Rational singular loci of nilpotent varieties
William M. McGovern
给出了复半单李代数中幂零轨道闭包的有理奇异轨迹的两种计算方法，并给出了一些有趣的例子。
We present two methods for computing the rational singular locus of the closure of a nilpotent orbit in a complex semisimple Lie algebra and give a number of interesting examples.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
Nilpotent commuting varieties of reductive Lie algebras
证明了具有良好特征的代数闭域上约化李代数的幂零交换簇是等维的。在特征零中，这证实了弗拉基米尔·巴拉诺夫斯基的一个猜想。作为副产品，我们得到了参数化$k[[X,Y]]$中的长为$n$的理想的点（局部）Hilbert格式在任何代数闭域$k$上都是不可约的。
Commuting varieties for nilpotent radicals
设U是定义在代数闭域k上的连通约化代数群G的博雷尔子群的幂幺根.本文将Goodwin-Röhrle关于Lie（U）对char（k）=0的交换簇的工作推广到域上，其特征对G是好的
Cell decompositions of quiver flag varieties for nilpotent representations of the oriented cycle
推广了A型Schubert细胞和胞腔剖分.进一步证明了有向圈的幂零表示中的完备标志簇允许多表参数化的仿射胞腔剖分。我们表明，他们进行环面操作和描述的T-等变上同调使用Goresky-Kottwitz-MacPherson理论。作为胞腔剖分的应用，我们获得了某些模的向量空间基（对于该箭图的幂零表示的箭图Hecke代数），类似的模已由Kato作为标准模的类似物进行了研究。
On the existence of smooth orbital varieties in simple Lie algebras
轨道簇是约化群的李代数的幂零轨道与Borel子代数的交的不可约分量。有一个轨道品种和施普林格纤维的不可约组件之间的几何对应。在A型中，Richardson的构造意味着每个幂零轨道至少包含一个光滑轨道簇，每个Springer纤维至少包含一个光滑分量。在本文中，我们证明了这一性质也适用于其他经典的情况。我们的证明使用的解释，斯普林格纤维的品种各向同性的旗帜和范Leeuwen的参数化的多米诺骨牌tableaux他们的组件。在特殊的情况下，光滑轨道簇并不出现在每个幂零轨道中，正如Spaleiten已经指出的那样。然而，我们给出了一个（非穷举）列表的幂零轨道具有此属性。我们的特殊情况下的治疗依赖于诱导过程的轨道品种，类似于诱导过程的幂零轨道。
Categories of modules given by varieties of p-nilpotent operators
对于特征p>0的代数闭域k上的有限群概型G，我们研究了G-模M，G-模M是根据G的p-点的拉回性质定义的.我们证明了相应的子范畴强依赖于G的结构。本文的第二部分从Auslander-Reiten理论的角度讨论了Carlson-Friedlander-Suslin最近关于等象模子范畴的工作。
Nilpotent varieties in symmetric spaces and twisted affine Schubert varieties
我们将扭仿射格拉斯曼空间中的Schubert簇的几何与对称空间中的幂零簇联系起来。这推广了Achar-Henderson在扭曲情形下的一些结果。我们还得到了某些经典对称空间中2阶幂零簇几何的一些应用。
Singular loci in varieties of tensors
该研究提出Vec-簇概念并证明其奇点轨迹为真闭Vec-子簇，可由有限多项式方程描述，还在维数线性增长情形下得到奇点消解的初步结果。
Normality of nilpotent varieties in $E_6$
我们确定哪些幂零轨道在$E_6$有正常的封闭，哪些没有。我们还验证了一个猜想小表示的功能环上的幂零轨道覆盖类型$E_6$。
Conjugation on varieties of nilpotent matrices
本文考虑GL_n（C）的任意上块抛物子群在x-幂零复矩阵簇上的共轭作用。我们得到了一个关于作用是否允许有限个轨道的准则，并在2-幂零矩阵的有限情况下，指定了轨道的代表系统。此外，我们给出了它们的闭包的集合论描述，并详细说明了博雷尔子群作用的最小退化。关于幂零锥上的作用，我们得到了轨道的一般正规形，它也产生U-正规形，这里U是标准幂幺子群。我们描述生成（半）不变量的Borel半不变环以及U-不变环。后者由密切相关的特殊复曲面簇用代数商更详细地描述。
