Intersection bodies that are not polar zonoids: A flat top condition in dimensions four and six
我们发现一般几何条件的凸体的旋转K，在第四和第六，使其相交体IK不是一个极zirconia。我们展示了几个例子的交叉机构，这是不是极zirconia。
2013-03-15 math.MG
An extension of a result by Lonke to intersection bodies
在本文中，我们证明了相交机构不能直接和使用傅立叶分析技术。这推广了Lonke的一个结果。我们还证明了一个必要的正则性条件和凸性条件的旋转体是一个天体的相交体。
2013-03-15 math.MG
On the local convexity of intersection bodies of revolution
凸几何中的一个基本结果是Busemann定理，它指出对称凸体的相交体是凸的。因此，很自然地会问布斯曼定理是否存在定量版本，即，如果相交体操作实际上改善了凸性。在本文中，我们集中在对称的旋转体提供了几个结果的（严格）改善凸性下的相交体操作。证明了对称旋转凸体的交体在赤道附近具有与欧氏球相同的渐近行为。我们应用这一结果表明，在足够高的维度，一个对称的旋转凸体的双相交体是非常接近的Banach-Mazur距离的椭球。我们还证明了结果的局部凸性在赤道相交机构类的恒星机构的革命。
2013-04-11 math.MG
Colorful Helly-type Theorems for the Volume of Intersections of Convex Bodies
我们证明了下面的Helly-type结果。设$\mathcal{C}_1,\dots,\mathcal{C}_{3d}$是$\mathbb{R}^d$中凸体的有限族.假设对于$2d$集合的任何彩色选择，$C_{i_k}\in \mathcal{C}_{i_k}$对于每个$1\leq k\leq 2d$与$1\leq i_1<\dots<i_{2d}\leq 3d$，交集$\bigcap\limits_{k=1}^{2d} C_{i_k}$的体积至少为1。然后，存在$1\leq i \leq 3d$，使得$\bigcap\limits_{C\in \mathcal{C}_i} C$的体积至少为$d^{-O(d^2)}$。
2020-07-27 math.MG
Volumetric bounds for intersections of congruent balls
本文研究了半径为$r$的球在欧氏$d$ -空间中的相交问题，称之为$r$ -球体.一个$r$传感器（分别，$r$ -主轴）是半径为$r$的两个球（分别为，包含给定点对的半径为$r$的球）。我们证明，在给定体积的$r$ -球体中，$r$ -lense（分别，$r$ -主轴）具有最小的内半径（分别为，最大外接圆半径）。一般来说，我们上（分别，下限）限定了给定内半径的$r$ -球体的本征体积（分别，外接圆）。这补充和扩展了$r$ -球体体积估计的一些早期结果。
2019-12-11 math.MG
Stability and slicing inequalities for intersection bodies
本文证明了交体超平面不等式的一个推广，其中体积由具有偶连续密度的任意测度$μ$代替，截面为任意维数$n-k,\ 1\le k <n.$。如果$K$是广义$k$ -交体，则$$μ(K)\,\leq\,\frac{n}{n-k}c_{n,k}\max_{H} μ(K\cap H) \vol_n(K)^{k/n}.$$这里$c_{n,k} = |B_2^n|^{(n-k)/n}/|B_2^{n-k}|<1,$ $|B_2^n|$是单位欧氏球的体积，并且在$\R^n.$的所有$(n-k)$维子空间上取最大值。该常数是最优的，并且对于每个相交体，不等式对每个$k.$都成立。证明是基于稳定性的低维Busemann-Petty问题的任意措施在以下意义。设$\e>0,\ 1\le k <n.$设$K$和$L$是$\R^n,$中的原点对称星体，$K$是广义的$k$ -交星体.如果对于$\R^n$ $$μ(K\cap H)\leq μ(L\cap H)+\e,$$的每个$(n-k)$维子空间$H$，则$$μ(K)\leq μ(L) +\frac{n}{n-k}c_{n,k} \vol_n(K)^{k/n}\e.$$
2011-08-12 math.MG
Intersection Bodies of Polytopes: Translations and Convexity
本文研究多面体相交体在平移下的行为，引入仿射超平面配置证明边界多项式的扩展性，并完整刻画二维下相交体为凸的多边形及一般维度的部分刻画。
