从分数阶布朗运动的随机积分到多重分数阶布朗运动的随机积分

从N指标分数布朗运动到N指标多重分数布朗运动

From N-parameter fractional Brownian motions to N-parameter multifractional Brownian motions

多分数布朗运动是著名的分数布朗运动的推广，其中Holder正则性允许沿路径变化。本文研究了mBm的两类多参数扩张：一类是迷向的，另一类不是迷向的。对于这些过程中的每一个，一个移动平均表示，一个和谐的表示，和协方差结构。然后研究了Holder正则性。特别是，一个不规则的指数函数H的情况下进行了研究。在这种情况下，证明了多参数mBm的几乎必然点态和局部Holder指数等于H的相应指数.最后，证明了局部渐近自相似性。极限过程可以是不同于fBm的另一个过程。

多重分数布朗运动轨迹的渐近增长及其在漂移参数估计中的统计应用

Asymptotic growth of trajectories of multifractional Brownian motion, with statistical applications to drift parameter estimation

在非遍历情形下，我们构造了多分数阶Ornstein-Uhlenbeck模型中未知漂移参数的最小二乘估计，并证明了其强相合性。证明是基于概率为1的渐近界的增长率的轨迹的多重布朗运动（MBM）和其他一些泛函的MBM，包括增量和分数阶导数。作为具有独立意义的辅助结果，我们给出了一般高斯过程及其某些泛函的轨线增长率的概率为1的渐近界，它们是由其增量的协方差函数表示的.

多重分数布朗运动的随机分析

Stochastic Calculus with respect to multifractional Brownian motion

分数布朗运动（fBM）的随机分析近年来引起了人们的极大兴趣，特别是在金融和互联网流量建模中的应用。多分数布朗运动（mBm）是fBm的高斯扩展，它允许控制过程路径的逐点规律性，并将其与其长程相关特性解耦。通过用函数h（t）代替fBm的常数Hurst参数H来获得这种推广。多分数布朗运动已被证明在许多应用中是有用的，包括刚才提到的那些。在这项工作中，我们扩展到MBM的建设一个随机积分的FBM。该随机积分基于白噪声理论，如最初在[15]、[6]、[4]和[5]中提出的。在这种情况下，定义了一个多分数白噪声，它允许集成相对于MBM一个大类的随机过程使用威克产品。伊藤公式（均为回火分布和次指数增长性的函数），以及田中公式。两个特定的功能h的情况下，显着伊藤公式。我们还研究了一个由mBm驱动的随机微分方程。保留字：多分数阶布朗运动，高斯过程，白噪声理论，S变换，Wick-伊藤积分，伊藤公式，Tanaka公式，随机微分方程。

多重分数布朗运动局部时的样本路径性质

Sample path properties of the local time of multifractional Brownian motion

我们建立了多分数布朗运动，$B^H=(B^{H(t)}(t),t\in\mathbb{R}^+)$的局部和均匀连续模的局部时间的估计。模拟钟的重对数律研究了$B^H$和用于获得逐点Hölder指数的本地时间。证明了$B^H$的局部时满足一种局部渐近自相似性。

多分数布朗运动的一些样本路径性质

Some sample path properties of multifractional Brownian motion

当Hurst函数非常不规则时，多重分数布朗运动（mBm）的几何形状呈现出复杂而令人惊讶的形式。然而，大多数文献致力于这个问题考虑足够光滑的情况下，导致样本路径局部类似于分数布朗运动（fBM）。因此，本文的主要目标是将这些结果扩展到一个更一般的框架，并考虑任何类型的连续赫斯特函数。更具体地说，我们主要集中在获得一个完整的特征点的Hölder正则性的样本路径，盒和豪斯多夫维数的图。这些结果，这是某种程度上不寻常的高斯过程，说明了几个例子，以这种方式提出不同方面的几何形状的mBM与不规则赫斯特函数

分数域和多重分数域的光滑逼近

Smooth approximations for fractional and multifractional fields

在Besov型空间中构造了收敛于各向异性分数布朗单和多重分数布朗单的绝对连续随机过程。

多分式布朗运动的全局正则性估计

Estimation of the global regularity of a multifractional Brownian motion

本文给出了多分式布朗运动的全局正则性指标的一个新的估计。我们的估计方法是基于一个比率统计，比较实现的全球二次变化的多分数布朗运动在两个不同的频率。我们表明，对数变换的统计收敛概率的最小赫斯特函数，这是在弱假设下，相同的路径的全局正则性指数。

Tempered Fractional Brownian Motion with Variable Index and Variable Tempering Parameter

Generalizations of tempered fractional Brownian from single index to two indices and variable index or tempered multifractional Brownian motion are studied. Tempered fractional Brownian motion and tempered multifractional Brownian motion with variable tempering parameter are considered.

