Average-case hardness of Betti number estimation
Department of Computer Science, University of Oxford（牛津大学计算机科学系）
通过从种植团问题的归约，证明了随机团复形上Betti数估计的平均情况困难性，并推导出经典和量子TDA中多个问题的条件困难性结果，阐明了量子优势的结构性要求。
2026-09-14 cs.CC quant-ph
Cryptographic Hardness of Learning Halfspaces with Massart Noise
UW Madison（威斯康星大学麦迪逊分校）；UC San-Diego（加州大学圣地亚哥分校）；Google Research（谷歌研究院）
我们研究了在Massart噪声存在下PAC学习半空间的复杂性。在这个问题中，我们被赋予了独立同分布。标记示例$(\mathbf{x}, y) \in \mathbb{R}^N \times \{ \pm 1\}$，其中$\mathbf{x}$的分布是任意的，并且标记$y$是$f(\mathbf{x})$的Massart讹误，对于未知半空间$f: \mathbb{R}^N \to \{ \pm 1\}$，具有翻转概率$η(\mathbf{x}) \leq η< 1/2$。学习器的目标是计算一个具有0-1小误差的假设。我们的主要结果是这个学习问题的第一个计算硬度的结果。具体来说，假设（广泛认为）次指数时间硬度的学习错误（LWE）的问题，我们表明，没有多项式时间Massart半空间学习者可以实现错误比$Ω(η)$，即使最佳的0-1错误是小的，即$\mathrm{OPT} = 2^{-\log^{c} (N)}$的任何通用常数$c \in (0, 1)$。以前的工作提供了定性相似的证据的硬度在统计查询模型。我们的计算硬度的结果基本上解决了多项式PAC学习Massart半空间，通过显示已知的有效的学习算法的问题几乎是最好的可能。
2022-07-28 cs.CC cs.DS cs.LG
NISQ Security and Complexity via Simple Classical Reasoning
本文提出一种针对NISQ环境的混合相干测量与重编程框架及提升定理，仅通过经典推理计算单一组合量即可证明量子安全性与复杂性，并推导出多种密码学任务的首批直接乘积定理与混合困难度。
2025-09-11 cs.CC cs.CR quant-ph
Strengthening Hardness Results to 3-Connected Planar Graphs
本文将2-连通平面图类的一些经典NP-困难性结果推广到3-连通平面图的子类。减少部分是基于一个新的图形增强，这可能是独立的利益。
2016-07-08 cs.CC cs.CG math.CO
On the hardness of classically simulating the one clean qubit model
单量子比特确定性量子计算（DQC 1）是一种量子计算模型，其中输入限于包含纯态的单个量子比特，所有其他量子比特处于完全混合态，在计算结束时只有单个量子比特测量[E. Knill和R. Laflamme，Phys. Rev. Lett. { \bf 81}，5672（1998）]。虽然已知DQC 1可以有效地解决一些没有已知的经典有效算法存在的问题，但DQC 1是否真的比经典计算更强大的问题仍然是开放的。在本文中，我们介绍了一个稍微修改的版本的DQC 1，我们称之为DQC 1 $_k$，$k$输出量子比特的测量，并表明，DQC 1 $_k$不能经典有效地模拟任何$k\geq3$，除非多项式层次崩溃在第三级。
2014-04-02 cond-mat.stat-mech cond-mat.str-el cs.CC
Hardness of Agnostically Learning Halfspaces from Worst-Case Lattice Problems
ETH Zürich（苏黎世联邦理工学院）
我们在不可知模型中显示了不正确学习半空间的硬度，无论是在分布独立的还是分布特定的设置中，基于最坏情况的晶格问题，如GapSVP或SIVP，是很难的假设。特别是，我们表明，在这种假设下，没有有效的算法，输出任何二进制假设，不一定是半空间，实现误分类错误优于$\frac 1 2 - γ$，即使最佳误分类错误是一样小，$δ$一样小。这里，$γ$可以小于维数上的任何多项式的逆，$δ$可以小到$exp(-Ω(\log^{1-c}(d)))$，其中$0 < c < 1$是任意常数，$d$是维数。对于分布特定的设置，我们表明，如果边际分布是标准高斯，对于任何$β> 0$学习半空间错误$OPT_{LTF} + ε$需要时间至少$d^{\tildeΩ(1/ε^{2-β})}$在相同的硬度假设。同样，我们表明，学习度$\ell$多项式阈值函数的错误$OPT_{{PTF}_\ell} + ε$需要至少$d^{\tildeΩ(\ell^{2-β}/ε^{2-β})}$的时间。$OPT_{LTF}$和$OPT_{{PTF}_\ell}$分别表示任何半空间或多项式阈值函数可实现的最佳误差。我们的下限定性匹配算法的保证和（几乎）恢复已知的下限的基础上，非最坏情况的假设。以前，这样的硬度结果[Daniely16，DKPZ21]是基于平均情况复杂性假设或仅限于统计查询模型。我们的工作给出了第一个基于最坏情况复杂性假…
2023-02-20 cs.CC cs.LG math.ST
Matching Triangles and Triangle Collection: Hardness based on a Weak Quantum Conjecture