2023-06-22 math.CO math.MG
Intersection Bodies of Polytopes
本文利用组合学和实代数几何工具研究凸多胞形的交集体，证明其为半代数集，提出计算算法，并计算代数边界的不可约分量及其度数上界。
2022-06-17 math.AG math.CO math.MG
Projection functions, area measures and the Alesker-Fourier transform
与Koldobsky的j-交体概念对偶，引入了j-投影体类，推广了Minkowski的经典凸体的投影体概念.本文给出了j-投影体的一个傅里叶解析刻画，它是关于它们的j阶面积测度的。反过来，这产生了j投影体的等效特征，涉及对平移不变光滑球面估值的阿莱斯克傅里叶型变换。作为这些结果的应用，建立了j-投影体的几个基本性质，并构造了新的非平凡例子。
2016-08-12 math.FA math.MG
Ball Convex Bodies in Minkowski Spaces
在有限维实巴拿赫空间中考虑的球凸性的概念是通常凸性的一个自然和有用的推广;人们用球的适当交来代替半空间的交。一个赋范空间的子集$S$称为球凸的，如果它与它的球壳重合，球壳是由包含$S$的所有球（具有固定半径）的交集得到的。球凸集与球多面体、完备集、常宽体和纺锤凸性等概念密切相关。我们将研究赋范空间中球凸体的几何性质，例如导出分离定理，严格凸范数的特征，以及在完备集上的应用。我们的主要结果是指球凸体的最小表示在他们的球暴露面，表示球壳的集合通过工会的球壳的有限子集，和球凸性增加工会的球凸体。
2016-03-07 math.MG
Isometries of the class of ball-bodies
本文刻画了欧几里得单位球交集体型体类关于豪斯多夫距离的满射等距变换，证明其为刚体运动与恒等映射或c-对偶映射的复合，c-对偶映射将体型体映射为以其内部点为中心的单位球交集。
2025-07-08 math.MG
Pairs of convex bodies in $S^d$, ${\Bbb R}^d$ and $H^d$, with symmetric intersections of their congruent copies
证明了下面的定理。如果一个平面凸体的任意两个全等副本的交点是中心对称的，则该凸体是圆。在本文中，我们将高定理推广到球面和双曲平面。如果在这些平面中的任何一个，或者在${\Bbb R}^2$中，存在一对具有内点的闭凸集，并且这些集合的任何全等副本的交点是中心对称的，那么，在一些温和的假设下，我们的集合是全等圆，或者，对于${\Bbb R}^2$，是两个平行条。我们证明了类似的这一说法，为$S^d$，${\Bbb R}^d$，$H^d$，如果我们假设$C^2_+$：再次，我们的集是全等球。在$S^2$，${\Bbb R}^2$和$H^2$中，我们研究了这个问题的一个变体：假设两个集合的边界的连通分量的数目都是有限的，我们精确地描述了所有这样的闭凸集对，具有内部点，其任何全等副本具有轴对称的交叉（分别有1、5或9种情况）。
2016-01-18 math.MG
Estimates for measures of sections of convex bodies
最近在\cite{K3}中证明了具有任意测度的超平面问题的一个$\sqrt{n}$估计.在本说明中，我们提出了类似的结果，在较低的维度和复杂的情况下。我们推导出这些不等式的稳定性比较问题的不同推广的交叉机构。
2013-09-25 math.MG
Slicing inequalities for subspaces of $L_p.$
我们证明了超平面猜想适用于$k$ -相交体的类，并以任意测度代替体积。
2013-10-30 math.FA math.MG
A Generalized Central Limit Conjecture for Convex Bodies
凸体的中心极限定理指出，在很高的概率下，沿随机方向的各向同性对数凹分布的边缘接近高斯分布，其数量差异由Cheeger/Poincare/KLS常数渐近确定。在这里，我们提出了一个广义CLT的边缘沿随机方向绘制从任何各向同性的对数凹分布，即$x,y$绘制独立于各向同性的对数凹密度$p,q$，随机变量$\langle x,y\rangle$接近高斯。我们的主要结果是，这个广义CLT是定量等价的（一个小的因素）KLS猜想。在$\mathbb{R}^n$中，$n^{1/4}$的当前KLS界的任何多项式改进都意味着广义CLT，反之亦然。这种紧密的联系表明，广义CLT可能会提供洞察基本的开放问题，在渐近凸几何。
2019-09-28 math.FA math.MG math.PR
Minimal Covering Bodies and a Minkowski-Type Criterion for Lattice Coverings
