An extension of a result by Lonke to intersection bodies
M. A. Alfonseca
在本文中，我们证明了相交机构不能直接和使用傅立叶分析技术。这推广了Lonke的一个结果。我们还证明了一个必要的正则性条件和凸性条件的旋转体是一个天体的相交体。
In this paper we prove that intersection bodies cannot be direct sums using Fourier analytic techniques. This extends a result by Lonke. We also prove a necessary regularity condition and a convexity condition for a body of revolution to be an intersection body of a star body.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
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Inequalities for dual quermassintegrals of mixed intersection bodies
本文首先引入了两个星体的{ \it对偶质量积分和函数}的新概念，建立了混合相交体的对偶质量积分和的Minkowski型不等式，它是混合相交体的Minkowski不等式的一般形式。然后给出了混合相交体的Aleksandrov-Fenchel不等式和Brunn-Minkowski不等式及相关结果。我们的结果，交叉机构，所有的Lutwak的混合prosection机构不等式的对偶不等式。
Intersection bodies that are not polar zonoids: A flat top condition in dimensions four and six
我们发现一般几何条件的凸体的旋转K，在第四和第六，使其相交体IK不是一个极zirconia。我们展示了几个例子的交叉机构，这是不是极zirconia。
Non-intersection bodies all of whose central sections are intersection bodies
我们构造对称的凸体，它们不是交体，但它们的中心超平面截面都是交体。这一结果推广了Weil在zeroise情形下和Neyman在$L_p$子空间情形下的研究。
On the local convexity of intersection bodies of revolution
凸几何中的一个基本结果是Busemann定理，它指出对称凸体的相交体是凸的。因此，很自然地会问布斯曼定理是否存在定量版本，即，如果相交体操作实际上改善了凸性。在本文中，我们集中在对称的旋转体提供了几个结果的（严格）改善凸性下的相交体操作。证明了对称旋转凸体的交体在赤道附近具有与欧氏球相同的渐近行为。我们应用这一结果表明，在足够高的维度，一个对称的旋转凸体的双相交体是非常接近的Banach-Mazur距离的椭球。我们还证明了结果的局部凸性在赤道相交机构类的恒星机构的革命。
Colorful Helly-type Theorems for the Volume of Intersections of Convex Bodies
我们证明了下面的Helly-type结果。设$\mathcal{C}_1,\dots,\mathcal{C}_{3d}$是$\mathbb{R}^d$中凸体的有限族.假设对于$2d$集合的任何彩色选择，$C_{i_k}\in \mathcal{C}_{i_k}$对于每个$1\leq k\leq 2d$与$1\leq i_1<\dots<i_{2d}\leq 3d$，交集$\bigcap\limits_{k=1}^{2d} C_{i_k}$的体积至少为1。然后，存在$1\leq i \leq 3d$，使得$\bigcap\limits_{C\in \mathcal{C}_i} C$的体积至少为$d^{-O(d^2)}$。
Volumetric bounds for intersections of congruent balls
本文研究了半径为$r$的球在欧氏$d$ -空间中的相交问题，称之为$r$ -球体.一个$r$传感器（分别，$r$ -主轴）是半径为$r$的两个球（分别为，包含给定点对的半径为$r$的球）。我们证明，在给定体积的$r$ -球体中，$r$ -lense（分别，$r$ -主轴）具有最小的内半径（分别为，最大外接圆半径）。一般来说，我们上（分别，下限）限定了给定内半径的$r$ -球体的本征体积（分别，外接圆）。这补充和扩展了$r$ -球体体积估计的一些早期结果。
Stability and slicing inequalities for intersection bodies