Admissible modules and normality of classical nilpotent orbits II
本文对所有经典幂零簇$\overline{\mathcal{O}}$计算了Brylinski模型的特征公式.因此，我们可以计算正则函数环$R(\overline{\mathcal{O}})$的所有$K-$类型的重数。
Parametrizations of canonical bases and irreducible components of nilpotent varieties
已知幂零簇的不可约分支的集合提供了量子群的晶体基的几何实现。对于外尔群元素的每一个约化表达式，Geibel，Leclerc和Schröer最近在研究簇代数时给出了幂零簇的不可约分支的参数化.在本文中，我们表明，他们的参数化与Lusztig的正则基的参数化相吻合。
Finite Parabolic Conjugation on Varieties of Nilpotent Matrices
考虑了${\rm GL}_n(\mathbf{C})$的任意上块抛物子群在$x$ -幂零复矩阵簇上的共轭作用，并将其转化到表示论的范畴.我们得到了一个关于作用是否允许有限个轨道的准则，并在有限的情况下，$2$ -幂零矩阵幂零矩阵指定的轨道的代表系统。此外，我们给出了它们的闭包的集合论描述，并详细说明了博雷尔子群作用的最小退化。我们证明了在所有非有限情形下，相应的代数是Wild表示型的。
A binary operation on irreducible components of Lusztig's nilpotent varieties {I}: definition and properties
我们定义了一个二元运算的Lusztig的幂零簇的不可约组件的集合上。我们研究了这种运算的交换性、可消性和结合性。我们专注于刚性不可约成分，并讨论归纳的方法来构建它们。
Existence of affine pavings for varieties of partial flags associated to nilpotent elements
复约化线性代数群G的标志簇定义为博雷尔子群的商G/B。它可以看作是李（G）的Borel子代数的集合。给定Lie（G）中的一个幂零元元e，我们称Springer纤维为包含e的Borel子代数所形成的子簇。施普林格纤维一般具有复杂的结构（不是不可约的，是奇异的）。然而，C. De Concini，G. Lusztig和C. Procesi断言，当G是经典的，一个Springer纤维总是可以铺上许多子变种同构于仿射空间。在本文中，我们研究的品种推广的Springer纤维的部分旗品种，即商G/P的抛物子群（而不是一个博雷尔子群）的子品种的上下文中。本文的主要结果是一个推广德Concini，Lusztig，和Procesi的定理在这方面。
Comparison of quiver varieties, loop Grassmannians and nilpotent cones in type A
本文在A型情形下建立Nakajima带标架箭袋簇、矩阵共轭类与环路格拉斯曼流形之间的显式几何等价，并由此实现紧化、分解及$(GL(m),GL(n))$对偶的几何化。
Varieties of pairs of nilpotent matrices annihilating each other
我们对大小为n的矩阵对（A，B）的簇V（n，a，b）的不可约分支进行分类，使得AB = BA = 0且A^a = B^b = 0。
Irregular and singular loci of commuting varieties
证明了非交换约化李代数的交换簇的奇异轨迹包含在非正则轨迹中，并计算了非正则轨迹的余维数。我们证明了不规则轨迹的不可约分量之一具有余维数4。这产生了奇异轨迹的余维数的下界，特别地，意味着它至少是2。我们还证明了交换簇是理性的。
Nilpotent quiver varieties with multiplicities and symmetrisable crystals
该研究构造带重数箭图的幂零箭图簇类似物，通过开发新稳定性条件及利用与赫克对应关系的作用，将斋藤对卡茨 - 穆迪代数晶体的几何构造从对称扩展到可对称化情形。
Nilpotent commuting varieties of the Witt algebra
