级结构的分形模型的标度行为曲线公式，揭示了其与相似维数的关系，并划分了两种类型，可用于评估城市分形发展程度和识别标度范围。
2025-08-27 physics.soc-ph
Modeling Fractal Structure of Systems of Cities Using Spatial Correlation Function
本文提出了一种新的方法来分析城市系统的空间结构，从分形的思想。将城市系统看作是随机分布在三角形网格上的一组“粒子”，构造了城市的空间关联函数。假设空间相关性遵循幂律。可以证明关联指数是二阶广义维数。将空间关联模型应用于中国城市系统。结果表明，中国城市体系可以用1.3 ~ 1.6的关联维数来描述。从实证角度揭示了城市自组织网络在传统地理空间和“时间”空间上的分形性。空间相关分析的重要性在于它适用于大样本和小样本，并且可以用于连接城市研究中的不同分形维数，包括盒维数和径向维数。
2016-06-14 physics.soc-ph
Scaling invariance of spatial autocorrelation in urban built-up area
本文通过数学推导与实证分析揭示了城市建成区 Moran's I 的尺度依赖性与分形维数之间的幂律关系，证明空间自相关常无特征尺度，为城市空间分析提供新思路。
2023-08-08 physics.soc-ph
Fractals and fractal dimension of systems of blood vessels: An analogy between artery trees, river networks, and urban hierarchies
动脉网络的分形性质与河流系统的分形性质之间的类比已经在以前的作品中画出。然而，血管层次的深层结构尚未被揭示。本文主要研究血管的分形、异速生长和层次性。通过与Horton-Strahler的河流组成定律类比，提出了三个指数定律。这些指数律可以重构并转化为三个线性标度律，称为血管网络的合成律。从这些线性标度律，它遵循一组幂律，包括三参数齐普夫定律的秩尺寸分布的血管长度和异速生长标度律的血管的长度-直径的关系，在不同的订单。将该模型应用于其他研究者早期给出的人类和动物的观察数据，发现人类的身体比狗的身体更符合自然规律。血管，河流网络和城市系统的层次之间的类比进一步绘制，和层次的跨学科研究可能会提供新的复杂性科学的启示的例子。
2015-11-07 physics.soc-ph q-bio.TO
Multifractal scaling analyses of urban street network structure: the cases of twelve megacities in China
交通网络已被证明是分形系统。然而，以往的研究主要集中在单分形网络上，而复杂系统具有多重分形结构。本文研究了中国12个城市街道网络中多重分形标度过程的一般规律。采用城市聚类算法识别城市边界，确定可比研究区域;采用计盒法和直接确定法提取空间数据;采用最小二乘法估计全局和局部多重分形参数。结果表明，城市街道网络具有多重分形结构。整体多重分形维数谱为反S型曲线，局部奇异谱为非对称单峰曲线。当矩阶数q趋于负无穷大时，广义关联维数将严重超过嵌入空间维数2，大多数城市的局部分维曲线出现异常下降。当q值过高时，局部分维的标度关系逐渐破裂，但网络的不同层次始终保持反映奇异性指数的标度。主要结论如下。首先，城市街道网络遵循多重分形标度律，且标度先于局部分形结构。第二，交通网络格局呈现出空间集中的特征，但也隐含着空间分散的趋势。三是中心区和网络密集区发展空间有限，边缘区和网络稀疏区呈现无序演化现象。本文的工作对于利用多重分形理论理解和研究复杂空间网络具有一定的启示意义。
2021-01-13 physics.soc-ph
Fractal Texture and Structure of Central Place Systems
中心地模型的边界被证明是分形线，它们构成了中心地网络的分形结构。纹理分形可以用来解释边界线等区域边界的无标度性，但不能直接应用于实际人居环境系统的空间结构。针对这一问题，本文从纹理分形出发，研究了中心地模型的结构分形。该方法是基于分形集维数规则的理论推导。重建了中心位置模型的纹理分形，由纹理维数导出了结构维数，并用k数和g数表示了中心位置分形。根据中心地系统的分形维数，构造了三种结构分形模型。理论发现经典的中心地模型包括Koch雪花曲线和Sierpinski空间填充曲线，推论交通原理在城乡演变中起主导作用。结果表明，纹理分维可以转化为结构分维。后一个维度可以直接用来评价现实世界中的城乡居民点分布。因此，纹理分形可以间接地用来解释人类住区系统的发展。
