Poincaré-Birkhoff theorems in random dynamics
Álvaro Pelayo, Fraydoun Rezakhanlou
本文将保面积扭曲映射的Poincaré-Birkhoff定理推广到关于遍历概率测度为随机的保面积扭曲映射。经典理论是我们提出的随机理论的一个特例。
We propose a generalization of the Poincaré-Birkhoff Theorem on area-preserving twist maps to area-preserving twist maps that are random with respect to an ergodic probability measure. The classical theory is a particular instance of the random theory we propose.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
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A Poincaré-Birkhoff Theorem for Asymptotically Unitary Hamiltonian Diffeomorphisms
本文证明了在标准辛向量空间中，满足自然扭转条件的渐近线性非退化正交哈密顿微分同胚具有无限多个周期点。
A Poincaré-Birkhoff theorem for Hamiltonian flows on nonconvex domains
我们提出了一个高维版本的庞加莱-伯克霍夫定理适用于庞加莱时间映射的哈密顿系统。正在考虑的地图既不需要接近身份，也不需要具有单调的扭曲。环被替换为产品的$N$ -维环面和内部的$(N-1)$ -维（不一定是凸的）嵌入球;另一方面，经典的边界扭转条件被取代的避免射线条件。
Erratum to "Generalizations of the Poincaré-Birkhoff Theorem"
这是一个勘误表，以较早的文件，“推广的庞加莱-伯克霍夫定理。“其中一个定理的陈述中的一个错误得到纠正。
A Poincaré-Birkhoff theorem for tight Reeb flows on $S^3$
本文考虑紧$3$球面上的Reeb流，其中紧球面上有一对形成Hopf链的闭轨道.如果与这些轨道上的横向线性动力学相关的旋转数未能满足一定的共振条件，则存在无限多个周期轨迹，这些轨迹通过其与链接分量的环绕数来区分。这个结果承认一个自然的比较庞加莱-伯克霍夫定理面积保持环同胚。一个类似的定理在$SO(3)$上成立，并适用于$S^2$上Finsler度量的测地流。
A Poincaré--Birkhoff theorem for $C^0$-Hamiltonian maps
本研究利用Floer同调证明了庞加莱-伯克霍夫定理的高维版本及拉格朗日子流形的相对版本，旨在为圆形限制性三体问题中周期轨道和哈密顿弦的寻找提供理论支撑。
A generalized Poincaré-Birkhoff theorem
我们证明了一个推广的经典Poincaré-Birkhoff定理的Liouville域，在任意偶数维。这是受限制三体问题的空间情形的截面的全局超曲面的存在性启发的（如作者在arXiv：2011.10386中证明的）。
Multiple periodic solutions for one-sided sublinear systems: A refinement of the Poincaré-Birkhoff approach
本文证明了一类平面哈密顿系统多重周期解（调和解和次调和解）的存在性，其中包括二阶标量常微分方程$x'' + a(t)g(x) = 0$，其中$g$满足次线性型单边条件.我们考虑的经典方法的基础上的Poincaré-Birkhoff不动点定理，以及一些改进的弯曲扭曲映射和拓扑马蹄铁的理论。复动力学的情况下进行了研究。
Cotangent bundle reduction and Poincaré-Birkhoff normal forms
本文研究了具有自由李群作用的余切丛的约化空间的正则坐标的一个系统而自然的构造。正则坐标使我们能够使用标准算法计算相对平衡的庞加莱-伯克霍夫标准形。详细研究了具有对称性的简单力学系统的情况。作为例子，我们计算了具有Morse型势的三体系统的拉格朗日等边三角形位形和双球摆的伸展位形的Poincar{é}-Birkhoff规范形。
A topological version of the Poincaré-Birkhoff theorem with two fixed points
本文的主要结果给出了环$\mathbb{A}=\mathbb{S}^1 \times [-1,1]$的任意同胚所满足的一个拓扑性质，该环与恒等式同素且至多有一个不动点.这推广了经典的Poincaré-Birkhoff定理，因为这个性质对于具有通常边界扭曲条件的$\mathbb{A}$的保面积同胚肯定不成立。我们也有这个结果的两个推论。第一个特别表明，边界扭曲假设可以削弱要求同胚$h$有一个电梯$H$带$\widetilde{\mathbb{A}} = \mathbb{R} \times [-1,1]$拥有一个前向轨道无界的权利和一个前向轨道无界的左边。作为第二个推论，我们得到了$\mathbb{A}$中Conley-Zehnder定理的一个新的证明：如果$\mathbb{A}$的同胚与恒等式的同位素保持面积并且平均旋转为零，则它具有两个不动点。
Ratio ergodic theorems: From Hopf to Birkhoff and Kingman
霍普夫的比率遍历定理有一个固有的对称性，我们利用它来提供一个简化的标准证明霍普夫和伯克霍夫的遍历定理。我们还提出了一个比率遍历定理的保守变换的$σ$ -有限测度空间，推广金曼的遍历定理的次可加序列和推广以前的结果Akcoglu和Sucheston。
On a theorem due to Birkhoff
在紧致连通的流形M上，证明了其余切丛的每一个与零截面Hamilton同构且Tonelli流不变的子流形都是一个图.
