可交换局域哈密顿问题：对BQP困难性的相对化证据

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可交换局域哈密顿（CLH）问题是局域哈密顿问题的一种限制，其中哈密顿量的各项被要求两两对易。一系列长期工作表明，对于某些可交换局域哈密顿量的族，该问题属于$\mathsf{NP}$。然而，目前尚无正式证据反对一般CLH问题可能是$\mathsf{QMA}$-完备的。CLH对于复杂度类$\mathsf{QIMA}$是完备的，该类通过其局域门对易的量子验证者来定义。因此，当且仅当$\mathsf{QIMA}=\mathsf{QMA}$时，CLH是$\mathsf{QMA}$-完备的。在本工作中，我们引入了经典预言机的类比$\mathsf{QIMA}^{\mathcal{O}}$，并构造了一个经典预言机$\mathcal{O}$，使得$\mathsf{BQP}^{\mathcal{O}}\not\subseteq\mathsf{QIMA}^{\mathcal{O}}$。由于对于任何经典预言机$\mathcal{O}$，都有$\mathsf{BQP}^{\mathcal{O}}\subseteq\mathsf{QMA}^{\mathcal{O}}$，这意味着对于我们所构造的预言机，$\mathsf{QIMA}^{\mathcal{O}}\neq\mathsf{QMA}^{\mathcal{O}}$。因此，我们的结果为一般可交换局域哈密顿问题不可能是$\mathsf{BQP}$-困难的提供了相对化证据，从而也反对了其可能是$\mathsf{QMA}$-完备的可能性。

英文摘要

The commuting local-Hamiltonian (CLH) problem is a restriction of the local-Hamiltonian problem, in which the terms of the Hamiltonian are required to pairwise commute. A long line of work has shown that the problem lies in $\mathsf{NP}$ for certain families of commuting local Hamiltonians. Nevertheless, there has been no formal evidence against the possibility that the general CLH problem is $\mathsf{QMA}$-complete. CLH is complete for the complexity class $\mathsf{QIMA}$, defined through quantum verifiers whose local gates commute. Therefore, CLH is $\mathsf{QMA}$-complete if and only if $\mathsf{QIMA}=\mathsf{QMA}$. In this work, we introduce a classical-oracle analogue $\mathsf{QIMA}^{\mathcal{O}}$ and construct a classical oracle $\mathcal{O}$ such that $\mathsf{BQP}^{\mathcal{O}}\not\subseteq\mathsf{QIMA}^{\mathcal{O}}$. Since $\mathsf{BQP}^{\mathcal{O}}\subseteq\mathsf{QMA}^{\mathcal{O}}$ for any classical oracle $\mathcal{O}$, this implies $\mathsf{QIMA}^{\mathcal{O}}\neq\mathsf{QMA}^{\mathcal{O}}$ for our constructed oracle. Thus, our result provides relativized evidence against the possibility that the general commuting local-Hamiltonian problem is $\mathsf{BQP}$-hard, and hence also against the possibility that it is $\mathsf{QMA}$-complete.

发表机构

• Stanford University（斯坦福大学）

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