Matrices in the Theory of Signed Simple Graphs
Thomas Zaslavsky
我讨论的工作，许多作者对各种矩阵用于研究签署的图形，集中在邻接和关联矩阵和密切相关的主题基尔霍夫（“拉普拉斯”）矩阵，线图，非常强的规律性。
I discuss the work of many authors on various matrices used to study signed graphs, concentrating on adjacency and incidence matrices and the closely related topics of Kirchhoff (`Laplacian') matrices, line graphs, and very strong regularity.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
Signed Distance Laplacian Matrices for Signed Graphs
符号图是边被标记为正或负的图。对应于符号图的两个符号距离矩阵，我们定义了两个符号距离拉普拉斯矩阵。我们利用这些矩阵刻画了符号图的平衡性，并找到了几类不平衡符号图的符号距离拉普拉斯谱。
On Adjacency Matrices and Descriptors of Signed Cycle Graphs
本文研究了符号循环图的邻接矩阵和基于它的化学描述子。计算矩阵的特征值和特征向量，并确定它们在分类不同符号循环中的功效。一些数值指标的有效性也进行了检查。
A sign pattern that allows oppositely signed orthogonal matrices
我们提供了符号模式$S$的第一个例子，其中存在正交矩阵$Q_1$和$Q_2$，符号模式$S$使得$\det Q_1=1$和$\det Q_2=-1$。C. Waters，{“允许随机性的符号模式矩阵”}，线性代数及其应用，235：1-13（1996）。
Quasi-balanced weighing matrices, signed strongly regular graphs and association schemes
如果$|W||W|^\top=|W|^\top|W|$具有至多两个非对角项，则加权矩阵$W$是准平衡的，其中$|W|_{ij}=|W_{ij}|$。若$|W|$与强正则图的邻接矩阵重合，则称拟平衡权矩阵$W$是强正则图的符号.其中，符号强正则图及其等价的关联计划。
Constructions for orthogonal designs using signed group orthogonal designs
Craigen引入并广泛研究了符号群Hadamard矩阵，最终给出了Hadamard矩阵的渐近存在性结果。在他的领导下，Ghaderpour引入了符号群正交设计，并证明了正交设计和Hadamard矩阵的渐近存在性结果。本文利用符号群正交设计构造了一些有趣的正交设计族，以展示符号群正交设计在生成不同类型正交设计方面的能力。
P-matrices and signed digraphs
我们将一个带符号的有向图与一个矩阵列表联系起来，这些矩阵的维数允许它们相乘，并且乘积是平方的。这个图中的圈有一个奇偶性，也就是说，它们要么是偶数（称为e-圈），要么是奇数（称为o-圈）。图中不存在e-圈表明矩阵乘积是P0-矩阵，即，它的所有主子式都是非负的。相反，一个e-循环的存在下示出的暗示，存在一个列表的矩阵与图形的产品未能成为一个P0矩阵。结果概括了一些以前的结果有关P-和P0-矩阵的图形。
Signed graphs and inverses of their incidence matrices
该研究针对符号图拉普拉斯矩阵的可逆性问题，通过推导符号图关联矩阵的Moore-Penrose逆的组合公式，得到拉普拉斯矩阵Moore-Penrose逆的组合公式，推广了无符号图的相关已知结果，并给出实例验证公式实用性。
On the local base set of primitive and nonpowerful signed digraphs
本文研究了本原非幂符号模式矩阵的局部基，证明了局部基集合中存在“缺口”，并刻画了某些具有给定局部基的符号模式矩阵.
Constructing cospectral signed graphs
谱图论中一个众所周知的事实是存在等谱非同构图对（称为PINGS）。Schwenk（1973）和C. Godsil和B. McKay（1982）解释了等谱图的存在，并给出了构造PINGS的例程。在这里，我们认为Godsil-McKay-型例程开发的图，其邻接矩阵是$(0,1)$ -矩阵，到有符号图的水平，其邻接矩阵允许$-1$的存在。我们表明，适当的适应，这样的例程可以成功地移植到有符号的图，我们可以建立对共谱切换非同构有符号的图。
Signed group orthogonal designs and their applications
Craigen在\cite{Craigenthesis, Craigen}中对{ \it符号群Hadamard矩阵}进行了广泛的介绍和研究。Livinskyi \cite{Ivan}在Craigen的基础上，研究并给出了符号群Hadamard矩阵渐近存在性的一个较好的估计，从而改进了Hadamard矩阵的渐近存在性.本文介绍并研究了符号群正交设计。主要结果包括一种方法，找到任何$k$元组的正整数，然后应用程序，以获得正交设计的符号组正交设计，即任何$k$元组$\big(u_1, u_2, ..., u_{k}\big)$的正整数，我们表明，有一个整数$N=N(u_1, u_2, ..., u_k)$，使每个$n\ge N$，一个完整的正交设计（无零条目）的类型$\big(2^nu_1,2^nu_2,...,2^nu_{k}\big)$存在。这是在\cite{EK}中获得的结果的替代方法。
A Derivation of Conductivities of Signed Determinants in Response Matrices
在已知响应矩阵的某些子行列式的基础上，主要利用Curtis和Morrow的书中给出的边界边和边界尖峰公式，给出了某些图类的电导率的一个推导.