经典上，对于许多计算问题，人们可以根据一个或多个关键问题的难度得出时间下限：k-SAT，3SUM和APSP。最近，类似的结果已经在量子设置条件下的硬度k-SAT和3SUM。这是使用细粒度约简来完成的，其中方法是（1）选择关键问题$X$，对于某些函数$T$，对于任何常数$ε> 0$（在固定的计算模型中），任何$O(T(n)^{1-ε})$时间算法都不能解决该关键问题，以及（2）以细粒度的方式将$X$约简到这些计算问题，从而为它们给出（大多数）严格的条件时间下限。有趣的是，对于Delta匹配三角形和三角形集合，经典的硬度结果是根据所有三个提到的关键问题的硬度得出的。更准确地说，它被证明是一个$n^{3-ε}$时间经典算法这两个图的问题将意味着更快的经典算法的k-SAT，3SUM和APSP，这使得三角形匹配和三角形集合值得研究。在本文中，我们表明，这两个图形问题的$n^{1.5-ε}$时间量子算法将意味着更快的量子算法的k-SAT，3SUM，和APSP。我们首先制定了一个量子硬度猜想APSP，然后提出量子约化从k-SAT，3SUM，和APSP三角形和三角形集合。此外，基于量子APSP猜想，我们还能够证明一个矩阵问题和许多图问题的量子下界。匹配的上界遵循平凡的大部分，除了三角形匹配三角形和三角形集合，我们提出的量子算法，需要小心使用数据结构和Ambainis的可变时间搜索。
2022-07-22 cs.CC quant-ph
A Note on NP-Hardness of Preemptive Mean Flow-Time Scheduling for Parallel Machines
Baptiste，Brucker，Chrobak，Dürr，Kravchenko和Sourd在论文“The complex of mean flow time scheduling problems with release times”中，证明了调度问题$P|pmtn,r_j|\sum C_j$的强NP-困难性，即以最小化平均流时间为目标的多处理器抢占式调度。指出了他们证明中的一个严重错误，并给出了该问题强NP-困难性的一个新证明。
2014-04-22 cs.CC cs.DS
Hardness of Vertex Deletion and Project Scheduling
假设唯一游戏猜想，我们显示了强大的不可逼近的结果，两个自然的顶点删除问题的有向图：对于任何整数$k\geq 2$和任意小的$ε> 0$，反馈顶点集问题和DAG顶点删除问题是不可逼近的一个因素$k-ε$，即使在图中的顶点几乎可以划分成$k$解决方案。这为反馈顶点集问题提供了一个更结构化的，因此更强的基于UGC的硬度结果，它也比以前的硬度结果更简单（尽管使用了“直到结束才结束”定理）。与经典的反馈顶点集问题相比，DAG顶点删除问题很少受到关注，虽然我们认为这是一个自然而有趣的问题，但我们的不可近似性结果的主要动机源于它与经典的离散时间-成本权衡问题的关系。更具体地说，我们的研究结果意味着，截止日期版本是NP-难近似在任何常数假设唯一的游戏猜想。这就解释了在获得良好的近似算法的问题，并进一步激励以前的替代方法，如双准则近似的困难。
2012-06-15 cs.CC
The color code, the surface code, and the transversal CNOT: NP-hardness of minimum-weight decoding
Yale Quantum Institute & Department of Applied Physics, Yale University（耶鲁大学应用物理系与耶鲁量子研究所）；CSE Division, University of Michigan（密歇根大学计算机科学与工程分部）
研究证明在三种关键场景下，最小重量解码问题具有NP难性，揭示了量子存储和逻辑电路实现中计算复杂性分离。
2026-03-23 cs.CC quant-ph
On the hardness of approximating minimum distances of quantum codes
David R. Cheriton School of Computer Science, University of Waterloo（滑铁卢大学大卫R.切里顿计算机科学学院）；Purdue University（普渡大学）
本文研究了量子码最小距离近似问题的难度，证明了在量子设置中计算图态距离的NP难性，并探讨了超图乘码的特殊性质。
2026-10-21 cs.CC cs.IT math.IT
On Percolation and $NP$-Hardness
我们考虑的鲁棒性的问题，其输入是通过应用独立的随机删除的最坏情况下的计算硬度。对于一些经典的$NP$ -hard问题，如着色、顶点覆盖和Hamilton性，我们研究了当任意图的边（或顶点）以概率$1-p > 0$被独立删除时这些问题的复杂性.我们证明，对于$n$ -顶点图，这些问题仍然很难在最坏的情况下，只要$p > \frac{1}{n^{1-ε}}$为任意$ε\in (0,1)$，除非$NP \subseteq BPP$。我们还证明了硬度结果约束满足问题，其中随机删除应用到条款或变量，以及子集和问题，其中一个给定的实例的项目被随机删除。
2015-08-09 cs.CC
One-Sided-Error Parameterized Reductions for the Minimum Distance and Shortest Vector Problems
National Institute of Informatics, Japan（日本国立情报学研究所）；The Graduate University for Advanced Studies, SOKENDAI（高级研究大学院大学）