本文证明了交体超平面不等式的一个推广，其中体积由具有偶连续密度的任意测度$μ$代替，截面为任意维数$n-k,\ 1\le k <n.$。如果$K$是广义$k$ -交体，则$$μ(K)\,\leq\,\frac{n}{n-k}c_{n,k}\max_{H} μ(K\cap H) \vol_n(K)^{k/n}.$$这里$c_{n,k} = |B_2^n|^{(n-k)/n}/|B_2^{n-k}|<1,$ $|B_2^n|$是单位欧氏球的体积，并且在$\R^n.$的所有$(n-k)$维子空间上取最大值。该常数是最优的，并且对于每个相交体，不等式对每个$k.$都成立。证明是基于稳定性的低维Busemann-Petty问题的任意措施在以下意义。设$\e>0,\ 1\le k <n.$设$K$和$L$是$\R^n,$中的原点对称星体，$K$是广义的$k$ -交星体.如果对于$\R^n$ $$μ(K\cap H)\leq μ(L\cap H)+\e,$$的每个$(n-k)$维子空间$H$，则$$μ(K)\leq μ(L) +\frac{n}{n-k}c_{n,k} \vol_n(K)^{k/n}\e.$$
From intersection bodies to dual centroid bodies: a stochastic approach to isoperimetry
对于交体与对偶Lp质心体之间的插值集，建立了一族等周不等式。这为Busemann交不等式和Lutwak-Zhang不等式之间的联系提供了一个桥梁.这种方法依赖于这些不等式的新的经验版本。
Complex $L_p$-Intersection Bodies
本文引入了范围扩展至$p>-2$的复$L_p$-交体，证明了$\mathbb{S}^1$-不变凸体在不同$p$值下的伪凸性与凸性，并推导出Busemann--Petty型交不等式。
A $sqrt{n}$ estimate for measures of hyperplane sections of convex bodies
证明了凸体截面的任意测度的一个估计。证明是基于交叉机构的稳定性结果。
Ball Convex Bodies in Minkowski Spaces
在有限维实巴拿赫空间中考虑的球凸性的概念是通常凸性的一个自然和有用的推广;人们用球的适当交来代替半空间的交。一个赋范空间的子集$S$称为球凸的，如果它与它的球壳重合，球壳是由包含$S$的所有球（具有固定半径）的交集得到的。球凸集与球多面体、完备集、常宽体和纺锤凸性等概念密切相关。我们将研究赋范空间中球凸体的几何性质，例如导出分离定理，严格凸范数的特征，以及在完备集上的应用。我们的主要结果是指球凸体的最小表示在他们的球暴露面，表示球壳的集合通过工会的球壳的有限子集，和球凸性增加工会的球凸体。
Isometries of the class of ball-bodies
本文刻画了欧几里得单位球交集体型体类关于豪斯多夫距离的满射等距变换，证明其为刚体运动与恒等映射或c-对偶映射的复合，c-对偶映射将体型体映射为以其内部点为中心的单位球交集。
Pairs of convex bodies in $S^d$, ${\Bbb R}^d$ and $H^d$, with symmetric intersections of their congruent copies
证明了下面的定理。如果一个平面凸体的任意两个全等副本的交点是中心对称的，则该凸体是圆。在本文中，我们将高定理推广到球面和双曲平面。如果在这些平面中的任何一个，或者在${\Bbb R}^2$中，存在一对具有内点的闭凸集，并且这些集合的任何全等副本的交点是中心对称的，那么，在一些温和的假设下，我们的集合是全等圆，或者，对于${\Bbb R}^2$，是两个平行条。我们证明了类似的这一说法，为$S^d$，${\Bbb R}^d$，$H^d$，如果我们假设$C^2_+$：再次，我们的集是全等球。在$S^2$，${\Bbb R}^2$和$H^2$中，我们研究了这个问题的一个变体：假设两个集合的边界的连通分量的数目都是有限的，我们精确地描述了所有这样的闭凸集对，具有内部点，其任何全等副本具有轴对称的交叉（分别有1、5或9种情况）。
Generalized Intersection Bodies
本文研究了交体的两类推广的结构以及它们是否等价的问题。相交体是由Lutwak提出的，在Busemann-Petty问题的求解中起了关键作用。一个自然的几何推广这个问题考虑张，使他介绍了一种类型的广义相交机构。第二种类型是由Koldobsky介绍的，他研究了这个问题的不同分析概括。Koldobsky还研究了这两种类型的物体之间的联系，并指出这两个概念之间的等价性将完全解决广义Busemann-Petty问题中未解决的情况。我们证明了这些类具有许多相同的结构性质，证明了相同的结果，使用积分几何技术张的类和傅里叶变换技术Koldobsky的类。使用泛函分析方法，我们给出了几个令人惊讶的等价公式的等价问题，揭示了深刻的连接到几个基本问题的格拉斯曼流形的积分几何。
Intersection Bodies of Polytopes: Translations and Convexity