设$\mathfrak{g}$是特征为$p>3$的代数闭域$k$上的$p$维Witt代数。设$\mathscr{N}={x\in\ggg\mid x^{[p]}=0}$是$\mathfrak{g}$的幂零簇，$\mathscr{C}(\mathscr{N}):=\{(x,y)\in \mathscr{N}\times\mathscr{N}\mid [x,y]=0\}$是$\mathfrak{g}$的幂零交换簇.作为Premet在经典李代数中的结果的一个类似[A.约化李代数的幂零交换簇。发明。数学、154，653-683，2003.]，我们证明了簇$\mathscr{C}(\mathscr{N})$是可约的和等维的.精确地给出了$\mathscr{C}(\mathscr{N})$的不可约分支及其维数。此外，还确定了Borel子代数的幂零交换簇。
Hessenberg varieties for the minimal nilpotent orbit
对于连通、单连通复单代数群$G$，研究了一类与极小幂零轨道相关的Hessenberg簇.特别是，我们计算庞加莱多项式和不可约的成分，这些品种在李型$A$。此外，我们证明了这些Hessenberg品种是GKM的极大环面$T\subseteq G$的行动。相应的GKM图，然后明确确定。最后，我们提出了普通的和$T$ -等变的上同调环，我们的品种作为继承人的旗品种。
Normality of very even nilpotent varieties in D_2l
对于典型群，卡夫和Procesi已经解决了这个问题的幂零轨道的闭包是正常的，而不是，除了非常均匀的轨道在$D_{2l}$有分区的形式$(a^{2k}, b^2)$为$a, b$不同的偶数自然数与$a k + b = 2 l$。在这篇文章中，我们证明了这些轨道有正常的封闭。
On nilpotent commuting varieties and cohomology of Frobenius kernels
研究了定义在代数闭域$k$上的经典李代数$\mathfrak{g}$中的（限制）幂零$r$ -元组的交换簇的不可约分支的维数.作为应用，我们得到了关于每个$r\ge 1$的Frobenius核$G_r$的（偶）上同调环结构的一些新结果，其中$G$是单连通单代数群，使得$\text{Lie}(G)=\mathfrak{g}$ .显式计算秩两组也提出。
Symmetric subgroup orbit closures on flag varieties: Their equivariant geometry, combinatorics, and connections with degeneracy loci
当$G$是典型群$SL(n,\C)$、$SO(n,\C)$或$Sp(2n,\C)$之一，且$K$是$G$的对称子群时，给出了标志簇$G/B$上闭$K$ -轨道的环面等变基本类的显式公式.我们描述的参数化的每个轨道集和组合的弱顺序，使我们能够计算公式的等变类的所有剩余的轨道封闭使用均差运营商。在每一种情况下，在类型A，我们实现了$K$ -轨道闭包的某种类型的通用退化轨迹，涉及一个向量丛$V$的计划$X$配备了一个标志的子丛和进一步的结构由$K$。我们描述了如何我们的等变公式可以被解释为这样的轨迹在陈类的各种束$X$的公式。
Regular orbits of symmetric subgroups on partial flag varieties
本文的主要结果是部分旗簇上对称子群轨道的一个新的参数化。参数化一方面是根据某些Spalantis变种，另一方面是根据某些幂零轨道。其中一个动机与列举实约化群的特殊幂幺表示有关。另一个动机是理解幂零余伴轨道集合上的闭包序（的一部分）。
Unipotent commutative group actions on flag varieties and nilpotent multiplications
我们的目标是对交换幂幺群在旗簇上直至共轭的所有一般传递作用进行分类。我们建立了这个问题与具有某些性质的乘法在李代数表示上的分类之间的关系。然后，我们分类乘法与所需的性质，并解决初始分类问题。
The combinatorics of orbital varieties closures of nilpotent order 2 in sl(n)
我们考虑两个偏序标准杨tableaux。第一个是由对称群上的弱右Bruhat序通过Robinson-Schensted算法导出的。第二种方法是将一个Young表看成是一个Young图的链，由Young图的序导出的。我们表明，这两个订单完全不同的性质相吻合的子集杨tableaux 2列或2行。这个事实对于sl（n）中幂零阶为2的轨道簇有非常有趣的几何意义。
Extension-orthogonal components of nilpotent varieties
设Q是Dynkin代数，P（Q）是相应的预投射代数.设I是P（Q）-模簇的一组两两不同的不可分解不可约分支，使得这些分支之间一般没有扩张。我们证明了I中元素的个数至多等于Q的正根的个数。此外，我们给出了Berenstein和Zelevinsky猜想的Leclerc反例的模理论解释。