2018-01-29 physics.soc-ph
Functionally Fractal Urban Networks: Geospatial Co-location and Homogeneity of Infrastructure
正如自然河流网络具有全局自相似性一样，最近的研究表明，人类建造的城市网络（如道路网络）也具有功能自相似性，并且具有幂律节点度分布的分形拓扑（p（k）= ak）。在这里，我们表明，第一次，其他城市基础设施网络（卫生和雨水下水道），为城市居民维持关键服务的流量，也显示出无标度的功能拓扑。对于道路和排水网络，我们比较了功能拓扑指标，这些指标来自美国一个大城市的高分辨率数据（70，000个节点），该城市在约1，000平方公里的区域内为约900，000名公民提供服务。对于整个城市和不同规模的城市，我们还研究了这些网络的地理空间协同定位（道路和下水道）。我们的分析揭示了功能的拓扑同质性之间的所有城市内的所有的街道，尽管在几个城市属性的差异。这两种基础设施类型的所有子网的功能拓扑类似于幂律分布，随着子网面积的增加，尾部变得越来越幂律。我们的研究结果对评估这些关键基础设施网络对基于空间相互依赖性的级联冲击的脆弱性以及改进城市基础设施网络的设计和维护具有影响。
2017-12-11 nlin.AO physics.soc-ph
How the geometry of cities explains urban scaling laws and determines their exponents
城市规模律将社会经济、行为和物理变量与城市人口规模联系起来，为城市规划提供了新的范式，并有助于理解城市的弹性和经济。与文化和气候无关，几乎所有城市都表现出两个基本的标度指数，一个是相关的次线性，一个是相关的超线性。在这里，我们表明，基于城市的基本分形几何关系，我们推导出两个指数和它们的关系。次线性尺度是道路网络的分形维数与三维人口分布的比值。超线性缩放出现在受城市几何形状约束的人类互动中。我们证明了该框架的有效性与4750个欧洲城市的数据。我们提出了几个可检验的预测，包括城市平均高度与人口规模的关系，以及在临界人口规模，增长从水平致密化到三维增长的变化。
2019-08-20 physics.soc-ph
Spatial Analysis of Cities Using Renyi Entropy and Fractal Parameters
城市的空间分布可分为两类：一类是具有特征尺度的简单分布（如指数分布），另一类是不具有特征尺度的复杂分布（如幂律分布）。后者属于无标度分布，可以用分形几何来模拟。然而，分形维数不适合前者的分布。相比之下，空间熵可以用来衡量任何类型的城市分布。本文利用欧氏几何与分形几何的对偶关系推广了多重分形参数。其主要方法是数学推导和实证分析，理论基础是发现了归一化分维与归一化熵相等。基于这一发现，一组有用的空间指标称为虚拟多重分形参数定义的地理分析。这些指标既可以用来描述简单分布，也可以用来描述复杂分布。将虚拟多重分形指数应用于杭州市人口密度分布。计算结果揭示了杭州城市形态的时空演变特征。研究表明，分形维数和空间熵可以结合起来，产生一个新的方法来分析城市发展的空间。
2017-08-26 physics.soc-ph
Normalizing and classifying shape indexes of cities by ideas from fractals
本文利用分形思想研究城市形状指数的尺度依赖性，通过Feret直径归一化圆度比与紧凑度比等指数，并揭示三个标度层次以对形状指数进行分类，为理解城市形态深层结构和明确指数适用范围提供依据。
2020-04-29 physics.soc-ph
Urban transfer entropy across scales
本文从不同时空尺度信息交换的角度研究城市群的形态。城市是多维的非线性现象，因此，了解尺度之间的关系和连通性对于确定地方/区域城市政策的相互作用如何影响城市住区的分布非常重要。为了量化这些关系，我们遵循信息理论的方法使用的概念转移熵。我们的分析是基于随机城市分形模型，它模仿城市不断增长的定居点和移民潮。研究结果表明，不同的政策如何影响城市形态的跨地理尺度产生的信息。
2015-05-08 physics.soc-ph
Multifractals of central place systems: models, dimension spectrums, and empirical analysis