本文研究多面体相交体在平移下的行为，引入仿射超平面配置证明边界多项式的扩展性，并完整刻画二维下相交体为凸的多边形及一般维度的部分刻画。
On a generalization of Busemann's intersection inequality
Busemann相交不等式给出了星体相交体体积以星体自身体积表示的上界。Koldobsky、Paouris和Zyamoulou询问对于$k$ -相交体是否有类似的结果。我们解决这个问题的恒星机构，接近欧几里德球的巴拿赫-马祖尔距离。我们还改进了由Koldobsky，Paouris，和Zyaloulou一般的恒星机构的情况下，当$k$是成比例的尺寸得到的界限。
Intersection Bodies of Polytopes
本文利用组合学和实代数几何工具研究凸多胞形的交集体，证明其为半代数集，提出计算算法，并计算代数边界的不可约分量及其度数上界。
On strict inclusions in hierarchies of convex bodies
设$\mathcal I_k$是$\mathbb{R}^n$（在Koldobsky意义下）中的凸$k$ -相交体类，$\mathcal I_k^m$是其$m$维中心截面都是$k$ -相交体的凸原点对称体类.我们发现1）$\mathcal I_k^m\not\subset \mathcal I_k^{m+1}$，$k+3\le m<n$，和2）$\mathcal I_l \not\subset \mathcal I_k$，$1\le k<l < n-3$。
Illuminating spindle convex bodies and minimizing the volume of spherical sets of constant width
d维欧几里得空间的一个具有非空内部的子集称为纺锤体凸体，如果它是（1个或无穷多个）全等d维闭球的交.如果主轴凸体包含其生成球的中心，则称之为“胖”体。本文的核心部分是将Schramm关于等宽凸体的定理及其证明推广到“胖”纺锤体凸体族。
Separation bodies: a conceptual dual to floating bodies
设$K$是欧几里得空间${\mathbb R}^d$中的凸体，给出了${\mathbb R}^d$中超平面空间上的平移不变的局部有限Borel测度.对于$δ\ge 0$，我们考虑分离$K$和$x$的超平面的集合具有至多$δ$的测度的所有点$x$的集合。这定义了$K$的分离体，相对于给定的度量和参数$δ$。分离体是对浮体的概念性补充，并且它们被期望在随机半空间的交叉产生的随机多面体的研究中发挥作用，类似于浮体用于研究随机点的凸包。在讨论了分离体的一些基本性质之后，我们进行了第一个例子。
Centrally symmetric convex bodies and sections having maximal quermassintegrals
令$d \ge 2$，并令$K \subset {\Bbb{R}}^d$是一个凸体，其内部包含原点$0$。在以前的论文中，我们已经证明了以下内容。主体$K$是$0$对称的，当且仅当以下条件成立。对于每一个$ω\in S^{d-1}$，我们有$K$和一个任意超平面相交的$(d-1)$-体积，正常$ω$，达到其最大值，如果超平面包含$0$。对于$1$-维截面和$1$-体积，Hammer（\cite{H}）早就证明了一个类似的定理.在本文中，我们处理（$(d-2)$维）的表面面积，或与低维quermassintegrals这些交叉，并证明了一个类似的，但局部定理，小$C^2$-扰动，或$C^3$-扰动的欧几里德单位球，分别。
Aleksandrov-Fenchel inequality for coconvex bodies
我们证明了一个版本的Aleksandrov-Fenchel不等式的混合体积的共凸体。这个版本的动机是一个不等式从交换代数有关的交重数的理想。
Diameter of reduced spherical convex bodies
单位球面$S^2$的两个不同的非相对半球的交点$L$称为半月形。用$Δ(L)$表示包围$L$的圆的中心的距离。凸体$C \subset S^2$的厚度$Δ(C)$是指$Δ(L)$在所有凸体$L \supset C$上的最小值。我们称一个凸体为约化的$R\subset S^2$，只要$Δ(Z) < Δ(R)$对每个凸体$Z$是$R$的真子集.我们的目的是估计$R$的直径，其中$Δ(R) < \fracπ{2}$，根据其厚度。
Arranging convex bodies for maximum intersection volume: the sharp efficiency of centroid alignment
研究n维空间中有限紧凸体平移最大化公共相交体积问题，证明质心对齐的简易策略能获得严格多于(2/(n+1))ⁿ的最优体积且常数精确，填补平面两凸体4/9常数的长期空白，结果经Lean 4验证。
