Statistical properties of unimodal maps: the quadratic family
我们证明了几乎所有的非正则实二次映射都是Collet-Eckmann的，并且临界轨道具有多项式递归性（证明了Sinai的一个猜想）。因此，典型的二次映射具有优良的遍历性，如相关性的指数衰减（Keller和Nowicki，Young）和强意义下的随机稳定性（Baladi和Viana）。这是对更一般的单峰映射族得到相同结果的重要一步。
2003-06-10 math.DS
Equidistribution of critical points of the multipliers in the quadratic family
二次多项式族$f_c(z)=z^2+c$中的参数$c_0\in\mathbb C$是周期$n$乘子的临界点，如果映射$f_{c_0}$具有周期$n$的周期轨道，其乘子被看作是$c$的局部解析函数，在$c=c_0$处具有消失导数。证明了周期$n$乘子的所有临界点均等分布在Mandelbrot集的边界上，即$n\to\infty$ .
2019-07-23 math.DS
Low-temperature phase transitions in the quadratic family
我们给出了二次映射的第一个例子，它在几何压力函数的第一个零点之后有一个相变。这意味着，几个维度的频谱和大偏差率函数与此映射是不是（预期）真正的解析，在一致双曲的情况下。我们所研究的二次映射具有非回归的临界点，因此在强意义下是非一致双曲的。
2013-08-16 math.DS
Entropy monotonicity and superstable cycles for the quadratic family revisited
本文的主要结果是利用实分析证明了二次映射族的拓扑熵的单调性，有时也称为Milnor单调性猜想。相反，现有的证明以这样或那样的方式依赖于复分析。我们的证明是基于作者和合作者以前开发的计算多模态映射的拓扑熵的工具和算法。具体地说，我们使用的地图迭代与所谓的临界线的横截相交的数量。该方法在技术上是简单的和几何的。同样的方法也被用来简要地重温二次映射的超稳定循环，因为这两个主题是密切相关的。
2020-10-11 math.DS
Uniform expansivity outside the critical neighborhood in the quadratic family
本研究利用严格数值技术，计算了二次族数千个参数区间内临界点邻域外的膨胀指数下界及对应邻域半径，结果具有数学严格性，相关代码和结果已公开。
2015-04-01 math.DS
On a family of non-Volterra quadratic operators acting on a simplex
V.I. Romanovskiy Institute of Mathematics, Uzbekistan Academy of Sciences（乌兹别克斯坦科学院 V.I.罗曼诺夫斯基数学研究所）；University of Santiago de Compostela（圣地亚哥-德孔波斯特拉大学）
本文研究了一类依赖参数α的非Volterra二次算子在简单形上的行为，证明了不同α值下轨迹收敛至固定点或周期性轨迹。
2026-01-24 math.DS
Quadratic volume preserving maps
我们研究二次，体积保持的逆也是二次的仿射。这种映射推广了Hénon面积保持映射和Moser研究的辛二次映射族。特别地，我们研究了三个空间中的一类二次保体积映射，找到了它的标准形，并研究了它的不变集。我们还给出了一个定理的另一种证明的Moser分类二次辛映射。
1997-09-05 math.DS
Mating quadratic maps with the modular group II
1994年S. Bullett和C. Penrose引入了$(2:2)$全纯对应的一个复参数族$\mathcal{F}_a$：$$\left(\frac{aw-1}{w-1}\right)^2+\left(\frac{aw-1}{w-1}\right)\left(\frac{az+1}{z+1}\right) +\left(\frac{az+1}{z+1}\right)^2=3$$，并证明了对于$a \in [4,7] \subset \mathbb{R}$的每一个值，对应$\mathcal{F}_a$是二次多项式$Q_c(z)=z^2+c,\,\,c \in \mathbb{R}$与模群$Γ=PSL(2,\mathbb{Z})$之间的配对.他们证实，对于在连通性位点具有$a$的家族$\mathcal{F}_a$的每个成员，情况都是如此。本文证明了在连通性轨迹上具有$a$的$\mathcal{F}_a$族的每一个成员都是模群与抛物二次族$Per_1(1)$的一个元素之间的交配.