利用小波系数估计隐多重分数布朗运动的点态Hölder指数

Estimation of the Pointwise Hölder Exponent of Hidden Multifractional Brownian Motion Using Wavelet Coefficients

我们提出了一种基于小波的方法来构建一致的估计的逐点Hölder指数的多分数布朗运动，在这种情况下，这个潜在的过程是不直接观察。我们的估计的相对优点进行了讨论，我们介绍了一个应用的问题估计的非线性模型的功能参数。

多分数布朗运动Hurst指数的增量比统计局部估计

Local estimation of the Hurst index of multifractional Brownian motion by Increment Ratio Statistic method

本文研究了多重分数布朗运动的增量比统计量的中心极限定理，从而得到了时变Hurst指数的CLT。证明是相当简单的依赖布鲁尔主要定理和原来的冻结时间的战略。仿真研究表明了该估计量的拟合优度。

多分数布朗过程的Girsanov定理

Girsanov Theorem for Multifractional Brownian Processes

在这篇文章中，我们将提出一个新的角度对变阶分数微积分，它允许微分和积分到一个可变的顺序，即一个微分（或积分）的功能沿着一个正则函数的路径。在过去的20年里，多重分数阶微积分的概念在泛函分析领域中是一个很少被研究的课题。我们发展了一个多分数阶导数算子，它可以作为多分数阶积分算子的逆算子。这是通过解决阿贝尔积分方程推广到多分数阶。有了这个新的multifractional导数算子，我们能够分析各种新的问题，无论是在随机分析领域，在分数和泛函分析，范围从正则化性质的噪声解决方案的multifractional微分方程。本文主要研究导数算子在构造随机微分方程强解中的应用，其中漂移系数仅为线性增长，驱动噪声由非平稳多分数阶布朗运动给出，Hurst参数为时间的函数.我们研究的赫斯特函数将取值于（0，1/2）的有界子集。多重分数阶微积分应用于微积分是基于D. Nualart和Y. 2002年的Ouknine

多重分数次布朗单的局部时

Local times of multifractional Brownian sheets

用$H(t)=(H_1(t),...,H_N(t))$表示值为$(0,1)^N$的$t\in{\mathbb{R}}_+^N$中的函数。设$\{B^{H(t)}(t)\}=\{B^{H(t)}(t),t\in{\mathbb{R}}^N_+\}$是具有Hurst泛函$H(t)$的$(N,d)$ -多重分数布朗单.在函数$H(t)$的某些正则性条件下，证明了$\{B^{H(t)}(t)\}$局部时的存在性、联合连续性和Hölder正则性.我们还确定了$\{B^{H(t)}(t)\}$水平集的豪斯多夫维数。我们的结果将分数布朗单和多重分数布朗运动的相应结果推广到多重分数布朗单。

Regularity of multifractional moving average processes with random Hurst exponent

A recently proposed alternative to multifractional Brownian motion (mBm) with random Hurst exponent is studied, which we refer to as Itô-mBm. It is shown that Itô-mBm is locally self-similar. In contrast to mBm, its pathwise regularity is almost unaffected by the roughness of the functional Hurst parameter. The pathwise properties are established via a new polynomial moment condition similar to the Kolmogorov-Chentsov theorem, allowing for random local Hölder exponents. Our results are applicable to a broad class of moving average processes where pathwise regularity and long memory properties …

α（t）-局部平稳高斯随机场的极值

Extremes of alpha(t)-locally Stationary Gaussian Random Fields

本文导出了有限超立方体上α（t）-局部平稳高斯随机场上确界的渐近性质。我们提出了两个应用程序，我们的结果，第一个处理与极端的ggregate multifractional布朗运动，而第二个应用程序建立的确切渐近的上确界的chi过程所产生的multifractional布朗运动。