Hangzhou Normal University（杭州师范大学）；Nanjing Normal University（南京师范大学）
引入最小覆盖体概念，建立三维格覆盖的构造性准则，证明高维空间中最小覆盖体有无穷多种组合类型，并提出闵可夫斯基型几何准则与代数交框架。
2026-09-15 math.MG
Arranging convex bodies for maximum intersection volume: the sharp efficiency of centroid alignment
研究n维空间中有限紧凸体平移最大化公共相交体积问题，证明质心对齐的简易策略能获得严格多于(2/(n+1))ⁿ的最优体积且常数精确，填补平面两凸体4/9常数的长期空白，结果经Lean 4验证。
2026-08-06 math.MG math.OC
Centrally symmetric convex bodies and sections having maximal quermassintegrals
令$d \ge 2$，并令$K \subset {\Bbb{R}}^d$是一个凸体，其内部包含原点$0$。在以前的论文中，我们已经证明了以下内容。主体$K$是$0$对称的，当且仅当以下条件成立。对于每一个$ω\in S^{d-1}$，我们有$K$和一个任意超平面相交的$(d-1)$-体积，正常$ω$，达到其最大值，如果超平面包含$0$。对于$1$-维截面和$1$-体积，Hammer（\cite{H}）早就证明了一个类似的定理.在本文中，我们处理（$(d-2)$维）的表面面积，或与低维quermassintegrals这些交叉，并证明了一个类似的，但局部定理，小$C^2$-扰动，或$C^3$-扰动的欧几里德单位球，分别。
2015-07-06 math.MG
A Quantitative Helly-type Theorem: Containment in a Homothet
我们引入了一个新的变种的定量Helly型定理：极小的\emph{"homothetic distance"}的交集的一个家庭的凸集的交集的一个子家庭的一个固定的大小。作为应用，我们建立了以下\emph{diameter}的定量Helly型结果。如果$K$是$\mathbb{R}^d$中许多凸体的交，则可以从这些体中选择其交的直径至多为$(2d)^3\mathrm{diam}(K)$的$2d$。由于Brazitikos，以前已知的最好的估计是$c d^{11/2}$。此外，我们确认，乘法因子$c d^{1/2}$由Bárány，Katchalski和Pach所提供的不能被改善。
2021-11-01 math.CO math.MG
Characterizations of generalized convex bodies of revolution
North Dakota State University（北达科他州立大学）；Chatham University（查塔姆大学）；Facultad de Matemáticas-Acapulco Universidad Autónoma de Guerrero（格雷罗自治大学阿卡普尔科数学学院）
本文证明，欧氏空间E^d(d>2)中凸体K的一列对称轴或对称超平面足以保证K是广义旋转体（某些情况下是球体）。
2026-06-29 math.MG
On Generalized Kissing Numbers of Convex Bodies
本文引入并研究了凸体接触数的进一步推广，获得了精确结果，特别是针对三、四和八维球体。
2024-07-24 math.MG
On generalized disc-polygons in plane convex bodies with a higher degree of smoothness
本文证明了平滑平面凸体中随机 $L$-凸多边形的顶点数期望与遗漏面积的幂级数展开式，扩展了已有渐近公式并推及 $L$-凸浮体与相对仿射表面积。
2025-09-15 math.MG
An analytic solution to the Busemann-Petty problem on sections of convex bodies
我们导出了一个将原点对称的星体在R^n中的平行截面函数的导数与星体径向函数的幂的傅里叶变换联系起来的公式。平行截面函数（或（n-1）维X射线）给出了与给定方向正交的物体的所有超平面截面的（（n-1）维）体积。这个公式给出了R^n中相交体的一个新的特征，并导出了Busemann-Petty问题的一个统一的分析解：设K和L是R^n中两个原点对称的凸体，使得K的每个中心超平面截面的（n-1）维体积小于L的相应截面的体积; K的（n维）体积是否小于L的体积？结合早期建立的Busemann-Petty问题之间的联系，交叉机构，正定分布，我们的公式表明，问题的答案取决于平行截面函数的（n-2）-nd导数的行为。对于n \le 4的Busemann-Petty问题的肯定答案和对于n \ge 5的否定答案现在从凸性控制二阶导数但不控制高阶高阶导数的事实得出。