中心地系统在理论和实证两个方面都被证明具有自相似模式。中心位置分形可以看作是具有单一标度过程的单分形。然而，在现实世界中，人类住区系统是一个具有多尺度过程的复杂网络。简单的分形中心地模型不足以解释城市体系的空间格局和演化过程。建立城市空间多尺度分形模型是十分必要的。基于空间间断填充假设，提出了两种典型的中心位置多重分形模型。其中一个模型反映的是空间聚集过程，广义关联维数在0.7306 ~ 1.3181之间;另一个模型反映的是空间扩散过程，广义关联维数在1.6523 ~ 1.7118之间。最后，以中原地区城镇体系为例，对理论模型进行了类比。研究发现，城市系统具有多重分形的特征，可以用多尺度分形进行模拟。这是发展分形中心地理论的一个初步尝试，其结果有助于理解空间聚集与空间扩散的地理过程的异同。
2013-09-29 physics.soc-ph
Atlas of Urban Scaling Laws
城市分形维数$D_f$的高度准确的估计是通过实施去趋势移动平均算法（DMA）的WorldView 2号卫星高分辨率多光谱图像覆盖欧洲最大的城市。城市部门系统地获得了较高的分形维数（位于中心的区域）比对于郊区和外围区域，$Df$值的范围分别从$1.65$到$1.90$。分别对于社会经济和基础设施变量，标度律$N^β$的指数$β_s$和$β_i$，其中$N$是人口规模，的分形维数$D_f$的不同城市和郊区的部门进行了评估。结果证实了文献中报道的经验值的范围。城市尺度律传统上被认为是一个零维物体，其相关特征与单一的同质人口值相关，从而忽略了城市结构的微观异质性。我们的研究结果允许人们超越这个极限。高灵敏度和可重复的卫星记录产生强大的赫斯特指数和标度指数的本地估计。此外，该方法允许区分不同的缩放理论，揭示缩放现象的公开问题，调和矛盾的科学观点，并为系统地采用复杂系统科学方法进行城市景观分析铺平道路。
2021-09-22 cond-mat.stat-mech physics.soc-ph
An Approach to Estimating Quadratic Logistic Model Parameters of Fractal Dimension Curves
本文提出一种结合求导离散化、最小二乘非线性回归与拟线性化处理的参数估计方法，用于构建分形维数曲线的二次逻辑斯蒂模型，并以北京城市多重分形维数曲线验证其有效性。
2025-08-27 physics.soc-ph
Dynamics of Cities
本研究利用非广延扩散方程探究城市动力学，揭示了分形维数、异速生长指数与参数q的关系，并阐明城市演化的静止阶段，强调分形维数与社会互动的紧密联系。
2024-07-17 math-ph math.MP nlin.CD
Urban Scaling is hardwired in the human brain
本研究揭示城市标度律与人类大五人格特质存在因果关联，提出城市结构模式可能内嵌于人类大脑的跨学科观点。
2025-01-02 nlin.AO physics.soc-ph
Equivalent Relation between Normalized Spatial Entropy and Fractal Dimension
分形维数是在熵的基础上定义的，包括宏观状态熵和信息熵。多重分形的广义关联维数是基于Renyi熵的。然而，从熵到分维的数学转换在理论和实践上都还不清楚。利用泛函计盒法揭示了空间熵与分形维数之间新的等价关系。基于各种规则分形，研究了空间熵与分维之间的数值关系。结果表明，实际熵（Mq）与最大熵（Mmax）之比等于实际维数（Dq）与最大维数（Dmax）之比。利用泛函计盒法可以实现复杂空间系统的空间熵与分维的相互转换。城市形态观测数据验证了理论推断。得出了归一化空间熵等于归一化分维的结论。分形维数被证明是熵的特征值。在实证研究中，如果空间尺度的线性尺度足够小，则归一化熵值无限逼近相应的归一化分维值。根据理论结果，可以定义新的城市空间填充度空间度量，并将多重分形参数推广到简单系统和复杂系统的描述。
2017-07-12 physics.data-an physics.soc-ph
Measuring the Complexity of Urban Form and Design
复杂系统已成为分析城市的流行镜头，复杂性理论对城市绩效和弹性有许多启示。本文开发了一种类型学的措施和指标，用于评估在城市设计的尺度上建成环境的物理复杂性。它从城市规划、网络科学、生态系统研究、分形几何、统计物理学和信息论扩展到城市形态和定性人类经验的分析。在多尺度上分散在不同的机构的文献和有用的应用程序在分析适应性的复杂性，都演变和本地设计过程的结果。反过来，它们使城市设计师能够使用先进的工具包评估弹性，适应性，连通性和宜居性。这里开发的类型学适用于各种邻里类型和设计标准的实证研究。它包括城市形态的时间、视觉、空间、尺度和连通性措施。今天，著名的城市设计运动公开接受复杂性，但必须超越灵感和隐喻，正式确定什么是“复杂性”，以及我们如何使用它来评估世界现状以及如何提出建议。