A constructive version of Birkhoff's ergodic theorem for Martin-Löf random points
Kučera的一个定理指出，给定一个Martin-Löf随机无限二元序列ω和一个测度小于1的有效开集A，ω的某些尾部不在A中。我们首先证明了几个结果在相同的精神和推广他们通过一个有效的版本的弱形式的伯克霍夫的遍历定理。然后，我们使用这个结果得到一个更强的形式，即一个非常普遍的有效版本的伯克霍夫的遍历定理，这改善了所有的结果，以前在这个方向上，特别是那些V'Yugin，Nandakumar和Hoyrup，Rojas。
A Multidimensional Birkhoff Theorem for some $C^0$ Lagrangians
本文证明了一类新的$C^0$拉格朗日子集的多维Birkhoff定理，推广了环面扭转映射的经典结果，并首次将其扩展到仅连续对象，结合Floer理论、变分解和弱KAM理论。
A Birkhoff--Lewis Type Theorem for Some Hamiltonian Pdes
本文将Birkhoff-Lewis定理推广到一类半线性偏微分方程。由此证明了无穷多个在原点处具有大周期积累的周期轨道的存在性。这样的周期轨道分叉的共振有限维不变环面的四阶标准形的系统。除了标准的非共振和非简并假设，我们的主要结果是假设正则化的非线性。我们将主要定理应用于半线性梁方程和具有光滑非线性项的非线性薛定谔方程。
A Central limit theorem for the Birkhoff sum of the Riemann zeta-function over a Boolean type transformation
我们证明了一个中心极限定理的实部和虚部和绝对值的黎曼ζ函数采样沿垂直线在临界带关于遍历变换类似于布尔变换。这一结果补充了Steuding的一个结果，Steuding证明了同一系统的强大数律。作为一个附带结果，我们陈述了一个一般的中心极限定理的一类无界可观的实线上相同的遍历变换。证明是基于转移算子方法。
On one of Birkhoff's theorems for backward limit points
本文延续 Birkhoff 与 Sharkovsky 的极限点定理研究，为区间映射中各类后向极限点集合的邻域建立类似陈述。
von-Neumann and Birkhoff ergodic theorems for negatively curved groups
本文证明了一般Gromov双曲群上的同心球和球壳平均的极大不等式，在群的任意概率保持作用下。在一个额外的条件下，满足例如所有的组作用等距和适当的不连续CAT（-1）空间，我们证明了一个逐点遍历定理关于序列的概率测度支持同心球壳。
Limit theorems for Birkhoff sums and local times of the periodic Lorentz gas with infinite horizon
本文研究无限测度Z^d周期动力系统，针对无限视界周期洛伦兹气体建立碰撞映射与流的Birkhoff和泛函极限定理，并将其转化为Sinai台球Birkhoff和的加性泛函收敛问题。
An Elementary Proof of Poincaré's Last Geometric Theorem
证明了Poincaré-Birkhoff不动点定理可以通过推广Henri Poincaré自己最初设计的几何方法以及初等微分拓扑的几个结果来证明。从定理的一个应用实例出发，系统地构造和分类了一组不变曲线及其临界点。这种分类，然后用来证明一个程序的正确性，该程序保证存在至少两个不动点的任何扭曲映射的环承认一个积极的积分不变量。
Weighted Birkhoff ergodic theorem with oscillating weights
考虑Davenport型序列和Gelfond型序列，证明了Davenport指数大于$\frac{1}{2}$的序列是满足遍历定理的好权序列，强Gelfond性质序列加权的遍历和几乎处处是好控制的.我们证明了对于任何$q$ -乘性序列，Gelfond性质隐含强Gelfond性质，并且由动力系统实现的序列可以完全振荡并具有Gelfond性质。
A theorem of Besicovitch and a generalization of the Birkhoff Ergodic Theorem
Besicovitch的一个著名定理是：在$\mathbb{R}^2$上的可积函数$f$是强可微的当且仅当它的强极大函数$M_S f$是有限的a.e.我们提供了一个类似的贝西科维奇的结果的背景下，遍历论，提供了一个推广的伯克霍夫的遍历定理。特别地，我们证明了如果$f$是标准概率空间上的可测函数，$T$是该空间上的可逆保测变换，则$f$关于$T$的遍历平均收敛a.e.当且仅当相关的遍历极大函数$T^*f$是有限的a.e.