Signed counting of partition matrices
研究带符号划分矩阵计数与逆序序列子类的大小关系，引入不规范划分矩阵概念，并证明其与Motzkin路径的等分布性。
r-orientation of a signed graph and its application on coronae of signed graphs
本文引入反向定向（r-orientation）概念定义了符号图的冠图变体，利用符号coronal获得了正则符号图在r-定向下多种矩阵的特征多项式，并借此构造了无限多对共谱符号图族。
Integer symmetric matrices having all their eigenvalues in the interval [-2,2]
我们完全描述了所有特征值都在区间[-2，2]内的整数对称矩阵。在此过程中，我们对所有的符号图进行分类，然后是所有的带电符号图，它们的所有特征值都在同一个区间内。然后，我们分类的子集的上述整数对称矩阵，符号图和带电符号图的所有特征值在开区间（-2，2）。
Inertias of Laplacian matrices of weighted signed graphs
本文研究了加权符号图的拉普拉斯矩阵的惯性集。首先，我们刻画了具有唯一拉普拉斯惯性的符号图。然后我们证明了任何连通的带权符号图的边的非零权有一个足够小的扰动，使得它的拉普拉斯矩阵的所有特征值都是简单的。其次，我们给出了具有固定柔性$τ$（符号图的组合参数）的符号图的可能Laplacian惯性数的上界，并证明了这些界对于无限族符号图是尖锐的。最后，我们提供了符号图的拉普拉斯惯性数的上界。
Signed Distance in Signed Graphs
符号图的边可以标记为正边或负边。在这里，我们介绍了两种类型的符号距离矩阵的符号图。利用这些矩阵刻画了符号图的平衡性，并得到了一些不平衡符号图的距离谱的显式公式。我们还引入了距离相容符号图的概念，并部分地刻画了它。
Spectral integral variation of signed graphs
本文研究了带符号图在添加新边后带符号拉普拉斯矩阵的谱变差为整数的条件，并完全刻画了可递归添加新边并保持谱积分变差以生成给定带符号完全图的带符号图类。
Degree similar and net-degree similar signed graphs
该研究将度相似概念扩展至符号图，证明符号树由度相似类唯一确定但不由净度相似类确定，构造了（净）度相似符号图，解决了Godsil和Sun关于单圈图问题的净度版本。
Symmetric Matrices, Signed Graphs, and Nodal Domain Theorems
在2001年，Davies，Gladwell，Leydold和Stadler证明了广义Laplacian特征函数的离散节点域定理，即，非正对角元素的对称矩阵。本文利用导出符号图的结构，建立了任意对称矩阵的节域定理。我们的概念的节点域的任何功能在一个有符号的图是开关不变的。当导出符号图是平衡的时，我们的定义和上界估计退化为广义拉普拉斯算子的已有结果。我们的方法提供了一个更概念性的理解Fiedler的结果的特征函数的非循环矩阵。这个新的观点导致强节点域个数的下界估计，改进了Berkolaiko和Xu-Yau的结果。我们还证明了一种新的类型的下界估计的对偶论证。
Determinant Expansions of Signed Matrices and of Certain Jacobians
本文讨论两个问题：矩阵的符号模式和雅可比矩阵的某些映射。主要的题目是计算正负号模式的行列式展开式和雅可比行列式中正负系数的个数。本文的动机是由Craciun和Feinberg发起的化学网络的方法。我们还给出了一个图论测试确定时的雅可比矩阵的化学反应动力学有一个符号模式。
Mycielskian of Signed Graphs
本文定义符号图的Mycielskian，研究其平衡性、切换性质、色数关系及相关矩阵结构，并给出构造平衡Mycielskian的条件。
Signed analogue of line graphs and their smallest eigenvalues
本文证明了最小特征值严格大于$-2$且最小度足够大的连通符号图与完全图是交换等价的。这是霍夫曼定理的一个有符号的类比。证明是基于我们所谓的霍夫曼极限定理，我们制定的埃尔米特矩阵，也扩展了霍夫曼图和线图的概念，设置有符号的图形。