1999-03-01 math.MG
Reduced Spherical Convex Bodies
本文的目的是给出二维球面$S^2$上约化球面凸体的一些性质。两个不同的非相对半球的交叉点称为半月形。它的厚度是指两个包围它的弧心之间的距离。$C$的厚度$Δ(C)$是包含$C$的弧的最小厚度。我们说球形凸体$R$是约化的，如果对于每个不同于$R$的球形凸体$Z \subset R$，$Δ(Z) < Δ(R)$。我们的主要定理允许描述厚度低于$\fracπ{2}$的约化体的形状。这意味着一些推论。特别是，我们估计的直径约化的球体的厚度。厚度至少为$\fracπ{2}$的还原体具有恒定的宽度。宽度小于$\fracπ{2}$的球面凸体是严格凸的。
2016-07-01 math.MG
An in-depth study of ball-bodies
本文深入研究n维欧氏空间中的球形体类，探讨其对偶算子、相关几何不等式、边界结构、对称化方法，并推进了常宽体相关问题的研究。
2025-05-18 math.MG
On Generalized Kissing Numbers of Convex Bodies (II)
本文作为凸体广义吻接数研究项目的延续，得出了3至8维球体在特定参数下的精确广义吻接数，并确定了四维正轴体的格点吻接数。
2025-01-12 math.CO math.MG
Diameter of reduced spherical convex bodies
单位球面$S^2$的两个不同的非相对半球的交点$L$称为半月形。用$Δ(L)$表示包围$L$的圆的中心的距离。凸体$C \subset S^2$的厚度$Δ(C)$是指$Δ(L)$在所有凸体$L \supset C$上的最小值。我们称一个凸体为约化的$R\subset S^2$，只要$Δ(Z) < Δ(R)$对每个凸体$Z$是$R$的真子集.我们的目的是估计$R$的直径，其中$Δ(R) < \fracπ{2}$，根据其厚度。
2018-11-06 math.MG
Ball characterizations in planes and spaces of constant curvature, I
本文在常曲率平面和空间中，通过任意全等拷贝的交集或并集凸包的对称性条件，刻画了圆、球、平行带及球面型边界分支等几何体。
2024-10-02 math.MG
Upper Bounds on Covering Minima of Convex Bodies
Freie Universität Berlin（柏林自由大学）
本文给出了凸体覆盖极值的两个新上界，基于投影和线性子空间的覆盖极值。结果适用于两个凸体的直接和，推广了之前关于直接和的覆盖半径和格宽的研究，并应用于标准终端单纯形，缩小了Gonzaléz Merino和Schymura(2017)猜想中的上下界差距。
2026-01-21 math.CO math.MG
A sharp isoperimetric bound for convex bodies
本文研究了凸体上具有对数凹概率测度的子集的广义Minkowski测度的下界问题，条件是集合的大小。一个界限是根据直径和集合大小给出的，它对所有的集合大小、维度和范数都是尖锐的。在均匀密度的情况下，一个更强的定理也是尖锐的。
2004-10-31 math.FA math.MG math.PR
A solution to Bezdek's conjecture
University of Waterloo（滑铁卢大学）
本文证明在n≥2时，给定内径的λ-凸体中λ-凸透镜平均宽度最大，肯定回答Bezdek猜想；附加对称性时解决其任意内蕴体积的类似猜想；还证明固定外接半径的λ-凸体中λ-凸纺锤体平均宽度唯一最小。
2025-11-14 math.DG math.MG
On the approximation of convex bodies by ellipses with respect to the symmetric difference metric
给定一个中心对称的凸体$K \subset \mathbb{R}^d$和一个正数$λ$，我们考虑在体积为$λ$的所有椭圆$E \subset \mathbb{R}^d$中，那些关于对称差度量最好地近似$K$的椭圆，或者等价地最大化$E\cap K$的体积的椭圆：这些是由Artstein-Avidan和Katzin引入的最大相交（MI）椭圆。MI椭球的唯一性问题（在显然必要的假设下，$λ$介于$K$的John椭球和Loewner椭球的体积之间）通常是开放的。我们在维度$d=2$中对这个问题提供了肯定的回答。因此，我们得到了一个连续的$1$参数椭圆族，该椭圆族插值于$K$的John椭圆和Loewner椭圆之间.为了证明唯一性，我们表明，该地区$I_K(E)$的交集$K \cap E$是一个严格的拟凹函数的椭圆$E$，相对于自然的仿射结构上的集合的椭圆面积$λ$。证明依赖于平滑$K$，将其置于一般位置，并获得函数$I_K(.)$的某些导数的统一估计。最后，我们给出了最大相交位置的一个特征，即假设两个边界是横截的，$K$的MI椭圆是单位圆盘的情形。
