超越Sendov猜想：二次Tang--Zhang不等式
Beyond Sendov's conjecture: the quadratic Tang--Zhang inequality
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- School of Mathematics and Statistics, Xi’an Jiaotong University（西安交通大学数学与统计学院）
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中文总结 AI 辅助
本文证明Sendov猜想的一个定量加强版本——二次Tang--Zhang不等式，给出临界点距离平方和的精确下界及等号条件，并提供Lean 4形式化验证。
中文摘要 AI 辅助
最近，Lech Mazur证明了著名的Sendov猜想，随后Terence Tao在一篇博客文章中提炼了该证明的主要思想。在本文中，我们建立了Sendov猜想的一个定量加强版本，即二次Tang--Zhang不等式。设$p$为次数$n\ge2$的多项式，其零点位于闭单位圆盘内，并设$\zeta_1,\ldots,\zeta_{n-1}$为其临界点（按重数计）。我们证明，对于$p$的每个零点$a$，有$$ \sum_{j=1}^{n-1}\frac{1}{|a-\zeta_j|^2}\ge n-1. $$ 此外，等号成立当且仅当$p(z)=c(z^n-\omega)$，其中$c\in\mathbb C\setminus\{0\}$且$|\omega|=1$。我们还提供了主要结果的Lean 4形式化证明。
英文摘要
Very recently, Lech Mazur proved the celebrated Sendov conjecture, and Terence Tao subsequently distilled the main ideas of the proof in a blog post. In this paper, we establish a quantitative strengthening of Sendov's conjecture, namely the quadratic Tang--Zhang inequality. Let $p$ be a polynomial of degree $n\ge2$ whose zeros lie in the closed unit disk, and let $ζ_1,\ldots,ζ_{n-1}$ denote its critical points, counted with multiplicity. We prove that, for every zero $a$ of $p$, $$ \sum_{j=1}^{n-1}\frac{1}{|a-ζ_j|^2}\ge n-1. $$ Moreover, equality holds if and only if $p(z)=c(z^n-ω)$ for some $c\in\mathbb C\setminus\{0\}$ and $|ω|=1$. We also provide a Lean 4 formalization of the main results.