Orthogonal signed graphs of degree 5
本文完成了最大度为5的正交符号图的分类，并构造了6正则和8正则正交符号图的新的无限族，推进了该领域的研究。
Minimum number of distinct eigenvalues of distance-regular and signed Johnson graphs
本文研究图关联矩阵的不同特征值最小数量，证明每个Johnson图存在恰有两个不同特征值的带符号变体，并应用于称重矩阵、线性三进制码、紧框架及距离正则图等。
The smallest singular value of signed random combinatorial matrices
研究了有符号随机组合矩阵的最小奇异值，证明了其在特定条件下概率分布，并展示了该方法在受限环境下的应用。
Signs of Hamiltonian Circles in Simple Plane Signed Graphs
本文研究了简单平面有向图中哈密顿圈的符号特征，通过共哈密顿序列和局部结构定理，证明了两种符号的哈密顿圈存在性。
On the inertia set of a signed graph with loops
有符号图是一对$(G,Σ)$，其中$G=(V,E)$是具有$V=\{1,\ldots,n\}$和$Σ\subseteq E$的图（其中允许平行边和环）。$Σ$中的边称为奇边，$E$中的其他边称为偶边。用$S(G,Σ)$表示所有对称$n\times n$实矩阵$A=[a_{i,j}]$的集合，使得如果是$a_{i,j} < 0$，则必须有一条偶数边连接$i$和$j$ ;如果是$a_{i,j} > 0$，则必须有一条奇数边连接$i$和$j$ ;并且如果是$a_{i,j} = 0$，则必须存在连接$i$和$j$的奇边和偶边，或者没有连接$i$和$j$的边。(Here我们允许$i=j$。）对于对称实矩阵$A$，$A$的部分惯性是$(p,q)$对，其中$p$和$q$分别是$A$的正特征值和负特征值的数目。如果$(G,Σ)$是一个带符号图，我们定义$(G,Σ)$的\emph{inertia set}为所有矩阵$A \in S(G,Σ)$的部分惯性的集合.在本文中，我们提出了一个公式，使我们能够获得的$(G,Σ)$的惯性集的最小元素的情况下$(G,Σ)$有$1$-分离使用的惯性集的某些签署的图形相关联的$1$-分离。
On Products and Line Graphs of Signed Graphs, their Eigenvalues and Energy
在这篇文章中，我们研究的邻接矩阵和拉普拉斯矩阵及其特征值和能量的一般产品（非完全扩展$p$ -和，或NEPS）的有符号图。我们用Kronecker矩阵乘积表示乘积的邻接矩阵，用因子符号图的特征值和能量表示乘积的特征值和能量。对于笛卡儿积，我们的特点平衡和计算表达式的拉普拉斯特征值和拉普拉斯能量。我们给出了平面、柱面和环面上符号路径和圈的笛卡儿积的精确结果。本文还讨论了符号图的线图的特征值和能量，以及正则情况下的Laplacian特征值和Laplacian能量，并将其应用于符号格为笛卡儿积的线图以及全正和全负完全图的线图.
Gain distance matrices for complex unit gain graphs
复数单位增益图（$ \mathbb{T} $ -增益图），$ Φ=(G, φ) $是函数$ φ$将单位复数分配给$ G $的边缘的每个方向，并且将其逆分配给相反方向的图。复数单位增益图（$ \mathbb{T} $ -增益图）是一个单图，其中边的每个方向都被赋予一个复数单位，其逆方向被分配给边的相反方向。在这篇文章中，我们提出了$ \mathbb{T} $ -增益图的增益距离矩阵。这些概念推广了距离矩阵和符号距离矩阵的相应已知概念。沙胡尔湾Hameed等人引入了符号距离矩阵并发展了它们的性质。受他们工作的启发，我们建立了几个谱性质，包括平衡$ \mathbb{T} $ -增益图和增益距离矩阵之间的一些等价关系。在此基础上，我们引入了正加权$ \mathbb{T} $ -增益图的概念，并研究了它的一些性质。利用这些性质，推导出了Acharya和Stanić的平衡谱判据。此外，还研究了序无关性和距离相容性的概念。此外，我们还得到了距离相容性的一些刻画。