线性多分式稳定运动的行为：临界Hölder空间的成员

Behaviour of linear multifractional stable motion: membership of a critical Hölder space

随机过程路径行为的研究是概率论及相关领域的经典课题。在这个框架中，一个自然的问题是：样本路径是否属于临界Hölder空间？在布朗运动和许多其他随机过程的情况下，这个问题的答案是否定的：众所周知，尽管布朗路径在每个紧区间$I$上满足严格小于$1/2$的任何阶的赫尔德条件，但它们不属于临界霍德尔空间$\mathcal{C}^{1/2}(I)$。在这篇文章中，我们发现了一个不同的现象发生在线性多分数稳定运动（LMSM）的情况下：对于任何给定的紧区间，可以找到一个临界的Hölder空间，样本路径属于。除其他外，该结果改进了最近在Biermé，Lacaux（2013）中导出的关于LMSM行为的上限估计，表明其中不需要对数因子。

一个非常类似于多重分数布朗运动的过程

A process very similar to multifractional Brownian motion

在Ayache和Taqqu（2005）中，通过将分数布朗运动（fBm）的常数参数$H$替换为依赖于时间$t$的足够光滑的函数参数$H(.)$来获得多重分数布朗（mBm）运动。在这里，我们考虑的过程$Z$通过替换在小波展开的fBM的索引$H$由一个函数$H(.)$取决于二进点$k/2^j$。Benassi等人（2000年）引入了这一过程，用分段常数Hurst指数和连续路径对fBm进行建模。本文研究了函数参数满足$β>\sup_{t\in \rit} H(t)$阶一致Hölder条件的情形，结果表明，在这种情形下，过程$Z$与mBm在以下意义上非常相似：i）$Z$与mBm之间的差满足$d>\sup_{t\in \R} H(t)$阶一致Hölder条件; ii）作为副产品，可以推导出在每个点$t\in \R$处$Z$的逐点Hölder指数是$H(t)$，并且$Z$与具有Hurst参数$H(t)$的fBm相切。

Self-Exciting Multifractional Processes

We propose a new multifractional stochastic process which allows for self-exciting behavior, similar to what can be seen for example in earthquakes and other self-organizing phenomena. The process can be seen as an extension of a multifractional Brownian motion, where the Hurst function is dependent on the past of the process. We define this through a stochastic Volterra equation, and we prove existence and uniqueness of this equation, as well as give bounds on the p-order moments, for all p>=1. We show convergence of an Euler-Maruyama scheme for the process, and also give the rate of converge…

Spectral analysis for some multifractional Gaussian processes

We study the small ball asymptotics problem in $L_2$ for two generalizations of the fractional Brownian motion with variable Hurst parameter. To this end, we perform careful analysis of the singular values asymptotics for associated integral operators.

分数布朗场、对偶和鞅

Fractional Brownian fields, duality, and martingales

本文将分数阶布朗运动族构造为同时以时间和Hurst指数为指标的高斯场。该场具有简单的协方差结构，它与分数布朗运动的两种推广有关，称为多重分数布朗运动。指出并纠正了现有文献中关于多重分数次布朗运动的一个错误。高斯场，由于继承的“对偶性”，揭示了一种新的方法来构造与分数布朗运动的奇数和偶数部分相关的鞅，从而也是分数布朗运动的鞅。这些鞅及其随机表示的存在是第一步，自然小波展开的研究与这些过程的精神，我们以前的工作建设自然小波相关的高斯-马尔可夫过程。

多分数随机过程的模拟与分析（R包Rmfrac）

Simulation and Analysis of Multifractional Stochastic Processes with R Package Rmfrac

本文介绍了Rmfrac包，用于模拟和分析多分数过程，提供Hurst函数估计、局部分形维数计算及可视化功能。

Linear Backward Stochastic Differential Equations with Gaussian Volterra processes

Explicit solutions for a class of linear backward stochastic differential equations (BSDE) driven by Gaussian Volterra processes are given. These processes include the multifractional brownian motion and the multifractional Ornstein-Uhlenbeck process. By an Itô formula, proven in the context of Malliavin calculus, the BSDE is associated to a linear second order partial differential equation with terminal condition whose solution is given by a Feynman-Kac type formula. An application to self-financing trading strategies is discussed.