Mixed Hodge structures on character varieties of nilpotent groups
本文研究了幂零群到约化代数群的表示簇与特征簇，确定了其上的混合霍奇结构，并给出混合霍奇多项式的显式闭式与递归公式。
Toric varieties and a generalization of the Springer resolution
半单李代数的幂零锥的Springer分解在表示论中起着重要的作用。幂零锥等于Spec R，其中R是幂零锥上的正则函数环。本文构造并研究了SpecS簇的Springer分解的一个类似，其中S是正则幂零轨道的泛覆盖上的正则函数环.该结构利用复曲面簇的理论。利用这一构造，我们对Broer和Graham关于Spec S的结果提供了新的证明.最后，我们表明，该结构可以适应覆盖的任意幂零轨道。
On the number of points of nilpotent quiver varieties over finite fields
我们给出了一个封闭的表达式的点的数量在有限域（或动机）的Lusztig幂零簇与任何一个矩阵，在卡茨的A-多项式。当有1-循环或定向循环的类，有几个可能的变体的Lusztig幂零品种，我们提供的公式为每一个点计数。这涉及到幂零版本的卡茨A-多项式，我们介绍，我们给一个闭公式类似华的公式通常卡茨A-多项式。最后，我们计算了在一个有限域上的Lusztig幂零簇的各种层的点的数目涉及的几何实现的晶体图。
An additive basis for the cohomology rings of regular nilpotent Hessenberg varieties
本文通过延拓更小正则幂零 Hessenberg 子簇的 Poincaré 对偶，构造了正则幂零 Hessenberg 簇上同调环的加法基，并证明这些对偶线性无关。
A binary operation on irreducible components of Lusztig's nilpotent varieties {II}: applications and conjectures for representations of $GL_n$ over a non-archimedean local field
本文的第一部分定义并研究了图的Lusztig幂零簇的不可约分支集上的二元运算。对于类型$A$，我们猜想，以下盖斯和施罗德，这一行动是兼容的基础上的抛物归纳表示的一般线性群在当地的非阿基米德领域，至少当一个不可约的组成部分是刚性的。我们在特殊情况下验证了这一猜想。
Type A quiver loci and Schubert varieties
我们描述了一个闭浸入，从每个表示空间的类型A表示空间与二分（即，交替的）方向到部分旗簇的某个相反的舒伯特单元。这个“二分Zelevinsky映射”限制到从每个轨道闭包到舒伯特簇的同构，该舒伯特簇具有上述相反的舒伯特胞。对于任意定向的A型箭图，我们对一般线性群的某些因子给出了同样的结果。这些标识使我们能够恢复Bobinski和Zwara的结果，即我们看到，轨道封闭的A型箭是正常的，科恩-麦考利，并有合理的奇异性。我们还看到，每个表示空间的一个类型A的允许一个弗罗贝纽斯分裂，其所有的轨道闭包是兼容弗罗贝纽斯分裂。
Poincare series of character varieties for nilpotent groups
对于任何紧致连通李群$G$和任何自由阿贝尔群或自由幂零群$Γ$，我们确定了表示空间（特征簇）$Rep(Γ,G)_1$的平凡表示的路径分量的上同调，其中域$F$中的系数${char} (F)$为0或与Weyl群$W$的阶互素。我们给出了庞加莱级数的显式公式。此外，我们研究$G$ -等变稳定分解的子空间$X(q,G)$的自由幺半群$J(G)$所产生的李群$G$，从生成的自由幂零群表示。
Frobenius splitting of cotangent bundles of flag varieties and geometry of nilpotent cones
我们利用Steinberg模上的G-不变非退化形式，以良好的素特征线对旗簇的余切丛进行Frobenius分裂。这是以前只知道的一般线性群。应用是线丛拉回到余切丛的一个消灭定理（Andersen和Jantzen对典型群和G_2证明，B. Broer（对所有群）），次正则幂零簇的正规性和有理奇点，以及线丛拉回到余切丛的整体瓣的良好滤子，这又意味着诱导表示的上同调的良好滤子.
Dynamics on nilpotent character varieties
设R（N，G）是由幂零群N生成的连通紧李群G的表示簇的单位元的连通分支，X（N，G）是相应的模空间.我们证明了X（N，G）上存在一个自然的Out（N）-不变测度，并且当Out（N）至少有一个双曲元时，Out（N）对X（N，G）的作用相对于这个测度是混合的.