Circular $(4-ε)$-coloring of some classes of signed graphs
符号图$(G, σ)$的圆形$r$着色是圆周$r$的圆形$C_r$的点到$(G, σ)$的顶点的分配$ϕ$，使得对于$(G, σ)$的每个正边缘$uv$，$ϕ(v)$和$ϕ(v)$的距离至少为1，并且对于每个负边缘$uv$，$ϕ(u)$到$ϕ(v)$的对极的距离至少为1。$(G, σ)$的圆色数记为$χ_c(G, σ)$，是$r$的下确界，使得$(G, σ)$容许圆$r$ -着色。这一概念是最近定义的Naserasr，王，朱谁，除其他结果，证明了任何签署$d$退化简单图$\hat{G}$，我们有$χ_c(\hat{G})\leq 2d$。对于$d\geq 3$，给出了圆色数$2d$的符号$d$ -退化简单图的例子.但对于$d=2$，只给出了圆色数足够接近$4$的符号2-退化简单图的例子，注意这些例子也是符号二部平面图。在这项工作中，我们首先观察到以下重申的4-色定理：如果$(G,σ)$是一个有符号的二部平面简单图，其中一部分的顶点都是2度，那么$χ_c(G,σ)\leq \frac{16}{5}$。基于这一发现，我们给出了符号2-退化简单图在$n$顶点上的圆色数的一个改进的$ 4-\dfrac{2}{\lfloor \frac{n+1}{2} \rfloor}$上界和符号二部平面简单图在$n$顶点上的圆色数的一个改进的$ 4-\dfrac{4}{\lfloor \frac{n+2}…
Frustration indices of signed subcubic graphs
本文针对符号次三次图的挫折指数展开研究，证明了连通、2-边连通等不同情形下的紧上界，刻画了达到界的图族，推导了三次图情形的推论并验证界的紧性。
Consistency in the Naturally Vertex-Signed Line Graph of a Signed Graph
一个带符号的图是一个边带符号的图。在顶点符号图中，顶点是符号的。如果每个圆中的符号的乘积都是正数，则称后者为相容的。有符号图的线图自然是顶点有符号的。基于Acharya，Acharya，和Sinha在2009年的一个刻画，我们给出了自然点符号线图一致的符号单图的构造.
Simple signed Steiner triple systems
令$X$是$v$ -集，$\B$是$X$的3-子集（三元组）的集，而$\B^+\cup\B^-$是$\B$与$|\B^-|=s$的划分.如果$X$的每个2-子集在三元组$B\in\B^+$中出现的次数比在三元组$B\in\B^-$中出现的次数多1，则称$(X,\B)$对为简单带符号Steiner三元系，记为ST $(v,s)$。本文证明了$\st(v,s)$存在的充要条件是$v\equiv1,3\pmod6$，$v\ne7$，和$s\in\{0,1,...,s_v-6,s_v-4,s_v\}$，其中$s_v=v(v-1)(v-3)/12$和对于$v=7$，$s\in\{0,2,3,5,6,8,14\}$ .
Combinatorics of the 2-species exclusion processes, marked Laguerre histories, and partially signed permutations
本文从两种群部分非对称简单排它过程出发，利用Laguerre历史的组合数学方法，研究了符号置换的一个子类--部分符号置换。从这个物理和双射的角度来看，我们得到一个自然下降统计部分签署的置换，以及部分签署的置换模式。
On signed graphs whose spectral radius does not exceed $\sqrt{2+\sqrt{5}}$
本文研究符号图的 Hoffman 程序，识别出所有谱半径不超过 $\sqrt{2+\sqrt{5}}$ 的符号图。
Inertia indices and eigenvalue inequalities for Hermitian matrices
利用惯性指标给出了两个埃尔米特矩阵之间特征值不等式的一个刻画.作为应用，我们用简单而统一的方法讨论了埃尔米特矩阵的一些经典特征值不等式，包括Cauchy交错定理和Weyl不等式.我们还给出了一个共同的推广的特征值不等式的（埃尔米特）正规化拉普拉斯矩阵的简单（有符号的，加权的，有向的）图。我们的方法也适用于由Mohar最近引入的第二类有向图的埃尔米特矩阵。