2018-10-03 physics.soc-ph
Fractal Analysis Based on Hierarchical Scaling in Complex Systems
分形本质上是一个具有级联结构的层次结构，可以用一组指数函数来描述。从这些指数函数中，可以导出一组指示缩放的幂律。等级结构与空间网络是相互联系的。本文致力于探索用层次标度法对复杂系统进行分形分析的理论。本文主要采用了逻辑分析法和实证分析法两种研究方法。主要结果如下。首先，从层次的角度描述了一个分形系统，如康托集，基于层次结构，提出了三种方法来估计分形维数。第二，层次标度可以推广到描述多重分形、分形互补集和自相似曲线，如对数螺线。第三，复杂系统，如城市系统被证明是一个自相似的层次结构。以德国的人居环境和世界上不同语言的人口为例进行了实证分析。该研究对于将分形分析与其他类型的复杂系统标度分析相结合具有一定的启示意义，并将分形理论、异速生长理论和层次理论相结合，发展空间优化理论具有重要的现实意义。
2017-07-12 physics.soc-ph
Fractal Systems of Central Places Based on Intermittency of Space-filling
中心地模型在理论地理学和城市规划理论中具有重要意义。中心地网络的结构和质地在理论和实证研究中都被证明是自相似的。然而，迄今为止，中心地分形在现实世界中的基本原理尚未被揭示。本文旨在阐明中心地系统产生分形图案的机制。传统中心地模型的结构维数为d=2，说明人居环境空间分布不具有连续性。这个维度值与经验观察不一致。用不完全空间填充代替完全空间填充，我们可以得到分数维D<d=2的中心位置模型，其指示空间不连续性。从而将传统的中心地模型转化为分形中心地模型。如果在改进后的中心地分形中进一步引入机会因子，该理论将能更好地解释城市空间的真实格局。作为实证分析，美国的城市和城镇被用来验证基于分形的中心地模型。
2011-05-03 physics.soc-ph
Urban Scaling Laws
本章运用标度理论定量分析城市规模对经济社会特征的影响，综述城市标度律的新发现、进展与开放问题。
2024-04-03 physics.soc-ph
Derivation of Relations between Scaling Exponents and Standard Deviation Ratios
异速生长规律是认识城市演化的基本规律之一。该定律的一般形式是异速生长标度律。然而，标度指数的深层含义和基本原理仍有待揭示。本文运用线性代数和回归分析的理论，揭示了异速标度指数的数理统计本质。假设城市系统中一组要素之间的几何测度关系遵循异速生长规律。异速生长标度指数在理论上等于一个对数测度的标准差与另一个对数测度的标准差之比。在基于观测数据的实证分析中，标度指数等于标准差比与相应的皮尔逊相关系数的乘积。数学推导的结果可以通过实证分析得到验证：基于标准差比的标度指数值与基于常规方法的标度指数值完全相同。这一发现可以推广到城市分形和城市规模分布来解释城市空间的分形维数和城市等级的Zipf标度指数。标度指数反映了特征长度的比值。本研究有助于从一个新的角度理解标度，以及标度与特征标度的联系和区别。
2020-04-25 physics.soc-ph
Renyi's spectra of urban form for different modalities of input data
城市格局的形态表现出多重分形尺度。然而，应该使用什么数据来表示城市模式及其规模？在这里，我们计算Renyi的广义尺寸（RGD）光谱使用对应于不同的城市形态，包括城市土地覆盖，城市不透水面，人口密度和街道交叉点的数据。所有数据都是大约2010年，我们计算了位于美国各地的六个城市化地区的RGD光谱。我们计算的RGD光谱使用希尔数，而不是统计矩，从而导致广义尺寸的一个明确的解释和空间可视化的图案的多重分形。结果表明，在一个特定的城市化地区，不同的城市形态模式的特征在于不同的RGD光谱，从而具有不同的形态。在我们的六个例子中，我们发现，形态的土地覆盖和不透水表面的模式往往是单分形，街道交叉点的模式往往是适度的多重分形，和人口密度的模式往往是强烈的多重分形。空间可视化支持这一数值发现。因此，在研究城市形态的多重分形时，选择一种适合于研究目标的形态是很重要的。城市地区可能在一种形态的基础上具有相似的形态，但在另一种形态的基础上则不同。我们发现，在我们的六个城市地区中，有两个地区在所有四种模式的基础上具有相似的形态。
2020-07-15 physics.soc-ph
An allometric scaling relation based on logistic growth of cities