Characterization of weak convergence of Birkhoff sums for Gibbs-Markov maps
研究了局部Hölder函数的Birkhoff和在Gibbs-Markov映射迭代下的极限定理. Aaronson和Denker给出了在这种情况下存在极限定理的充分条件。我们证明了这些条件也是必要的：Gibbs-Markov映射不存在奇异的极限定理。我们的证明，有效的非常弱的正则性假设下，涉及弱扰动理论和插值空间。对于L^2观测量，我们也得到了控制中心极限定理收敛速度的充要条件。
Ultralimits of Birkhoff averages
给定紧致度量空间$X$和$X$的Borel子集的$σ-$代数中的概率测度，建立可积映射序列极限的控制收敛定理，并应用它导出任意概率测度的非标准类遍历定理.
Pointwise convergence of Birkhoff averages for global observables
众所周知，无限遍历论中严格类似的Birkhoff遍历定理是平凡的;它指出，对于任何无穷测度保持遍历系统，每个可积函数的Birkhoff平均值几乎处处为零。也没有一个不同的重新缩放的伯克霍夫和，导致一个非退化的逐点极限存在。在本文中，我们给出了一个版本的Birkhoff定理保守，遍历，无限测度保持动力系统，而不是可积函数，我们使用某些元素的$L^\infty$，我们一般称为全球可观。我们的主要定理适用于一般系统，但需要一个假设的“近似部分平均”的观测。然而，结果背后的思想适用于更一般的情况，正如我们用一个例子所展示的那样。最后，通过反例和数值模拟，讨论了无穷保测度系统中Birkhoff定理成立的最优观测量类的问题.
A multidimensional birkhoff theorem for time-dependent tonelli hamiltonians
设$M$是闭连通流形，$H:T^*M\times \mathbb{R} / \mathbb{Z} \to \mathbb{R}$是Tonelli $1$ -周期哈密顿量，$\mathcal{L} \subset T^*M$是拉格朗日子流形，它与零截面哈密顿同构.证明了如果$\mathcal{L}$是$H$的时一映射不变的，则$\mathcal{L}$是$M$上的图.在自治的情况下，一个有趣的结果是，在这种情况下，$\mathcal{L}$是不变的所有时间$t$映射的哈密尔顿流的$H$。
Every flat surface is Birkhoff and Oseledets generic in almost every direction
我们证明了Birkhoff逐点遍历定理和Oseledets乘法遍历定理在几乎每个方向上对每个平面都成立。证明依赖于强大数律，以及最近SL（2，R）的上三角子群在平坦曲面的模空间上的作用的刚性结果。大多数结果还应用了最近由S.菲利普
A Multidimensional Birkhoff Theorem for Recurrent Lagrangian Submanifolds by a Tonelli Hamiltonian
本文针对闭流形上时间周期Tonelli哈密顿量，证明若与零截面哈密顿同痕的拉格朗日子流形在正负时间方向上均存在受控收敛子列，则该子流形必为零截面上的图，并进一步得到其双向递归性。
A Birkhoff Normal Form Theorem for Partial Differential Equations on torus
本文证明了环面上哈密顿偏微分方程的抽象 Birkhoff 正规形定理，并将其应用于非线性波动方程和非线性 Schrödinger 方程，在更低的 Sobolev 正则性指标下获得了多项式及次指数长时间稳定性。
A universal divergence rate for symmetric Birkhoff Sums in infinite ergodic theory
我们证明了在无限遍历论中对称Birkhoff和的遍历定理的失败存在一个普遍的缺口。此外，本文还将这一结果应用于几何有限曲面上时环流的Birkhoff积分的涨落问题。
A fixed point theorem for twist maps
Poincare的最后一个几何定理（Poincare-Birkhoff定理）指出，环上的任何保面积扭曲映射至少有两个不动点。我们用一个较弱的相交性质来代替面积保持条件，该性质指出任何基本简单闭曲线在$f$下至少在一点上与其图像相交。结论是任何这样的映射至少有一个不动点。该结果除了对Poincare几何定理提供了一个新的证明外，对可逆系统也有一定的应用。
Birkhoff Normal Form and Hamiltonian PDEs
这些笔记是基于2004年7月在中国兰州大学举办的CIMPA暑期班期间的讲座，但受益于最近的发展。我们的目的是解释一些扰动技术，使研究的长期行为的哈密尔顿扰动的可积系统的解决方案。我们对稳定性结果特别感兴趣。我们的方法是集中在Birkhoff标准形定理，我们首先证明在有限维。然后，在给出了Hamilton偏微分方程的基本形式之后，我们给出了无穷维情形下的Birkhoff规范形定理，并讨论了Hamilton偏微分方程的动力学结果。