2018-06-03 math.DG math.MG
Kinematic formulae for tensorial curvature measures
张量曲率测度是凸体的曲率测度的张量值推广。我们证明了一套完整的运动公式，这样的张量曲率措施凸体和他们的（非光滑）推广凸多胞体。这些公式表示两个给定凸体（分别为~）相交的张量曲率测度的积分平均多面体），其中之一是均匀移动的固有刚性运动，在线性组合的张量曲率措施的给定凸体（分别~多面体）。我们证明这些结果在一个更直接的方式比在经典的证明的主要运动公式的曲率措施，它使用的连接到Crofton公式，以确定所涉及的常数明确。
2016-12-26 math.MG math.PR
Generalized permutahedra and optimal auctions
我们研究了一族凸多胞体，称为SIM体，由Giannakopoulos和Koutsoupias（2018）引入，用于分析所谓的直套拍卖。首先，我们证明了SIM体属于广义置换面体类。其次，我们证明了在确定性拍卖中的直夹克拍卖的最优性结果。第三，我们采用计算机代数方法和数学软件来明确确定最优价格和收入。
2021-08-02 cs.GT math.MG math.OC
The isodiametric problem with lattice-point constraints
本文研究了格L中不含内部非零点的欧氏d-空间R^d中中心对称凸体的等径问题。证明了一个合适的球与2L的Dirichlet-Voronoi胞腔的交是极值的，即，它在所有体积相同的物体中直径最小。证明了这些集是唯一的极值体，并对所有的三维格和几个突出格证明了这一点。
2007-11-14 math.MG math.NT
Estimation of the distance between two bodies inside an $n$-dimensional ball of unit volume
我们考虑的问题，估计两个机构之间的距离体积$\varepsilon$位于一个$n$维球$U$的单位体积$n\to\infty$。令$A$是一个闭集，其具有在单位体积的$n$维球内的体积$\varepsilon$（$0 \leq \varepsilon \leq 1/2$）的光滑边界。在所有体积集合中，$\varepsilon$是一个具有最小可能自由表面积的集合，位于相对于穿过球中心的某个超平面的一个半空间中。则$A$具有与表示垂直于$U$的球和球$U$本身的交点的集合相同的自由表面积。
2020-01-13 math.CO math.MG
Reverse isoperimetric problems under curvature constraints
本文解决了$λ$ -凸体类中的几个逆等周问题，即，凸体，其边界上每一点的曲率都被某个$λ> 0$所限制。我们在$\mathbb{R}^3$中对Borisenko的一个猜想给出了肯定的回答，该猜想指出$λ$ -凸透镜，即，半径为$1/λ$的两个球的交点是所有给定表面积的$λ$ -凸体中体积的唯一极小化者。同时，我们证明了一个反向的内半径不等式：在常曲率和任意维数的模型空间中，我们证明了$λ$ -凸透镜（适当定义在非零曲率空间中）在所有给定表面积的$λ$ -凸体中具有最小的内接球.这解决了Bezdek在$\mathbb{R}^n$中关于等周球多面体最小内径的一个猜想。
2023-03-04 math.DG math.MG
On a Blaschke-Santaló-type inequality for $r$-ball bodies
本文针对 $r$-球体给出 Blaschke-Santaló 型不等式的新证明，并证明了极大值点的唯一性，同时提及应用与相关问题。
2023-05-23 math.MG
Renormalization of potentials and generalized centers
通过引入$α\le0$的$r^{α-m}$ -势的重整化，推广了$\mathbb{R}^{m}$中紧致域的里斯位势.这可以被认为是Lutwak引入的凸体的对偶混合体积的推广。然后，我们研究的（重整化）潜力的极值达到的点。这些点可以被认为是质心的推广。我们还表明，只有球给极值之间的身体具有相同的体积。
2016-03-18 math.DG math.MG