高斯过程的随机分析：I部分

Stochastic Calculus with respect to Gaussian Processes: Part I

随机积分\textit{wrt}高斯过程近年来引起了人们的极大兴趣，特别是由于其在互联网流量建模，生物医学和金融方面的应用。这项工作的目的是定义和开发一个基于白噪声理论的预期随机分析相对于所有高斯过程，有一个整表示在一个真正的（也许是无限的）的时间间隔。这类高斯过程非常丰富，其中包括Volterra过程（因此是分数布朗运动）以及其规律性随时间变化的过程（如多重分数布朗运动）。随机分析的系统比较（包括It{<$}公式），给出了\cite{nualart,MV05,NuTa06,KRT07,KrRu10,LN12,SoVi14,LN12}中Malliavin演算给出的公式，并利用It{<$}进行了随机分析。我们的随机分析不仅完全推广和扩展了最初在\cite{MV05}和\cite{NuTa06}中提出的高斯过程的随机微积分，而且还推广和扩展了\cite{ell,bosw,ben1}中提出的分数布朗运动的随机微积分（\textit{resp.} in \cite{JLJLV1,JL13,LLVH} for multifractional Brownian motion）。

一类广义多分形过程与股价信息含量

A General Class of Multifractional Processes and Stock Price Informativeness

引入了一类由多重分数布朗运动（mBm）驱动的随机过程，并基于一种新的局部广义二次变分方法（LGQV）研究了其点态Hölder指数（PHE）的估计问题.通过仿真研究，我们的建议与其他两个现有的基准估计方法（经典的GQV和振荡方法）的比较，我们表明，我们的估计有更好的性能的情况下，观察到的过程是一些未知的二元函数的时间和mBm。这种多重分数过程，其PHE是时变的，可以用来模拟股票价格在各种市场条件下，这是时间依赖性和区域依赖性。作为金融领域的应用，通过对交叉上市股票的实证研究，发现了全球股票市场中股票价格的信息含量和股权路径的粗糙度随时间变化的新证据。

Tempered Fractional Brownian Motion Revisited Via Fractional Ornstein-Uhlenbeck Processes

Tempered fractional Brownian motion is revisited from the viewpoint of reduced fractional Ornstein-Uhlenbeck process. Many of the basic properties of the tempered fractional Brownian motion can be shown to be direct consequences or modifications of the properties of fractional Ornstein-Uhlenbeck process. Mixed tempered fractional Brownian motion is introduced and its properties are considered. Tempered fractional Brownian motion is generalised from single index to two indices. Finally, tempered multifractional Brownian motion and its properties are studied.

Weak convergence to derivatives of fractional Brownian motion

It is well known that, under suitable regularity conditions, the normalized fractional process with fractional parameter $d$ converges weakly to fractional Brownian motion for $d>1/2$. We show that, for any non-negative integer $M$, derivatives of order $m=0,1,\dots,M$ of the normalized fractional process with respect to the fractional parameter $d$, jointly converge weakly to the corresponding derivatives of fractional Brownian motion. As an illustration we apply the results to the asymptotic distribution of the score vectors in the multifractional vector autoregressive model.

线性多分式稳定运动Hurst函数的一致强相合估计

Uniformly and strongly consistent estimation for the Hurst function of a Linear Multifractional Stable Motion

自90年代中期以来，为了克服经典分数阶布朗运动模型的一些局限性，人们引入了多重分数阶过程。在它们的上下文中，Hurst参数变为H旧连续函数H（？）时间变量t。线性多分数稳定运动（LMSM）是其中最著名的一种重尾分布。一般来说，全局和局部样本路径粗糙度的多重分形过程是由它的参数$H(\cdot)$的值，因此，大约二十年来，一些作者一直感兴趣的统计估计，从离散的变化过程。由于变异的复杂相依结构，为了显示估计量的一致性，必须面对具有挑战性的问题。本文的主要目的是在对称α稳定的非预期移动平均LMSM模型的背景下，引入一种新的策略来处理这类问题，其中$α\in (1; 2)$。它在其他情况下也可能是有用的。与以前开发的策略相比，这种新的策略不需要寻找与变化泛函相关的协方差的尖锐估计。粗略地说，它包括以这样一种方式表达变化，即它们成为独立的随机变量，直到可以忽略不计。由于它，我们得到了全函数$H(\cdot)$的几乎必然和$L^p(Ω), p\in(0; 4]$相容的估计，它在t上一致收敛，甚至对某些H旧的规范。此外，我们得到的收敛速度的估计。这种强相合性导致了一致性和H旧的规范是相当不寻常的文献中的统计估计功能。