城市面积与人口规模的关系符合异速生长的标度律。这种异速生长标度是基于城市规模的指数增长，可以称为“指数异速生长”，这与分形的概念。但是，城市人口和城市面积的增长并不符合指数增长的规律。在本文中，我将提出一个新的异速生长标度的基础上，逻辑增长，以解决上述问题。物流增长是一个替代动力学过程。定义一对替代因子作为城市面积和人口的函数，我们可以从城市增长的逻辑斯谛过程中导出一个异速生长标度关系，称为逻辑斯谛异速生长。城市面积与人口的指数异速生长关系是城市规模不够大时Logistic异速生长方程的近似表达式。通过逻辑斯蒂过程重新考虑异速生长标度指数的合理取值范围。以河南省一个中等城市为例，验证了新的异速生长关系。Logistic异速生长有助于从正确的角度进一步认识城市演化的分形性质和自组织过程。
2013-12-13 nlin.AO physics.soc-ph
Zipf's law, Hierarchical Structure, and Shuffling-Cards Model for Urban Development
提出了一个新的视角来寻找支配复杂系统的简单规则和城市等随机现象背后的规律。城市的等级反映了在自然世界和社会机构中经常观察到的无处不在的结构。如果存在具有级联结构的层级，则存在遵循齐普夫定律的等级-规模分布，反之亦然。该层次结构可以用一组指数函数来描述，这些指数函数在形式上与Horton-Strahler关于河流的定律和Gutenberg-Richter关于地震能量的定律相同。从指数模型，我们可以推导出四个幂律，如齐普夫定律指示分形和标度对称性。对层次结构的研究有助于我们理解复杂系统是如何自组织的。建立洗牌模型，解释齐普夫定律与城市等级的关系。这个模型可以扩展到解释一般的经验幂律分布在个别的物理和社会科学，这是很难理解的具体科学领域。
2011-04-16 physics.soc-ph
Scaling properties of firearm homicides in Brazilian cities
最近的定量方法研究城市生活和基础设施的几个方面已经表明，规模属性允许了解城市基础设施和城市中的人类活动的许多功能。在这项工作中，对巴西城市火器凶杀案的数据进行了分析，城市网络的复杂性的基础上。由于巴西人口和城市的多样性，这是对最近提出的理论的一个有趣的测试。得到了凶杀案数量与城市人口的超线性幂律关系，其指数为$β=1.15$。分形结构可以形成在城市以及在较大的网络的假设进行了测试，表明确实自相似性可能会被发现在网络连接几个城市。
2019-05-27 physics.soc-ph
Hyperscaling of spatial fluctuations constrains the development of urban populations
University of Amsterdam（阿姆斯特丹大学）；Centraal Bureau voor de Statistiek（荷兰中央统计局）；Vrije Universiteit Amsterdam（阿姆斯特丹自由大学）；University of Copenhagen（哥本哈根大学）
研究通过分析城市人口分布的尺度特性，发现城市中居民数的均值和方差随网格边长变化而呈现不同指数关系，揭示了空间波动与城市形态的相互制约关系。
2026-09-14 cond-mat.stat-mech nlin.AO physics.soc-ph
The spatial meaning of Pareto's scaling exponent of city-size distribution
城市等级的标度指数通常被认为是分形参数。将Pareto指数作为城市规模分布的分维，Zipf指数作为分维的倒数。然而，这种观点并不确切。在本文中，我将提出一个新的解释的标度指数的秩大小分布。从分形测度关系和维数一致性原理出发，探讨了Pareto标度指数和Zipf标度指数的本质。帕累托指数是城市网络的分维与城市人口平均维数的比值。因此，Zipf指数是该尺寸比的倒数。在数字地图上，帕累托指数可以通过地图比例尺与基于该比例尺的相应城市数量之间的比例关系来定义。美国1900年、1940年、1960年和1980年的城市和印度1981年、1991年和2001年的城市被用来说明帕累托指数的地理空间意义。结果表明，城市规模分布的帕累托指数不是分形维数，而是城市网络维数与城市人口维数的比值。这一结论对科学家理解齐普夫定律和城市等级的分形结构具有启发意义。
2013-09-19 nlin.AO physics.soc-ph
On measure problems in allometric analysis of cities -- How to correctly understand the law of allometric growth