该研究对MDP和SVP的双侧错误归约部分去随机化，提出单侧错误归约，结合OR函数构造与电路下界假设，得到MDP和SVP近似的确定性W[1]-困难性及欧几里得SVP近似的确定性NP-困难性。
2026-08-17 cs.CC
The hardness of quantum spin dynamics
该研究通过证明一大类量子自旋哈密顿量的输出分布采样为经典难解问题，为量子模拟自旋动力学的量子优势提供了理论依据，并估算约200自旋的实例可在中等规模容错量子计算机上实现经典难以完成的模拟。
2023-12-12 cond-mat.stat-mech cs.CC quant-ph
Hardness of braided quantum circuit optimization in the surface code
大规模量子信息处理需要使用量子纠错码来减轻量子器件中噪声的影响。拓扑纠错码，如表面码，是有希望的候选者，因为它们可以仅使用物理量子位的二维阵列中的局部相互作用来实现。程序，如缺陷编织和晶格手术，然后可以用来实现一个容错的通用的一套门的逻辑空间，这样的拓扑代码。然而，纠错也在计算时间、物理量子位的数量和物理门的数量方面引入了显著的开销。虽然优化容错电路，以尽量减少这种开销是至关重要的，这种优化问题的计算复杂性仍然是未知的。这种模糊性给为大规模量子计算机编译容错电路的最有效方法留下了怀疑的空间。在本文中，我们表明，一个特殊的子集的编织量子线路的优化是NP-难的多项式时间减少到一个特定的问题称为平面矩形3SAT的优化问题。
2023-02-01 cs.CC quant-ph
Quantum hardness of learning shallow classical circuits
Center for Theoretical Physics, MIT（麻省理工学院理论物理中心）；CWI（CWI数学与计算机科学中心）；QuSoft（QuSoft量子软件研究中心）；Joint Center for Quantum Information and Computer Science, University of Maryland（马里兰大学量子信息与计算机科学联合中心）
本文研究了均匀分布和分布无关的PAC学习框架下等深度经典电路的量子可学性。为了实现我们的结果，我们建立了量子学习和量子安全密码系统之间的联系。然后，我们实现以下结果。1)在均匀分布下学习AC $^0$和TC $^0$的难度。我们的第一个结果涉及概念类TC $^0$（resp. AC $^0$），具有无界扇入多数门（分别为）的恒定深度和多项式大小的电路类。AND、OR、NOT门）。我们证明，如果不存在量子多项式时间（分别）。强次指数时间）算法来解决带误差的环学习（RLWE）问题，那么TC $^0$（分别为. AC $^0$）（即使访问量子成员资格查询）。该结果中的主要技术使用被认为是量子安全的显式伪随机函数来构造在均匀分布下难以量子学习的概念类。2)在PAC设置中学习TC $^0_2$的难度。我们的第二个结果表明，如果不存在LWE问题的量子多项式时间算法，则不存在TC类$^0_2$的多项式时间量子PAC学习算法，即，深度2 TC $^0$电路。在这个结果中的主要技术是建立一个连接的公钥密码系统的量子安全性和可学习的概念类，包括解密功能的密码系统。这对Aaronson [Aar 05]提出的“量子计算理论的十大半重大挑战”之一给出了强（条件）否定的答案，Aaronson询问AC $^0$和TC $^0$是否可以在量子多项式时间内进行PAC学习。
2019-09-19 cs.CC cs.LG quant-ph
Complexity of Quadratic Bosonic Hamiltonian Simulation: BQP-Completeness and PostBQP-Hardness
University of Vienna, Faculty of Physics（维也纳大学物理学院）；University of Vienna, Faculty of Mathematics（维也纳大学数学学院）
研究二次玻色子哈密顿量模拟的复杂性，证明其BQP完全性及扩展后的PostBQP难性，揭示量子与经典计算机模拟大规模量子系统的复杂性差异。
2026-09-25 cs.CC quant-ph
On the Hardness of Learning One Hidden Layer Neural Networks
Yale University（耶鲁大学）
本文证明在标准密码学假设下，即使网络规模为多项式、输入为标准高斯且噪声多项式小，学习单隐层 ReLU 神经网络仍是困难的，其依据是 CLWE 问题及近似最短向量问题的最坏情况困难性。
2024-10-04 cs.CC cs.LG math.ST
QCMA hardness of ground space connectivity for commuting Hamiltonians
在这项工作中，我们考虑的地面空间的连通性问题，交换当地的哈密尔顿算子。地空间连通性问题询问是否有可能通过应用2量子比特幺正的多项式长度序列从一个（有效可重构的）状态到另一个，同时对于给定的哈密顿量$H$始终保持在具有低能量的状态。在[Gharibian和Sikora，ICALP'15]中表明，这个问题对于一般的局部Hamilton是QCMA完全的，其中QCMA被定义为具有经典见证和BQP验证器的QMA。在这里，我们表明，通勤版本的问题也是QCMA完全的。这提供了第一个例子之一，其中交换局部哈密顿表现出复杂性理论的硬度相当于一般的局部哈密顿。
2017-07-12 cs.CC quant-ph
On the hardness of losing weight
