On the Sendov conjecture and the critical points of polynomials
Zaizhao Meng
本文得到了多项式临界点的新结果。本文讨论九次多项式的Sendov猜想。
In this paper, we obtain new results on the critical points of a polynomial. We discuss the Sendov conjecture for polynomials of degree nine.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
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A proof of Sendov's conjecture
给出了Sendov猜想的一个证明。
Proof of the Sendov conjecture for polynomials of degree nine
本文证明了九次多项式的Sendov猜想。我们用一种新的思想得到了多项式的$σ-$到零点的和的新的上界。
A note on a recent attempt to prove Sendov's conjecture
最近，通用汽车Sofi & SA Shabir [arXive：1903.01850v2 [math.GM] 6 Mar 2019]试图证明Sendov猜想。但不幸的是，证明是不正确的。在这篇笔记中，我们讨论证明中的谬误。
Sendov conjecture for high degree polynomials
Sendov猜想告诉我们，如果$P$表示一个复多项式，它的所有零点都在闭单位圆上，$a$表示$P$的一个零点，那么中心为$a$，半径为1的闭圆上就包含了导数$P'$的一个零点.本文的主要结果是当多项式$P$的次数大于一个固定整数$N$时，Sendov猜想的一个证明.我们将根据$|a|$给出其整数$N$的估计。为了得到这个结果，我们将研究与Sendov猜想相矛盾的多项式的零点和临界点（即$P'$的零点）的几何。
The best possible quadratic refinement of Sendov's conjecture
森多夫的一个猜想指出，如果一个多项式的所有根都在单位圆盘中，并且$β$是其中一个根，那么在$β$的一个单位内就有一个多项式导数的根。如果我们定义$r(β)$为$β$和导数最近根之间的最大可能距离，则Sendov猜想声称$r(β) \le 1$。在本文中，我们假设（不失一般性），$0 \le β\le 1$和作出更强的猜想，$r(β) \le 1-(3/10)β(1-β)$。我们证明了这个新猜想的所有多项式的次数为2或3，为所有真正的多项式的次数为4，并为所有多项式的任何次数，只要其所有的根位于一条线上或$β$是足够接近1。
Sendov's conjecture for sufficiently high degree polynomials
Sendov猜想断言，如果一个次数为$n \geq 2$的复多项式$f$的所有零都在闭单位圆盘$\{ z: |z| \leq 1 \}$中，那么对于每个这样的零$λ_0$，在闭单位圆盘$\{ z: |z-λ_0| \leq 1 \}$中有一个导数$f'$的零。这个猜想对于$n < 9$是已知的，但是对于更高的$n$只有部分结果可用。证明了存在一个常数$n_0$，使得Sendov猜想对$n \geq n_0$成立.对于远离原点和单位圆的$λ_0$，我们可以求助于Dégot和Chalebgwa以前的工作;对于靠近单位圆的$λ_0$，我们改进了Miller以前的一个参数（当$λ_0$非常接近单位圆时，也调用Chijiwa的结果）;对于靠近原点的$λ_0$，我们引入了一个新的参数，使用紧致方法，平衡法和参数原理。
Sendov's Conjecture: A note on a paper of Dégot
Sendov猜想指出，如果一个次数至少为2的复多项式$P(z)$的所有零点都位于单位圆盘内，那么在每个零点的单位距离内都有一个$P(z)$的临界点。在2014年发表的一篇论文中，Dégot证明，对于每个$a\in (0,1)$，存在一个整数$N$，使得对于任何次数大于$N$的多项式$P(z)$，如果$P(a) = 0$和所有零都位于单位圆盘内，则圆盘$|z-a|\leq 1$包含$P(z)$的临界点。在此基础上，我们对每个$a \in (0,1)$导出了一个明确的公式$\mathcal{N}(a)$，从而得到了所有$a\in [α, β]$的统一的有界$N$，其中$0<α< β< 1$ .这（部分）解决了Dégot论文中提出的问题。
Proof of Sendov's conjecture
Sendov的猜想，这是首次介绍了在过去的50年代，断言，如果所有的零的多项式$p$谎言在封闭的单位磁盘然后为每个零必须有一个临界点的$p$内单位距离。本文证实了这一猜想。
A result related to the Sendov conjecture
本文研究Sendov猜想，探讨给定多项式阶数$n \geq 2$的零点$z_j$时，是否存在满足$p'(ζ) = 0$且$|z_j - ζ| \leq 1$的零点$ζ$，并给出了部分研究结果。
Unexpected local extrema for the Sendov conjecture
设S（n）是所有根都在单位圆上的n次多项式的集合，定义d（P）为多项式P的每个根到该根最近的临界点的距离的最大值。在这个符号中，Sendov猜想断言对S（n）中的每个P，d（P）<=1。定义S（n）中的P是局部极值的，如果对于S（n）中的所有邻近Q，d（P）>=d（Q），并且注意，在所有局部极值多项式P上最大化d（P）将解决Sendov猜想。在此之前，已知局部极值的多项式只有形式P（z）=c（z^n+a），其中|a| =1。在本文中，我们确定了充分条件的实多项式的不同形式是局部极值，我们使用这些条件来寻找局部极值多项式的这种形式的次数为8，9，12，13，14，15，19，20和26。