高斯过程的局部时

Local Times of Gaussian Processes

这项工作的目的是定义和执行的本地时间的所有高斯过程，有一个整表示在一个真正的时间间隔（可能是无限的）的研究。非常丰富，这类高斯过程，包含Volterra过程（因此分数布朗运动），多重分数布朗运动以及过程，其规律性随时间变化。利用[Leb17]中发展的基于白噪声的高斯过程的预期随机分析，我们首先建立了一个Tanaka公式。这使我们能够定义加权和非加权本地时间，并最终提供这些本地时间的占用时间公式。本文给出的Tanaka公式以及关于高斯局部时的结果与文献[MV 05，LN 12，SV 14]中提出的结果作了全面的比较。

Lévy过程的精细正则性与线性（多）分式稳定运动

Fine regularity of Lévy processes and linear (multi)fractional stable motion

在这项工作中，我们使用2-微局部形式主义研究Lévy过程的精细正则性。这个框架使我们能够细化的多重分形谱确定的Jaffard，此外，研究的振荡奇异性的Lévy过程。后者的分形结构被证明是更复杂的比经典的多重分形谱，并确定在α稳定的过程的情况下。由于这些精细结果和2-微局部前沿的性质，我们也能够在连续和无界样本路径的情况下完全证明线性分数稳定运动（分数布朗运动到α-稳定测度的推广）的多重分形性质.给出了它的多重分形扩张的规律性，间接地提供了一个具有非齐次随机多重分形谱的随机过程的例子。

高斯过程的随机分析

Stochastic Calculus with respect to Gaussian Processes

关于高斯过程的随机积分，例如分数布朗运动（fBm）或多重分数布朗运动（mBm），近年来引起了人们的强烈兴趣，特别是在金融、互联网流量建模和生物医学中的应用。这项工作的目的是定义和发展，使用白噪声理论，一个预期的随机分析相对于一个大类的高斯过程，表示G，其中包含，在许多其他过程中，Volterra过程（从而fBm），也mBm。这随机分析包括一个定义的随机积分，伊藤公式（均为回火分布和次指数增长性的功能），田中公式以及定义，并简短的研究，（加权和非加权）当地时间的元素G。在这方面，任何高斯过程G的G的白噪声衍生物的定义和用于集成，相对于G，一个大类的随机过程，使用威克产品。并将我们的积分与文献[AMN01]中的Malliavin演算和伊藤随机分析给出的积分进行了比较。此外，一个显示，随机分析相对于高斯过程在这项工作中提供了推广的随机分析最初提出的fBm在[EVdH03，BSB04，Ben03a]和mBm在[LLV14，Leb13，LLVH14]。同样地，它推广了文献[NT 06]和文献[AMN 01]中的一些结果。此外，它提供了替代的条件，在[AMN01]中所需的，当一个处理随机分析相对于高斯过程。

Wiener可变换随机过程的复制及其在有记忆金融市场中的应用

Replication of Wiener-transformable stochastic processes with application to financial markets with memory

我们研究维纳可变换的市场，其中的驱动过程是由一个维纳过程的自适应变换。这包括具有长记忆的过程，如分数布朗运动和相关过程，以及通常在其协方差函数上满足某些正则性条件的高斯过程。我们的市场选择的动机是众所周知的现象，所谓的“恒定”和“可变深度”的记忆在现实世界的价格过程中观察到的，其中分数和多分数模型是最充分的描述。受一般高斯背景下的整表示结果的启发，我们研究了随机变量关于驱动过程可表示为路径积分的条件。从金融的角度，这意味着我们给出了在这种市场上或有债权复制的条件。作为我们的结果的应用，我们考虑在我们的特定设置的效用最大化问题。注意，所考虑的市场可以是套利和无套利的，而且，我们给出了有界策略的表示结果。