我们研究了布尔约束满足问题（CSP）的局部搜索的复杂性，形式如下：给定一个CSP实例，即一个约束集合，以及对它的解，问题是是否有更好的（更轻的，即，具有严格更小的汉明重量）解。我们分类的复杂性，经典的和参数化的，这样的问题由Schaefer式的二分法的结果，也就是说，与一组限制的允许类型的约束。我们的研究结果表明，有相当数量的这样的问题，是NP-难的，但固定参数听话时，参数的距离。
2017-11-10 cs.CC cs.DS
NP-Hardness of Reed-Solomon Decoding, and the Prouhet-Tarry-Escott Problem
建立Reed-Solomon码的{ \em有界距离解码}的复杂度是编码理论中的基本开放问题，由Guruswami和Vardy（IEEE Trans. Inf. Theory，2005）明确提出。该问题是由当其为NP困难时的状态与当其有效可解时的状态（即，约翰逊半径（Johnson radius）我们展示了第一个NP-硬度的结果渐近较小的解码半径比最大似然解码半径的Guruswami和Vardy。具体来说，对于长度$N$和维度$K=O(N)$的Reed-Solomon码，我们证明了解码多于$ N-K- c\frac{\log N}{\log\log N}$错误是NP-难的（其中$c>0$是绝对常数）。此外，我们表明，问题是NP-困难下的准多项式时间减少的错误量$> N-K- c\log{N}$（与$c>0$的绝对常数）。这些结果遵循从NP-硬度的推广的经典子集和问题的更高的时刻，称为{ \em时刻子集和}，这一直是一个已知的开放问题，这可能是独立的利益。我们进一步揭示了一个强有力的连接，充分研究的Prouhet-Tarry-Escott问题数论，这是捕捉一个主要的障碍，在扩展我们的技术。我们认为Prouhet-Tarry-Escott问题值得理论计算机科学界进一步研究。
2016-11-09 cs.CC cs.IT math.IT
Algebraic Global Gadgetry for Surjective Constraint Satisfaction
提出了一个代数框架，通过计算全局装置将经典 CSP 归约到满射 CSP，统一证明了包括断开割、无彩虹 3-着色及 2-元素结构在内的多项满射 CSP 难度结果。
2024-04-23 cs.CC
A Meta-Complexity Characterization of Quantum Cryptography
该研究首次给出量子密码原语的元复杂性刻画，证明单向谜题存在等价于量子可采样分布上近似柯尔莫哥洛夫复杂度或概率估计的平均情况困难性，并指出现有技术难以用NP/QMA问题或其他元复杂性问题做相对化刻画。
2024-10-07 cs.CC cs.CR quant-ph
The Constant Inapproximability of the Parameterized Dominating Set Problem
证明了除非FPT= W[1]，否则没有FPT-算法能逼近任意常数比的支配集问题.我们的硬度减少是建立在第二作者最近的W[1]-硬度证明的biclique问题。除其他外，这产生了一个没有PCP机器的证明，即经典的支配集问题在指数时间假设下没有多项式时间常数近似。
2015-11-15 cs.CC
Label Cover instances with large girth and the hardness of approximating basic k-spanner
我们研究了著名的标签覆盖问题的额外要求下，问题的实例有大围长。我们表明，如果围长是一些$k$，该问题是大致$2^{\log^{1-ε} n/k}$难以近似为所有常数$ε> 0$。Elkin和Peleg [ICALP 2000]提出了一个类似的定理，但后来发现他们的证明有一个根本性的错误。我们使用新的证明，以显示不可逼近的基本$k$的问题，这是最简单的问题，在图spectrometry和少数的超对数硬度是未知的。假设$NP \not\subseteq BPTIME(2^{polylog(n)})$，我们表明，对于每一个$k \geq 3$和每一个常数$ε> 0$是很难近似的基本$k$ -问题的一个因素优于$2^{(\log^{1-ε} n) / k}$（足够大的$n$）。Elkin和Peleg [ICALP 2000]声称基本$k$ -明胶具有相似的硬度，但他们对标签盖分析的错误也使该证明失败。因此，对于大围长的标号覆盖问题，我们给出了第一个非平凡下界。对于基本的$k$ -问题，我们改进了Kortsarz [Komica 1998]提出的$Ω(\log n)/k$的最佳下界.我们的主要技术是对2-查询PCP的边缘进行子采样，这使我们能够将PCP的程度降低到基本上等于所需的合理性。事实证明，这足以基本上保证大周长。
2012-03-05 cs.CC cs.DS
Proofs of Quantum Memory
本文提出量子存储证明（PoQM）概念，给出形式化定义与两种基于LWE难解性的构造方案，证明其蕴含单向谜题，且受限版本可实现QCCC密钥交换，为经典验证远程量子存储提供了理论框架。
2026-10-27 cs.CC cs.CR quant-ph
NP-hardness of ideal lattice problems
Clemson University（克莱姆森大学）
本文通过保维确定性多项式时间归约，证明了理想格问题（如SVP、CVP）在ℓ2范数下的最坏情况NP困难性，构造了可逆理想与单生成全实环，并给出量子多项式时间的猜想性扩展。
2026-09-15 cs.CC math.NT
Dequantization and Hardness of Spectral Sum Estimation