2017-10-03 math.DS
The Geometric Dynamical Northcott Property in the quadratic family
本研究针对二次族的简单情形，利用其动力与参数空间均为1维、参数化简单显式的特点，简化证明了几何Northcott性质相关的定理A，使核心思路更明晰。
2023-07-20 math.DS math.NT
A criticality result for polycycles in a family of quadratic reversible centers
我们考虑的家庭的dehomogenizing的Loud的中心$X_μ=y(x-1)\partial_x+(x+Dx^2+Fy^2)\partial_y,$，其中$μ=(D,F)\in\mathbb{R}^2,$，我们研究的临界周期轨道的数量出现或消失的多环的边界处的周期环。这个数的定义与众所周知的极限周期集的循环性概念完全相同，我们称之为临界性。之前关于$\{X_μ,μ\in\mathbb{R}^2\}$系列问题的结果区分了临界度等于零的参数（常规参数）和临界度大于零的参数（分叉参数）。一个具有挑战性的问题没有解决到目前为止是临界的分岔参数的计算，形成一组$Γ_{B}$的余维1 $\mathbb{R}^2$。在本文中，我们成功地证明了一个子集的$Γ_{B}$的临界性等于一。
2017-05-15 math.DS
Quadrature Domains and the Real Quadratic Family
研究了几类与求积域相关的全纯动力系统。我们的主要结果是：Mandelbrot集的主双曲分量中的实对称多项式可以与$\textrm{PSL}(2,\mathbb{Z})$的同余子群共形匹配，并且这种共形匹配是单连通求积域的Schwarz函数.
2020-10-01 math.CV math.DS
A family of quadratic polynomial differential systems with algebraic solutions of arbitrary high degree
证明了代数曲线$a_0(x)(y-r(x))+p_2(x)a'(x)=0,$是二次平面微分系统的不变曲线，其中$r(x)$和$p_2(x)$分别是一次和二次多项式，而$a_0(x)$是Fucsh方程的多项式解.我们研究了当$a_0(x)$是一个正交多项式时的特殊情况。我们证明了在这种情况下，二次微分系统是Liouville可积的。
2014-05-09 math.CA math.DS
Global phase portraits of quadratic polynomial differential systems with a semi-elemental triple node
平面二次微分系统出现在应用数学的许多领域。虽然已经有一千多篇关于这些系统的论文，但对这个家族的完整理解仍然缺失。经典问题，特别是希尔伯特的第16个问题，仍然是开放的这个家庭。本文对具有半元素三结点（三结点恰好有一个零特征值）的实二次多项式微分系统族QTN进行了整体研究。这个家庭模的作用的仿射群和时间的同态是三维的，我们给出了它的分歧图，关于一个正常的形式，在三维实空间中的参数，这种形式。该分叉图产生28个系统在QTN计数相图与极限环。利用代数不变式构造分支集。相图在庞加莱圆盘上表示。分叉集不仅是代数的，由于存在一个表面发现数字。这个曲面上的所有点都对应于分界线的联络。
2012-12-29 math.DS
Geometry of quadratic differential systems in the neighbourhood of infinity
本文考虑一类全平面二次微分系统在无穷远点附近的行为。这个族依赖于12个参数，但由于仿射群的作用和时间的重新缩放，该族实际上依赖于5个参数。我们给出了简单的，整数值的几何不变量，这个群作用这类家庭根据他们的相图在无穷大附近的拓扑结构。对于得到的每一个类，我们给出了代数不变式和伴随式的充要条件，以便能够很容易地检索任何系统，在任何图表中，几何以及系统在无穷大附近的动态特性。编制了计算机计算程序。
2004-05-03 math.DS
Preperiodic points with local rationality conditions in the quadratic unicritical family
对于有理数$c$，我们给出了二次单临界族$f_c(x)=x^2+c$中映射的全实（分别为全$p$ -adic）预周期点集的一个剖分.因此，我们分类二次多项式$f_c$与合理的参数$c\in\mathbb{Q}$，使$f_c$只有100多个全实（完全$p$ -进，分别）preperiodic点。这些结果依赖于$f_c$的填充朱利亚集的一个adelic Fekete型定理和动力学。此外，利用[NP]中引入的一个数值判据，我们对当$c=-1,0,\frac{1}{5}$和$\frac{1}{4}.$
2022-11-19 math.DS math.NT
Power law asymptotics in the creation of strange attractors in the quasi-periodically forced quadratic family