A Kingman-like Theorem
我们提供了一个Kingman定理的任意有限的措施和一个版本的Birkhoff定理的有界观测。作为一个应用，我们表明，Birkhoff的极限存在一些连续的观察，在一个例子中的Bowen。
On effective Birkhoff's ergodic theorem for computable actions of amenable groups
引入了可计算群的可计算作用，证明了有效Birkhoff遍历定理的如下形式.设$Γ$是可计算顺从群，则在$Γ$中总存在规范可计算的调和双边Følner序列$(F_n)_{n \geq 1}$.对于一个可计算的，测度保持，遍历作用的$Γ$上的康托空间$\{0,1\}^{\mathbb N}$赋予一个可计算的概率测度$μ$，它表明，对于每个有界的下半可计算的功能$f$ $\{0,1\}^{\mathbb N}$和每个马丁-洛夫随机$ω\in \{0,1\}^{\mathbb N}$的等式\[ \lim\limits_{n \to \infty} \frac{1}{|F_n|} \sum\limits_{g \in F_n} f(g \cdot ω) = \int\limits f d μ\]保持，其中的平均值是采取关于一个规范可计算的回火双边Følner序列$(F_n)_{n \geq 1}$。当$Γ$是多项式增长的可计算群，$F_n:=\mathrm{B}(n)$是围绕$Γ$的中性元的球的Følner序列时，我们证明了所有下半可计算$f$的相同恒等式.
Strong Birkhoff Ergodic Theorem for subharmonic functions with irrational shift and its application to analytic quasi-periodic cocycles
本文首先证明了环面上带无理移位的下调和函数的强Birkhoff遍历定理。然后，它被应用到解析拟周期Jacobi上圈。我们证明了，如果这些上循环的李雅普诺夫指数是积极的在一个点，那么它是积极的在一个区间为中心的这一点，适当的频率和耦合数。证明了在此区间上$E$的李雅普诺夫指数是Hölder连续的，并计算了其长度的表达式.当势的耦合数较大时，对所有无理频率，李雅普诺夫指数总是正的，对所有有限Liouville频率，Hölder在$E$中是连续的.我们还研究了Jacobi余圈的一种特殊情形--薛定谔余圈的李雅普诺夫指数，得到了它在频率上的Hölder连续性.
The First Birkhoff Coefficient and the Stability of 2-Periodic Orbits on Billiards
在这项工作中，我们解决的问题，证明严格凸台球椭圆2-周期轨道的稳定性。尽管椭圆性意味着稳定性是一个被广泛接受的信念的一部分，但经典定理表明，稳定性的确定性依赖于更精细的条件。我们提出了一个审查的主要结果和一般定理，并描述的程序，以满足严格凸台球的补充条件。
On the Birkhoff Spectrum for Hyperbolic Dynamics
本文研究了双曲动力系统中Birkhoff谱的结构，证明了有界谱迫使函数与零共同调，并扩展了Livšic定理。
A dichotomy theorem for minimizers of monotone recurrence relations
变分单调递归关系出现在固态物理中，作为铁磁晶体的Frenkel-Kontorova模型的推广。对于这样的问题，Aubry-Mather理论建立了任意旋转数的“基态”或“全局极小值”的存在。最近邻晶体模型等价于哈密顿扭曲映射。在这种情况下，全局极小点有一个特殊的性质：它们只能交叉一次。作为一个重要的结果，它们中的每一个都具有伯克霍夫性质。在具有较大范围的相互作用和高阶递归关系的晶体中，单交叉性质不成立，并且可以存在不是Birkhoff的全局极小值。本文研究了全局极小点的交叉问题。在强扭曲条件下，我们证明了以下二分法：它们要么是Birkhoff，因此非常规则，要么是非常不规则和非物理的：然后它们以指数方式增长并振荡。对于Birkhoff极小化，我们还证明了一些强有序性是众所周知的扭曲映射。
On Birkhoff sums that satisfy no temporal distributional limit theorem for almost every irrational
该研究去掉了Dolgopyat与Sarig相关结论中的二维平均条件，证明对几乎所有环面内的α和所有初值x₀，分段光滑函数的Birkhoff和都不满足时间分布极限定理，推进了二人提出的相关问题研究。
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