二次族分数阶敏感度函数：Misiurewicz-Thurston参数
Fractional susceptibility functions for the quadratic family: Misiurewicz-Thurston parameters
AI总结：
本文为二次族定义了双变量分数阶敏感度函数及近似的“冻结”分数阶敏感度函数，证明在Misiurewicz-Thurston参数及特定横截性条件下冻结敏感度函数在$z=1$处有极点，为解决经典敏感度函数全纯却缺乏线性响应的悖论提供了新视角。
摘要：
对于二次族，我们定义了与随机映射处C^1可观测函数相关的双变量（$η$和$z$）分数阶敏感度函数。我们还定义了近似的“冻结”分数阶敏感度函数。如果参数为Misiurewicz-Thurston参数，我们证明在“二分之一”横截性条件成立时，对于一般可观测函数，冻结敏感度函数在$z=1$处有极点。我们在合适集合$Ω$上引入了“Whitney”分数阶积分与导数。我们提出了由关于冻结敏感度函数的结果及数值实验支持的猜想。特别地，我们预期对于Collet-Eckmann映射和一般可观测函数，$η=1/2$的分数阶敏感度函数在$z=1$处是奇异的。我们将此项工作视为解决悖论的一步：尽管缺乏线性响应，Misiurewicz-Thurston映射的经典敏感度函数在$z=1$处仍是全纯的。
英文摘要：
For the quadratic family, we define the two-variable ($η$ and $z$) fractional susceptibility function associated to a C^1 observable at a stochastic map. We also define an approximate, "frozen" fractional susceptibility function. If the parameter is Misiurewicz-Thurston, we show that the frozen susceptibility function has a pole at $z=1$ for generic observables if a "one-half" transversality condition holds. We introduce "Whitney" fractional integrals and derivatives on suitable sets $Ω$. We formulate conjectures supported by our results on the frozen susceptibility function and numerical experiments. In particular, we expect that the fractional susceptibility function for $η=1/2$ is singular at $z=1$ for Collet-Eckmann maps and generic observables. We view this work as a step towards the resolution of the paradox that the classical susceptibility function is holomorphic at $z=1$ for Misiurewicz-Thurston maps, despite lack of linear response.
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