设$Φ$是拟周期强迫二次映射，其中旋转常数$ω$是丢番图无理数.奇异非混沌吸引子（SNA）是无处连续可测函数$ψ$从圆$\mathbb{T}$到$[0,1]$的不变（在$Φ$下）吸引图.本文研究了当参数$β$趋近于一个临界值$β_0$时，光滑吸引子如何退化为奇异吸引子，以及吸引子从光滑到奇异分岔的渐近性.在我们的模型中，奇怪吸引子的原因是所谓的环面碰撞，即吸引子与排斥子碰撞。结果表明，当$β$从下往上接近临界参数值$β_0$时，两条碰撞不变曲线之间的渐近最小距离在参数$β$中线性减小.此外，我们已经能够证明，吸引图的导数的上确界的渐近增长是渐近有界的，从两侧由一个常数乘以上述最小距离的平方根的倒数。
2015-03-19 math.DS
Rigorous numerics for critical orbits in the quadratic family
我们开发的算法和技术来计算严格的界限有限块的轨道的临界点，为间隔的参数值，在二次家庭的一维映射$f_a (x) = a - x^2$。我们说明了我们的方法的有效性，通过构建一个动态定义的分区$\mathcal P$的参数区间$Ω=[1.4, 2]$到近4万个子区间，对于每个子区间，我们计算到高精度的轨道的临界点到一些时间$N$和其他动态相关的数量，其中几个可以变化很大，可能跨越几个数量级。我们还细分$\mathcal P$到一个家庭$\mathcal P^{+}$的间隔，我们称之为随机间隔和家庭$\mathcal P^{-}$的间隔，我们称之为定期。我们数值证明了每个区间$ω\in \mathcal P^{+}$都有一个逃逸时间，这大致意味着在$ω$中所有参数所取的临界点的某一部分在相空间中具有相当大的宽度。这又表明，属于$\mathcal P^{+}$中区间的大多数参数是随机的，而属于$\mathcal P^{-}$中区间的大多数参数是规则的，因此命名。我们证明了$\mathcal P^{+}$中的区间几乎占据了$Ω$总测度的90%。该软件和数据可在http：//www.pawelpilarczyk.com/quadr/上免费获得，并提供了一个用于进行计算的网页。这些思想和方法可以很容易地推广到其他参数化的动力系统族。
2020-07-22 math.DS
Accumulation set of critical points of the multipliers in the quadratic family
二次多项式族$f_c(z)=z^2+c$中的参数$c_0\in\mathbb C$是周期$n$乘子的临界点，如果映射$f_{c_0}$具有周期$n$的周期轨道，其乘子被看作是$c$的局部解析函数，在$c=c_0$处具有消失导数。本文研究了乘子的临界点的累加集$\mathcal X$，称之为$n\to\infty$ .本研究补充了作者先前获得的乘数的临界点的等分布结果。特别地，在本文中，我们证明了累积集$\mathcal X$是有界的，路径连通的，并包含Mandelbrot集作为一个真子集。我们还提供了一个必要和充分条件的Mandelbrot集外的参数被包含在积累集$\mathcal X$，并表明，这个条件是满足一个开放的参数集。我们的条件在味道上类似于定义Mandelbrot集的条件之一。作为一个应用，我们得到了将$c$发送到$f_c$的Hausdorff维数的函数在累加集$\mathcal X$之外没有临界点。
2020-07-13 math.DS
A Symbolic Characterization of the Horseshoe Locus in the Hénon Family
我们考虑平面${\bf R}^2$的二次Hénon同态族.如果一个映射对非游荡集的限制是双曲的，并且共轭于全2-移位，则称它是一个“马蹄铁”。我们给出了一个标准是一个马蹄形的辅助编码的基础上，描述的位置点相对于稳定的流形之一的不动点。此外，我们还描述了马蹄轨迹边界上的拓扑共轭型映射。我们使用复杂的技术，我们的工作与地图在一个参数区域，这是一个2-D模拟熟悉的“${1\over 2}$ -唤醒”的二次家庭$p_c(z) = z^2$。
2014-05-07 math.DS
Renormalization in the Golden-Mean Semi-Siegel Hénon Family: Non-Quasisymmetry
对于一个复变数的二次多项式，黄金平均Siegel圆盘的边界必须是一个拟圆。我们证明了对于两个复变数的二次Hénon映射，类似的陈述是不正确的。
2019-05-08 math.CV math.DS
Critical points of the multiplier map for the quadratic family
Uppsala University（乌普萨拉大学）；Jacobs University（雅各布斯大学）
研究二次族中周期为n的周期轨道乘数函数的临界点，提出计算该函数临界点的数值算法，并计算n=1到10的临界点。
2019-02-27 cs.NA math.DS math.NA
Critical transitions in piecewise uniformly continuous concave quadratic ordinary differential equations