Université Paris Cité, CNRS, IRIF（巴黎西岱大学，法国国家科学研究中心，IRIF）；Nagoya University（名古屋大学）
该研究针对矩阵谱和估计问题，给出了去量化技术、经典改进算法及DQC1与PP完全性的复杂度结果，解决了相关开放问题。
2026-08-13 cs.CC cs.DS quant-ph
On Hardness of Approximation of Parameterized Set Cover and Label Cover: Threshold Graphs from Error Correcting Codes
在$(k,h)$问题中，我们给出了一个集合$\mathcal{S}$的集合在一个宇宙$U$，目标是区分的情况下，$\mathcal{S}$包含$k$集覆盖$U$，从情况下，至少$h$集在$\mathcal{S}$需要覆盖$U$。Lin（ICALP'19）最近展示了一个间隙，该间隙产生从尺寸为$O_k(\log |\mathcal{S}|)$的论域上的$(k,k+1)$ -SetCover问题到尺寸为$|\mathcal{S}|$的论域上的$\left(k,\sqrt[k]{\frac{\log|\mathcal{S}|}{\log\log |\mathcal{S}|}}\cdot k\right)$ -SetCover问题的减少。在本文中，我们证明了一个更可扩展的版本，他的结果：给定任何纠错码$C$在字母表$[q]$，率$ρ$，和相对距离$δ$，我们使用$C$创建一个减少从$(k,k+1)$ -SetCover问题的宇宙$U$的$\left(k,\sqrt[2k]{\frac{2}{1-δ}}\right)$ -SetCover问题的宇宙大小$\frac{\log|\mathcal{S}|}ρ\cdot|U|^{q^k}$。Lin通过将输入的SetCover实例（没有间隙）与一个特殊的阈值图（由称为通用集的极值组合对象构建）组合，从而建立了他的结果，最终得到了一个具有间隙的SetC…
2020-09-06 cs.CC cs.DS
Quantum Advantage from Sampling Shallow Circuits: Beyond Hardness of Marginals
本文构造深度为7的量子电路族，其精确采样分布与任何常数深度经典电路在二元乘积分布上的输出总变差距离接近1，展示浅层量子采样的指数级优势，基于奇偶校验减半问题。
2025-10-09 cs.CC quant-ph
Hardness Results for the Gapped Consecutive-Ones Property
受比较基因组学和古基因组学问题的启发，在[Chauve等人，2009]，作者介绍了间隙连续一属性问题（k，delta）-C1 P：给定一个二进制矩阵M和两个整数k和delta，M的列可以被置换，使得每行包含最多k个1的块，并且没有两个连续的1的块被超过delta零的间隙分开。经典的C1 P问题与（1，0）-C1 P问题是等价的，已知C1 P问题是多项式问题。他们证明了（2，delta）-C1 P问题对于所有delta >= 2都是NP-完全的，并且（3，1）-C1 P问题是NP-完全的。他们还证明了（k，delta）-C1 P问题是NP-完全的，其中k >= 2，delta >= 1且（k，delta）=/=（2，1）.在这里，我们证明这个猜想是正确的。唯一剩下的情况是（2，1）-C1 P问题，它可以是多项式时间可解的。
2009-12-05 cs.CC
Statistical mechanics of classical and quantum computational complexity
对量子计算机的追求是由它们解决现有经典计算机无法解决的问题的潜力所驱动的。计算复杂性理论是计算机科学的皇冠上的宝石之一，它提供了一个严格的框架，根据解决问题所需的计算资源（特别是时间）对问题的难度进行分类。它扩展到量子计算机，可以分析量子计算机的相对功率。该框架通过间接方法识别了可能对经典计算机（"NP-完全“）困难的问题和可能对量子计算机（" QMA-完全”）困难的问题。也就是说，它们识别具有可比最坏情况难度的问题，而不直接确定任何给定实例的个体难度。统计机械方法可以用来补充这种分类，通过直接提取信息的特定家庭的实例-通常是那些涉及优化-通过研究随机合奏。这些提出了不寻常的和有趣的（量子）统计力学问题和结果揭示了大类算法的问题的难度，以及提供了一个窗口的典型和最坏情况下的复杂性之间的对比。在这些课堂讲稿中，我们以经典可满足性和量子可满足性为主要例子，介绍了这组思想。我们也触及的计算硬度与玻璃的物理概念的连接。
2010-09-08 cond-mat.stat-mech cs.CC quant-ph
On the hardness of distinguishing mixed-state quantum computations
本文考虑以下问题。给出了两个混合态量子电路Q和R，目标是确定以下两种可能性中的哪一种成立：（i）Q和R几乎完全相同地作用于所有可能的量子态输入，或者（ii）存在一些输入态，Q和R转换为几乎完全可区分的输出。这个问题可以看作是以下问题的抽象：给定两个由局部相互作用序列描述的物理过程，这两个过程实际上是相同的还是不同的？我们证明了这个问题是一个完整的承诺问题类QIP的问题，量子交互式证明系统，因此是PSPACE困难的。这与经典（概率）电路的类似问题在AM中，而酉量子电路的类似问题在QMA中形成鲜明对比。
2004-07-22 cs.CC quant-ph
Near-Optimal Statistical Query Hardness of Learning Halfspaces with Massart Noise