The behavior of iterations of the intersection body operator in a small neighborhood of the unit ball
一个球的相交体又是一个球。因此，单位球$B_d \subset \R^d$是作用在所有赋有Banach-Mazur距离的星形原点对称体空间上的交体算子的一个不动点，我们证明了这个不动点是一个局部吸引子，即，应用于在Banach-Mazur距离中充分接近$B_d$的任何星形原点对称体的相交体算子的迭代收敛于在Banach-Mazur距离中的$B_d$。特别地，由此得出，相交体算子在$B_d$的小邻域中没有其他固定点或周期点。
Ball characterizations in planes and spaces of constant curvature, I
本文在常曲率平面和空间中，通过任意全等拷贝的交集或并集凸包的对称性条件，刻画了圆、球、平行带及球面型边界分支等几何体。
On generalized disc-polygons in plane convex bodies with a higher degree of smoothness
本文证明了平滑平面凸体中随机 $L$-凸多边形的顶点数期望与遗漏面积的幂级数展开式，扩展了已有渐近公式并推及 $L$-凸浮体与相对仿射表面积。
Spherical bodies of constant width
两个不同的非相对半球$G$和一个$d$维球体$S^d$的$H$的交点$L$称为一个半月形. $L$的厚度是指包围$L$的$(d-1)$维半球的中心距离。对于支持%球形凸体$C \subset S^d$的半球$G$，我们将${\rm width}_G(C)$定义为包含$C$的形式$G \cap H$的最西一个或多个弯月形的厚度。如果每个支持$C$的半球$G$都有${\rm width}_G(C) =w$，我们就说$C$是一个宽度恒定的$w$体。我们介绍这些机构的性质。特别地，我们证明了在$S^d$上具有恒定宽度$w$的任何球体$C$的直径是$w$，并且如果$w < \fracπ{2}$，则$C$是严格凸的。此外，我们还检查等宽和等径的球体何时重合。
Some new positions of maximal volume of convex bodies
本文推广和改进了前人关于凸体的最大体积位置的工作。首先，我们分析了一个凸体在另一个内的最大正定像，以及由此产生的恒等式分解。讨论了物体与其正John位置之间映射的连续性和可微性。然后，我们介绍的鞍约翰位置的一个机构内的另一个，证明它的股票所拥有的最大体积的位置的一些属性，并解释如何可以用来提高体积比估计。我们详细研究了几个例子，并比较这些立场。最后，我们讨论了一个机构相对于另一个最大的交叉位置，并显示存在一个自然分解的身份与这个位置，延长以前的工作，处理的情况下，当一个机构是欧几里德球。
A Quantitative Helly-type Theorem: Containment in a Homothet
我们引入了一个新的变种的定量Helly型定理：极小的\emph{"homothetic distance"}的交集的一个家庭的凸集的交集的一个子家庭的一个固定的大小。作为应用，我们建立了以下\emph{diameter}的定量Helly型结果。如果$K$是$\mathbb{R}^d$中许多凸体的交，则可以从这些体中选择其交的直径至多为$(2d)^3\mathrm{diam}(K)$的$2d$。由于Brazitikos，以前已知的最好的估计是$c d^{11/2}$。此外，我们确认，乘法因子$c d^{1/2}$由Bárány，Katchalski和Pach所提供的不能被改善。
Projection functions, area measures and the Alesker-Fourier transform
与Koldobsky的j-交体概念对偶，引入了j-投影体类，推广了Minkowski的经典凸体的投影体概念.本文给出了j-投影体的一个傅里叶解析刻画，它是关于它们的j阶面积测度的。反过来，这产生了j投影体的等效特征，涉及对平移不变光滑球面估值的阿莱斯克傅里叶型变换。作为这些结果的应用，建立了j-投影体的几个基本性质，并构造了新的非平凡例子。
Slicing inequalities for subspaces of $L_p.$
我们证明了超平面猜想适用于$k$ -相交体的类，并以任意测度代替体积。
On a Blaschke-Santaló-type inequality for $r$-ball bodies
本文针对 $r$-球体给出 Blaschke-Santaló 型不等式的新证明，并证明了极大值点的唯一性，同时提及应用与相关问题。
A Smooth Covariogram and the Transition Between Projection Bodies