Circular chromatic number of signed graphs
带符号图是一对$(G, σ)$，其中$G$是一个图，$σ: E(G) \to \{+, -\}$是一个签名，它为$G$的每条边分配一个符号。符号图的着色的各种概念已被研究。本文将图的循环染色推广到符号图。给定一个符号图$(G, σ)$，$(G, σ)$的圆$r$ -染色是圆周上点的一个赋值$ψ$，@ MATHABMP到$G$的顶点，使得对于$G$的每条边$e=uv$，如果$σ(e)=+$，则$ψ(u)$和$ψ(v)$具有至少$1$的距离，并且如果$σ(e)=-$，则$ψ(v)$与$ψ(u)$的对映体的距离至少为$1$。符号图$(G, σ)$的循环色数$χ_c(G, σ)$是$(G, σ)$允许循环$r$ -染色的$r$的下确界.对于图$G$，我们定义$G$的符号循环色数为$\max\{χ_c(G, σ): σ\text{ is a signature of $ G $}\}$ .我们研究了符号图的循环染色的基本性质，并开发了计算$χ_c(G, σ)$的工具。研究了图的圈色数与符号圈色数之间的关系，给出了某些图族的符号圈色数的界。特别地，我们确定了大围长$k$ -色图、简单二部平面图、$d$ -退化图、简单外平面图和串-平行图的符号圆色数的上确界。构造了一个符号平面简单图，其圆色数为$4+\frac{2}{3}$ .这是基于并改进了由Kardos和Narboni构建的有符号图，作为M…
A graph minors characterization of signed graphs whose signed Colin de Verdière parameter $ν$ is two
有符号图是一对$(G,Σ)$，其中$G=(V,E)$是具有$V=\{1,...,n\}$和$Σ\subseteq E$的图（其中允许平行边，但不允许循环）。$Σ$中的边称为奇数，其他边称为偶数。通过$S(G,Σ)$，我们表示所有对称$n\times n$矩阵的集合$A=[a_{i,j}]$，如果$i$和$j$仅由偶数边连接，则$a_{i,j}<0$，如果$i$和$j$仅由奇数边连接，则$a_{i,j}>0$，如果$i$和$j$由偶数边和奇数边连接，则$a_{i,j}\in \mathbb{R}$，如果$i\not=j$和$i$和$j$不相邻，则$a_{i,j}=0$，并且$a_{i,i} \in \mathbb{R}$用于所有顶点$i$。符号图$(G,Σ)$的参数$ν(G,Σ)$是具有强Arnold性质的半正定矩阵$A\in S(G,Σ)$的最大零值。用$K_3^=$表示由$(K_3,\emptyset)$通过向每个偶数边并行添加一个奇数边而获得的带符号图。本文证明了符号图$(G,Σ)$有$ν(G,Σ)\leq 2$当且仅当$(G,Σ)$没有子同构于$(K_4,E(K_4))$或$K_3^=$ .
Bounds for the extremal eigenvalues of gain Laplacian matrices
复数单位增益图（$\mathbb{T}$ -增益图），$Φ= (G, φ)$是函数$φ$将单位复数分配给$G$的边缘的每个方向，并且将其逆分配给相反方向的图。如果每个周期（具有固定方向）的边缘增益的乘积是$1$，则$ \mathbb{T} $ -增益图$Φ$是平衡的。符号图是$\mathbb{T}$ -增益图的特殊情况。规范地定义了$Φ$的邻接矩阵，记为$ \mathbf{A}(Φ)$。$Φ$的增益拉普拉斯算子被定义为$\mathbf{L}(Φ) = \mathbf{D}(Φ) - \mathbf{A}(Φ)$，其中$\mathbf{D}(Φ)$是对角矩阵，对角元素是$G$的顶点的度。最小顶点数（分别为，边缘）从$Φ$中删除，以便得到平衡的增益图，即挫折数（相应地，挫折指数）。我们证明了挫折数和挫折指数是由$\mathbf{L}(Φ)$的最小特征值下界。我们提供了几个下限和上限的极值特征值的$\mathbf{L}(Φ)$在不同的图形参数，如边缘的数量，顶点度，平均$2$度。符号图是$\mathbb{T}$ -增益图的特殊情况，本文所建立的所有界对符号图都成立.这里建立的大多数界限是新的符号图。最后，我们进行了比较分析，所有得到的边界在文件中的国家的最先进的边界在文献中随机生成的Erdens-Reynni图。我们的论文的一些主要亮点是增益相关的界限，极限收敛的极值特征值的界限，并提出…