University of Wisconsin-Madison（威斯康星大学麦迪逊分校）；University of California, San Diego（加利福尼亚大学圣迭戈分校）
研究了带Massart噪声的PAC学习半空间问题。给定来自$\mathbb{R}^{d} \times \{ \pm 1\}$上的分布$D$的标记样本$(x, y)$，使得示例上的边际$D_x$是任意的，并且示例$x$的标记$y$是从被Massart对手破坏的目标半空间生成的，具有翻转概率$η(x) \leq η\leq 1/2$，目标是计算具有小误分类误差的假设。最著名的$\mathrm{poly}(d, 1/ε)$ -时间算法为这个问题实现的$η+ε$的错误，这可能是远离$\mathrm{OPT}+ε$的最佳界，其中$\mathrm{OPT} = \mathbf{E}_{x \sim D_x} [η(x)]$。虽然已知在统计查询模型中实现$\mathrm{OPT}+o(1)$误差需要超多项式时间，但是在已知的上限和下限之间仍然存在很大的差距。在这项工作中，我们基本上描述了统计查询（SQ）模型中Massart半空间的有效可学习性。具体来说，我们表明，没有有效的SQ算法学习Massart半空间$\mathbb{R}^d$可以实现错误优于$Ω(η)$，即使$\mathrm{OPT} = 2^{-\log^{c} (d)}$，任何通用常数$c \in (0, 1)$。此外，当噪声上限$η$接近$1/2$时，我们的误差下限变为$η- o_η(1)$，其中当$η$接近$1/2$时，$o_η…
2021-11-08 cs.CC cs.LG math.ST
Anticoncentrated $n$-bit distribution from $\log(n)$ qubits
University of Southern California（南加州大学）
本文提出一种时空协议，通过在电路中插入随机量子门和测量，证明仅需log(n)个量子比特即可生成具有抗集中的经典位分布，展示了高效的经典模拟方法。
2026-04-14 cs.CC quant-ph
Hardness of Approximate Hylland-Zeckhauser Equilibria
Princeton University（普林斯顿大学）；Stanford University（斯坦福大学）
研究在允许玩家对市场价格响应存在小常数误差的情况下，寻找单位需求玩家的分数分配（近似Hylland-Zeckhauser均衡）的计算难度，证明在(ε,δ)-广义电路问题PPAD-hard的假设下该问题也是PPAD-hard，并引入一种自然限制下的无条件PPAD-hard结果。
2026-06-09 cs.CC cs.GT
The Commuting Local Hamiltonian Problem: Relativized Evidence Against BQP-Hardness
Stanford University（斯坦福大学）
本文通过构造经典预言机，证明BQP类不包含于QIMA类，为一般可交换局域哈密顿问题非BQP困难及非QMA完备提供了相对化证据。
2026-10-01 cs.CC quant-ph
Information-Computation Gaps in Quantum Learning via Low-Degree Likelihood
SEAS, Harvard University（哈佛大学塞弗里德学院）；Saarland University（萨尔兰大学）；Department of Mathematics, Massachusetts Institute of Technology（麻省理工学院数学系）
本研究将经典低阶方法框架扩展到量子场景，建立态设计与低阶难度的联系，得到多种量子学习问题的首个信息-计算鸿沟及平均 case 难度结果，并发现植入双团问题复杂度随测量方式变化的特性。
2025-06-17 cs.CC cs.DS cs.LG
The Hardness of Optimization Problems on the Weighted Massively Parallel Computation Model
本文提出加权大规模并行计算模型，研究其通信成本最小化问题，通过严格证明确定了8个相关问题的计算复杂性，分别属于P、FPT、NP完全或W[1]完全类。
2023-06-17 cs.CC
New Hardness Results for the Permanent Using Linear Optics
2011年，Aaronson给出了一个基于量子线性光学的惊人证明，表明计算矩阵的积和式的问题是#P-hard的。Aaronson的证明自然导致了对恒量的近似结果的困难，并且可以说它比Valiant在1979年对同一事实的开创性证明更简单。然而，它并没有证明计算永久式对于任何以前不知道的矩阵类都是P-困难的。在本文中，我们提出了一个新的结果，主要是来自通过这些线性光学技术的矩阵永久。首先，我们证明了计算实正交矩阵的积和式的问题是P-困难的。就像Aaronson的原始证明一样，这将表明即使是乘法近似仍然是#P-难以计算的。硬度结果甚至转化为有限域上的积和式，其中计算正交矩阵的积和式的问题在有限域F_{p^4}中对于所有不等于2或3的素数p是Modpp-困难的。有趣的是，这个特征是紧密的：在特征2的域中，积和行列式重合;在特征3的域中，可以通过Kogan的一个非平凡结果有效地计算正交矩阵的积和。最后，我们用更初等的论证证明了半正定矩阵的积和式的P-困难性，这表明尽管经典计算机可以有效地对热态玻色子抽样实验的某些概率进行抽样，但它们很难精确计算.