该研究引入凸体协变差函数的光滑径向近似，通过径向(-p)均值构造收敛于经典协变差函数的光滑函数，分析p→∞且水平亏缺δ=p^α（α<0）时的极限，揭示不同α下的过渡体及临界情况的Orlicz投影体框架。
A solution to Bezdek's conjecture
本文证明在n≥2时，给定内径的λ-凸体中λ-凸透镜平均宽度最大，肯定回答Bezdek猜想；附加对称性时解决其任意内蕴体积的类似猜想；还证明固定外接半径的λ-凸体中λ-凸纺锤体平均宽度唯一最小。
On the approximation of convex bodies by ellipses with respect to the symmetric difference metric
给定一个中心对称的凸体$K \subset \mathbb{R}^d$和一个正数$λ$，我们考虑在体积为$λ$的所有椭圆$E \subset \mathbb{R}^d$中，那些关于对称差度量最好地近似$K$的椭圆，或者等价地最大化$E\cap K$的体积的椭圆：这些是由Artstein-Avidan和Katzin引入的最大相交（MI）椭圆。MI椭球的唯一性问题（在显然必要的假设下，$λ$介于$K$的John椭球和Loewner椭球的体积之间）通常是开放的。我们在维度$d=2$中对这个问题提供了肯定的回答。因此，我们得到了一个连续的$1$参数椭圆族，该椭圆族插值于$K$的John椭圆和Loewner椭圆之间.为了证明唯一性，我们表明，该地区$I_K(E)$的交集$K \cap E$是一个严格的拟凹函数的椭圆$E$，相对于自然的仿射结构上的集合的椭圆面积$λ$。证明依赖于平滑$K$，将其置于一般位置，并获得函数$I_K(.)$的某些导数的统一估计。最后，我们给出了最大相交位置的一个特征，即假设两个边界是横截的，$K$的MI椭圆是单位圆盘的情形。
Ball characterizations in planes and spaces of constant curvature, II \vskip.1cm \centerline{\rm{This pdf-file is not identical with the printed paper.}}
本文推广 High 定理至常曲率空间，刻画了交集对称或并集凸包对称的凸体，证明其为球或圆，并给出双曲平面上的九种情形。
Retrieving convex bodies from restricted covariogram functions
凸体K \subseteq E^d的协方差函数g_K（x）是将每个x \in E^d与K与K+x相交的体积相关联的函数。马塞隆问是否g_K决定K，直到翻译和反射在一个点。Matheron问题的正答案已经得到了大类的平面凸体，而d \geq 3有积极和消极的结果。本文的目的之一是锐化一些已知的结果，表明有多少的协方差信息需要得到的唯一性的决定Materon的猜想。我们指出一些子集的协方差函数的支持，任意小的勒贝格测度，这样的协方差函数，仅限于这些子集，确定某些几何性质的机构。这些结果是更精确的平面的情况下，但其中一些，无论是积极的和消极的，证明了任何尺寸的机构。此外，在Baire范畴的意义下，也有一些结果涉及大多数凸体.另一个目的是扩展类凸体，其中Matheron的猜想被证实，包括所有的平面凸体拥有两个非退化的边界弧相互反射。
On the Fourier Mean Bodies of a Convex Body
本文引入凸体K的傅里叶p次平均体F_pK，通过傅里叶变换连接径向p次平均体R_pK，证明傅里叶反演公式，并研究其仿射几何性质、凸性范围及与相交体的关系。
Phase retrieval for characteristic functions of convex bodies and reconstruction from covariograms
我们提出了强一致的算法，用于从其傅里叶变换\hat{1_K}的模的可能的噪声测量中重建R^n中未知凸体K的特征函数1_K。这代表了凸体的特征函数的相位恢复问题的完整理论解决方案。该方法是通过从其协方差函数的噪声测量重建K的密切相关的问题，该函数给出了K与其平移的相交的体积。在许多已知的情况下，协方差函数确定一个凸体，直到反射在原点，当身体的位置是固定的，我们的算法使用O（k^n）噪声协方差函数的测量来构建一个凸多胞体P_k，逼近K或其反射-K在原点。(By最近的唯一性结果，这适用于所有平面凸体，所有三维凸多胞体，所有对称和大多数（在Baire范畴的意义上）任意凸体在所有维度。给出了两种方法，并且证明了这两种方法是强相容的，几乎可以肯定，当k趋于无穷大时，P_k与K或-K之间的Hausdorff距离的最小值趋于零。
On the volume of sections of a convex body by cones
设$K$是$\mathbb R^n$中的一个凸体。证明了在小余维情况下，凸体通过形心的截面关于体积是相当对称的。作为我们估计的结果，我们给出了一个肯定的答案所提出的问题M。Meyer和S. Reisner关于凸相交机构。