On Spectra of $\mathbb{T}$-Gain Digraphs
该研究发展了$\boldsymbol{\top}$-增益有向图的增益邻接、拉普拉斯等矩阵的谱理论，扩展了相关经典结果，确定了单圈有向图的谱，并刻画了圈平衡等性质。
The inertia set of a signed graph
有符号图是一对$(G,Σ)$，其中$G=(V,E)$是具有$V={1,...,n}$和$Σ\subseteq E$的图（其中允许平行边，但不允许循环）。通过$S(G,Σ)$，我们表示所有对称$V\times V$矩阵的集合$A=[a_{i,j}]$，其中如果$i$和$j$仅由偶数边连接，则$a_{i,j}<0$，如果$i$和$j$仅由奇数边连接，则$a_{i,j}>0$，如果$i$和$j$由偶数边和奇数边连接，则$a_{i,j}\in \mathbb{R}$，如果$i\not=j$和$i$和$j$不相邻，则$a_{i,j}=0$，并且$a_{i,i} \in \mathbb{R}$用于所有顶点$i$。符号图$(G,Σ)$的稳定惯性集是所有对$(p,q)$的集合，对$(p,q)$，存在一个矩阵$A\in S(G,Σ)$，其$p$为正，$q$为负，具有强Arnold性质。本文研究了（符号）图的稳定惯性集。
New bijective proofs pertaining to alternating sign matrices
本文针对 ASM-DPP 双射问题，利用相容性概念构造交替符号矩阵与移位 Gelfand-Tsetlin 模式间更自然的带符号双射，并为含 n+3 个统计量的 ASM 推广的精细化枚举提供双射证明。
Spectral symmetry in conference matrices
$n$阶的会议矩阵是具有满足$CC^\top=(n-1)I$的对角项$0$和非对角项$\pm 1$的$n\times n$矩阵$C$。如果$C$是对称的，则$C$具有对称谱$Σ$（即$Σ=-Σ$）和特征值$\pm\sqrt{n-1}$。我们证明了$C$的许多主子矩阵也具有对称谱，从而得到了图的Seidel矩阵（或者等价地，完全符号图的邻接矩阵）具有对称谱的例子.此外，我们还证明了一些具有对称谱的Seidel矩阵也可以用这种构造来刻画。
Every signed planar graph without cycles of length from 4 to 7 is 3-colorable
Hu和Li研究了Erd $\ddot{\mathrm{o}}$问题的带符号图版本：是否存在常数$c$使得每个不含$k$ -圈的带符号可平面图，其中$4\leq k\leq c$，是$3$ -可着色的，并证明了每个不含长度为4到8的圈的带符号可平面图是3-可着色的.我们给出了这个结果的一个非常简短和简单的证明，并根据最近的观察改进了它。
Alternating Signed Bipartite Graphs and Difference-1 Colourings
我们研究了一类2-边着色二部图，称为交替符号二部图（ASBG），它将信息编码在交替符号矩阵中。中心问题是当一个给定的二部图允许ASBG着色; 2-边着色，使得所得到的图是一个ASBG。我们引入了差1着色的概念，放宽了ASBG着色的概念，并给出了图允许差1着色的一组充要条件。不同的差异-1染色的一个特定的图之间的关系的特点，并确定了一些类的图，所有的差异-1染色是ASBG染色。其中一个关键步骤是定理3.4.6，它通过描述二部图的子图$H$存在的充要条件来推广霍尔匹配定理，其中$H$的每个顶点$v$都有某个指定的度$r(v)$。
The Nullity of Bicyclic Signed Graphs
设Γ是一个符号图，A（Γ）是Γ的邻接矩阵.Γ的零度是A（Γ）的谱中特征值零的重数。本文刻画了零度为n-2或n-3的n阶符号图，并引入了一种保持零度的图变换。作为应用，我们确定了n阶不平衡双圈符号图的零度为n-3或n-4，以及n阶符号双圈符号图（包括简单双圈图）的零度为n-5。
Chromatic Signed-Symmetric Functions of Signed Graphs