2018-02-28 cs.CC quant-ph
Algorithm and Hardness results on Liar's Dominating Set and $k$-tuple Dominating Set
给定一个图$G=(V,E)$，支配集问题要求一个最小顶点子集$D\subseteq V$，使得每个顶点$u\in V\setminus D$至少与一个顶点$v\in D$相邻。也就是说，集合$D$满足以下条件：对于每个$v\in V$，$|N[v]\cap D|\geq 1$，其中$N[v]$是$v$的闭合邻域。本文研究了经典支配集问题的两个变形：$\boldmath{k}$ -元组支配集（$k$-DS）问题和说谎者支配集（LDS）问题，得到了一些算法和困难性结果。在算法方面，我们提出了一个常数因子（$\frac{11}{2}$）近似算法的骗子的支配集问题的单位圆盘图。然后，我们得到了单位圆盘图上的$\boldmath{k}$ -元组支配集问题的PTAS。在硬度方面，我们展示了一个$Ω(n^2)$位的空间复杂度的下限任何（随机）流算法的骗子的支配集问题，以及为$\boldmath{k}$元组支配集问题。进一步证明了二部图的Liar支配集问题是W[2]-困难的。
2019-11-24 cs.CC cs.CG cs.DM
A syntactic tool for proving hardness in the Second Level of the Polynomial-Time Hierarchy
在90年代，Immerman和Medina开始寻找语法工具来证明NP完全性。在他们的工作中，在几个结果中，他们猜想由一个二阶逻辑中的句子与一个一阶句子的连接所定义的问题的NP-完全性，必然意味着仅由二阶逻辑中的句子定义的问题的NP-完全性。这是有趣的，因为如果它是真的，它将证明Garey和Johnson在他的经典著作NP完备性中提出的限制启发式，其中大致说，在某些情况下，可以通过证明包含在A中的NP完备问题B来证明NP完备问题A。Borges和Bonet推广了Immerman和Medina的一些结果，并证明了Immerman-Medina猜想对许多复杂性类是成立的，当该猜想中的一阶句是泛句时.我们的工作将这个结果推广到多项式时间层次的第二层。
2017-07-28 cs.CC cs.LO
Dequantizing the Quantum Singular Value Transformation: Hardness and Applications to Quantum Chemistry and the Quantum PCP Conjecture
本文研究了经典模拟量子奇异值变换（QSVT）的难度，提出对低次多项式相关的稀疏矩阵QSVT进行常数精度去量子化的技术，证明了量子化学中基态能量估计问题在常数精度下可经典高效求解，而在逆多项式精度下为BQP-complete，揭示了量子优越性源于精度提升。
2024-01-04 cs.CC quant-ph
Separating QMA from QCMA with a classical oracle
Columbia University（哥伦比亚大学）；Saarland University（萨尔兰大学）；Harvard University（哈佛大学）；University of Washington（华盛顿大学）；Stanford University（斯坦福大学）；NTT Research, Inc（NTT研究所）
通过构造经典 oracle，证明 QMA 在相对化设置下严格大于 QCMA，利用玻色子视角压缩问题以证明采样难度。
2026-01-17 cs.CC quant-ph
Quantum Supremacy and the Complexity of Random Circuit Sampling
在通往有用的量子计算机的道路上，一个关键的里程碑是量子霸权--这是对经典计算机难以企及的量子计算的证明。谷歌/UCSB团队提出的一个领先的近期候选方案是从随机选择的量子线路的概率分布中进行采样，我们称之为随机电路采样（RCS）。在本文中，我们研究了RCS的硬度和验证。虽然RCS的定义与实验实现的想法，我们显示的复杂性理论的证据，硬度是最强的理论建议至高无上的。具体来说，我们表明，RCS满足平均情况下的硬度条件-计算输出概率的典型量子线路是一样困难的计算它们在最坏的情况下，因此#P-硬。我们的减少利用随机量子线路的输出振幅的多项式结构，使费曼路径积分。此外，从已知的结果可以看出，RCS满足反集中特性，使其成为第一个具有平均硬度和反集中的至高无上的建议。
2018-03-12 cs.CC quant-ph
Algorithms and Hardness for Subspace Approximation
子空间近似问题Subspace（$k$，$p$）要求一个$k$维线性子空间，它最优地拟合给定的点集，其中拟合误差是最小二乘拟合的推广，并使用$\ell_{p}$范数代替。大多数以前的子空间近似的工作集中在小或常数$k$和$p$，使用coresets和采样技术从计算几何。本文在凸松弛和舍入的基础上，给出了一个多项式时间算法\emph{for any $k$ and any $p \geq 2$}，其近似保证约为$γ_{p} \sqrt{2 - \frac{1}{n-k}}$，其中$γ_{p}$是标准正态随机变量N（0，1）的$p$阶矩.我们发现，我们使用的凸松弛有一个完整性差距（或“秩差距”）的$γ_{p} (1 - ε)$，任何常数$ε> 0$。最后，我们表明，假设唯一的游戏猜想，子空间近似问题是很难近似的一个因素比$γ_{p} (1 - ε)$，任何常数$ε> 0$。
2010-12-30 cs.CC cs.DS
The Hardness of Approximation of Euclidean k-means