Beyond Sendov's conjecture: the quadratic Tang--Zhang inequality
本文证明Sendov猜想的一个定量加强版本——二次Tang--Zhang不等式，给出临界点距离平方和的精确下界及等号条件，并提供Lean 4形式化验证。
C*-algebraic Gauss-Lucas Theorem and C*-algebraic Sendov's Conjecture
本文基于罗伯逊的结果，引入了在某些单单位可交换C*-代数上映射的微分概念，推导出C*-代数的高斯-卢卡斯定理，并提出C*-代数的塞诺夫猜想，验证了二次多项式的塞诺夫猜想。
Sendov's conjecture holds for every degree $n\ge 10^{200000}$
本文通过有效化Tao的紧性方法，证明Sendov猜想对所有次数至少为10^{200000}的多项式成立，给出了显式常数。
Seeking a quadratic refinement of Sendov's conjecture
本文提出Sendov猜想的一个二次精细化猜想，即存在常数c>0使得r(β)≤1-cβ(1-β)，并在多种多项式类中验证了该猜想，实验数据表明c≈0.233。
A quadratic approximation to the Sendov radius near the unit circle
定义$S(n,β)$为次数为$n \ge 2$的复多项式的集合，其所有根在单位圆盘中并且至少一个根在$β$处。对于多项式$P$，将$|P|_β$定义为$β$与导数$P'$的最近根之间的距离。最后，定义$r_n(β)=\sup \{|P|_β: P \in S(n,β) \}$。在这个符号中，Bl. Sendov声称，$r_n(β) \le 1$。本文通过计算常数$C_1$和$C_2$（仅依赖于$n$）使得$|β|$的$r_n(β) \sim 1 + C_1 (1-|β|) + C_2 (1-|β|)^2$接近1，研究了在单位圆附近的Sendov猜想.我们也考虑这种近似的一些后果。
Analyticity domains of critical points of polynomials. A proof of Sendov's conjecture
设$¶_{n}^c(\barμ,\barν)$是所有复多项式$p(z)=\prod_{i=1}^{m}(z-z_i)^{μ_i}$，$\sum_{i=1}^mμ_i=n$的集合，其导数的形式为$$ p'(z)=n\prod_{i=1}^{m}(z-z_i)^{μ_i-1}\prod_{j=1}^{k}(z-ξ_j)^{ν_j}, ~\sum_{j=1}^kν_j=m-1. $$在本文中，我们证明了如下：\par \medskip { \it \noindent对于固定的序$α=(1,2,\ldots,m)$，来自$¶_{n}^c(\barμ,\barν)$的多项式的第二类$\{ξ_j\}_{j=1}^k$的不同的零点$\{z_i\}_{i=1}^m$和不同的临界点分别是解析函数$\{z_i^{αβ}\}_{i=1}^m$和$\{ξ_j^{αβ}\}_{j=1}^k$，$β=(i_1,i_2,\ldots,i_{k+1})$，域$$ \{(z_{i_1},z_{i_2},\ldots,z_{i_{k+1}})\in \C^{k+1}~\vert~p\in ¶_{n}^c(\barμ,\barν) \}, $$中的任何变量$(z_{i_1},z_{i_2},\ldots,z_{i_{k+1}})$也在其边界上连续。} \par \medskip \noindent这句话给出了一个立即证…
The critical points of a polynomial
本文得到了多项式临界点的一些新结果，这些结果对Sendov猜想是有用的。
A Note on the Converse Sendov Problem
该注记针对零点在闭单位圆盘内的n次多项式，确定了其模为r的临界点到最近零点的最大距离，分奇偶次多项式给出精确结果并给出证明依据。
A Scalar Optimization Proof of Sendov's Conjecture with Reduced Computer Assistance
本研究完成森多夫猜想的标量优化证明，通过解析处理连续优化与无界次数参数，仅保留少量显式单变量不等式，大幅降低了所需的计算机辅助。
Borcea's variance conjectures on the critical points of polynomials
紧接着J.Borcea最近的想法，我们讨论了各种修改和放松的Sendov猜想的位置临界点的多项式与复系数。由此产生的开放问题，制定在矩阵理论，数理统计或位势论。建立了多项式几何中的经典著作与结构矩阵小秩扰动谱定位的最新进展之间的联系。几个简单的例子提供了自然的，有时是尖锐的界限所提出的架构。
Maximal and inextensible polynomials and the geometry of the spectra of normal operators
我们考虑$n\ge 2$次一元复多项式的集合S（n，0），所有的零点都在闭单位圆上，且在0处为零。对于$p\in S(n,0)$，我们让$|p|_{0}$表示从原点到$p'$的零点集的距离。我们确定所有0-极大多项式的次数$n$，即，所有多项式$p\in S(n,0)$，使$|p|_{0}\ge |q|_{0}$的任何$q\in S(n,0)$。使用二阶变分方法，我们然后表明，虽然这些多项式是不可扩展的，他们不一定是局部最大的Sendov猜想。这使最近声称的Sendov和Smale的证明无效，并表明这些证明中使用的方法只能导致（已知的）部分结果。本文的第二部分利用多元优控关系给出了复多项式临界点的一个刻划。我们还提出了一个算子理论的方法来Sendov猜想，我们制定的正常运营商的频谱变化和压缩的正交补的轨迹向量。利用正规算子的Gauss-Lucas型定理，将复多项式临界点的定位问题与正规矩阵的谱与主子阵的谱之间的关系联系起来.