Stanley引入了单图的色对称函数，它是色多项式的推广。这是用相应图形排列的补数的整数点来表示的。Stanley证明了色函数的组合互易定理。这被认为是一个埃尔哈特型互易定理的图形安排。我们引入了色符号对称函数的符号图，色对称函数的一个模拟，通过相应的符号图安排的补的整数点，并证明了斯坦利的互易定理的推广。斯坦利已经证实，色对称函数区分树。这个猜想也被推广到符号树。我们验证了某些类的签名路径的猜想。
Eigenvalues and Critical Groups of Adinkras
Adinkras是用于研究物理学中超对称性的符号图。我们提供了一个介绍这些对象，并研究其符号邻接和符号拉普拉斯矩阵的性质。这些矩阵每个都有两个不同的特征值（重数相等），使得Adinkras与强正则图的概念密切相关。我们还研究了临界群的Adinkras，特别是确定其奇组件。一种新的技术，独立的利益被用来考虑临界群在多项式环。
Edge Coloring Signed Graphs
我们定义了一个边着色的方法签署的图，这意味着这样的着色是适当的。我们的方法有许多理想的性质：它专门针对通常的边染色的概念时，签署的图是全负的，它有一个自然的定义，在一个线图的顶点染色，和所需的最小颜色数的签署单图的适当着色是有界的Δ + 1以上平行于Vizing定理。事实上，Vizing定理是关于符号图的更困难的定理的特殊情况。
Characterization of Line-Consistent Signed Graphs
有符号边的图的线图带有顶点符号。一个点符号图是一致的，如果每个圈（圈，回路）都有正的点符号积。Acharya，Acharya和Sinha最近刻画了线一致符号图，即，边符号图，其线图与自然导出的顶点签名是一致的。他们的证明适用于Hoede对一致顶点符号图的相对困难的刻画。我们给出了一个简单的证明，不依赖于Hoede定理以及线一致的符号图的结构描述。
Density of $C_{-4}$-critical signed graphs
一个带符号的二部（简单）图$(G, σ)$称为$C_{-4}$ -临界图，如果它不允许与$C_{-4}$（负4-圈）同态，但它的每个真子图都允许。在这项工作中，首先，我们表明，4-着色的图形和签署的图形的概念是捕获，通过简单的图形操作，由同态的概念，$C_{-4}$。具体地说，四色定理等价于：给定一个平面图$G$，通过用长度为2的负路径替换$G$的每条边得到的带符号二部图映射到$C_{-4}$。证明了除一个特殊的7点9边的符号二部图外，任何$C_{-4}$ -临界的$n$点的符号图都至少有$\lceil\frac{4n}{3}\rceil$边，并且对每个$n\geq 9$的值都有这个界或$\lceil\frac{4n}{3}\rceil+1$.作为应用，我们得到了所有负围长的带符号二部平面图至少$8$映射到$C_{-4}$的结论。此外，我们还证明了存在一个例子，它不映射到$C_{-4}$的周长$6$的有符号二部平面图，显示$8$是最好的可能和反驳的猜想Naserasr，Rollova和Spena，在上述重述的4CT的扩展。
Two-connected signed graphs with maximum nullity at most two
有符号图是一对$(G,Σ)$，其中$G=(V,E)$是具有$V=\{1,\ldots,n\}$和$Σ\subseteq E$的图（其中允许平行边，但不允许循环）。$Σ$中的边称为奇数，$E$中的其他边称为偶数。通过$S(G,Σ)$，我们表示所有对称$n\times n$矩阵的集合$A=[a_{i,j}]$，其中如果$i$和$j$相邻并且仅由偶数边连接，则$a_{i,j}<0$，如果$i$和$j$相邻并且仅由奇数边连接，则$a_{i,j}>0$，如果$i$和$j$由偶数边和奇数边连接，则$a_{i,j}\in \mathbb{R}$，如果$i\not=j$和$i$和$j$不相邻，则$a_{i,j}=0$，并且$a_{i,i} \in \mathbb{R}$用于所有顶点$i$。符号图$(G,Σ)$的参数$M(G,Σ)$和$ξ(G,Σ)$分别是任何矩阵$A\in S(G,Σ)$的最大零值和任何矩阵$A\in S(G,Σ)$的最大零值，该矩阵具有强Arnold假设。在以前的文章中，我们给出了带有$M(G,Σ)\leq 1$的符号图$(G,Σ)$和带有$ξ(G,Σ)\leq 1$的符号图的一个刻画。本文用$M(G,Σ)\leq 2$刻画了$2$ -连通符号图$(G,Σ)$，用$ξ(G,Σ)\leq 2$刻画了$2$ -连通符号图$(G,Σ)$.