欧几里德$k$ -均值问题是理论计算机科学、机器学习和计算几何领域广泛研究的经典问题。在这个问题中，我们给定了一组在欧氏空间$R^d$中的$n$点，目标是在$R^d$中选择$k$中心，使得每个点到其最近中心的平方距离之和最小。这个问题的最佳近似算法包括一般$k$的多项式时间常数因子近似和在时间上运行的$(1+ε)$近似$poly(n) 2^{O(k/ε)}$。在另一个极端，这个问题唯一已知的计算复杂性结果是NP-硬度[ADHP'09]。获得硬度结果的主要困难来自问题的欧几里德性质，以及$R^d$中的任何点都可以是潜在中心的事实。这种理解上的差距留下了一个有趣的可能性，即这个问题可能承认所有$k,d$都有PTAS。本文给出了欧氏$k$ -均值问题逼近的第一困难性.具体地说，我们证明了存在一个常数$ε> 0$，使得它是NP-难近似的$k$ -手段的目标内的一个因素$(1+ε)$。我们证明了这一点，通过一个有效的减少从顶点覆盖问题的三角形的图：给定一个三角形的图，目标是选择最少数量的顶点是事件的所有边缘。此外，我们给出了一个证明，目前最好的硬度顶点覆盖的结果可以结转到三角形自由图。为了表明这一点，我们变换$G$，一个已知的硬顶点覆盖实例，通过采取一个图形产品与一个适当选择的图形$H$，并显示（归一化）的最大独立集的大小几乎完全保留在产品图使用频谱分析，这可能是独立的兴趣。
2015-02-11 cs.CC cs.DS
Hardness and Tractability of T_{h+1}-Free Edge Deletion
Indian Institute of Science Education and Research（印度科学教育研究所）
研究T_{h+1}-自由边删除问题的难度与可处理性，证明其在不同参数化下的固定参数可处理性及复杂性结果。
2026-02-03 cs.CC cs.DS
Algorithms and Hardness for Estimating Statistical Similarity
本文研究了概率分布间统计相似性的计算问题，提出了用于估计两个乘积分布间统计相似性的 FPTAS 算法，并证明了对于入度为2的 Bayes net 分布该问题是 NP-hard 的。
2025-06-01 cs.CC cs.DS
Problems hard for treewidth but easy for stable gonality
我们表明，一些自然的问题，XNLP-硬（这意味着W[t]-硬度的所有t）时，参数化的路径宽度或树宽，成为FPT时，参数化的稳定性，一种新的图形参数的基础上，从图到树的最佳映射。我们考虑的问题是经典的流和方向问题，例如具有下界的无向流（如Itai所示，它是强NP完全的），最小最大出度（Szeider证明了树宽的W[1]-硬度），以及容量限制优化问题，例如容量限制（红-蓝）支配集（Dom，Lokshtanov，Saurabh和Villanger证明了W[1]-硬度）。我们的硬度证明（击败现有的结果）使用减少到最近的XNLP完全问题（接受非确定性检查计数器机器）。新的容易参数化的算法使用一种新的概念加权树分区与相关的参数，我们称之为树宽，灵感来自Seese的概念的树部图，以及从动态规划和整数线性规划的技术。
2022-02-14 cs.CC cs.DM cs.DS
Hardness of Interval Scheduling on Unrelated Machines
我们提供了新的（参数化）计算硬度的结果不相关的机器上的区间调度。这是一个经典的调度问题，源于准时制或精益制造，其目标是准确地在最后期限内完成作业。我们被赋予$n$作业和$m$机器。每个作业都有一个最后期限、权重和处理时间，这些在每台机器上可能不同。目标是找到一个时间表，最大化的总重量的工作完全在他们的最后期限完成。请注意，这唯一地定义了每台机器上每个作业的处理时间间隔。不相关机器上的区间排序问题与区间图着色问题密切相关，几十年来人们对区间排序问题进行了深入的研究。然而，正如Mnich和van Bevern [Computers \& Operations Research，2018]所指出的那样，机器数量$m$的参数化复杂度仍然是一个开放的参数。我们解决了这个问题，表明间隔调度不相关的机器是W[1]-硬时，参数的机器数$m$。为此，我们证明了W[1]-硬度关于$m$的特殊情况下，我们有平行机与合格的机器集的工作。这回答了Mnich和van Bevern在调度的参数化复杂性中列出的15个开放问题的开放问题8 [Computers \& Operations Research，2018]。此外，我们解决了计算复杂性的地位，不相关的机器上的区间排序的未加权版本证明它是NP-完全的。这回答了Sung和Vlach的一个开放性问题[Journal of Scheduling，2005]。
2022-06-26 cs.CC cs.DM cs.DS
StoqMA vs. MA: the power of error reduction
本文研究了stoquastic局部哈密顿量计算复杂度类StoqMA的误差缩减问题，证明了若StoqMA具备误差缩减性质，则意味着StoqMA等于MA。
2025-09-04 cs.CC quant-ph
Physically-Motivated Guiding States for Local Hamiltonians
University of Technology Sydney（悉尼科技大学）
研究引导局部哈密顿量问题的计算复杂性，证明固定权重态、矩阵积态等类别的BQP硬度，展示引导态在地面态估计中的作用，确立BQP完备性。
2026-03-17 cs.CC quant-ph
Continuous LWE
Courant Institute of Mathematical Sciences, New York University（纽约大学库朗数学科学研究所）；Center for Data Science, New York University（纽约大学数据科学中心）；Institute for Advanced Study（高等研究院）；University of Michigan（密歇根大学）
我们介绍了一个连续的模拟学习错误（LWE）的问题，我们命名为CLWE。我们给出了一个多项式时间量子减少从最坏情况下的晶格问题CLWE，CLWE享有类似的硬度保证LWE。或者，我们的结果也可以被看作是打开新的途径（量子）攻击晶格问题。我们的工作解决了一个悬而未决的问题，即在没有可分性假设的情况下学习高斯混合物的计算复杂性（Diakonikolas 2016，Moitra 2018）。作为额外的动机，在鲁棒机器学习的背景下考虑CLWE（的轻微变体）（Diakonikolas等人~ FOCS 2017），其中显示了统计查询（SQ）模型中的硬度;我们的工作解决了有关其计算硬度的开放问题（Bubeck等人，~ ICML 2019）。
2020-10-24 cs.CC cs.DS cs.LG