当系数的一个小的变化使系统的动力学特性从双曲型解的吸引-排斥对的存在性急剧变化到无有界解时，由凹二次标量常微分方程模型化的系统发生临界转变.本文描述了一种分析具有有界一致连续或有界分段一致连续系数的渐近非自治常微分方程的临界转移现象的工具，并用于确定某些参数方程的临界转移的发生。一些数值实验有助于澄清这个工具的适用性。
2021-10-19 math.DS
Generalised Lüroth expansions and a family of Minkowski's Question-Mark functions
闵可夫斯基的S-马克函数是单位区间的奇异同胚，它将二次根式的集合映射到有理数。自二十世纪初以来，这一功能值得几位作者的关注。利用实数的无穷整数序列的不同表示，称为$α$ -Lüroth展开，我们得到了无限符号上标准移位映射的不同实例，它们都拓扑共轭到高斯映射。本文证明了这些共轭都与Minkowski的双马克函数具有相同的性质：它们都是区间的奇异同胚，并且在“有理”情形下，它们将二次根式集映射到有理数集.从这个意义上说，这个族是闵可夫斯基的双马克函数的自然推广。
2014-07-01 math.DS
Width of homoclinic zone for quadratic maps
研究了Bogdanov-Takens分支附近的几类平面二次同态。对于每个族，相关的分歧图可以从插值流推导出来。然而，一个区域的混沌限制在两条线之间的同宿分岔是指数接近彼此观察。本文的目标是测试数值精确的渐近展开的宽度，这个混沌区为不同的家庭。
2008-05-02 math.DS
Almost every real quadratic map is either regular or stochastic
我们证明了所有可能的实组合类型的重整化算子的一致双曲性。我们由此得到实二次族$P_c: x\mapsto x^2+c$中的无穷可重正化参数值集有零测度。这就产生了标题中的陈述（其中"正则“意味着有一个吸引循环，"随机”意味着有一个绝对连续的不变测度）。最后给出了MLC问题的一个应用。
1997-07-15 math.DS
A new proof of the classification of Elliptic Foliations induced by real Quadratic Fields with center
本文对最初由Gautier给出的Lotka-Volterra叶理和可逆叶理的分类给出了一个新的证明。这个新的证明，涉及到一个统一的技术，这两种情况下，使用理论的叶理。此外，我们还得到了一个具有非不变切集的椭圆叶理的线性族。
2016-06-01 math.DS
A simple yet complex one-parameter family of generalized lorenz-like systems
本文发现了一类简单的单参数三维二次自治混沌系统。通过调节唯一的参数，该系统可以连续地产生各种级联的类Lorenz吸引子，这似乎比包含Lorenz和Chen系统作为其两个极端的统一混沌系统更丰富。虽然这个新的混沌系统家族具有非常丰富和复杂的动力学，但它具有非常简单的代数结构，只有两个二次项（与Lorenz和Chen系统相同），线性部分中的所有非零系数都是-1，除了一个-0.1（因此，比Lorenz和Chen系统简单）。令人惊讶的是，虽然这个新系统属于现有分类中的Lorenz型系统家族，如广义Lorenz标准型，但它不仅可以产生Lorenz型吸引子，而且可以产生Chen型吸引子。这表明，可能存在一些其他的未知的，但更重要的代数特征分类一般的三维二次自治混沌系统。
2011-01-27 math.DS nlin.CD
The Henon Family: The Complex Horseshoe Locus and Real Parameter Space
我们考虑平面的二次同态的Henon族的复化，以及对应于复马蹄形的参数空间的区域。讨论了复马蹄轨迹的全局拓扑的一些性质。
2005-01-26 math.CV math.DS
Fractional susceptibility functions for the quadratic family: Misiurewicz-Thurston parameters
本文为二次族定义了双变量分数阶敏感度函数及近似的“冻结”分数阶敏感度函数，证明在Misiurewicz-Thurston参数及特定横截性条件下冻结敏感度函数在$z=1$处有极点，为解决经典敏感度函数全纯却缺乏线性响应的悖论提供了新视角。
2023-11-24 math.DS math.SP nlin.CD
Moser's quadratic, symplectic map
1994年，Jürgen Moser推广了Hénon的面积保持二次映射，得到了四维二次辛映射族的标准形。这张地图最多有四个孤立的固定点。我们发现，有界动力学的莫泽的六个参数的家庭是由一个余维三分叉，我们称之为四分叉，可以创建所有四个不动点从没有。有界动力学通常与双椭圆不动点周围的康托不变环面族有关。对于莫泽映射，可以有两个这样的不动点：这种结构不是人们所期望的一对非耦合的Hénon映射的叉积附近的动力学，其中至多有一个双椭圆点。我们通过相空间的二维平面上的逃逸时间图和通过环面的三维切片来可视化动态。
2018-08-22 math.DS nlin.CD