A Lovász Theta Parameter and Theta Body for Signed Graphs
该研究为带符号图的平衡着色提出Lovász型半定参数与凸角层级结构，证明平衡完美性弱于关联双覆盖图的完美性，相关构造与广义Theta数等概念相关。
Some Criteria for a Signed Graph to Have Full Rank
加权图$G^ω$由具有权重$ω$的简单图$G$组成，权重$ω$是映射$ω$：$E(G)\rightarrow\mathbb{Z}\backslash\{0\}$。带符号图是其边用$-1$或$1$标记的图。本文刻画了具有一个符号使得其符号邻接矩阵满秩的图和具有一个权使得其加权邻接矩阵不满秩的图。证明了对任意简单图$G$，存在符号$σ$使得$G^σ$满秩当且仅当$G$有$\{1,2\}$ -因子.我们还表明，对于图$G$，有一个重量$ω$，使$G^ω$没有满秩当且仅当$G$有至少两个$\{1,2\}$ -因素。
Signed counts of real simple rational functions
研究了具有指定分歧数据的实单有理函数$φ$的计数问题（即一类特殊的亏格为$0$的定向实Hurwitz数）.我们引入了一个有符号的计数这样的功能，是不变的分支轨迹的变化下，从而提供了一个下界的实际计数（这取决于这种变化）。我们证明（非）消灭定理，这些签署计数和研究它们的渐近增长时，进一步增加简单的分支点。该方法基于Itenberg和Zvonkine（arXiv：1609.05219）的作品，其中处理多项式的情况。
Rank and Invertibility of Dense Signed Random Regular Matrices
研究稠密符号随机正则矩阵的秩与最小奇异值，证明其秩亏缺概率指数衰减，并给出最小奇异值的定量下界。
Period Preserving Properties of an Invariant from the Permanent of Signed Incidence Matrices
标量$ϕ^4$理论中的一个4点费曼图用一个图$G$来表示，该图是从一个连通的4-正则图中删除一个顶点而得到的。相关的费曼积分给出了一个称为$G$的周期的量，它在一些有意义的图形操作下是不变的-即平面对偶，Schnetz扭曲，它也不依赖于被删除以形成$G$的顶点的选择。在这篇文章中，我们研究了一个图不变量，我们称之为图永久，这是隐含地介绍了阿隆，Linial和Meshulam的论文。图永久式适用于$|E|$是$|V| - 1$的倍数的任何图$G = (V,E)$（因此特别适用于通过移除顶点从4-正则图获得的图）。我们证明了图的永久，如周期，是不变的平面对偶和Schnetz扭曲时，这些都是有效的操作，我们表明，当$G$是从一个$2k$ -正则图删除一个顶点，图永久不依赖于删除顶点的选择。
Open problems in the spectral theory of signed graphs
带符号图是边具有符号$+1$或$-1$（签名）的图。符号图可以通过图矩阵扩展到符号图来研究。近年来，符号图的谱引起了图谱专家的广泛关注。一个动机是，有符号图的谱理论优雅地推广了无符号图的谱理论。另一方面，无符号图不会完全消失，因为它们的角色可以由平衡有符号图的特殊情况来代替。因此，定义和研究的无符号图的谱问题可以被认为是在有符号的图，有时这样的推广显示出很好的性能，不能在（无符号）图。在这里，我们综述了一些一般性的结果，对有号图的邻接谱，我们考虑了一些谱问题的启发（无符号）图的谱理论。
Signed spectral Turań type theorems
符号图$Σ= (G, σ)$是函数$σ$将$1$或$-1$分配给单图$G$的每条边的图。规范地定义了$Σ$的邻接矩阵，记为$A(Σ)$。在最近的一篇论文中，Wang等人扩展了Hoffman和Cvetković关于符号图的特征值界。他们提出了一个与平衡团数和符号图的最大特征值有关的公开问题。我们解决了这个开放问题的加强版。作为一个副产品，我们给出了一些已知的经典的无符号图的最小特征值的界限的替代证明。我们推广了图的Turán不等式。此外，我们还研究了符号图的Bollobás猜想和Nikiforov猜想，并证明了该猜想对符号图不一定成立。然而，在某些假设下，该猜想对符号图成立。最后，我们研究了符号图的最大特征值与符号路数之间的一些关系。
Square-free Discriminants of Matrices and the Generalized Spectral Characterizations of Graphs
令$S_n(\mathbb{Z})$和$O_n(\mathbb{Q})$分别表示整数环$\mathbb{Z}$上所有$n\times n$对称矩阵的集合和有理数域$\mathbb{Q}$上所有$n\times n$正交矩阵的集合。本文主要研究如下问题：给定一个矩阵$A\in {S_n(\mathbb{Z})}$。如何找到所有有理正交矩阵$Q\in{O_n(\mathbb{Q})}$，使得$Q^TAQ\in {S_n(\mathbb{Z})}$，并且具体地，当$Q^TAQ\in {S_n(\mathbb{Z})}$与$Q\in{O_n(\mathbb{Q})}$暗示$Q$是\emph{a signed permutation matrix}（即，通过将$P$中的每个1替换为1或$-1$而从置换矩阵$P$获得的矩阵）。对于$A$的特征多项式的判别式是否为奇且无平方的问题，给出了一个令人惊讶的简单答案，部分回答了上述问题。更精确地，令$Δ_A=\pm \res(ϕ,ϕ')$为\emph{the discriminant of matrix $A$}，其中$\res(ϕ,ϕ')$为$A$及其导数$ϕ'$的特征多项式$ϕ$的\emph{the resultant}。我们证明了，如果$Δ_A$是奇数和无平方，那么$Q^TAQ\in {S_n(\mathbb{Z})}$与$Q\in{O_n(\m…
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