Centers and Azumaya loci of finite $W$-algebras
本文研究了特征为$p\gg0$的代数闭域$\mathds{k}$上与半单李代数$\mathfrak{g}$相关联的有限$W$ -代数$\mathcal{T}(\mathfrak{g},e)$的中心$Z$，以及任意给定的幂零元$e\in\mathfrak{g}$ .我们得到了Veldkamp中心定理的一个类似结果。对于最大谱$\text{Specm}(Z)$，我们证明了它的Azumaya轨迹与它的光滑点的光滑轨迹重合。前一个轨迹反映了$\mathcal{T}(\mathfrak{g},e)$的最大维数的不可约表示。
Reducibility of nilpotent commuting varieties
设$\N_n$是代数闭域$k$上的幂零$n$乘$n$矩阵的集合.对于每个$r\ge 2$，设$C_r(\N_n)$是由幂零矩阵的所有成对交换$r$ -元组组成的簇。众所周知，对于每个$n$，$C_2(\N_n)$是不可约的。本文研究了$n$和$r$的不同值对$C_r(\N_n)$的影响。特别地，它将被证明，约化的$C_r(\mathfrak{gl}_n)$，各种交换$n$的$r$ -元组的$n$矩阵，意味着$C_r(\N_n)$在一定条件下。然后证明了$C_r(\N_n)$对所有$n, r\ge 4$都是可约的.这个结果的成分也是有用的$C_r(\N_n)$和$C_r(\mathfrak{gl}_n)$的维数的一个新的下界。最后，我们研究了$n$的值，其中幂零交换三元组的簇$C_3(\N_n)$是可约的。
Varieties of elementary subalgebras of maximal dimension for modular Lie algebras
受模表示理论问题的启发，Carlson，Friedlander和第一作者引入了p-限制李代数g的r-维交换p-幂零子代数簇E（r，g）。本文证明了约化限制李代数g的簇E（r，g）和g的交换p-幂零子代数的最大维数r。
Spaltenstein varieties of pure dimension
我们证明了当所涉及的幂零元元的Jordan型是偶或奇划分时，典型群的Spalanian簇是纯维的。我们进一步表明，他们是拉格朗日在相关的幂零Slodowy切片的部分决议，从他们的尺寸是已知的一半的部分决议的尺寸减去幂零轨道的尺寸。然后将结果扩展到$σ$ -箭袋-品种设置。
Equations for some nilpotent varieties
设$\mathcal{O}$是$\mathbb C$上的单李代数$\mathfrak{g}$中的Richardson幂零轨道，它是由单根是正交短根的Levi子代数导出的.本文的主要结果是一个最小的一组发电机的理想定义$\overline{ \mathcal{O}}$在$S \mathfrak{g}^*$的描述。在这种情况下，理想由至多两个拷贝的表示的基生成，其最高权是显性短根，以及一些基本不变量。这推广了Broer关于次正则幂零轨道的结果。在此过程中，我们给出了Broer的结果$\overline{ \mathcal{O}}$是正常的另一个证明。我们还证明了一个结果连接的属性不变量相关的平坦基地的问题时，伴随表示的一个副本是在理想的$S \mathfrak{g}^*$产生的另一个副本的伴随表示和基本不变量。
Singular loci of Schubert varieties and the Lookup Conjecture in type $\tilde A_{2}$
本文利用仿射Weyl群作用的几何性质描述了$\tilde{A}_2$型非螺旋Schubert簇的奇异与非有理光滑点轨迹，显式识别了极大奇异点，并结合已有工作证明了$\tilde{A}_2$型的Lookup猜想。
Perverse sheaves, nilpotent Hessenberg varieties, and the modular law
我们考虑单李代数的幂零锥的Springer分解的推广，通过用旗簇上的某些其他向量丛替换余切丛。我们表明，类似的施普林格层的直接summands只有交叉上同调层中出现的施普林格对应。这些一般地图的纤维是幂零海森伯格品种，我们建立在德Concini，Lusztig和Procesi建立的技术来研究它们的几何。例如，我们表明，这些纤维在奇数度有消失上同调。这导致了对偶图像的几个含义，在那里我们考虑推广整个李代数的Grothendieck-Springer分辨率的映射。特别是我们能够证明一个猜想的布鲁斯南。当我们改变映射时，相应的幂零海森伯格簇的上同调常常满足一个我们称之为几何模定律的关系，这个关系也起源于德康西尼、卢斯蒂格和普罗切西的工作。我们连接这种关系的类型$A$与组合模法定义的Guay-Paquet，满足某些对称函数，并推导出一些后果的连接。
Methods for Parametrizing Varieties of Lie Algebras
我们描述了如何光滑参数化某些族的幂零李代数。
A hereditary theorem for rigid and pseudorigid components of Lusztig's nilpotent varieties in type $A$
本文在 $A$ 型 Lusztig 幂零簇中，用组合方式刻画了 $C_\sigma\oplus C_\sigma$ 为不可约分量的条件，通过伪光滑置换的递归描述并引入遗传性质给出完整刻画。
The Poisson degeneracy locus of a flag variety
本研究针对配备标准泊松结构的复半单李群完全旗簇的泊松退化轨迹展开系统分析，给出组合描述与结构刻画，证明其不可约分支同构于复射影直线的幂次，并将结果推广至部分旗簇，明确了最高维数的组合与代数表示论意义。
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