本文通过文献与数学分析，澄清城市异速分析中平均度量的误用，指出异速增长本质是广义相对增长率之比为常数，平均度量仅辅助估计标度指数。
2025-02-27 physics.soc-ph
Studies on the Structure and Dynamics of Urban Bus Networks in Indian Cities
近年来，网络科学的领域在理解各种现实世界网络的底层结构和回答关于它们的重要问题方面变得非常有用。在这项研究中，我们严谨地分析了六个主要的印度城市的公交网络的统计特性，在L-和P-空间的图形，使用网络科学的工具。虽然对航空和铁路等公共交通网络进行了广泛研究，但缺乏对公共汽车网络的结构和增长的全面研究。在印度，公交网络在日常通勤中发挥着重要作用，分析其拓扑结构并回答有关其演变，增长，鲁棒性和弹性的一些基本问题具有重要意义。我们从这些网络的实证分析，并确定其基本特征的复杂网络理论。所有网络都具有度分布图的小世界特性和重尾特性。我们的分析进一步揭示了一个广泛的网络拓扑结构所产生的偏好和随机连接的节点之间的相互作用。与现实世界的网络不同，如互联网，WWW和航空公司，它们是虚拟的，公交网络在二维空间中受到底层道路网络的物理约束。为了了解这些网络的演化中的约束的作用，我们计算它们的分形维数，揭示了一个三维的空间样的演化在一个受约束的二维平面。我们还扩展了我们的研究，以了解复杂的动态过程中的流行病爆发和信息扩散在这些网络中使用SI和SIR模型。
2015-12-18 physics.soc-ph
Limited Urban Growth: London's Street Network Dynamics since the 18th Century
我们调查的增长动态的大伦敦的行政边界的大伦敦管理局，其街道网络的演变在过去两个世纪的基础上定义。这是通过采用一个独特的数据集，包括大伦敦的道路网络跨越224年，从1786年到2010年的九个时间片的平面图表示。在这个时间框架内，我们解决的概念，大都市区或城市的物理条件，在城市的演变揭示了可观察到的过渡相关的几何属性的分布。鉴于伦敦有一个硬边界执行其长期的绿化带，我们表明，它的街道网络动态可以被描述为一个分形的空间填充现象的能力限制，从那里它的增长可以预测一个惊人的准确度。通过对平面图的关键拓扑性质的分析计算，如网络的拓扑增长及其平均连通性，证实了这一观察结果。因此，这项研究代表了一个严重违反Gibrat定律的例子。特别是，我们能够分析显示伦敦如何从一个更像环的结构，典型的规划城市，向一个更像树的结构，典型的自组织城市的演变。这些意见是相关的话语可持续城市规划方面的控制城市蔓延，在许多大城市，这是在绿化带和硬城市边界所施加的空间限制的条件下发展。
2013-06-12 physics.data-an physics.soc-ph
Can complex networks describe the urban and rural tropospheric O3 dynamics?
本研究利用可视性图将西班牙安达卢西亚西部对流层臭氧时间序列转为复杂网络，通过中心性参数区分城乡臭氧动态，证实分形行为并支持复杂网络用于空气污染物研究。
2023-11-16 physics.ao-ph physics.soc-ph
Cities and Regions in Britain through hierarchical percolation
城市系统在许多不同尺度上呈现等级结构。这些被视为行政区域划界，是复杂的地理、政治和历史进程的结果，在街道网络等基础设施上留下了几乎不可磨灭的足迹。在这项工作中，我们发现了一组层次结构在英国在不同的尺度上使用渗透理论的街道网络和交叉口的主要点的相互作用和城市群。在更大的尺度上，观察到的等级结构可以被解释为英国的区域断裂，以各种形式观察到，从自然边界，如国家公园，到基于社会阶级和财富的区域划分，如众所周知的南北划分。在较小的尺度上，城市是通过对每个新兴区域集群的递归式扩展而产生的。我们研究作为一个整体的系统的形态的演变，通过测量的分形维数的集群在每个距离阈值的渗流。我们观察到，这在特定距离处达到最大平台。在这个距离阈值定义的聚类与从卫星图像中恢复的城市边界以及以前使用人口密度的方法具有很好的对应关系。
2016-04-18 physics.soc-ph
Scaling of Street Network Centrality with City Population
研究分析5,000多座巴西城市，揭示街道网络平均接近中心性随人口呈 $N^{-0.38}$ 亚线性标度，并结合 Molinero & Thurner 模型解释扩张中的效率与可达性权衡。
2025-02-18 physics.soc-ph