Extensions of the Busemann-Petty Problem for Arbitrary Measures
本文扩展了Busemann-Petty问题，研究任意测度下凸体截面与体积的关系，提出更广泛的分布条件并给出实例说明。
Fixed and Periodic Points of the Intersection Body Operator
本文研究截面体算子的不动点与周期点，通过 Euler–Lagrange 重述、体积新公式及连续 Steiner 对称化，证明 $n\geq3$ 时二次迭代保持星体仅当为中心椭球，一次保持仅当为中心 Euclid 球。
Quantitative stability of the intersection body operator near the ball, and the dynamical origin of the two--dimensional degeneracy
研究球附近交集体算子\(\IB^2\)的定量稳定性，通过线性化形状动力学计算其在球处全谱，得出谱隙和稳定性常数，解释二维退化，还记录范式及观察到相关不变流形，未解决\(m\geq3\)时全局周期问题。
The volume polynomial of lattice polygons
本文证明每个具有非负整数系数的不定二次型均为一对格多边形的体积多项式，从而解决了平面上两个体的 Heine-Shephard 离散问题，并应用于构造具有给定相交数和自相交数的平面 tropical 曲线或环面曲面除子对。
Dual Mixed Volumes and the Slicing Problem
本文发展了一种利用对偶混合体积的方法来研究某些空间类的迷向常数。特别地，我们恢复、加强和推广了Ball和Junge关于L_p及相关空间的子空间和子空间的迷向常数的结果.推广这些结果的负值p也得到，使用广义相交机构。特别地，我们证明了包含在相交体中的凸体的各向同性常数由相交体的平均半径与前者的体积半径之比所限定（直到常数）。我们还展示了如何类型或cotype 2可以用来很容易地证明任何各向同性措施的不平等。
On the sine polarity and the $L_p$-sine Blaschke-Santaló inequality
研究了正弦形式的极体，建立了$L_p$ -正弦质心体的$L_p$ -正弦Blaschke-Santaló不等式.恒星体$K\subset\mathbb{R}^n$的$L_p$ -正弦质心体$Λ_p K$是基于$L_p$ -正弦变换的凸体，其相关的Blaschke-Santaló不等式提供了$K$的体积的上界，$Λ_p^{\circ}K$是$Λ_p K$的极体。因此，这个不等式可以看作是Lutwak和Zhang建立的$L_p$ Blaschke-Santaló不等式的“正弦表亲”。作为$p\rightarrow \infty$，$Λ_p^{\circ} K$的极限成为正弦极体$K^{\diamond}$，因此$L_p$ -正弦Blaschke-Santaló不等式简化为正弦极体的正弦Blaschke-Santaló不等式。正弦极性自然地导致一类新的凸体$\mathcal{C}_{e}^n$，它由原点对称的闭合实心圆柱相交生成的所有原点对称凸体组成。提出了$\mathcal{C}_{e}^n$中的柱支撑函数、支撑柱、柱高斯像和柱壳等概念。基于这些新概念，解决了正弦Blaschke-Santaló不等式的等式条件.
Characterizations of ellipsoids by means of the strong intersection property
本文证明三维及以上空间中，凸体 K 相对 O、S 且以严格凸体 G 为关联体的强相交性质可刻画 K、S、G 为同心位似椭球。
Expectation of a random submanifold: the zonoid section
我们开发了一个演算的基础上zero-a特殊类的凸体-的期望泛函的随机子流形$Z$定义为零集的光滑向量值随机场的黎曼流形。我们确定了一组方便的假设下，我们定义它的zero-section，分配$ζ(p)$在外部代数的余切空间在每个点$p$的流形上的随机场。我们证明了$ζ(p)$的第一本征体积是$Z$的期望体积的Kac-Rice密度，而它的中心计算在$Z$上的期望积分电流.我们证明了随机子流形的交对应于zeros截面的楔积，原像对应于拉回。结合这与最近发展的zirconia代数，它允许给一个乘法结构的卡茨-赖斯公式，类似的上同调环的流形。此外，它还与凸体和赋值理论建立了联系，其中包括非常深刻和困难的结果，如Alexandrov-Fenchel不等式和Brunn-Minkowsky不等式。我们出口到这方面证明两个类似的新的不等式随机子流形。应用我们的结果在Finsler几何的背景下，我们证明了一些新的Crofton公式的曲线长度和Holmes-Thompson体积的Finsler流形中的子流形。
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