Maximal and linearly inextensible polynomials
设S（n，0）是所有零点都在闭单位圆上且在0处为零的$n\ge 2$次一元复多项式的集合.对于$p\in S(n,0)$，用$|p|_{0}$表示从原点到$p'$的零点集的距离。我们确定所有0-极大多项式的次数$n$，即，所有多项式$p\in S(n,0)$，使$|p|_{0}\ge |q|_{0}$的任何$q\in S(n,0)$。使用二阶变分方法，我们然后表明，虽然这些多项式是线性不可扩展的，他们不是局部最大的Sendov猜想。
On the critical points of entire functions
几年前，Aziz和Zargar在考虑与Sendov猜想有关的一些问题时，解决了Brown提出的一个问题（见[1，2]），证明了任何在$z=0$有一个零点的$n$次复多项式在$B(0,1/n)$中没有任何临界点。最近，Zargar和Ahmad在[3]中推广了这一结果。本文的目的是将结果推广到某些复整函数类。我们将证明，在$f$的零$a_n$上的某些条件下，对于依赖于$|a_n|$的值的某个$t$，$f'$在$B(0,t) \setminus \lbrace 0 \rbrace$中没有根.
Schoenberg type inequalities
本文提出了六阶和一阶的 Schoenberg 型不等式，部分解决了 Kushel 和 Tyaglov 的开放问题，并与 Sendov 猜想建立联系。
A proof of Borcea's quadratic variance conjecture
该论文证明了博尔恰二次方差猜想，通过多项式积分恒等式和定向整数算术，验证了不同次数复多项式的相关零点与临界点距离结论，还给出森多夫猜想的新证明。
On the HJY Gap Conjecture in CR geometry vs. the SOS Conjecture for polynomials
本文证明了关于球面间CR映射的黄继寅间隙猜想是由关于多项式平方和的一个猜想导出的。这两个问题之间的联系是由CR高斯方程和事实，即前者的猜想如下，从后者如下，从最近的结果，由于作者，部分刚性的CR映射的严格pseudoconvex超曲面到领域。
Smale's Mean Value Conjecture and its Dual Conjecture for Complex Polynomials
本文针对复多项式的斯梅尔中值猜想及其对偶猜想展开研究，通过改进Koebe型定理与马尔可夫型不等式，将对偶猜想的最优无条件下界从1/d²提升至(d−1/2)^(1/d)/d²。
On a conjecture about univalent polynomials
本文证明了Dmitrishin，Smorodin和Stokolos最近提出的一个猜想，即某些多项式在单位圆内是单叶的。由此得到了单叶多项式Koebe半径的一个上估计。
A conjecture that the roots of a univariate polynomial lie in a union of annuli
本文提出一个猜想：n次单变量复多项式的根位于n-1个环的并集中，每个环以导数的根为中心，半径取决于高阶导数，并证明了2次和3次情形，通过随机多项式测试了更高次情形。
On the Schmidt--Kolchin conjecture on differentially homogeneous polynomials. Applications to (twisted) jet differentials on projective spaces
本文的主要目的是证明Schmidt-Kolchin猜想。这个猜想说：度\(d\)差分齐次多项式在\((N+1)\)变量的向量空间是维度\((N+1)^{d}\)。接下来，我们建立了一个一对一的\((N+1)\)变量的差分齐次多项式之间的对应关系，和扭曲的射流微分射影空间。作为我们研究微分齐次多项式的一个副产品，我们因此能够明确地理解射影空间上的扭曲喷流微分。
Polynomial Counterexamples to Shanks' Conjecture in Dirichlet-Type Spaces over the Bidisc
本文在双圆盘Dirichlet型空间中构造对称多项式反例，证明对任意正参数，线性最优逼近在域内有零点而函数本身无零点，从而否定弱Shanks猜想，并推广至多圆盘及各向异性情形。
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